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Descubre las revoluciones matemáticas que cambiaron el mundo

Por Mar Gulis (CSIC)

Los ordenadores, la energía, la teoría del caos, el número pi… las matemáticas están por todas partes, y esto se debe a las contribuciones de grandes matemáticos y matemáticas que cambiaron el mundo. ¿Te gustaría conocer a algunas de estas figuras? Puedes hacerlo desde tu casa con la serie de animación ‘Revoluciones Matemáticas’, que en su segunda temporada presenta a cuatro personajes clave de esta disciplina: Emmy Noether, creadora del álgebra moderna; Leonhard Euler, precursor de la topología; Ada Lovelace, pionera de la programación; y Henri Poncairé, que sentó las bases de la teoría del caos.

Cada vídeo, de dos a tres minutos de duración, está acompañado por un taller de matemáticas recreativas en el que se abordan con mayor profundidad los conceptos presentados. Con ellos podrás entender las bases de la teoría del caos, fabricar una máquina para sumar o jugar con grafos de gominolas. Todos los materiales han sido elaborados por el Instituto de Ciencias Matemáticas, adscrito al CSIC y varias universidades madrileñas, y Divermates en el marco del proyecto Ciudad Ciencia. Aquí te contamos algunos de sus contenidos.

La “genio” alabada por Einstein

Comencemos por el álgebra moderna y por su creadora, Emmy Noether (1822-1935). Nadie esperaba a principios del siglo XX que esta matemática alemana fuera a convertirse en la artífice de la teoría que permitiría entender la conservación de la energía. Sin embargo, al morir, el mismísimo Albert Einsten llegó a definirla como “la genio creativa de las matemáticas más significativa que ha existido desde que comenzó la educación superior para las mujeres”.

Muchos sostienen que las matemáticas no volvieron a ser lo mismo después de Emmy Noether. Además de realizar grandes aportaciones al álgebra o la física, Noether fue la primera mujer en participar como ponente en un Congreso Internacional de Matemáticas. Lo hizo en 1932, mientras que la segunda, Karen K. Uhlenbeck, no lo haría hasta 1990. Durante el nazismo, Noether tuvo que trabajar en casa con sus estudiantes y finalmente abandonar Alemania para continuar su labor docente. Se refugió en Estados Unidos hasta su temprana muerte.

El ‘cíclope’ de los poliedros

¿Qué sabemos de cubos, prismas u octaedros? El matemático Leonhard Euler (1707-1783) con su fórmula para poliedros introdujo ideas precursoras de la topología. Entre otras cosas, logró establecer un patrón común para los poliedros convexos con independencia del número de caras, vértices o aristas.

A Euler le gustaron las matemáticas desde pequeño y realizó aportaciones fundamentales a la geometría analítica moderna, la trigonometría y la teoría de los números. Desarrolló el concepto de función matemática y, para ello, definió el número e (o número de Euler), la base de la función exponencial. Además, hablando de números, fue quien popularizó el número π (‘pi’ o 3,141592…). Se le conocía como el ‘cíclope matemático’ ya que perdió la visión de un ojo a los 31 años. 17 años antes de morir se quedó totalmente ciego, pero esto tampoco frenó su carrera ni sus innumerables aportaciones en diferentes campos, que llegaron a publicarse hasta cincuenta años después de su muerte.

La primera programadora

El desarrollo de nuestros ordenadores modernos tiene su origen en Ada Lovelace (1815-1852), pionera de la programación y autora del primer programa de ordenador de la historia. Apasionada de las matemáticas desde pequeña, Ada Byron se codeaba con intelectuales y celebridades como Dickens, Faraday o Darwin. En una de esas reuniones conoció a Charle Babbage, inventor de la máquina diferencial (nuestra calculadora), y con quien trabajó en la máquina analítica. En sus notas a los trabajos de Babbage, Lovelace incluyó una serie de instrucciones, consideradas el germen de la programación y los algoritmos. Para ella, “las maquinas podían ir más allá de los simples cálculos numéricos”, cosa que demostró.

A pesar de su muerte prematura a los 36 años y de que se ha tardado más de cien años en reconocer su relevancia, hoy en día es todo un referente femenino en el campo de la tecnología. Incluso cuenta actualmente con un día propio: el segundo martes de octubre se celebra el ‘Ada Lovelace Day’ para impulsar la participación de las mujeres en la ciencia.

El ‘abuelo’ de la teoría del caos

Y, para terminar, volvemos a la topología moderna de la mano de su fundador, Henri Poincaré (1854-1912), precursor de la teoría del caos. En el instituto, el francés destacó en todas las asignaturas, pero especialmente en matemáticas, como también lo hizo a lo largo de su vida. Fue nombrado miembro de la Academia de Ciencias de Francia y llegó a ser presidente de la institución en 1906.

