Mati, una profesora muy particular Mati, una profesora muy particular

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Seguimos redondeando…

05 de diciembre de 2012

Anteriormente en Mati, una profesora muy particular…

En el capítulo de hoy…

–Ya está –afirmó Ven –Una circunferencia perfecta, con centro en el punto (2,1) y radio 3. Todos los puntos de esta circunferencia están a distancia 3 del punto (2,1)

–Muy bien, Ven –dijo Mati –Te ha quedado perfecta.

 

–Es que he aguantado con fuerza el compás –añadió el pequeño orgulloso.

–Entonces, Mati –preguntó el gafotas –Si queremos saber si un punto está dentro o fuera de la circunferencia, por ejemplo el (4,3), lo pintamos y miramos si está dentro, encima o fuera, ¿no?

–Sí, Sal –respondió Mati –Ésa es una forma, pero no es la única. Se puede saber sin dibujar el punto.

–¿Sin dibujar? –preguntó rápidamente Ven –Tengo que dibujar el punto para medir la distancia al centro de la circunferencia y saber si está dentro o fuera.

–No, no hace falta usar la regla –insistió la pelirroja.

–Entonces, Mati –quiso saber Sal –¿Cómo podemos saber si un punto está dentro o fuera de la circunferencia, Mati?

–O sobre la circunferencia… –añadió su hermano.

–¿Recordáis cuando hablamos de las ecuaciones de la recta? –les preguntó.

–Sí –contestó Sal –La ecuación de la recta era como una una contraseña que deben cumplir los puntos para estar sobre ella, ¿no?

–Eso es –dijo Mati –Pues de la misma manera, podemos encontrar la ecuación de la circunferencia, que será como una contraseña que nos permitirá saber si un punto está sobre la circunferencia, en el interior de ésta o fuera.

–¿Nos la enseñas? –pidió el pequeño con cara de niño buenísimo.

–Con mucho gusto –respondió la gafotas guiñando un ojo –Para ello tenemos que recordar cómo se calcula la distancia entre dos puntos en el plano, como vimos cuando estudiamos las coordenadas cartesianas. Si tenemos dos puntos en el plano, (a, b) y (c, d) calculamos su distancia, que escribiremos como d((a,b), (c,d)), usando el teorema de Pitágoras.

–Para ello dibujamos un  triángulo rectángulo en el que la distancia que queremos calcular es la hipotenusa, y para el que sabemos calcular la longitud de los dos catetos. La longitud del  cateto vertical es la diferencia entre las segundas coordenadas de los puntos, y la del horizontal  es la diferencia entre las primeras coordenadas de éstos.

–Y gracias a Pitágoras tenemos –anunció Mati muy teatrera.

–¿Y ahora, Mati? –preguntó Ven impaciente.

–Ahora vamos a escribir la ecuación de la circunferencia de centro (2, 1) y radio 3 –anunció la pelirroja –A ver, ayudadme, ¿qué le vamos a exigir a un punto (x,y) para que pueda estar sobre esta circunferencia?

–Que esté a distancia 3 del (2,1) –dijo el gafotas.

–Eso es –confirmó ella –Pero ya sabemos escribir la distancia entre (x, y) y (2,1) con una fórmula, la escribimos así.

 

 

–Ahora para que no salgan raíces cuadradas en la ecuación que a alguna gente les da mucho miedo –bromeó Mati –elevamos al cuadrado en los dos lados de la ecuación. En la izquierda desaparece la raíz cuadrada, y en la derecha, nos queda 9.

–Pero si con el método que nos enseñaste para calcular raíces cuadradas es muy fácil… –dijo Sal.

–¿Y para qué sirve la ecuación, Mati? -preguntó Ven.

–Pues para saber –dijo ella —si, como preguntaba Sal, el punto (4,3) está sobre ella.

–¿Cómo? –insistió el pequeño.

–Sustituyendo en la ecuación x por 4 e  y por 3, y comprobando si obtenemos 9. Si no sale 9, el punto (4,3) no está sobre la circunferencia.

–No, no está, sale 8 –dijo Ven.

–Muy bien –dijo Mati –Y sin mirar el dibujo, ¿sabéis si está dentro o fuera de la circunferencia?

Los niños se quedaron pensando un rato, al cabo del cual Sal dijo:

–Creo que está dentro, Mati. Porque la distancia de (4,3) a (2,1) será la raíz cuadrada de 8, que debe ser menor que 3, que es la raíz de 9, y eso significará que (4,3) está más cerca de (2,1) que los puntos que están sobre la circunferencia, por lo tanto, está dentro.

–Muy bien, Sal –dijo Mati –Todos los puntos  (x,y) que al sustituir en la ecuación den un resultado menor que 9 estarán dentro de la circunferencia, los que den mayor que 9, estarán fuera.

