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¿Se puede resolver el juego del ajedrez?

Por Razvan Iagar (CSIC)*

Cuando la gente me pregunta a qué me dedico, al responder que aparte de investigador en matemáticas soy un jugador activo de ajedrez en competiciones, me hacen preguntas como: “Pero, ¿no está el ajedrez ya resuelto?, ¿no hay ya máquinas que pueden dar la mejor jugada?”. Voy a dar respuesta a estas cuestiones, argumentando por qué el ajedrez no solo no está acabado, sino que goza de muy buena salud y tiene un gran futuro por delante.

Por “resolver el ajedrez” entendemos establecer una estrategia óptima para jugar la partida; es decir, encontrar el camino que contiene las mejores jugadas tanto para las blancas como para las negras, desde el principio, o desde cualquier posición dada, hasta el final. En un sentido más débil, también podemos entender por “resolver el juego” el hecho de predecir el resultado óptimo (con el mejor juego posible) de una partida. Es decir, a partir de la posición inicial, cuál de los tres resultados posibles -victoria de las blancas, victoria de las negras o el resultado de tablas- es el resultado del juego óptimo de un encuentro entre dos jugadores perfectos sin exponer necesariamente la estrategia óptima.

Tan solo a través de fuerza bruta de cálculo, ninguna máquina puede resolver en la actualidad el ajedrez

Se trata de un problema abierto que ha surgido a partir del desarrollo de los programas informáticos de ajedrez. Pero esta cuestión ya se ha intentado solucionar antes. Claude Shannon, ‘el padre de la teoría de la información’, explicó en un artículo en 1950 la tarea de una máquina para analizar todas las variantes posibles de jugadas y concluyó que “una máquina operando con una tasa de una variante por microsegundo necesitaría un tiempo de 1090 años para calcular todas las posibilidades desde la primera jugada”. Shannon argumenta así que, tan solo a través de fuerza bruta de cálculo, ninguna máquina razonable podrá completar esta tarea.

Más recientemente, en 2007, se ha podido resolver el juego de las damas, emparentado con el ajedrez, pero con una complejidad mucho menor, sobre todo porque aquí todas las piezas son idénticas -tienen el mismo valor-, mientras que en el ajedrez las piezas tienen valores y capacidades diferentes. El equipo investigador liderado por el canadiense Jonathan Schaeffer, experto en inteligencia artificial, pudo comprobar que en las damas siempre se acaba en tablas si no se comete ningún error por parte de ninguno de los dos jugadores. El esfuerzo computacional para analizar de forma exhaustiva todas las posiciones ha tomado 18 años, utilizando en algunos periodos incluso 200 ordenadores conectados trabajando en paralelo y sin pausa, para analizar un número de posiciones del orden de 1014. ¡Todo un esfuerzo!

En 2007 se resolvió el juego de las damas.

Sin embargo, se trata un esfuerzo no extrapolable al ajedrez, ni en el aspecto de la capacidad computacional necesaria, ni en cuanto a método de demostración. Si miramos la complejidad del ajedrez desde el punto de vista del número total de partidas posibles que se pueden jugar (lo que en términos de la teoría de juegos recibe el nombre de ‘complejidad del árbol del juego’, game-tree complexity) alcanzamos un número muy grande, del orden de 10123. Esta estimación se deduce usando un cálculo basado en dos aproximaciones: que el número medio de jugadas completas de una partida es de 40 y que, en cada paso, el número medio de jugadas legales disponibles es de 35. El mismo Jonathan Schaeffer opina que solo después del establecimiento de una nueva tecnología de cálculo —ordenadores cuánticos— tendría sentido intentar ponerse a la tarea de resolver este juego milenario.

Por otro lado, el método de demostración que ha funcionado en las damas falla completamente en nuestro caso debido a los valores y capacidades diferentes de las piezas, y también por la existencia de algunas piezas con características especiales como el rey, cuyo mate acaba la partida en cualquier momento, incluso con todas las demás piezas en el tablero; o el peón, cuya coronación hace que reaparezcan en el tablero piezas más fuertes que posiblemente habían desaparecido antes en el transcurso de una partida. Así pues, no se puede establecer una base de finales de partidas con, por ejemplo, un número máximo de 10 piezas, de tal manera que cualquier partida tenga que pasar por una de esas posiciones. En efecto, un jaque mate puede ocurrir mucho antes de haber llegado a una situación de menos de 10 piezas en el tablero. Este razonamiento sencillo demuestra que es necesario tener la capacidad de analizar todas las posiciones posibles, sin simplificaciones.