Poincaré basaba sus resultados en principios básicos y supo de buena tinta que de los errores se aprende. Aunque llegó a publicar alrededor de 500 artículos, tuvo que destruir uno cuando ya estaba en imprenta: el artículo contenía una resolución errónea del famoso problema de los tres cuerpos (trayectoria de tres objetos atraídos por la fuerza de la gravedad). Aunque no pudo solucionar el problema, sus observaciones fueron los primeros pasos de la teoría del caos, capaz de dar respuesta a problemas antes intratables en ámbitos como la economía, la biología o la meteorología.

 

Matemáticas para hacer más seguro el coche autónomo

Por Mar Gulis y Ágata Timón (CSIC)*

El coche autónomo ya es una realidad. Las principales compañías de automóviles tienen previsto lanzar comercialmente sus prototipos entre 2020 y 2021, pero ¿está la sociedad preparada para este salto cualitativo? Entre los retos científicos y tecnológicos que supone la conducción automática en un entorno complejo e imprevisible, la comunidad investigadora se tiene que enfrentar a cuestiones como analizar los riesgos de este nuevo tipo de conducción, diseñar la comunicación entre la máquina y el humano, o estudiar el impacto que tendrá en la economía y en ciertos sectores industriales. De todo esto se ocupa el proyecto Trustonomy. Building Acceptance and Trust in Autonomous Mobility, financiado por la Unión Europea. Su objetivo principal es crear aceptación y confianza en la movilidad autónoma.

El proyecto, en el que participa el investigador del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT) del CSIC David Ríos, propondrá mejoras en los algoritmos que dirigen la conducción autónoma. Estos identifican la posición y el estado del coche y de todos los agentes que están a su alrededor, predicen su evolución en el tiempo y toman decisiones, minimizando los riesgos. “El coche ejecuta elecciones sencillas: frenar, acelerar o cambiar su dirección, pero tiene que evaluar las consecuencias de esas decisiones”, explica Ríos. Su misión es producir modelos de análisis de riesgos que permitan predecir y responder ante los peligros específicos vinculados a esta forma de movilidad emergente.

¿Cómo nos relacionamos con un vehículo autónomo?

También es indispensable prestar atención a la interacción entre el conductor y el vehículo. Siguiendo la clasificación más común, los coches autónomos se diferencian en seis categorías, del 0 al 5: los vehículos del nivel 0 dependen totalmente del conductor, y en el nivel 5 supone la conducción plenamente autónoma sin intervención humana. Hasta el momento los coches más avanzados han conseguido alcanzar el nivel 4, en el que solo se requiere la conducción humana en casos de falta de visibilidad o fallo del sistema, por lo que el papel humano seguirá siendo determinante en el transporte.

“Las últimas muertes provocadas por coches autónomos han sido causadas porque los humanos que los supervisaban no estaban prestando atención”, afirma Ríos. Para evitar estas situaciones, el coche debe ser capaz de comunicarse de forma efectiva con el conductor, saber cuál es su grado de atención (mediante cámaras y sensores) y lanzar advertencias cuando se requiera. Además, durante un tiempo coexistirán en la carretera los vehículos totalmente autónomos, los semiautónomos y los no autónomos. Esto presentará nuevos riesgos en la conducción, que también deberán ser analizados.

Otro problema importante es el de la ciberseguridad. “Un coche autónomo funciona a través de un sistema informático, y puede ser atacado, por ejemplo, por medio del reconocimiento de imágenes. Modificando unos pocos píxeles de una imagen, se puede identificar un obstáculo de manera errónea y, como consecuencia, frenar o acelerar cuando no corresponde. Es un riesgo grave”, explica el investigador.

Para analizar todos estos riesgos se desarrollarán modelos de aprendizaje automático, basados principalmente en estadística bayesiana y teoría de juegos. El catálogo resultante será útil para rediseñar las pólizas de seguro y revisar las regulaciones de seguridad vial, pero también servirá para estudiar los procesos éticos de toma de decisiones y los métodos de verificación en caso de accidentes o ambigüedad.

El proyecto, que cuenta con 3,9 millones de euros del programa H2020 de la Unión Europea, se desarrollará hasta el 30 de abril de 2022. En él participan, además del ICMAT, otras 15 organizaciones de diferentes países europeos.

 

*Ágata Timón trabaja en el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), centro de investigación mixto del CSIC y tres universidades madrileñas: la Universidad Autónoma de Madrid (UAM), la Universidad Carlos III de Madrid (UC3M), y la Universidad Complutense de Madrid (UCM).

