Por Mar Gulis

Que las matemáticas forman parte de la vida cotidiana es la típica frase que nos cuentan desde que empezamos la escuela y no siempre la entendemos (o se nos explica) de un modo tan claro como lo que es. Vamos a intentar explicar de un modo sencillo en este post un caso de cálculo que todo el mundo, con o sin estudios, con amor, odio o indiferencia hacia las matemáticas, con desdén o con ahínco, realizamos a cada momento, aunque en general de manera prácticamente inconsciente: la medición del tiempo. Sí, queridos y queridas lectoras, practicamos la aritmética modular más a menudo de lo que nos lavamos los dientes.

Si alguien nos preguntase la hora, seguramente le sorprenderíamos si nuestra respuesta fuese algo así como 17.607.600 horas y 30 minutos desde la fundación de Roma, o un número afín mayor si tomásemos como origen de los tiempos el momento del Big Bang. Lo normal es esperar como respuesta un número entero comprendido entre 0 y 23, a veces seguido por los minutos que correspondan, incluso los segundos si deseamos dar una información más precisa. También, con frecuencia, el intervalo de veinticuatro horas es dividido en dos de doce, añadiéndose aquello de mañana o tarde, a.m. (ante meridiam) o p.m. (post meridiam), según la terminología latina. Y es que nos movemos con comodidad en nuestro código convenido para medir el tiempo; en definitiva, la división por horas responde a una aritmética modular respecto al número 24. Aunque la medición de los años sí se suele hacer de modo lineal, la medición de los meses, semanas, horas o minutos se hace de un modo ‘circular’.

La aritmética modular se conoce en ocasiones como aritmética del reloj. / Juanedc. Flickr

Fue el matemático Carl Friedrich Gauss quien introdujo en su libro Disquisitiones Arithmeticae en 1801 este sistema aritmético, que se basa en ciclos repetitivos de números y residuos (lo que también se conoce como el ‘resto’). Es decir, se construye mediante ciertas relaciones de equivalencia y congruencia (compatibles con las operaciones de suma, resta y multiplicación) entre números enteros. Así, en la aritmética modular encontramos los siguientes elementos: dividendo (a), divisor (b), cociente (q) y residuo (r).

Volvamos al caso del reloj, que es el ejemplo por excelencia de esta aritmética en bucle o circular. No es casual que la aritmética modular se denomine a veces aritmética del reloj, ya que los números ‘dan la vuelta’ tras alcanzar cierto valor llamado módulo. El día lo concebimos estructurado en un ciclo de 24 o, más comúnmente, en dos ciclos de 12. Eso significa que, por ejemplo, si ahora son las 13 horas, dentro de 20 horas no serán las 33 horas, sino las 9 horas, que sería el residuo (o dicho de otro modo, el ‘resto’). En términos matemáticos diríamos que 33 módulo 24 = 9 (33 sería el dividendo, 24 el divisor, 1 el cociente, y 9 el residuo).

Y así vamos encontrando congruencias en todas las medidas del tiempo. Por ejemplo, como hemos visto, los relojes trabajan con módulos 12 o 24 para las horas, y módulo 60 para los minutos y los segundos.

Volviendo la vista a la semana, la pregunta acerca del día en que estamos admite solo una de estas respuestas: lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado o domingo. Nunca decimos, por ejemplo, que se trate del día noningentésimo nonagésimo nono de la era cristiana. De este modo, como probablemente ya habréis imaginado, el módulo aritmético usado en el caso de los días es el 7. Por ejemplo, si hoy es viernes 7 de noviembre y alguien nos cita para el próximo viernes 22 de noviembre, sabemos que ha cometido un error, por cuanto la diferencia (22-7=15) no es un múltiplo de 7. Entre dos viernes ha de transcurrir, necesariamente, un número exacto de semanas. En el calendario, aparte del módulo 7 para los días de la semana, se utiliza el módulo 12 para los meses.

En el libro Los números (CSIC-Catarata), de Javier Cilleruelo y Antonio Córdoba, se pueden encontrar estas y otras curiosidades matemáticas. Lo más sugerente de casos como los expuestos más arriba, a la vez que paradójico, es que hay aspectos muy cotidianos que a pesar de tenerlos sumamente aprendidos e interiorizados, cuesta verlos y conceptualizarlos…