Por todas estas razones, aunque el reto de resolver -o no- el ajedrez queda abierto (no hay una demostración matemática o lógica formal de que este hecho sea imposible), la mayoría de los especialistas consideran que no hay nada que indique una posibilidad práctica de llegar a una solución. Ni siquiera en el sentido débil, es decir, predecir el resultado sin decir las jugadas, a corto o medio plazo. Así pues, los maestros y aficionados pueden estar tranquilos: ¡el juego tiene todavía mucho futuro!

*Razvan Iagar es investigador del CSIC en el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT) de Madrid y autor del libro Matemáticas y ajedrez, de la colección ¿Qué sabemos de?, disponible en la Editorial CSIC y Los Libros de la Catarata.

Los duelistas matemáticos: la pelea que resolvió las ecuaciones de tercer grado

agatamanuelPor Manuel de León y Ágata Timón (Instituto de Ciencias Matemáticas, CSIC)*

Traiciones, engaños, muertes y duelos intelectuales… La resolución de las ecuaciones de tercer grado –las que incluyen al menos una incógnita elevada al cubo, x3– enfrentó a algunos de los más célebres matemáticos italianos del Renacimiento.

Como ya hemos contado, en 1535 Niccolò Tartaglia parecía ser el mayor experto mundial en la materia. Su fama comenzó a propagarse tras demostrar, en un enfrentamiento público con Antonio Maria Fiore, que conocía el método para resolver varios tipos de ecuaciones de tercer grado. Sin embargo, todavía no se había encontrado una solución para la fórmula general: ax3 + bx2 + cx + d = 0.

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Niccolò Tartaglia.

Pobre, autodidacta y tartamudo, Tartaglia decidió guardar sus resultados como un tesoro y no hacerlos públicos… hasta que en su camino se cruzó el médico, matemático y filósofo Gerolamo Cardano.

Para situar al personaje, hay que decir que, antes de todas esas cosas, Cardano era jugador; durante los años de estudiante, el juego era su principal sustento. Usaba sus conocimientos de probabilidad y combinatoria para ganar a los dados, al ajedrez, a las cartas, etc. Tanto es así, que su libro El libro de los juegos del azar se considera la primera obra escrita de cálculo de probabilidades.

Cuando estaba finalizando su segundo libro, La práctica de la aritmética y la medición simple, se le antojó que un gran final para la obra sería incluir la fórmula de resolución de la ecuación de tercer grado. Intentó convencer a Tartaglia de que le revelase sus resultados mediante intermediarios, pero sin éxito. Cardano no claudicó e invitó a Tartaglia  a Milán para poder halagarle y, al parecer, prometerle que no revelaría su secreto a nadie.

Tartaglia, agasajado por la riqueza y el poder de Cardano, de los que él nunca dispuso, accedió, confiando en la promesa del médico y matemático. Sin embargo, Cardano tardó poco en difundir su resultado: lo publicó en su libro El gran arte o las reglas del álgebra (Ars Magna), considerado el texto precursor del álgebra moderna. Aunque en el libro Cardano reconocía la autoría de las ideas de Tartaglia, eso no aplacó la ira del matemático de Brescia. Le había robado sus ideas y su reconocimiento público y le había engañado.

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Gerolamo Cardano.

¿Realmente fue eso lo que sucedió? Según puede leerse en el escrito de Cardano, partiendo de las técnicas de Tartaglia, había encontrado una fórmula general de la ecuación de tercer grado. Simultáneamente, su estudiante, Ludovico Ferrari, había conseguido resolver uno de los tipos de la ecuación de cuarto grado. Además, Cardano demostraba por primera vez que las soluciones de la ecuación pueden ser negativas, irracionales e incluso pueden implicar raíces cuadradas de números negativos. El trabajo de Cardano tenía, por tanto, numerosas ideas originales.

La obra contó con un gran reconocimiento que no hizo más que amargar aún más a Tartaglia. El matemático emprendió una violenta campaña contra Cardano, a través de cartellos (cartas de desafío), que desencadenó una larga pelea pública. Sin embargo, no fue Cardano el que respondió a las ofensas, pese a los muchos intentos de Tartaglia de retarle públicamente, sino Ferrari. Pese a que Tartaglia no quería pelear públicamente con el estudiante, al final lo acabó haciendo, posiblemente por la presión de una posible plaza de profesor de geometría en su ciudad natal, Brescia.

El enfrentamiento tuvo lugar el 10 de agosto de 1548 y, pese a que no hay documentación clara de lo que aconteció, no hay duda de que el vencedor fue Ferrari: negaron el sueldo  a Tartaglia en Brescia, después de trabajar un año como profesor, mientras que la carrera de Ferrari se catapultó. La gloria en la resolución de la ecuación de tercer y cuarto grado fue para Cardano y su estudiante.