–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! –dijo Ven.

–¡Me encanta las ecuaciones! –dijo Sal –Las de las rectas, las de la circunferencia, y las de los sospechosos… 

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Un asunto redondo

28 de noviembre de 2012

–¿Eso es Marte, Ven?

–¿Qué pasa, Sal? Está casi perfecto…

–¿Perfecto? Marte es una esfera…

–No, no lo es, me lo dijo Mr. Green. Se parece más a una elipse.

–Ya, pero es casi redondo, dibuja un círculo, por Gauss…

La mascota gruñó un poco, pero con cierto orgullo, le gustaba llevar el nombre del Príncipe de las Matemáticas.

–Eso he hecho, un círculo, Sal –Ven empezaba a enfadarse.

–¿Un círculo? Eso más que un círculo ¡parece una patata!

–¿¿Una patata?? –la carita de Ven se iba encendiendo cada vez más.

–Bueno, bueno, bueno… –Mati acababa de llegar –¿Estáis preparando alguna comida con patatas?

–Hola Mati –la saludó Sal –No, estamos haciendo un mural con Marte y el Curiosity para el colegio, queremos contarles a todos lo que nos contó Mr. Green, y Ven ha hecho un círculo que parece una patata.

El pequeño Ven arrugó su carita completamente, maś enfadado que nadie en el mundo. Gauss se puso junto a él y frunció el ceño también.

–Hombre, Sal, una patata, una patata… no es –dijo la pelirroja –Pero si queréis, os enseño a dibujar círculos, o mejor dicho, circunferencias.

–¿No es lo mismo, Mati? –preguntó Ven desfrunciendo un poco el ceño.

–No, la circunferencia es la línea curva y cerrada, con la propiedad de que todos los puntos sobre ella están a la misma distancia del centro –contestó ella –El círculo está formado por todos los puntos encerrados por la circunferencia que tienen la propiedad de que están a una distancia del centro de la circunferencia menor o igual que el radio.

–¿Qué radio, Mati? –preguntó Ven muy serio.

–Una circunferencia, es una curva cerrada en la que todos los puntos de la misma están a la misma distancia de un punto determinado, que llamamos centro. Pues bien, el radio de la circunferencia es esa distancia, la de cualquier punto de la circunferencia al centro.

–Ah, ya.. –acepto el pequeño.

–Además del radio –siguió Mati –hay otros elementos en la circunferencia, y en el círculo, que tienen nombre propio. Por ejemplo, el diámetro.

–¿Qué es el diámetro, Mati? –preguntó el gafotas.

–Un diámetro de una circunferencia es un segmento uniendo dos puntos de ésta que pasa por el centro.

–¿Y si el segmento no pasa por el centro, Mati? –preguntó Sal.

–En ese caso, a ese segmento se le llama cuerda –dijo ésta.

–Bueno, Mati –intervino Ven impaciente –¿Nos enseñas a dibujar círculos o circunferencias?

–Claro, Ven –respondió ella — ¿Cómo quieres que sea? ¿Qué circunferencia quieres dibujar?

–¿Cómo? Una –dijo el pequeño.

–Pero hay muchas formas de definir una circunferencia –continuó Mati –Por ejemplo, podemos definir una circunferencia diciendo cuál es su centro y su radio. Para ello, solo hay que elegir en qué punto colocamos el centro y abrimos el compás tanto como nos indica el radio.

–O bien –siguió ella –Podemos definir una circunferencia eligiendo el centro y un punto que esté sobre la circunferencia.

–Ah, ya sé –interrumpió Sal –Pinchas en el centro y abres el compás hasta el punto que quieres que esté en la circunferencia.

–Eso es, sí –afirmó ella.

–¿Y si quieres que la circunferencia pase por 2 puntos? –preguntó Ven.

–En ese caso, depende –dijo Mati –Si esos dos puntos son los extremos de un diámetro de la circunferencia buscada, hay una única circunferencia con esa propiedad. Para ello, calculamos el punto medio del segmento que une los dos puntos, y ése será el centro. Para el radio, basta con pinchar sobre el centro y abrir hasta cualquiera de los 2 puntos iniciales.

–¡Mola! –exclamó Ven.

–¿Y si los 2 puntos no son extremos de un diámetro, Mati? –preguntó Sal.

–En ese caso –respondió ella –Hay infinitas circunferencias que pasan por esos dos puntos.

–¡¡Sí, claro!! –dijo Ven –¡Qué bruta!

–¡Jajajajajajajajajajaja! –la pelirroja no pudo reprimir una carcajada –Que sí, chico de poca fe, pero te lo voy a demostrar –y añadió guiñando un ojo –Me gusta que desconfíes de lo que no te demuestran.

