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Las mujeres invisibles en la aviación y la carrera espacial de EE.UU.

Por Pedro Meseguer* (CSIC) y Mar Gulis

La invisibilidad física ha sido un tema recurrente en la narrativa fantástica, mediante polvos mágicos, capas de invisibilidad o con recónditos mecanismos científicos. Ha generado relatos extraordinarios que tanto la literatura como el cine han aprovechado para construir tramas de misterio. Por el contrario, la invisibilidad social, la que ignora de plano a un grupo de personas en una sociedad, es real y profundamente dañina para la sociedad. Ejemplo de ello es la historia de un grupo de mujeres matemáticas negras que trabajaron como computistas para la aviación y la exploración espacial en los Estados Unidos, primero en la NACA (National Advisory Committee for Aeronautics) y después en la NASA (National Aeronautics and Space Administration). A lo largo de la historia han permanecido invisibles, excepto en el libro Hidden Figures (Figuras ocultas en castellano), de la escritora estadounidense Margot Lee Shetterly, y la película con el mismo nombre (2016).

Fotograma de la película ‘Figuras ocultas’ / Fox 2000 Pictures

Para conocer su historia hay que remontarse a la década de los años 40 del siglo pasado, cuando Estados Unidos entró en la Segunda Guerra Mundial. La necesidad de diseñar y mejorar los aviones militares llevó a contratar a muchas mujeres como computistas, ya que la mayoría de los hombres estaba en el frente. En 1943, tras un año de guerra, estaba claro que vencer pasaba por la supremacía aérea. Eso implicaba mejores aviones, lo que requería una cantidad enorme de cálculos. En aquel momento las computadoras digitales no estaban disponibles —el ENIAC fue uno de los primeros ordenadores y se instaló en 1946—, por lo que esos cálculos se harían a mano, con la ayuda de reglas de cálculo y máquinas electromecánicas. La NACA (institución predecesora de la NASA que había nacido en la anterior gran guerra) contrató personal técnico en su centro de investigación de Langley, en Hampton (Virginia). Ese estado, bajo las leyes de Jim Crow, era uno de los más beligerantes a favor de mantener la segregación racial. Bajo la fórmula de “separados pero iguales”, la segregación impregnaba todos los ámbitos de la vida social: “los negros y los blancos vivían por separado, comían por separado, estudiaban por separado, se relacionaban por separado, iban a la iglesia por separado y, en la mayoría de los casos, trabajaban por separado”. Y los servicios para la comunidad negra, especialmente la educación, eran de peor calidad.

La historia invisible de Dorothy Vaughan, Mary Jackson y Katherine Goble Johnson

En este contexto, en Langley se constituyeron dos grupos de computistas: la unidad del este, compuesta por mujeres blancas, y la unidad segregada del oeste, formada por mujeres negras y comandada por una mujer blanca. Entre ellas, la más veterana era Dorothy Vaughan, que entró de computista en la unidad oeste y llegó a ser su directora en 1951. Tras la guerra, muchas de sus integrantes fueron transferidas a otros departamentos no segregadas y, en 1958, esa unidad se desmanteló, terminando de forma oficial con la segregación en el centro de investigación.

Dorothy Vaughan, Mary Jackson y Katherine Goble Johnson son las protagonistas de esta historia

Pero la comunidad negra seguía siendo de segunda. La crisis de los nueve de Little Rock en 1957, o la decisión del gobernador de Virginia de cerrar las escuelas en las ciudades que habían seguido adelante con la no segregación en 1958, eran muestras claras de la tensión racial existente en la sociedad, que aparecía al llevar a la práctica el derecho a la educación. Si volvemos unos años atrás, cuando las necesidades militares debido a la guerra de Corea se habían vuelto a agudizar, a la unidad comandada por Dorothy Vaughan entró, en 1951, Mary Jackson. En 1956, Jackson comenzó a estudiar ingeniería, con un permiso especial de la universidad de Virginia para asistir a clase con estudiantes blancos. Y más tarde fue promovida a ingeniera aeroespacial. En 1953, se unió a la unidad Katherine Goble Johnson, quien pronto fue transferida a la División de Investigación de Vuelo, donde alcanzó un trato con los ingenieros por sus sólidas aportaciones. Las decisiones se tomaban en reuniones a las que solo asistían los ingenieros varones, pero ella pidió asistir. Sin embargo, le respondieron: “las chicas no van a las reuniones”. Rompió la norma y pudo asistir. Más tarde, cuando la NACA se transformó en la NASA, John Glenn, el astronauta del primer vuelo orbital estadounidense, pidió que fuese Johnson quien revisase los números, antes de su viaje. Los cálculos se habían realizado con computadoras, pero Johnson repitió todo el cómputo y lo corroboró. El vuelo fue un éxito. Después, la ingeniera estuvo implicada en el cálculo de las órbitas del módulo lunar y el módulo de servicio en la misión Apolo que llevó astronautas a la Luna.

La ingeniera Katherine Goble Johnson participó en el cálculo de las órbitas del módulo lunar y el módulo de servicio en la misión Apolo que llevó astronautas a la Luna

La llegada de computadoras significó un cambio sustancial en el trabajo de estas personas. Dorothy Vaughan y Katherine Goble Johnson se reciclaron como programadoras de Fortran y continuaron calculando con los primeros mainframes, que alimentaban con cintas y tarjetas perforadas. Mary Jackson trabajaba como ingeniera, y en los años 70 pasó a integrar el Comité Federal de Mujeres. Después fue nombrada directora del Programa Federal de Mujeres para ayudar a las mujeres en Langley.