Tartaglia moriría en 1557, en Venecia, sumido en la misma pobreza que le acompañó durante toda su vida. Pero también a Ferrari le esperaba un desenlace trágico: pocos años después del duelo murió, al parecer envenenado por su hermana.

Por suerte, Ferrari no había guardado, como muchos de sus predecesores, ningún resultado oculto. De esta trágica manera quedaron resueltas las ecuaciones de tercer y cuarto grado.

 

* Manuel de León es investigador del CSIC en el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT) y autor, junto con Ágata Timón, coordinadora de comunicación y divulgación del ICMAT, del libro Las matemáticas de los cristales (CSIC-Catarata).

Los duelistas matemáticos: el enfrentamiento entre Fiore y Tartaglia

agatamanuelPor Manuel de León y Ágata Timón (Instituto de Ciencias Matemáticas, CSIC)*

La resolución  de las ecuaciones de tercer grado a principios del siglo XVI es digna de novela: traiciones, engaños, muertes y duelos intelectuales. Sus protagonistas –algunos de los grandes matemáticos italianos del Renacimiento– llevaron a cabo de esta manera una de las grandes hazañas matemáticas de la historia.

Las ecuaciones de tercer grado –las que incluyen al menos una incógnita elevada al cubo– aparecen con el cálculo de volúmenes sólidos; con preguntas del tipo: dado un cubo cuyo volumen es de 8 cm3, ¿cuánto mide su arista? Esto se traduce con la ecuación cúbica x3 = 8, cuya solución es fácil de calcular, x=2. Pero ese es el caso más sencillo; la forma general de la ecuación de tercer grado es ax3 + bx2 + cx + d = 0.

Los matemáticos que trabajaron en la resolución de la ecuación, y que finalmente lo consiguieron, no planteaban problemas ni respuestas generales. Su objetivo era encontrar una fórmula, similar a la que aprendemos en el colegio para resolver ecuaciones de segundo grado, que se aplicara como una receta. Pero no era tan fácil.

Hubo muchos que lo intentaron y arrojaron la toalla. Otros, sin embargo, perseveraron. Sciopine dal Ferro obtuvo los primeros resultados alrededor de 1515: resolvió la ecuación ax3 + bx + c = 0.  Todavía no era la forma general, pero se acercaba bastante.

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Tartaglia (‘tartamudo’ en italiano) era en realidad el apodo del matemático de Brescia. Su verdadero apellido era Fontana.

Dal Ferro quiso conservar su hallazgo como un tesoro y decidió no divulgarlo. Compartió su resultado con su yerno, Annibale della Navia, y al menos con otro estudiante, Antonio Maria Fiore. Fiore fue un matemático mediocre que, a falta de méritos propios, intentó usar a su favor el secreto de su maestro. Una vez muerto Dal Ferro, en 1525, no publicó el resultado, sino que guardó el ‘arma’ para usarla en el momento conveniente. Y esa oportunidad no tardó en llegar. En 1535 Fiore escuchó que otro matemático, Niccolò Tartaglia, estaba trabajando con cierto éxito en la resolución de la ecuación de tercer grado. Por fin podría demostrar su superioridad en ese campo, así que le desafío a una competición pública para resolver problemas.

En la Bolognia del siglo XVI eran habituales los debates públicos  entre matemáticos, unas disputas que atraían a grandes multitudes. Estas peleas callejeras tenían un profundo impacto en la sociedad científica: los ganadores eran mejor considerados para plazas universitarias y los perdedores podían perder su puesto o los favores de la nobleza. Más allá de esto, los ciudadanos mostraban un gran interés por esos acontecimientos, en torno a los cuales se organizaban apuestas, por lo que pueden ser considerados como eventos de divulgación científica de lo más exitosos.

El reto entre Fiore y Tartaglia se concretó de la siguiente manera: cada uno de ellos escribiría una lista de 30 problemas que tendría que resolver su oponente, y la lista quedaría sellada y depositada ante notario. Después de esto, cada uno dispondría de 50 días para buscar la solución.

Todos los problemas planteados por Fiore eran de la misma forma ax3 + bx + c = 0, es decir, los que él sabía resolver con la fórmula secreta de Dal Ferro. Sin embargo, Tartaglia propuso cuestiones de diferente tipo. El 12 de febrero de 1535 fue la fecha escogida para entregar los ejercicios frente a un nutrido público formado por universitarios y miembros de la alta sociedad intelectual veneciana. Tartaglia logró resolver todos los problemas; Fiore no pudo dar respuesta a ninguno.