Los duelistas matemáticos: el enfrentamiento entre Fiore y Tartaglia

agatamanuelPor Manuel de León y Ágata Timón (Instituto de Ciencias Matemáticas, CSIC)*

La resolución  de las ecuaciones de tercer grado a principios del siglo XVI es digna de novela: traiciones, engaños, muertes y duelos intelectuales. Sus protagonistas –algunos de los grandes matemáticos italianos del Renacimiento– llevaron a cabo de esta manera una de las grandes hazañas matemáticas de la historia.

Las ecuaciones de tercer grado –las que incluyen al menos una incógnita elevada al cubo– aparecen con el cálculo de volúmenes sólidos; con preguntas del tipo: dado un cubo cuyo volumen es de 8 cm3, ¿cuánto mide su arista? Esto se traduce con la ecuación cúbica x3 = 8, cuya solución es fácil de calcular, x=2. Pero ese es el caso más sencillo; la forma general de la ecuación de tercer grado es ax3 + bx2 + cx + d = 0.

Los matemáticos que trabajaron en la resolución de la ecuación, y que finalmente lo consiguieron, no planteaban problemas ni respuestas generales. Su objetivo era encontrar una fórmula, similar a la que aprendemos en el colegio para resolver ecuaciones de segundo grado, que se aplicara como una receta. Pero no era tan fácil.

Hubo muchos que lo intentaron y arrojaron la toalla. Otros, sin embargo, perseveraron. Sciopine dal Ferro obtuvo los primeros resultados alrededor de 1515: resolvió la ecuación ax3 + bx + c = 0.  Todavía no era la forma general, pero se acercaba bastante.

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Tartaglia (‘tartamudo’ en italiano) era en realidad el apodo del matemático de Brescia. Su verdadero apellido era Fontana.

Dal Ferro quiso conservar su hallazgo como un tesoro y decidió no divulgarlo. Compartió su resultado con su yerno, Annibale della Navia, y al menos con otro estudiante, Antonio Maria Fiore. Fiore fue un matemático mediocre que, a falta de méritos propios, intentó usar a su favor el secreto de su maestro. Una vez muerto Dal Ferro, en 1525, no publicó el resultado, sino que guardó el ‘arma’ para usarla en el momento conveniente. Y esa oportunidad no tardó en llegar. En 1535 Fiore escuchó que otro matemático, Niccolò Tartaglia, estaba trabajando con cierto éxito en la resolución de la ecuación de tercer grado. Por fin podría demostrar su superioridad en ese campo, así que le desafío a una competición pública para resolver problemas.

En la Bolognia del siglo XVI eran habituales los debates públicos  entre matemáticos, unas disputas que atraían a grandes multitudes. Estas peleas callejeras tenían un profundo impacto en la sociedad científica: los ganadores eran mejor considerados para plazas universitarias y los perdedores podían perder su puesto o los favores de la nobleza. Más allá de esto, los ciudadanos mostraban un gran interés por esos acontecimientos, en torno a los cuales se organizaban apuestas, por lo que pueden ser considerados como eventos de divulgación científica de lo más exitosos.

El reto entre Fiore y Tartaglia se concretó de la siguiente manera: cada uno de ellos escribiría una lista de 30 problemas que tendría que resolver su oponente, y la lista quedaría sellada y depositada ante notario. Después de esto, cada uno dispondría de 50 días para buscar la solución.

Todos los problemas planteados por Fiore eran de la misma forma ax3 + bx + c = 0, es decir, los que él sabía resolver con la fórmula secreta de Dal Ferro. Sin embargo, Tartaglia propuso cuestiones de diferente tipo. El 12 de febrero de 1535 fue la fecha escogida para entregar los ejercicios frente a un nutrido público formado por universitarios y miembros de la alta sociedad intelectual veneciana. Tartaglia logró resolver todos los problemas; Fiore no pudo dar respuesta a ninguno.

Tartaglia solo tuvo que aplicar reiteradamente el método para resolver las ecuaciones del tipo ax3 + bx = c que, según cuenta en su biografía, había descubierto tan solo ocho días antes del reto. Pocos días después encontró la solución de ax + b = x3. Y, como ya conocía la de x3 + ax2 = b, de la noche a la mañana se convirtió en el experto mundial de la resolución de ecuaciones de tercer grado.

Sin embargo, el éxito no le duró mucho. Tras embarcarse en una larga polémica sobre la autoría y el alcance de sus ideas con Gerolamo Cardano, en 1548 se vio abocado a batirse en un nuevo duelo matemático con uno de los discípulos de este, Ludovico Ferrari. Tartaglia salió derrotado de la pelea y ello tuvo dramáticas consecuencias para su carrera… Pero esta es una historia de la que hablaremos en nuestro próximo post.

 

* Manuel de León es investigador del CSIC en el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT) y autor, junto con Ágata Timón, coordinadora de comunicación y divulgación del ICMAT, del libro Las matemáticas de los cristales (CSIC-Catarata).