El libro Figuras ocultas no deja dudas sobre la trascendencia del trabajo realizado, de forma invisible, por estas y otras mujeres. Ahora esa labor comienza a ser reconocida públicamente. De hecho, en la ciudad de Hampton (Virginia), se inauguró en 2017 un centro de computación con el nombre de una de ellas: el Katherine G. Johnson Computational Research Facility, integrado en el NASA Langley Research Center. Un acto en el que ella estuvo presente. Katherine G. Johnson murió en 2020, y su trayectoria ha dejado una estela imborrable de trabajo bien hecho, y un ejemplo nítido para todas aquellas mujeres que se quieran dedicar a la ciencia y la tecnología.

 

*Pedro Meseguer es investigador en el Instituto de Investigación en Inteligencia Artificial del CSIC.

Arte y matemáticas en los mosaicos de la Alhambra

Por Mar Gulis (CSIC)

La Alhambra es un excepcional conjunto monumental que se localiza sobre una colina rocosa situada en los márgenes del río Darro, en Granada. Su nombre procede de la palabra árabe al-ḥamrā, que significa ‘la roja’, se cree que por el tono de color rojizo de sus torres y muros. Creado originalmente con propósitos militares, el recinto fortificado fue al mismo tiempo una alcazaba (fortín), un alcázar (palacio) y una pequeña medina (ciudad).

Los inicios constructivos de la fortificación se remontan al siglo IX, aunque la fortaleza alcanzó su esplendor en la segunda mitad del siglo XIV, concretamente bajo los sultanatos de Yusuf I (1333-1353) y Mohamed V (1353-1391). En 1492, la Alhambra se convirtió en corte cristiana cuando los Reyes Católicos conquistaron Granada. Desde entonces a nuestros días, ha pasado por diversas etapas de mayor o menor abandono. En la actualidad, la Alhambra es el principal referente de la arquitectura hispanomusulmana y, gracias a su enorme valor histórico y artístico, fue declarada Patrimonio Mundial de la Humanidad por la UNESCO en 1984.

Claude Valette – Flickr

Así, la Alhambra es admirada por amantes de la historia, la arquitectura, el arte, la artesanía… Pero, ¿sabías que, además, este conjunto monumental crea una especial fascinación en las personas aficionadas a las matemáticas? Te contamos por qué.

Mosaicos, geometría y los 17 grupos de simetría

Al hablar de la Alhambra, con frecuencia se nos vienen a la mente imágenes de los maravillosos mosaicos geométricos de azulejos que recubren buena parte de sus paredes y suelos. Estos revestimientos cerámicos constituyen una de sus mayores bellezas artísticas y también una de las curiosidades matemáticas de la Alhambra.

Para comprender qué son los mosaicos, podemos definirlos a grandes rasgos como una composición, en este caso geométrica, de figuras que recubren todo el plano, de tal forma que cumplen dos condiciones: las figuras no se solapan y no quedan huecos entre ellas. Las piezas que se utilizan se denominan teselas (o, según sus usos, baldosas, losetas, etc.).

Podemos encontrar diversos tipos de mosaicos: regulares, semirregulares, simples, complejos… Los más sencillos están formados por polígonos regulares del mismo tipo (por ejemplo, solo cuadrados, solo triángulos equiláteros o solo hexágonos). Pero también se pueden formar mosaicos combinando varios tipos de polígonos.

En cuanto a la manera de combinarlos, existen cuatro estrategias para rellenar un plano con losetas (o ‘teselar un plano’), es decir, cuatro tipos de movimientos, basados en simetrías, desplazamientos y/o rotaciones:

  1. Traslación: añadir nueva loseta sin ningún giro respecto a la anterior.
  2. Rotación: añadir nueva loseta con algún giro sobre un punto fijo.
  3. Reflexión o simetría: añadir nueva loseta de modo especular respecto a la anterior, con un eje de simetría.
  4. Simetría con deslizamiento: añadir nueva loseta usando la traslación de la reflexión en el mismo eje sin un punto fijo.

Katie Beuerlein – Flickr

Estos movimientos poseen una estructura matemática que se denomina grupo. Como explican Manuel de León y Ágata Timón en el libro de la colección ¿Qué sabemos de? Las matemáticas de los cristales (CSIC-Catarata, 2015), las transformaciones del plano que dejan invariante una figura forman lo que se llama su grupo de simetrías. Si combinamos dos de estas transformaciones, volvemos a obtener una simetría; cada una tiene una inversa, y la transformación identidad acontece cuando no cambiamos nada. Una de las formas de recubrir (teselar) un plano es comenzar con un motivo simple y repetirlo utilizando esos elementos de simetría. Y hay solo 17 grupos posibles que hacen esto, los llamados grupos cristalográficos.

En principio, podría parecer que existen infinitos grupos de simetría diferentes, o infinitas formas de combinar polígonos en un plano, pero no es así. En 1891, el matemático y cristalógrafo ruso Evgraf Fedorov demostró que solo existen 17 posibles grupos cristalográficos para las figuras del plano, denominados grupos cristalográficos planos.

La Alhambra: un caso único

Pues bien, aquí viene la curiosidad matemática que alberga la Alhambra: en los adornos ornamentales que están presentes en sus suelos y muros se pueden encontrar ejemplos de cada uno de estos 17 grupos cristalográficos planos. Los artistas musulmanes, por preceptos religiosos, no podían representar seres vivientes en sus creaciones. Sin embargo, esta limitación sirvió de aliciente para estimular su creatividad y explorar caminos geométricos de gran belleza y originalidad. Su conocimiento de las simetrías alcanzó tal magnitud que fueron los únicos en descubrir y utilizar sabiamente en sus decoraciones los 17 tipos de simetría plana. De esto se percató por primera vez la matemática Edith Alice Muller, cuya tesis Aplicación de la teoría de grupos y análisis estructural de la decoración morisca en la Alhambra de Granada, defendida en 1944, fue clave para entender los patrones geométricos islámicos, mucho más complejos de lo que se pensaba hasta el momento.