–¡Venga, demuéstralo! –pidió Ven con una sonrisa de oreja a oreja.

–Dibuja dos puntos en la libreta –le pidió Mati y Ven los dibujó –Ahora dibujaremos la mediatriz entre esos 2 puntos.

–¿¿Cómo?? –preguntó Sal.

–Muy fácil –anunció la pelirroja –Para calcular la mediatriz entre los puntos A y B, primero pinchamos en A y hacemos un círculo grandote; después pinchamos con esa misma apertura en B y hacemos otro círculo; estos dos círculos, se cortan en 2 puntos. Basta con unir esos dos puntos y tendremos la mediatriz AB, y de paso, el punto medio entre A y B, que será donde a mediatriz corte al segmento AB.

 

–¿Y? –preguntó el gafotas.

—Cualquier punto sobre la mediatriz AB está a la misma distancia de A que de B –les dijo –Si pincho con el compás en cualquier punto de la mediatriz y abro, por ejemplo, hasta A, puedo dibujar un círculo que pasará por A y por B.

 

 

–¡Ajá! –aceptó el pequeño.

–Pues bien, Ven –siguió ella –Puedes hacerlo en cualquier punto de la mediatriz, ¡y son infinitos!

–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! –gritó Ven entusiasmado.

–Claaaaro… –añadió Sal con los ojos abiertos de par en par.

–¿Y si tenéis 3 puntos? ¿Cuántas circunferencias pensáis que podáis encontrar pasando por los 3? –preguntó Mati a los niños.

–¡¡Infinitísimas!! –gritó Ven levantando los brazos.

–¿Infinitas? –dijo Sal mirando a su hermano por encima de sus gafas.

–No, menos –dijo Mati.

–¿Infinito menos 100? –dijo Ven con sonrisa pícara.

–Infinito menos 100 es infinito, Ven –dijo el gafotas.

–Ya lo sé –respondió éste.

–Pues no, la respuesta es … –dijo Mati e hizo una pausa dramática –Sólo una.

–Mati… –dijo Ven con cara de desconfiado –Eso tendrás que demostrarlo.

–Con mucho gusto –dijo ella mientras hacía una graciosa reverencia –Dibuja 3 puntos en el papel, A, B y C.

Los niños dibujaron los 3 puntos como les pidió Mati, ella les dijo:

–Ahora pintad las mediatrices AB, BC y AC.

Los niños las pintaron con su regla y compás.

–¿Veis que las tres se cortan en un punto? –les preguntó.

–¡Ajá! –dijo Ven.

–Pues ése es el único punto que está a la misma distancia de los 3 a la vez –les dijo –Por lo tanto, es el centro de la única circunferencia que pasa por los 3 puntos.

 

–¡Tomaaaaaaaaaa! –dijo Ven.

–Es verdad –aceptó Sal.

–Además –continuó Mati –Si pintéis el triángulo ABC, ese punto se llama circuncentro del triángulo ABC, por ser el centro de la circunferencia que rodea al triángulo.

–¡Qué guay! –exclamó Ven.

–Oye, Ven, por cierto –añadió Sal –¿Por qué no usas el compás para dibujar Marte?

–Ya te he dicho que no es esférico, Sal, ¡es  elipsoidal! –protestó Ven.

–Ya,  pero parece más una esfera que una patata…

 

 

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Ana y las tablas de multiplicar

21 de noviembre de 2012

–Es un rollo…

–¿Por qué dices eso, Ana? –dijo Sal –Son Matemáticas.

–¡Las mates molan más que nada! –exclamó Ven.

–Y sirven para muchísimas cosas, como la Física –añadió el gafotas.

–Pues a mí  no me gustan –protestó Ana –No quiero aprenderme las tablas de multiplicar…

–¿Quieres que te ayude a repasarlas? –se ofreció Sal.

–Si quieres, yo también me las sé –apuntó rápidamente el pequeño.

Gauss gruñó, viendo que no podía competir con  sus dueños por la atención de su invitada.

–¡Que no! –volvió a decir la niña –¡Que no me quiero estudiar las tablas!

–Pero, bueno –Mati acababa de llegar –¿Quién es esta chica tan guapa y tan enfadada?

–¡Hola, Mati! –dijo Ven –Es nuestra amiga Ana y está enfadada porque no quiere estudiarse las tablas de multiplicar.

–Vaya, ¡qué curioso! –respondió la pelirroja –Yo aprendí las tablas con una niña que se llamaba Ana.

–¿Te enseñó las tablas una niña, Mati? –preguntó Sal curioso.

–Una niña y un chico, Enrique y Ana –dijo Mati –Tenían canciones para todas las tablas y eran muy populares. Mi favorita era la del 9: «9 por 2, 18, en Febrero yo me abrocho…» –Mati dejó escapar un suspiro –Qué recuerdos…

–¿Me puedes cantar esas canciones? –pidió Ana un poco tímida.