Tartaglia solo tuvo que aplicar reiteradamente el método para resolver las ecuaciones del tipo ax3 + bx = c que, según cuenta en su biografía, había descubierto tan solo ocho días antes del reto. Pocos días después encontró la solución de ax + b = x3. Y, como ya conocía la de x3 + ax2 = b, de la noche a la mañana se convirtió en el experto mundial de la resolución de ecuaciones de tercer grado.

Sin embargo, el éxito no le duró mucho. Tras embarcarse en una larga polémica sobre la autoría y el alcance de sus ideas con Gerolamo Cardano, en 1548 se vio abocado a batirse en un nuevo duelo matemático con uno de los discípulos de este, Ludovico Ferrari. Tartaglia salió derrotado de la pelea y ello tuvo dramáticas consecuencias para su carrera… Pero esta es una historia de la que hablaremos en nuestro próximo post.

 

* Manuel de León es investigador del CSIC en el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT) y autor, junto con Ágata Timón, coordinadora de comunicación y divulgación del ICMAT, del libro Las matemáticas de los cristales (CSIC-Catarata).

La matemática de los penaltis

GASPor Gustavo Ariel Schwartz (CSIC)*

Tras angustiosos e interminables 120 minutos, el resultado del partido sentencia un empate y llega el momento que nadie deseaba: la definición por penaltis. “Los penaltis son una lotería” suele ser la frase más escuchada en bares, reuniones de amigos o en nuestro propio inconsciente. Sin embargo, un estudio detallado de los partidos de fútbol que concluyen en tandas de penaltis muestra que no es sólo el azar lo que define el resultado. De hecho, no son pocos los investigadores (matemáticos, físicos, economistas) que se han dedicado a estudiar el asunto desde un punto de vista más sistemático.

Disparo a puertaUn estudio realizado por investigadores de la Universidad Pompeu Fabra ha analizado 2.820 penaltis tirados entre los años 1970 y 2008 y ha determinado que el equipo que ejecuta el primer disparo tiene un 60% de probabilidades de ganar la tanda de penaltis, frente al 40% del otro equipo. Además, otro trabajo llevado a cabo por científicos de la Universidad de Ámsterdam muestra que los porteros se arrojan con más frecuencia hacia su derecha cuando su equipo va en desventaja en el marcador.

¿Y qué pasa con los que tiran el penalti? Según un artículo publicado en el International Journal of Performance Analysis in Sport, los jugadores diestros suelen tener una cierta tendencia a chutar al lado derecho del portero, mientras que en el caso de los jugadores zurdos sucede exactamente lo contrario.

De más está decir que los entrenadores (los buenos entrenadores) están al tanto de estos trabajos y pueden por lo tanto elaborar estrategias que permitan compensar estos sesgos de lateralidad. Surge entonces la pregunta inevitable: si todos conocen estas tendencias, ¿se convertirán efectivamente los penaltis en una lotería?

 

* Gustavo Ariel Schwartz es científico del CSIC en el Centro de Física de Materiales, dirige el Programa Mestizajes y mantiene un blog sobre Arte, Literatura y Ciencia.

Tú también practicas aritmética modular varias veces al día

Por Mar Gulis

Que las matemáticas forman parte de la vida cotidiana es la típica frase que nos cuentan desde que empezamos la escuela y no siempre la entendemos (o se nos explica) de un modo tan claro como lo que es. Vamos a intentar explicar de un modo sencillo en este post un caso de cálculo que todo el mundo, con o sin estudios, con amor, odio o indiferencia hacia las matemáticas, con desdén o con ahínco, realizamos a cada momento, aunque en general de manera prácticamente inconsciente: la medición del tiempo. Sí, queridos y queridas lectoras, practicamos la aritmética modular más a menudo de lo que nos lavamos los dientes.

Si alguien nos preguntase la hora, seguramente le sorprenderíamos si nuestra respuesta fuese algo así como 17.607.600 horas y 30 minutos desde la fundación de Roma, o un número afín mayor si tomásemos como origen de los tiempos el momento del Big Bang. Lo normal es esperar como respuesta un número entero comprendido entre 0 y 23, a veces seguido por los minutos que correspondan, incluso los segundos si deseamos dar una información más precisa. También, con frecuencia, el intervalo de veinticuatro horas es dividido en dos de doce, añadiéndose aquello de mañana o tarde, a.m. (ante meridiam) o p.m. (post meridiam), según la terminología latina. Y es que nos movemos con comodidad en nuestro código convenido para medir el tiempo; en definitiva, la división por horas responde a una aritmética modular respecto al número 24. Aunque la medición de los años sí se suele hacer de modo lineal, la medición de los meses, semanas, horas o minutos se hace de un modo ‘circular’.