Los creadores de los mosaicos de la Alhambra no conocían la afirmación del teorema de clasificación de Fedorov, que se produjo varios siglos después. Sin embargo, aunque quizás no supieran que eran los únicos grupos de simetrías, sí conocían todos y cada uno de los 17 existentes para rellenar el plano con baldosas (mediante teselaciones del plano). De hecho, el autor y la autora del libro citado más arriba, del Instituto de Ciencias Matemáticas del CSIC, nos recuerdan que, en la actualidad, es el único monumento construido antes del descubrimiento de la teoría de grupos que cuenta con al menos un ejemplo de cada uno de los grupos cristalográficos planos.

Por este motivo, la Alhambra tiene un especial interés para personas interesadas en las matemáticas, pues el libre y audaz método creativo empleado para elaborar los mosaicos pone de manifiesto el uso de conceptos científicos basados en hacer variaciones sobre una misma figura. Sin entrar en otros detalles relacionados con estos revestimientos cerámicos en los que sus constructores eran verdaderos maestros, podemos afirmar que la Alhambra es un ejemplo esplendoroso del hermanamiento entre arte y matemáticas.

 

Descubre las revoluciones matemáticas que cambiaron el mundo

Por Mar Gulis (CSIC)

Los ordenadores, la energía, la teoría del caos, el número pi… las matemáticas están por todas partes, y esto se debe a las contribuciones de grandes matemáticos y matemáticas que cambiaron el mundo. ¿Te gustaría conocer a algunas de estas figuras? Puedes hacerlo desde tu casa con la serie de animación ‘Revoluciones Matemáticas’, que en su segunda temporada presenta a cuatro personajes clave de esta disciplina: Emmy Noether, creadora del álgebra moderna; Leonhard Euler, precursor de la topología; Ada Lovelace, pionera de la programación; y Henri Poncairé, que sentó las bases de la teoría del caos.

Cada vídeo, de dos a tres minutos de duración, está acompañado por un taller de matemáticas recreativas en el que se abordan con mayor profundidad los conceptos presentados. Con ellos podrás entender las bases de la teoría del caos, fabricar una máquina para sumar o jugar con grafos de gominolas. Todos los materiales han sido elaborados por el Instituto de Ciencias Matemáticas, adscrito al CSIC y varias universidades madrileñas, y Divermates en el marco del proyecto Ciudad Ciencia. Aquí te contamos algunos de sus contenidos.

La “genio” alabada por Einstein

Comencemos por el álgebra moderna y por su creadora, Emmy Noether (1822-1935). Nadie esperaba a principios del siglo XX que esta matemática alemana fuera a convertirse en la artífice de la teoría que permitiría entender la conservación de la energía. Sin embargo, al morir, el mismísimo Albert Einsten llegó a definirla como “la genio creativa de las matemáticas más significativa que ha existido desde que comenzó la educación superior para las mujeres”.

Muchos sostienen que las matemáticas no volvieron a ser lo mismo después de Emmy Noether. Además de realizar grandes aportaciones al álgebra o la física, Noether fue la primera mujer en participar como ponente en un Congreso Internacional de Matemáticas. Lo hizo en 1932, mientras que la segunda, Karen K. Uhlenbeck, no lo haría hasta 1990. Durante el nazismo, Noether tuvo que trabajar en casa con sus estudiantes y finalmente abandonar Alemania para continuar su labor docente. Se refugió en Estados Unidos hasta su temprana muerte.

El ‘cíclope’ de los poliedros

¿Qué sabemos de cubos, prismas u octaedros? El matemático Leonhard Euler (1707-1783) con su fórmula para poliedros introdujo ideas precursoras de la topología. Entre otras cosas, logró establecer un patrón común para los poliedros convexos con independencia del número de caras, vértices o aristas.

A Euler le gustaron las matemáticas desde pequeño y realizó aportaciones fundamentales a la geometría analítica moderna, la trigonometría y la teoría de los números. Desarrolló el concepto de función matemática y, para ello, definió el número e (o número de Euler), la base de la función exponencial. Además, hablando de números, fue quien popularizó el número π (‘pi’ o 3,141592…). Se le conocía como el ‘cíclope matemático’ ya que perdió la visión de un ojo a los 31 años. 17 años antes de morir se quedó totalmente ciego, pero esto tampoco frenó su carrera ni sus innumerables aportaciones en diferentes campos, que llegaron a publicarse hasta cincuenta años después de su muerte.

La primera programadora

El desarrollo de nuestros ordenadores modernos tiene su origen en Ada Lovelace (1815-1852), pionera de la programación y autora del primer programa de ordenador de la historia. Apasionada de las matemáticas desde pequeña, Ada Byron se codeaba con intelectuales y celebridades como Dickens, Faraday o Darwin. En una de esas reuniones conoció a Charle Babbage, inventor de la máquina diferencial (nuestra calculadora), y con quien trabajó en la máquina analítica. En sus notas a los trabajos de Babbage, Lovelace incluyó una serie de instrucciones, consideradas el germen de la programación y los algoritmos. Para ella, “las maquinas podían ir más allá de los simples cálculos numéricos”, cosa que demostró.

A pesar de su muerte prematura a los 36 años y de que se ha tardado más de cien años en reconocer su relevancia, hoy en día es todo un referente femenino en el campo de la tecnología. Incluso cuenta actualmente con un día propio: el segundo martes de octubre se celebra el ‘Ada Lovelace Day’ para impulsar la participación de las mujeres en la ciencia.

El ‘abuelo’ de la teoría del caos

Y, para terminar, volvemos a la topología moderna de la mano de su fundador, Henri Poincaré (1854-1912), precursor de la teoría del caos. En el instituto, el francés destacó en todas las asignaturas, pero especialmente en matemáticas, como también lo hizo a lo largo de su vida. Fue nombrado miembro de la Academia de Ciencias de Francia y llegó a ser presidente de la institución en 1906.

