Nacido en Utrecht el 6 de abril de 1934 bajo el nombre de Antonius Johannes Geesink, fue introducido en este deporte de lucha japonés por uno de los pioneros de esta práctica en Europa, Jan van der Horst, que tenía precisamente un gimnasio en Utrecht. Las condiciones físicas de Geesink, desde luego, eran las perfectas para los deportes de lucha. En su plenitud, medía 1,98 metros y tenía un peso de 145 kilos.
Con 17 años participó en su primer Campeonato de Europa y quedó segundo en su categoría. Al año siguiente no se le resistió el oro. En Europa no tuvo rival y se proclamó, durante su carrera, 21 veces campeón de Europa.
El problema era cuando las competiciones eran Mundiales. Obviamente, los japoneses eran los auténticos dominadores de este deporte. Siempre habían sido ellos los campeones del mundo, hasta que en 1961, Geesink derrotó al nipón Koji Sone, convirtiéndose así en el primer occidental en lograr tal hazaña.
Pero su momento de gloria llegó en los Juegos Olímpicos de Tokio en 1964. El judo debutaba como deporte oficial en unas Olimpiadas y Japón contaba con llevarse los cuatro oros en liza (pesos ligeros, pesos medios, pesos pesados y categoría abierta a todos los pesos). Se llevaron los tres primeros, porque Anton Geesink, el gigante de Utrecht, dejó boquiabiertos a la afición japonesa derrotando a Akio Kaminaga en la final.
Al año siguiente, Geesink agrandó su leyenda ganando su segundo Mundial. Se retiró en 1967, tras ganar su vigesimoprimer y último Europeo. Para que os hagáis una idea de su importancia, en 1997 se le concedió el 10º Dan de judo, algo que sólo tres no japoneses han logrado en la historia.
Tras su retiro, se dedicó entre otras cosas a pasárselo bien y a ganar dinero en la lucha libre (tipo pressing catch) japonesa, donde fue uno de los personajes más conocidos entre 1973 y 1978.
Años más tarde, en 1987, se dedicó al Olimpismo. Así, entró como miembro del Comité Olímpico Internacional, un cargo en el que tuvo problemas cuando se le acusó de aceptar sobornos a favor de la candidatura de Salt Lake City para albergar los Juegos Olímpicos de Invierno de 2002. Aunque reconoció que cobró 5.000 euros, alegó que eran en concepto de gastos de estancia y no fue sancionado, aunque sí amonestado, de tal modo que la reputación de Geesink quedó seriamente dañada.
Geesink, que fue nombrado miembro de la Orden del Tesoro Sagrado de Japón y que tiene una calle en su Utrecht natal, falleció el 27 de agosto de 2010 tras una enfermedad (sus familiares no hicieron pública cuál) que le mantuvo tres semanas en cuidados intensivos. Su muerte fue anunciada en directo por la televisión holandesa.