Entradas etiquetadas como ‘tiempo’

Tú también practicas aritmética modular varias veces al día

Por Mar Gulis

Que las matemáticas forman parte de la vida cotidiana es la típica frase que nos cuentan desde que empezamos la escuela y no siempre la entendemos (o se nos explica) de un modo tan claro como lo que es. Vamos a intentar explicar de un modo sencillo en este post un caso de cálculo que todo el mundo, con o sin estudios, con amor, odio o indiferencia hacia las matemáticas, con desdén o con ahínco, realizamos a cada momento, aunque en general de manera prácticamente inconsciente: la medición del tiempo. Sí, queridos y queridas lectoras, practicamos la aritmética modular más a menudo de lo que nos lavamos los dientes.

Si alguien nos preguntase la hora, seguramente le sorprenderíamos si nuestra respuesta fuese algo así como 17.607.600 horas y 30 minutos desde la fundación de Roma, o un número afín mayor si tomásemos como origen de los tiempos el momento del Big Bang. Lo normal es esperar como respuesta un número entero comprendido entre 0 y 23, a veces seguido por los minutos que correspondan, incluso los segundos si deseamos dar una información más precisa. También, con frecuencia, el intervalo de veinticuatro horas es dividido en dos de doce, añadiéndose aquello de mañana o tarde, a.m. (ante meridiam) o p.m. (post meridiam), según la terminología latina. Y es que nos movemos con comodidad en nuestro código convenido para medir el tiempo; en definitiva, la división por horas responde a una aritmética modular respecto al número 24. Aunque la medición de los años sí se suele hacer de modo lineal, la medición de los meses, semanas, horas o minutos se hace de un modo ‘circular’.

La aritmética modular se conoce en ocasiones como aritmética del reloj. /  Juanedc. Flickr

La aritmética modular se conoce en ocasiones como aritmética del reloj. / Juanedc. Flickr

Fue el matemático Carl Friedrich Gauss quien introdujo en su libro Disquisitiones Arithmeticae en 1801 este sistema aritmético, que se basa en ciclos repetitivos de números y residuos (lo que también se conoce como el ‘resto’). Es decir, se construye mediante ciertas relaciones de equivalencia y congruencia (compatibles con las operaciones de suma, resta y multiplicación) entre números enteros. Así, en la aritmética modular encontramos los siguientes elementos: dividendo (a), divisor (b), cociente (q) y residuo (r).

Volvamos al caso del reloj, que es el ejemplo por excelencia de esta aritmética en bucle o circular. No es casual que la aritmética modular se denomine a veces aritmética del reloj, ya que los números ‘dan la vuelta’ tras alcanzar cierto valor llamado módulo. El día lo concebimos estructurado en un ciclo de 24 o, más comúnmente, en dos ciclos de 12. Eso significa que, por ejemplo, si ahora son las 13 horas, dentro de 20 horas no serán las 33 horas, sino las 9 horas, que sería el residuo (o dicho de otro modo, el ‘resto’). En términos matemáticos diríamos que 33 módulo 24 = 9 (33 sería el dividendo, 24 el divisor, 1 el cociente, y 9 el residuo).

Y así vamos encontrando congruencias en todas las medidas del tiempo. Por ejemplo, como hemos visto, los relojes trabajan con módulos 12 o 24 para las horas, y módulo 60 para los minutos y los segundos.

Volviendo la vista a la semana, la pregunta acerca del día en que estamos admite solo una de estas respuestas: lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado o domingo. Nunca decimos, por ejemplo, que se trate del día noningentésimo nonagésimo nono de la era cristiana. De este modo, como probablemente ya habréis imaginado, el módulo aritmético usado en el caso de los días es el 7. Por ejemplo, si hoy es viernes 7 de noviembre y alguien nos cita para el próximo viernes 22 de noviembre, sabemos que ha cometido un error, por cuanto la diferencia (22-7=15) no es un múltiplo de 7. Entre dos viernes ha de transcurrir, necesariamente, un número exacto de semanas. En el calendario, aparte del módulo 7 para los días de la semana, se utiliza el módulo 12 para los meses.

En el libro Los números (CSIC-Catarata), de Javier Cilleruelo y Antonio Córdoba, se pueden encontrar estas y otras curiosidades matemáticas. Lo más sugerente de casos como los expuestos más arriba, a la vez que paradójico, es que hay aspectos muy cotidianos que a pesar de tenerlos sumamente aprendidos e interiorizados, cuesta verlos y conceptualizarlos…

¿Existe el reloj absolutamente exacto?

Por Fernando Gomollón Bel (CSIC)*

“¿Tienes un segundo?”. La pregunta, a bote pronto, puede parecer muy sencilla. Pero, ¿qué es un segundo? ¿Qué utilizan los científicos para medirlo con precisión? En este artículo explicaremos la respuesta a ambas preguntas y descubriremos la importancia de cierto elemento químico en el arte de medir el tiempo.

Es probable que apenas recuerdes cómo están colocados los elementos en la tabla periódica. Como las capitales del mundo o la lista de los reyes godos, es una cosa que poco a poco vamos olvidando. Pero si empiezas a recitar: hidrógeno, litio, sodio, potasio, rubidio… Seguro que sabes qué viene después. Efectivamente: el cesio. El cesio es un metal de color gris que a pesar de ser sólido a temperatura ambiente, se funde en tus manos. El cesio es el elemento que se usa desde 1967 para medir, con la mayor precisión posible, el tiempo.

Cápsula con cesio.

Cápsula con cesio. Dnn87, Wikimedia Commons.