Poincaré basaba sus resultados en principios básicos y supo de buena tinta que de los errores se aprende. Aunque llegó a publicar alrededor de 500 artículos, tuvo que destruir uno cuando ya estaba en imprenta: el artículo contenía una resolución errónea del famoso problema de los tres cuerpos (trayectoria de tres objetos atraídos por la fuerza de la gravedad). Aunque no pudo solucionar el problema, sus observaciones fueron los primeros pasos de la teoría del caos, capaz de dar respuesta a problemas antes intratables en ámbitos como la economía, la biología o la meteorología.

 

¿Se puede resolver el juego del ajedrez?

Por Razvan Iagar (CSIC)*

Cuando la gente me pregunta a qué me dedico, al responder que aparte de investigador en matemáticas soy un jugador activo de ajedrez en competiciones, me hacen preguntas como: “Pero, ¿no está el ajedrez ya resuelto?, ¿no hay ya máquinas que pueden dar la mejor jugada?”. Voy a dar respuesta a estas cuestiones, argumentando por qué el ajedrez no solo no está acabado, sino que goza de muy buena salud y tiene un gran futuro por delante.

Por “resolver el ajedrez” entendemos establecer una estrategia óptima para jugar la partida; es decir, encontrar el camino que contiene las mejores jugadas tanto para las blancas como para las negras, desde el principio, o desde cualquier posición dada, hasta el final. En un sentido más débil, también podemos entender por “resolver el juego” el hecho de predecir el resultado óptimo (con el mejor juego posible) de una partida. Es decir, a partir de la posición inicial, cuál de los tres resultados posibles -victoria de las blancas, victoria de las negras o el resultado de tablas- es el resultado del juego óptimo de un encuentro entre dos jugadores perfectos sin exponer necesariamente la estrategia óptima.

Tan solo a través de fuerza bruta de cálculo, ninguna máquina puede resolver en la actualidad el ajedrez

Se trata de un problema abierto que ha surgido a partir del desarrollo de los programas informáticos de ajedrez. Pero esta cuestión ya se ha intentado solucionar antes. Claude Shannon, ‘el padre de la teoría de la información’, explicó en un artículo en 1950 la tarea de una máquina para analizar todas las variantes posibles de jugadas y concluyó que “una máquina operando con una tasa de una variante por microsegundo necesitaría un tiempo de 1090 años para calcular todas las posibilidades desde la primera jugada”. Shannon argumenta así que, tan solo a través de fuerza bruta de cálculo, ninguna máquina razonable podrá completar esta tarea.

Más recientemente, en 2007, se ha podido resolver el juego de las damas, emparentado con el ajedrez, pero con una complejidad mucho menor, sobre todo porque aquí todas las piezas son idénticas -tienen el mismo valor-, mientras que en el ajedrez las piezas tienen valores y capacidades diferentes. El equipo investigador liderado por el canadiense Jonathan Schaeffer, experto en inteligencia artificial, pudo comprobar que en las damas siempre se acaba en tablas si no se comete ningún error por parte de ninguno de los dos jugadores. El esfuerzo computacional para analizar de forma exhaustiva todas las posiciones ha tomado 18 años, utilizando en algunos periodos incluso 200 ordenadores conectados trabajando en paralelo y sin pausa, para analizar un número de posiciones del orden de 1014. ¡Todo un esfuerzo!

En 2007 se resolvió el juego de las damas.

Sin embargo, se trata un esfuerzo no extrapolable al ajedrez, ni en el aspecto de la capacidad computacional necesaria, ni en cuanto a método de demostración. Si miramos la complejidad del ajedrez desde el punto de vista del número total de partidas posibles que se pueden jugar (lo que en términos de la teoría de juegos recibe el nombre de ‘complejidad del árbol del juego’, game-tree complexity) alcanzamos un número muy grande, del orden de 10123. Esta estimación se deduce usando un cálculo basado en dos aproximaciones: que el número medio de jugadas completas de una partida es de 40 y que, en cada paso, el número medio de jugadas legales disponibles es de 35. El mismo Jonathan Schaeffer opina que solo después del establecimiento de una nueva tecnología de cálculo —ordenadores cuánticos— tendría sentido intentar ponerse a la tarea de resolver este juego milenario.

Por otro lado, el método de demostración que ha funcionado en las damas falla completamente en nuestro caso debido a los valores y capacidades diferentes de las piezas, y también por la existencia de algunas piezas con características especiales como el rey, cuyo mate acaba la partida en cualquier momento, incluso con todas las demás piezas en el tablero; o el peón, cuya coronación hace que reaparezcan en el tablero piezas más fuertes que posiblemente habían desaparecido antes en el transcurso de una partida. Así pues, no se puede establecer una base de finales de partidas con, por ejemplo, un número máximo de 10 piezas, de tal manera que cualquier partida tenga que pasar por una de esas posiciones. En efecto, un jaque mate puede ocurrir mucho antes de haber llegado a una situación de menos de 10 piezas en el tablero. Este razonamiento sencillo demuestra que es necesario tener la capacidad de analizar todas las posiciones posibles, sin simplificaciones.

Por todas estas razones, aunque el reto de resolver -o no- el ajedrez queda abierto (no hay una demostración matemática o lógica formal de que este hecho sea imposible), la mayoría de los especialistas consideran que no hay nada que indique una posibilidad práctica de llegar a una solución. Ni siquiera en el sentido débil, es decir, predecir el resultado sin decir las jugadas, a corto o medio plazo. Así pues, los maestros y aficionados pueden estar tranquilos: ¡el juego tiene todavía mucho futuro!

*Razvan Iagar es investigador del CSIC en el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT) de Madrid y autor del libro Matemáticas y ajedrez, de la colección ¿Qué sabemos de?, disponible en la Editorial CSIC y Los Libros de la Catarata.