La aritmética modular se conoce en ocasiones como aritmética del reloj. /  Juanedc. Flickr

La aritmética modular se conoce en ocasiones como aritmética del reloj. / Juanedc. Flickr

Fue el matemático Carl Friedrich Gauss quien introdujo en su libro Disquisitiones Arithmeticae en 1801 este sistema aritmético, que se basa en ciclos repetitivos de números y residuos (lo que también se conoce como el ‘resto’). Es decir, se construye mediante ciertas relaciones de equivalencia y congruencia (compatibles con las operaciones de suma, resta y multiplicación) entre números enteros. Así, en la aritmética modular encontramos los siguientes elementos: dividendo (a), divisor (b), cociente (q) y residuo (r).

Volvamos al caso del reloj, que es el ejemplo por excelencia de esta aritmética en bucle o circular. No es casual que la aritmética modular se denomine a veces aritmética del reloj, ya que los números ‘dan la vuelta’ tras alcanzar cierto valor llamado módulo. El día lo concebimos estructurado en un ciclo de 24 o, más comúnmente, en dos ciclos de 12. Eso significa que, por ejemplo, si ahora son las 13 horas, dentro de 20 horas no serán las 33 horas, sino las 9 horas, que sería el residuo (o dicho de otro modo, el ‘resto’). En términos matemáticos diríamos que 33 módulo 24 = 9 (33 sería el dividendo, 24 el divisor, 1 el cociente, y 9 el residuo).

Y así vamos encontrando congruencias en todas las medidas del tiempo. Por ejemplo, como hemos visto, los relojes trabajan con módulos 12 o 24 para las horas, y módulo 60 para los minutos y los segundos.

Volviendo la vista a la semana, la pregunta acerca del día en que estamos admite solo una de estas respuestas: lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado o domingo. Nunca decimos, por ejemplo, que se trate del día noningentésimo nonagésimo nono de la era cristiana. De este modo, como probablemente ya habréis imaginado, el módulo aritmético usado en el caso de los días es el 7. Por ejemplo, si hoy es viernes 7 de noviembre y alguien nos cita para el próximo viernes 22 de noviembre, sabemos que ha cometido un error, por cuanto la diferencia (22-7=15) no es un múltiplo de 7. Entre dos viernes ha de transcurrir, necesariamente, un número exacto de semanas. En el calendario, aparte del módulo 7 para los días de la semana, se utiliza el módulo 12 para los meses.

En el libro Los números (CSIC-Catarata), de Javier Cilleruelo y Antonio Córdoba, se pueden encontrar estas y otras curiosidades matemáticas. Lo más sugerente de casos como los expuestos más arriba, a la vez que paradójico, es que hay aspectos muy cotidianos que a pesar de tenerlos sumamente aprendidos e interiorizados, cuesta verlos y conceptualizarlos…

Matemáticas para escribir un poema

Por Mar Gulis

Ciencia y literatura se han entremezclado en numerosas ocasiones. Uno de estos encuentros fue el taller de los oulipos. En los años 60 del siglo XX, un grupo de escritores y matemáticos franceses, encabezados por el escritor Raymond Queneau y el matemático François Le Lionnais, plantearon una vía de creación literaria que combinase las ‘restricciones’ racionales de las matemáticas y de la palabra. Nacía así el taller de literatura potencial (en francés Oulipo, de Ouvroir de littérature potentielle).

Imagen del grupo de los oulipos en 1975

Encuentro de los oulipos en casa de Le Lionnais, en 1975.

La propuesta surgió en contraposición a las corrientes dominantes de la época: el dadaísmo y el surrealismo, que proponían la búsqueda de nuevas estructuras literarias a través de lo irracional y el inconsciente. Por el contrario, los oulipos, como se conoce a los seguidores del taller, aplicaron reglas matemáticas a las obras literarias. Entre los integrantes de este grupo, formado originalmente por 37 escritores y matemáticos, se encuentran nombres tan conocidos como Georges Perec, Marcel Duchamp e Italo Calvino.

¿Y qué tipo de relaciones creaban entre literatura y matemáticas? El escritor francés Jean Lescure creó, por ejemplo, el método ‘S+7’, en el que aplicaba el concepto matemático de la permutación. Como explica Ágata Timón, del Instituto de Ciencias Matemáticas, una permutación es una reordenación de un conjunto. “Por ejemplo, partiendo del conjunto {1, 2, 3}, una permutación sería {2, 3, 1}. Se cambia el 1 por el 2, el 2 por el 3, y el 3 por el 1”. Aplicado a la literatura, el conjunto sería un verso, poema u oración, con un subconjunto de palabras, que se reordenan con una regla prefijada. La técnica “S+7” utiliza un texto base, que debe ser elegido previamente, en el que se sustituye cada sustantivo por el séptimo sustantivo que le siga en un diccionario. “De esta manera, el verso de Pablo Neruda El viento de la noche gira en el cielo y canta, del poema Puedo escribir los versos más tristes esta noche, se transformaría, utilizando el diccionario online wordreference, en: La vigía del noctámbulo gira en el cieno y canta”, ejemplifica Timón.