 ¿Cómo funciona un reloj?

Cualquier reloj funciona midiendo la cantidad de “golpes” que da un objeto que vibra, que resuena. En un reloj de pared, cada ir y venir del péndulo hace que se muevan los engranajes. En un reloj digital, la energía eléctrica hace vibrar un cristal (de cuarzo, normalmente) y un contador electrónico mide las oscilaciones. En un reloj de cesio se calienta una placa de este metal. Se consiguen así átomos de cesio en estado vapor. Estos átomos son de dos clases (o energías) distintas, dependiendo de una propiedad de su electrón más externo: el espín. Gracias a un imán, podemos separar los átomos menos energéticos y llevarlos a una cámara. Una vez ahí, se utilizará radiación de microondas (ver esquema de la figura) para que se conviertan en átomos energéticos. Cuando estos vuelvan al estado natural, emitirán luz que podremos captar con un sensor como el de una cámara de fotos. Cada “caída”, cada bajada de energía, es como una oscilación.

Esquema de funcionamiento de un reloj atómico (fuente: elaboración propia)

Esquema de funcionamiento de un reloj atómico. Fuente: elaboración propia.

Un átomo de cesio 133 produce 9.192.631.770 oscilaciones en un segundo. Como nunca emite ni una más, ni una menos, podemos definir el segundo gracias a este elemento químico. Los relojes que usan estos sistemas se conocen como relojes atómicos. También se fabrican con otros elementos, como el hidrógeno o el rubidio. El reloj más preciso del mundo, el USNO-Master Clock de la Armada Estadounidense, es una combinación de varias decenas de relojes atómicos de estos elementos y no se desajustará en 30 millones de años.

Relojes todavía más precisos

En la actualidad se investigan relojes todavía más precisos que el Master Clock. En el NIST (el instituto oficial de estándares y medidas de EE UU) han desarrollado un reloj más avanzado (llamado “de lógica cuántica”) que solo perderá un segundo cada 100 millones de años. En el Observatorio de París intentan ir aún más allá y diseñar un reloj que no se desajuste en 32.000 millones de años. Eso equivale a más de dos veces la edad del universo así que, si lo consiguen, tendremos relojes precisos hasta… que se acabe el tiempo.

* Fernando Gomollón Bel es investigador en el Instituto de Síntesis Química y Catálisis Homogénea (UZ-CSIC) y colabora habitualmente en el blog Moléculas a reacción.  Agradece a Laura Morrón, de ’Los Mundos de Brana’, las revisiones y comentarios al artículo y a Eduardo Actis por convencerle para participar en este proyecto.

 

Este artículo participa en el LI Carnaval de Física (organizado por ZTF News) y en el XXXIV Carnaval de Química – Edición Selenio (organizado por Moles de Química).

¿Qué había ‘antes’ del Big Bang?

Por Mar Gulis

Dice el físico Alberto Casas que hacerse esta pregunta tiene el mismo sentido que preguntar qué hay al sur del Polo Sur.

Universo dedalSi nos guiáramos solo por las apariencias y creyéramos que la Tierra es plana, podríamos imaginarnos caminando hacia el sur de forma indefinida, del mismo modo que la intuición nos puede hacer pensar que es posible remontarnos a un tiempo anterior al Big Bang. Sin embargo, desde hace algunos siglos sabemos que nuestro planeta es redondo y que, una vez alcanzado el Polo Sur, por más que sigamos caminando en la misma dirección nos estaríamos dirigiendo hacia el norte.

Pues bien, al espacio-tiempo le pasa algo parecido. En su libro El lado oscuro del universo, el investigador del CSIC explica que podemos representar la historia del universo como un gigantesco dedal colocado hacia abajo. En el vértice inferior estaría el Big Bang, “el instante cero en el que todo el universo conocido estaba comprimido en un punto”, y en la abertura superior, el universo actual, con una edad de nada más y nada menos que de 14.000 millones de años.

Si nos desplazáramos hacia arriba por la superficie del dedal encontraríamos que su anchura es cada vez mayor porque, como sabemos, el universo se encuentra en expansión. En cambio, si tratáramos de retroceder  en el tiempo y quisiéramos remontarnos ‘más allá’ del Big Bag nos encontraríamos volviendo a avanzar en el tiempo.

Campo ultraprofundo del Hubble. Se trata de la imagen más lejana del universo obtenida con luz visible / NASA, ESA

Campo ultraprofundo del ‘Hubble’. Se trata de la imagen más lejana del universo obtenida con luz visible / NASA, ESA

“Cuesta imaginarlo, pero matemáticamente no hay ningún problema en formularlo”, explica Casas. En cierto modo, esta conclusión es muy parecida a la que llegó San Agustín cuando, en el siglo V, los teólogos se preguntaban qué hacía Dios antes de crear la Tierra y los Cielos. Su respuesta fue que no tenía sentido preguntar a qué dedicaba Dios su tiempo antes de crear el tiempo.

No hay por qué desanimarse. Aunque la ciencia diga que no podemos remontarnos ‘antes’ del Big Bang, sí que puede explicarnos, y muy bien, qué pasó justo después. Tanto, que los físicos han establecido el ‘nacimiento’ de los primeros protones y neutrones una diezmillonésima de segundo después de la gran explosión, mientras que la aparición de los primeros núcleos formados por protones y neutrones (deuterio, helio, helio-3, litio) se habría producido a los 100 segundos.

Los primeros átomos no se formarían hasta pasados los 380.000 años, pero esta es otra historia de las que nos ocuparemos próximamente…