Los duelistas matemáticos: la pelea que resolvió las ecuaciones de tercer grado

agatamanuelPor Manuel de León y Ágata Timón (Instituto de Ciencias Matemáticas, CSIC)*

Traiciones, engaños, muertes y duelos intelectuales… La resolución de las ecuaciones de tercer grado –las que incluyen al menos una incógnita elevada al cubo, x3– enfrentó a algunos de los más célebres matemáticos italianos del Renacimiento.

Como ya hemos contado, en 1535 Niccolò Tartaglia parecía ser el mayor experto mundial en la materia. Su fama comenzó a propagarse tras demostrar, en un enfrentamiento público con Antonio Maria Fiore, que conocía el método para resolver varios tipos de ecuaciones de tercer grado. Sin embargo, todavía no se había encontrado una solución para la fórmula general: ax3 + bx2 + cx + d = 0.

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Niccolò Tartaglia.

Pobre, autodidacta y tartamudo, Tartaglia decidió guardar sus resultados como un tesoro y no hacerlos públicos… hasta que en su camino se cruzó el médico, matemático y filósofo Gerolamo Cardano.

Para situar al personaje, hay que decir que, antes de todas esas cosas, Cardano era jugador; durante los años de estudiante, el juego era su principal sustento. Usaba sus conocimientos de probabilidad y combinatoria para ganar a los dados, al ajedrez, a las cartas, etc. Tanto es así, que su libro El libro de los juegos del azar se considera la primera obra escrita de cálculo de probabilidades.

Cuando estaba finalizando su segundo libro, La práctica de la aritmética y la medición simple, se le antojó que un gran final para la obra sería incluir la fórmula de resolución de la ecuación de tercer grado. Intentó convencer a Tartaglia de que le revelase sus resultados mediante intermediarios, pero sin éxito. Cardano no claudicó e invitó a Tartaglia  a Milán para poder halagarle y, al parecer, prometerle que no revelaría su secreto a nadie.

Tartaglia, agasajado por la riqueza y el poder de Cardano, de los que él nunca dispuso, accedió, confiando en la promesa del médico y matemático. Sin embargo, Cardano tardó poco en difundir su resultado: lo publicó en su libro El gran arte o las reglas del álgebra (Ars Magna), considerado el texto precursor del álgebra moderna. Aunque en el libro Cardano reconocía la autoría de las ideas de Tartaglia, eso no aplacó la ira del matemático de Brescia. Le había robado sus ideas y su reconocimiento público y le había engañado.

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Gerolamo Cardano.

¿Realmente fue eso lo que sucedió? Según puede leerse en el escrito de Cardano, partiendo de las técnicas de Tartaglia, había encontrado una fórmula general de la ecuación de tercer grado. Simultáneamente, su estudiante, Ludovico Ferrari, había conseguido resolver uno de los tipos de la ecuación de cuarto grado. Además, Cardano demostraba por primera vez que las soluciones de la ecuación pueden ser negativas, irracionales e incluso pueden implicar raíces cuadradas de números negativos. El trabajo de Cardano tenía, por tanto, numerosas ideas originales.

La obra contó con un gran reconocimiento que no hizo más que amargar aún más a Tartaglia. El matemático emprendió una violenta campaña contra Cardano, a través de cartellos (cartas de desafío), que desencadenó una larga pelea pública. Sin embargo, no fue Cardano el que respondió a las ofensas, pese a los muchos intentos de Tartaglia de retarle públicamente, sino Ferrari. Pese a que Tartaglia no quería pelear públicamente con el estudiante, al final lo acabó haciendo, posiblemente por la presión de una posible plaza de profesor de geometría en su ciudad natal, Brescia.

El enfrentamiento tuvo lugar el 10 de agosto de 1548 y, pese a que no hay documentación clara de lo que aconteció, no hay duda de que el vencedor fue Ferrari: negaron el sueldo  a Tartaglia en Brescia, después de trabajar un año como profesor, mientras que la carrera de Ferrari se catapultó. La gloria en la resolución de la ecuación de tercer y cuarto grado fue para Cardano y su estudiante.

Tartaglia moriría en 1557, en Venecia, sumido en la misma pobreza que le acompañó durante toda su vida. Pero también a Ferrari le esperaba un desenlace trágico: pocos años después del duelo murió, al parecer envenenado por su hermana.

Por suerte, Ferrari no había guardado, como muchos de sus predecesores, ningún resultado oculto. De esta trágica manera quedaron resueltas las ecuaciones de tercer y cuarto grado.

 

* Manuel de León es investigador del CSIC en el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT) y autor, junto con Ágata Timón, coordinadora de comunicación y divulgación del ICMAT, del libro Las matemáticas de los cristales (CSIC-Catarata).

Los duelistas matemáticos: el enfrentamiento entre Fiore y Tartaglia

agatamanuelPor Manuel de León y Ágata Timón (Instituto de Ciencias Matemáticas, CSIC)*

La resolución  de las ecuaciones de tercer grado a principios del siglo XVI es digna de novela: traiciones, engaños, muertes y duelos intelectuales. Sus protagonistas –algunos de los grandes matemáticos italianos del Renacimiento– llevaron a cabo de esta manera una de las grandes hazañas matemáticas de la historia.

Las ecuaciones de tercer grado –las que incluyen al menos una incógnita elevada al cubo– aparecen con el cálculo de volúmenes sólidos; con preguntas del tipo: dado un cubo cuyo volumen es de 8 cm3, ¿cuánto mide su arista? Esto se traduce con la ecuación cúbica x3 = 8, cuya solución es fácil de calcular, x=2. Pero ese es el caso más sencillo; la forma general de la ecuación de tercer grado es ax3 + bx2 + cx + d = 0.

Los matemáticos que trabajaron en la resolución de la ecuación, y que finalmente lo consiguieron, no planteaban problemas ni respuestas generales. Su objetivo era encontrar una fórmula, similar a la que aprendemos en el colegio para resolver ecuaciones de segundo grado, que se aplicara como una receta. Pero no era tan fácil.