Banda de Möbius

Banda de Möbius / Christophe Dang Ngoc Chan. Wikipedia.

A partir de formas geométricas se crearon los poemas ‘bola de nieve’, cuyo primer verso está formado por una palabra de una única letra, el segundo de dos letras, el tercero de tres, el cuarto de cuatro… y así sucesivamente sin un fin determinado (es decir, con una longitud n). También puede hacerse a la inversa (‘bola de nieve derritiéndose’) o en forma de rombo, empezando por una letra e ir en aumento para luego volver a bajar a una única letra por verso, hasta dibujar un rombo.

Otra figura que sirvió de referencia fue la banda o cinta de Möbius, una superficie con una sola cara y un solo borde. Tiene la propiedad matemática de ser un objeto no orientable. Fue co-descubierta de forma independiente por los matemáticos alemanes August Ferdinand Möbius y Johann Benedict Listing en 1858. Basándose en ella, los oulipos proponían un ejercicio literario que consiste en tomar un papel rectangular (10 veces más largo que ancho): primero se escribe la mitad del poema por el lado más ancho. Después se gira y por el lado más largo se escribe la segunda mitad del poema. Al pegar la tira como una banda de Möbius  surge un nuevo poema.

Imagen del libro Cien millones de poemas

Imagen del libro Cien mil millones de poemas, de Queneau / Enrique Ferrando.

Basándose en las combinaciones matemáticas, Queneau creó sus famosos Cien mil millones de poemas, publicados en 1961. Las combinaciones son un conjunto de elementos donde el orden no importa. Cuando el orden importa, se trata de permutaciones, que veíamos antes con la técnica ‘S+7’. Queneau tomó como punto de partida un soneto, sobre el que fue combinando versos que mantenían las mismas características métricas. La obra está compuesta por diez hojas, cada una separada en catorce bandas horizontales; en cada una de ellas está escrito un verso. Las diez versiones de cada verso tienen la misma longitud y rima. La lectura se puede hacer por hojas o combinando las bandas laterales, creando así diferentes sonetos. Tal y como decía Queneau: “Hay entonces 1014 que equivalen a 100.000.000.000.000 poemas potenciales”. Y añade: “Contando 45 segundos para leer un soneto y 15 para cambiar las hojas, a 8 horas por día, 200 días por año, tenemos para más de un millón de siglos de lectura”. Para tener en cuenta si se lo lleva una de viaje. Eso sí, en este caso mejor en papel que en libro electrónico.

 

La manzana de Apple, ¿un homenaje de Steve Jobs a Turing?

Por Mar Gulis

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El matemático Alan Turing / Wikipedia

Leyenda o realidad, lo que vamos a contar hoy es una curiosa historia. ¿Cuál es el origen de la manzana de Apple, uno de los logos más conocidos del planeta? ¿En qué se inspiró Steve Jobs, el fundador de la compañía, cuando eligió la famosa manzana mordida como seña de identidad de su empresa? En torno a esta cuestión ha habido diferentes teorías, sin que la respuesta haya llegado nunca a estar clara, en parte por las ambigüedades de Jobs al contestar.

Una de las interpretaciones más extendidas es que la manzana Apple sería una especie de homenaje al gran matemático británico Alan Turing (1912-1954). Conocido por su aportación para desentrañar las claves del funcionamiento de Enigma -la máquina con la que los nazis se enviaban mensajes cifrados-, Turing es considerado uno de los pioneros de la computación moderna. Jobs manifestó en más de una ocasión su admiración hacia este genio de las matemáticas cuya vida tuvo un final trágico. Su destino se torció en 1952, cuando fue detenido acusado de mantener relaciones homosexuales con un joven de 19 años. Previamente, Turing le había denunciado por robo, y en el transcurso de la investigación la policía descubrió la relación que mantenían ambos, tipificada como delito en la conservadora sociedad británica de la época.

Este hecho marcó un punto de inflexión en la vida del matemático, que tuvo que elegir entre ir a prisión o la castración química con estrógenos. Eligió esta segunda opción, pero el impacto emocional fue tal que terminó suicidándose. Quizá inspirado en el cuento de Blancanieves –esta es la hipótesis de David Leavitt, uno de sus biógrafos–, optó por morder una manzana rociada con cianuro para poner fin a su vida. Fue en 1954, cuando tenía 41 años.