Hubo muchos que lo intentaron y arrojaron la toalla. Otros, sin embargo, perseveraron. Sciopine dal Ferro obtuvo los primeros resultados alrededor de 1515: resolvió la ecuación ax3 + bx + c = 0.  Todavía no era la forma general, pero se acercaba bastante.

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Tartaglia (‘tartamudo’ en italiano) era en realidad el apodo del matemático de Brescia. Su verdadero apellido era Fontana.

Dal Ferro quiso conservar su hallazgo como un tesoro y decidió no divulgarlo. Compartió su resultado con su yerno, Annibale della Navia, y al menos con otro estudiante, Antonio Maria Fiore. Fiore fue un matemático mediocre que, a falta de méritos propios, intentó usar a su favor el secreto de su maestro. Una vez muerto Dal Ferro, en 1525, no publicó el resultado, sino que guardó el ‘arma’ para usarla en el momento conveniente. Y esa oportunidad no tardó en llegar. En 1535 Fiore escuchó que otro matemático, Niccolò Tartaglia, estaba trabajando con cierto éxito en la resolución de la ecuación de tercer grado. Por fin podría demostrar su superioridad en ese campo, así que le desafío a una competición pública para resolver problemas.

En la Bolognia del siglo XVI eran habituales los debates públicos  entre matemáticos, unas disputas que atraían a grandes multitudes. Estas peleas callejeras tenían un profundo impacto en la sociedad científica: los ganadores eran mejor considerados para plazas universitarias y los perdedores podían perder su puesto o los favores de la nobleza. Más allá de esto, los ciudadanos mostraban un gran interés por esos acontecimientos, en torno a los cuales se organizaban apuestas, por lo que pueden ser considerados como eventos de divulgación científica de lo más exitosos.

El reto entre Fiore y Tartaglia se concretó de la siguiente manera: cada uno de ellos escribiría una lista de 30 problemas que tendría que resolver su oponente, y la lista quedaría sellada y depositada ante notario. Después de esto, cada uno dispondría de 50 días para buscar la solución.

Todos los problemas planteados por Fiore eran de la misma forma ax3 + bx + c = 0, es decir, los que él sabía resolver con la fórmula secreta de Dal Ferro. Sin embargo, Tartaglia propuso cuestiones de diferente tipo. El 12 de febrero de 1535 fue la fecha escogida para entregar los ejercicios frente a un nutrido público formado por universitarios y miembros de la alta sociedad intelectual veneciana. Tartaglia logró resolver todos los problemas; Fiore no pudo dar respuesta a ninguno.

Tartaglia solo tuvo que aplicar reiteradamente el método para resolver las ecuaciones del tipo ax3 + bx = c que, según cuenta en su biografía, había descubierto tan solo ocho días antes del reto. Pocos días después encontró la solución de ax + b = x3. Y, como ya conocía la de x3 + ax2 = b, de la noche a la mañana se convirtió en el experto mundial de la resolución de ecuaciones de tercer grado.

Sin embargo, el éxito no le duró mucho. Tras embarcarse en una larga polémica sobre la autoría y el alcance de sus ideas con Gerolamo Cardano, en 1548 se vio abocado a batirse en un nuevo duelo matemático con uno de los discípulos de este, Ludovico Ferrari. Tartaglia salió derrotado de la pelea y ello tuvo dramáticas consecuencias para su carrera… Pero esta es una historia de la que hablaremos en nuestro próximo post.

 

* Manuel de León es investigador del CSIC en el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT) y autor, junto con Ágata Timón, coordinadora de comunicación y divulgación del ICMAT, del libro Las matemáticas de los cristales (CSIC-Catarata).

La matemática de los penaltis

GASPor Gustavo Ariel Schwartz (CSIC)*

Tras angustiosos e interminables 120 minutos, el resultado del partido sentencia un empate y llega el momento que nadie deseaba: la definición por penaltis. “Los penaltis son una lotería” suele ser la frase más escuchada en bares, reuniones de amigos o en nuestro propio inconsciente. Sin embargo, un estudio detallado de los partidos de fútbol que concluyen en tandas de penaltis muestra que no es sólo el azar lo que define el resultado. De hecho, no son pocos los investigadores (matemáticos, físicos, economistas) que se han dedicado a estudiar el asunto desde un punto de vista más sistemático.

Disparo a puertaUn estudio realizado por investigadores de la Universidad Pompeu Fabra ha analizado 2.820 penaltis tirados entre los años 1970 y 2008 y ha determinado que el equipo que ejecuta el primer disparo tiene un 60% de probabilidades de ganar la tanda de penaltis, frente al 40% del otro equipo. Además, otro trabajo llevado a cabo por científicos de la Universidad de Ámsterdam muestra que los porteros se arrojan con más frecuencia hacia su derecha cuando su equipo va en desventaja en el marcador.

¿Y qué pasa con los que tiran el penalti? Según un artículo publicado en el International Journal of Performance Analysis in Sport, los jugadores diestros suelen tener una cierta tendencia a chutar al lado derecho del portero, mientras que en el caso de los jugadores zurdos sucede exactamente lo contrario.

De más está decir que los entrenadores (los buenos entrenadores) están al tanto de estos trabajos y pueden por lo tanto elaborar estrategias que permitan compensar estos sesgos de lateralidad. Surge entonces la pregunta inevitable: si todos conocen estas tendencias, ¿se convertirán efectivamente los penaltis en una lotería?

 

* Gustavo Ariel Schwartz es científico del CSIC en el Centro de Física de Materiales, dirige el Programa Mestizajes y mantiene un blog sobre Arte, Literatura y Ciencia.

Tú también practicas aritmética modular varias veces al día

Por Mar Gulis

Que las matemáticas forman parte de la vida cotidiana es la típica frase que nos cuentan desde que empezamos la escuela y no siempre la entendemos (o se nos explica) de un modo tan claro como lo que es. Vamos a intentar explicar de un modo sencillo en este post un caso de cálculo que todo el mundo, con o sin estudios, con amor, odio o indiferencia hacia las matemáticas, con desdén o con ahínco, realizamos a cada momento, aunque en general de manera prácticamente inconsciente: la medición del tiempo. Sí, queridos y queridas lectoras, practicamos la aritmética modular más a menudo de lo que nos lavamos los dientes.

Si alguien nos preguntase la hora, seguramente le sorprenderíamos si nuestra respuesta fuese algo así como 17.607.600 horas y 30 minutos desde la fundación de Roma, o un número afín mayor si tomásemos como origen de los tiempos el momento del Big Bang. Lo normal es esperar como respuesta un número entero comprendido entre 0 y 23, a veces seguido por los minutos que correspondan, incluso los segundos si deseamos dar una información más precisa. También, con frecuencia, el intervalo de veinticuatro horas es dividido en dos de doce, añadiéndose aquello de mañana o tarde, a.m. (ante meridiam) o p.m. (post meridiam), según la terminología latina. Y es que nos movemos con comodidad en nuestro código convenido para medir el tiempo; en definitiva, la división por horas responde a una aritmética modular respecto al número 24. Aunque la medición de los años sí se suele hacer de modo lineal, la medición de los meses, semanas, horas o minutos se hace de un modo ‘circular’.

La aritmética modular se conoce en ocasiones como aritmética del reloj. / Juanedc. Flickr

La aritmética modular se conoce en ocasiones como aritmética del reloj. / Juanedc. Flickr

Fue el matemático Carl Friedrich Gauss quien introdujo en su libro Disquisitiones Arithmeticae en 1801 este sistema aritmético, que se basa en ciclos repetitivos de números y residuos (lo que también se conoce como el ‘resto’). Es decir, se construye mediante ciertas relaciones de equivalencia y congruencia (compatibles con las operaciones de suma, resta y multiplicación) entre números enteros. Así, en la aritmética modular encontramos los siguientes elementos: dividendo (a), divisor (b), cociente (q) y residuo (r).

Volvamos al caso del reloj, que es el ejemplo por excelencia de esta aritmética en bucle o circular. No es casual que la aritmética modular se denomine a veces aritmética del reloj, ya que los números ‘dan la vuelta’ tras alcanzar cierto valor llamado módulo. El día lo concebimos estructurado en un ciclo de 24 o, más comúnmente, en dos ciclos de 12. Eso significa que, por ejemplo, si ahora son las 13 horas, dentro de 20 horas no serán las 33 horas, sino las 9 horas, que sería el residuo (o dicho de otro modo, el ‘resto’). En términos matemáticos diríamos que 33 módulo 24 = 9 (33 sería el dividendo, 24 el divisor, 1 el cociente, y 9 el residuo).

Y así vamos encontrando congruencias en todas las medidas del tiempo. Por ejemplo, como hemos visto, los relojes trabajan con módulos 12 o 24 para las horas, y módulo 60 para los minutos y los segundos.

Volviendo la vista a la semana, la pregunta acerca del día en que estamos admite solo una de estas respuestas: lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado o domingo. Nunca decimos, por ejemplo, que se trate del día noningentésimo nonagésimo nono de la era cristiana. De este modo, como probablemente ya habréis imaginado, el módulo aritmético usado en el caso de los días es el 7. Por ejemplo, si hoy es viernes 7 de noviembre y alguien nos cita para el próximo viernes 22 de noviembre, sabemos que ha cometido un error, por cuanto la diferencia (22-7=15) no es un múltiplo de 7. Entre dos viernes ha de transcurrir, necesariamente, un número exacto de semanas. En el calendario, aparte del módulo 7 para los días de la semana, se utiliza el módulo 12 para los meses.

En el libro Los números (CSIC-Catarata), de Javier Cilleruelo y Antonio Córdoba, se pueden encontrar estas y otras curiosidades matemáticas. Lo más sugerente de casos como los expuestos más arriba, a la vez que paradójico, es que hay aspectos muy cotidianos que a pesar de tenerlos sumamente aprendidos e interiorizados, cuesta verlos y conceptualizarlos…

Matemáticas para escribir un poema

Por Mar Gulis

Ciencia y literatura se han entremezclado en numerosas ocasiones. Uno de estos encuentros fue el taller de los oulipos. En los años 60 del siglo XX, un grupo de escritores y matemáticos franceses, encabezados por el escritor Raymond Queneau y el matemático François Le Lionnais, plantearon una vía de creación literaria que combinase las ‘restricciones’ racionales de las matemáticas y de la palabra. Nacía así el taller de literatura potencial (en francés Oulipo, de Ouvroir de littérature potentielle).

Imagen del grupo de los oulipos en 1975

Encuentro de los oulipos en casa de Le Lionnais, en 1975.

La propuesta surgió en contraposición a las corrientes dominantes de la época: el dadaísmo y el surrealismo, que proponían la búsqueda de nuevas estructuras literarias a través de lo irracional y el inconsciente. Por el contrario, los oulipos, como se conoce a los seguidores del taller, aplicaron reglas matemáticas a las obras literarias. Entre los integrantes de este grupo, formado originalmente por 37 escritores y matemáticos, se encuentran nombres tan conocidos como Georges Perec, Marcel Duchamp e Italo Calvino.