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Máquina Enigma / Wikipedia

Más de medio siglo después, Reino Unido decidió rehabilitar su figura: primero el Gobierno pidió públicamente perdón por el trato dispensado al matemático; 2012 fue declarado el Año de Alan Turing y ya en 2013 la reina Isabel II exoneró al científico de todos los cargos en su contra.

Hoy existe un consenso a la hora de considerarle alguien clave en la historia de las matemáticas. De su trayectoria vital y también de sus aportaciones más significativas habla el libro Rompiendo códigos. Vida y legado de Turing (CSIC-Catarata), escrito por Manuel de León y Ágata Timón, del Instituto de Ciencias Matemáticas. A lo largo de sus páginas, los autores explican cómo el trabajo de Turing sentó las bases de la informática moderna y fue decisivo para que en la Segunda Guerra Mundial vencieran los aliados, ya que su investigación criptográfica aceleró el final del conflicto al vulnerar las comunicaciones alemanas a través de las máquinas Enigma.

 

Números primos: los guardianes de Internet

agatamanuelPor Manuel de León y Ágata Timón*

¿Qué tienen que ver los números primos con los millones de mails que surcan la red cada día? Mucho. Estos peculiares dígitos son esenciales para que cualquier información que enviemos llegue al destinatario correcto y no se ‘pierda’ por el camino o sea usurpada por malintencionados. Veamos por qué.

Los números primos son aquellos que solo se pueden dividir por sí mismos y por la unidad: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17… Los matemáticos los consideran los ladrillos con los que se construyen todos los números, ya que cualquier número entero puede descomponerse de manera única como el producto de primos. En otras palabras, estos números serían los átomos de las matemáticas, permitiendo a los demás construirse a partir de ellos en forma de productos.

Los números primos son, además, infinitos. Sin embargo, a medida que se avanza en la lista de estos números, vemos que cada vez aparecen con menos frecuencia. La manera en la que se distribuyen los números primos dentro de los naturales es de tremenda importancia, no solo para los matemáticos, sino para todo el mundo, o al menos para cualquier persona que utilice Internet.

El algoritmo...

El algoritmo criptográfico RSA se utiliza para intercambiar información de forma segura en Internet / Wikipedia

Prueba de ello es el algoritmo criptográfico RSA, que se utiliza para garantizar la seguridad del intercambio de información en la web. Fue desarrollado en 1977 por Rivest, Shamir y Adleman, del Instituto Tecnológico de Massachusetts (MIT), y está basado precisamente en la factorización de números enteros en números primos. Como en todo sistema criptográfico de clave pública, cada usuario posee dos claves de cifrado: una pública y otra privada. Cuando se quiere enviar un mensaje, el emisor usa la clave pública del receptor para cifrar su mensaje, y el receptor, cuando lo recibe, se ocupa de descifrarlo usando su clave privada. En el sistema RSA los mensajes enviados se representan mediante números, y el funcionamiento se basa en el producto, conocido, de dos números primos grandes elegidos al azar y mantenidos en secreto.

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El matemático Bernhard Riemann / Wikipedia

A priori, parecería sencillo romper el código, pues bastaría con descomponer un número en sus factores primos; pero, cuando se trabaja con primos de 100 dígitos, al multiplicarlos se obtendrá un número de tal magnitud que descomponerlo ‘a lo bruto’ supondría una tarea titánica. Por eso las transacciones comerciales por Internet dependen de los números primos, lo que los hace muy importantes para los negocios, las comunicaciones, los registros… Conocer cómo se distribuyen, y poder así conseguir primos cada vez más grandes que sirvan de clave criptográfica, es un gran reto para las tecnologías y para las propias matemáticas.

Y ese es el desafío que plantea la famosa hipótesis de Riemann, que hasta ahora nadie ha sido capaz de resolver, pese al esfuerzo de los mejores matemáticos del mundo durante más de 145 años. Formulada por Bernhard Reinmann en 1859, trata de explicar cómo podrían estar distribuidos los números primos, pero su autor no pudo llegar a demostrarla. Si alguien lograra hacerlo, podría transformarse la forma de hacer negocios y afectar a la mecánica cuántica, la teoría del caos y al futuro de la computación.

Por eso el Instituto Matemático Clay de la Universidad de Cambridge (Massachussets) anunció en 2000 que premiaría con un millón de dólares a quien lograra despejar la famosa conjetura.

 

* Manuel de León es director del Instituto de Ciencias Matemáticas y autor del libro Vida y legado de Turing (CSIC-Catarata), que ha coescrito junto a Ágata Timón.