¿Y qué tipo de relaciones creaban entre literatura y matemáticas? El escritor francés Jean Lescure creó, por ejemplo, el método ‘S+7’, en el que aplicaba el concepto matemático de la permutación. Como explica Ágata Timón, del Instituto de Ciencias Matemáticas, una permutación es una reordenación de un conjunto. “Por ejemplo, partiendo del conjunto {1, 2, 3}, una permutación sería {2, 3, 1}. Se cambia el 1 por el 2, el 2 por el 3, y el 3 por el 1”. Aplicado a la literatura, el conjunto sería un verso, poema u oración, con un subconjunto de palabras, que se reordenan con una regla prefijada. La técnica “S+7” utiliza un texto base, que debe ser elegido previamente, en el que se sustituye cada sustantivo por el séptimo sustantivo que le siga en un diccionario. “De esta manera, el verso de Pablo Neruda El viento de la noche gira en el cielo y canta, del poema Puedo escribir los versos más tristes esta noche, se transformaría, utilizando el diccionario online wordreference, en: La vigía del noctámbulo gira en el cieno y canta”, ejemplifica Timón.

Banda de Möbius

Banda de Möbius / Christophe Dang Ngoc Chan. Wikipedia.

A partir de formas geométricas se crearon los poemas ‘bola de nieve’, cuyo primer verso está formado por una palabra de una única letra, el segundo de dos letras, el tercero de tres, el cuarto de cuatro… y así sucesivamente sin un fin determinado (es decir, con una longitud n). También puede hacerse a la inversa (‘bola de nieve derritiéndose’) o en forma de rombo, empezando por una letra e ir en aumento para luego volver a bajar a una única letra por verso, hasta dibujar un rombo.

Otra figura que sirvió de referencia fue la banda o cinta de Möbius, una superficie con una sola cara y un solo borde. Tiene la propiedad matemática de ser un objeto no orientable. Fue co-descubierta de forma independiente por los matemáticos alemanes August Ferdinand Möbius y Johann Benedict Listing en 1858. Basándose en ella, los oulipos proponían un ejercicio literario que consiste en tomar un papel rectangular (10 veces más largo que ancho): primero se escribe la mitad del poema por el lado más ancho. Después se gira y por el lado más largo se escribe la segunda mitad del poema. Al pegar la tira como una banda de Möbius  surge un nuevo poema.

Imagen del libro Cien millones de poemas

Imagen del libro Cien mil millones de poemas, de Queneau / Enrique Ferrando.

Basándose en las combinaciones matemáticas, Queneau creó sus famosos Cien mil millones de poemas, publicados en 1961. Las combinaciones son un conjunto de elementos donde el orden no importa. Cuando el orden importa, se trata de permutaciones, que veíamos antes con la técnica ‘S+7’. Queneau tomó como punto de partida un soneto, sobre el que fue combinando versos que mantenían las mismas características métricas. La obra está compuesta por diez hojas, cada una separada en catorce bandas horizontales; en cada una de ellas está escrito un verso. Las diez versiones de cada verso tienen la misma longitud y rima. La lectura se puede hacer por hojas o combinando las bandas laterales, creando así diferentes sonetos. Tal y como decía Queneau: “Hay entonces 1014 que equivalen a 100.000.000.000.000 poemas potenciales”. Y añade: “Contando 45 segundos para leer un soneto y 15 para cambiar las hojas, a 8 horas por día, 200 días por año, tenemos para más de un millón de siglos de lectura”. Para tener en cuenta si se lo lleva una de viaje. Eso sí, en este caso mejor en papel que en libro electrónico.

 

La manzana de Apple, ¿un homenaje de Steve Jobs a Turing?

Por Mar Gulis

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El matemático Alan Turing / Wikipedia

Leyenda o realidad, lo que vamos a contar hoy es una curiosa historia. ¿Cuál es el origen de la manzana de Apple, uno de los logos más conocidos del planeta? ¿En qué se inspiró Steve Jobs, el fundador de la compañía, cuando eligió la famosa manzana mordida como seña de identidad de su empresa? En torno a esta cuestión ha habido diferentes teorías, sin que la respuesta haya llegado nunca a estar clara, en parte por las ambigüedades de Jobs al contestar.

Una de las interpretaciones más extendidas es que la manzana Apple sería una especie de homenaje al gran matemático británico Alan Turing (1912-1954). Conocido por su aportación para desentrañar las claves del funcionamiento de Enigma -la máquina con la que los nazis se enviaban mensajes cifrados-, Turing es considerado uno de los pioneros de la computación moderna. Jobs manifestó en más de una ocasión su admiración hacia este genio de las matemáticas cuya vida tuvo un final trágico. Su destino se torció en 1952, cuando fue detenido acusado de mantener relaciones homosexuales con un joven de 19 años. Previamente, Turing le había denunciado por robo, y en el transcurso de la investigación la policía descubrió la relación que mantenían ambos, tipificada como delito en la conservadora sociedad británica de la época.

Este hecho marcó un punto de inflexión en la vida del matemático, que tuvo que elegir entre ir a prisión o la castración química con estrógenos. Eligió esta segunda opción, pero el impacto emocional fue tal que terminó suicidándose. Quizá inspirado en el cuento de Blancanieves –esta es la hipótesis de David Leavitt, uno de sus biógrafos–, optó por morder una manzana rociada con cianuro para poner fin a su vida. Fue en 1954, cuando tenía 41 años.

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Máquina Enigma / Wikipedia

Más de medio siglo después, Reino Unido decidió rehabilitar su figura: primero el Gobierno pidió públicamente perdón por el trato dispensado al matemático; 2012 fue declarado el Año de Alan Turing y ya en 2013 la reina Isabel II exoneró al científico de todos los cargos en su contra.

Hoy existe un consenso a la hora de considerarle alguien clave en la historia de las matemáticas. De su trayectoria vital y también de sus aportaciones más significativas habla el libro Rompiendo códigos. Vida y legado de Turing (CSIC-Catarata), escrito por Manuel de León y Ágata Timón, del Instituto de Ciencias Matemáticas. A lo largo de sus páginas, los autores explican cómo el trabajo de Turing sentó las bases de la informática moderna y fue decisivo para que en la Segunda Guerra Mundial vencieran los aliados, ya que su investigación criptográfica aceleró el final del conflicto al vulnerar las comunicaciones alemanas a través de las máquinas Enigma.