Guerra fría y matemáticas: así llegó el GPS a nuestro coche

Por Mar Gulis

El 1 de septiembre de 1983 dos cazas soviéticos derribaron un Boeing 747-200 de la aerolínea de Corea del Sur, Korean Airlines. Debido a un error de posicionamiento, la aeronave invadió el espacio aéreo ruso y la inteligencia de la URSS pensó que se trataba de un avión espía de EEUU (al menos esa fue la versión oficial). 269 pasajeros, entre ellos el congresista estadounidense Larry McDonald, iban a bordo.

El ex presidente de EEUU Ronald Reagan. Wikipedia

El ex presidente de EEUU Ronald Reagan. / Wikipedia

En plena guerra fría, este incidente aumentó la tensión entre Washington y Moscú y marcó un punto de inflexión en la estrategia de EEUU respecto a su Global Positioning System (GPS  o sistema de posicionamiento global), puesto en marcha en los años 60. Tras el suceso, Ronald Reagan anunció que una vez que finalizase su desarrollo en la esfera militar, el GPS estaría disponible para actividades civiles con el fin de impedir nuevas catástrofes por fallos de geolocalización.

Y así fue. EEUU liberó su sistema de navegación al resto del mundo y el GPS empezó a utilizarse a lo largo y ancho del planeta. Pero a día de hoy el monopolio de este sistema sigue en manos estadounidenses. Si este país decidiese cortar la señal o sus satélites fallasen, los sistemas de defensa y las economías de otros países se verían seriamente comprometidos.

Cuestiones geopolíticas al margen, ¿cómo funciona el GPS? Esta tecnología permite determinar la posición de objetos, personas o vehículos con una precisión hasta de centímetros en cualquier parte del mundo. El GPS consta de una red de 24 satélites en órbita a 20.000 km con trayectorias sincronizadas y que cubren toda la superficie terrestre. Esos satélites que flotan en el espacio son utilizados como puntos de referencia para ubicaciones aquí en la Tierra.

Supongamos que queremos saber nuestra posición exacta. Para calcularla tendremos que conocer a qué distancia estamos respecto a tres (o más) de esos satélites para así ‘triangular’ nuestra posición en cualquier lugar de la Tierra. A su vez la distancia a cada satélite se determinará midiendo el tiempo que tarda una señal de radio, emitida por él mismo, en alcanzar nuestro receptor de GPS.

Las matemáticas son una vez más la clave de un avance tecnológico que ha transformado nuestra forma de viajar y movernos. La cara menos amable de este invento  tiene que ver, como ya adelantábamos, con la geopolítica. Para neutralizar el control de EEUU sobre esta tecnología, otros Estados han empezado a desarrollar sus propios GPS. Ahí se encuadra el Glonass lanzado por Rusia, el BeiDou que está diseñando China o el programa Galileo de la Unión Europea, que debería empezar a funcionar a finales de este año o ya en 2015.

El nombre elegido por la UE no parece casual. Fue Galileo quien dijo que sin las matemáticas “navegaríamos por un oscuro laberinto”.

 

Así funciona el GPS

Imaginemos que medimos nuestra distancia a un primer satélite y resulta ser de 20.000 km. Esto indica que no podemos estar en cualquier punto del universo, sino que nuestra posición queda limitada a la superficie de una esfera que tiene como centro dicho satélite y cuyo radio es de 20.000 km.

A continuación calcularemos nuestra distancia a un segundo satélite. Pongamos que nos hallamos a 19.000 km del mismo y por lo tanto sobre otra esfera con un radio de esa longitud. Ahora ya estamos en algún lugar de la circunferencia que resulta de la intersección de las dos esferas.

El GPS se basa en el principio matemático de la triangulación.

El GPS se basa en el principio matemático de la triangulación. / e-monsite

Si medimos nuestra distancia a un tercer satélite y descubrimos que estamos a 15.000 km del mismo, nuestra posición se restringirá aún más, concretamente a los dos puntos en los cuales esta nueva esfera corta la circunferencia que resulta de la intersección de las dos primeras esferas.

Así que al medir nuestra distancia a tres satélites, limitamos nuestro posicionamiento a solo dos puntos posibles. Para saber cuál de ellos indica nuestra posición verdadera, podríamos hacer una nueva medición a un cuarto satélite. Sin embargo, esto no siempre es necesario porque a menudo uno de los dos puntos obtenidos es descartado fácilmente por tener una ubicación demasiado lejana de la superficie terrestre.

 

Si quieres más ciencia para llevar sobre las matemáticas y su papel en el conocimiento del cosmos, consulta La geometría del universo (CSIC-Catarata), un libro del matemático Manuel de León.