–Huy, me temo que ya nos las recuerdo… –contestó Mati –Pero si quieres te enseño algunos trucos para recordar las tablas.

–Es que son muchas… –protestó la pequeña.

–Son sólo 10, Ana, no seas quejica… –le regañó Ven muy serio.

–Bueno, no tantas –dijo Sal –La del 1 y la del 10 no hay que estudiarlas, porque multiplicar por 1 es dejarlo igual y multiplicar por 10 es poner un cero detrás.

–Bueno, eso sí… –aceptó Ana.

–Y la del 2  –añadió Ven –es sólo calcular el doble, Ana, ¿cuál es el doble de 7?

–Hombre, 14 –dijo la niña.

–Ea, pues eso es 2 por 7 –siguió el pequeño — ¿y el doble de 9?

–18… –respondió Ana con voz cansada –Ésa es muy fácil, la sabe cualquiera…

–Bueno, Gauss no –dijo Ven con cara de pícaro, la mascota se hizo el sordo.

–Pues, Ana –añadió Sal –si haces el doble del doble, es multiplicar por 4.

–¿Cómo? –preguntó Ana arrugando su naricita.

–Si quieres hace, por ejemplo, 4 por 6 –empezó a explicar el gafotas –Haces el doble de 6, ¿cuánto te sale?

–Dooooooce… –dijo Ana.

–Ahora haces el doble de 12, y te sale… –Sal dejó la frase en suspense para que Ana la terminara.

–24 –dijo ella sin poder reprimir una sonrisa.

–Pues ya lo tienes, Ana –dijo el gafotas con cara de interesante –4 por 6 es 24. Y también 6 por 4, porque el orden no importa.

 

Ana sonrió un poco, empezaba a gustarle este juego. Gauss gruñó con pelusilla.

–¿A que molan las mates? –preguntó Ven emocionado.

–Bueno, un poco… –aceptó Ana con una bonita sonrisa.

Mati asistía orgullosa a la clase de los profesores Sal y Ven. el primero de éstos continuó.

–Pues ya verás, Ana. Para multiplicar un número por 3, primero calculas su doble, como al multiplicar por 2, y luego le sumas ese número. Por ejemplo, ¿cuánto es 3 por 7?

–El doble de 7 es 14… –pensaba la niña –más 7 es…14 más 6 es 20 y más 1, ¡21! ¡7 por 3 es 21! ¡y 3 por 7 es 21 también!

–¡Esta es mi chica! –dijo Ven guiñando un ojo.

–¡Ya sé! –dijo Ana de pronto –La del 5 es la del 4 pero sumando otra vez cada número.

–Bueno, sí –dijo Sal –Pero la del 5 es más fácil si vas saltando de 5 en 5 los números: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45… y buscas en esa lista el número que quieras, por ejemplo, el 4º es 20, entonces, 4 por 5 es 20. Y 5 por 4, claro.

–Ah, claro –dijo Ana –Así es facilísimo.

–¡Cómo mola! –dijo Ana feliz –¿Y para la del 6?

Los niños se quedaron pensando…

–Bueno, la del 6 es el doble de la del 3 –dijo el gafotas.

–Si queréis –interrumpió la pelirroja –os puedo enseñar un truco para saber con las manos las tablas que os faltan.

–¿¿Todas las que faltan? –preguntó Ana con los ojos  abiertos de par en par.

–Toditas, todas –respondió Mati con un guiño.

–¿Cómo? –preguntaron a la vez Sal y Ven.

–Veréis –les dijo –Nos ponemos números en los deditos como en esta figura.

 

–A ver –preguntó Mati a los niños –¿qué queréis calcular?

–¿8 por 7? –respondió A.na inmediatamente

–Muy bien –dijo la gafotas –Ahora unimos el el dedo del 7 de una mano con el dedo del 8 de la otra, como su se dieran un beso.

 

–¡Qué monos! –dijo Ven.

–Ahora nos fijamos cuántos dedos quedan por encima de los dedos besucones en cada una de las manos –dijo Mati –Y multiplicamos esos dos números, que son más pequeños que 5 y esas tablas ya lo sabemos. Ese producto serán unidades del producto de 8 por 7.

–Quedan 2 dedos en la mano del 8 y 3 dedos en la mano del 7 –dijo Ana.

–En ese caso –añadió Mati –Tenemos que multiplicar 2 por 3 y tendemos 6 unidades.

 

–¿Y ahora? –preguntó Ven impaciente.

–Ahora contamos los dedos besucones y lo que quedan por debajo y los sumamos, ésas serán las decenas.

–Pues ya está –anunció Mati –5 decenas más 6 unidades son…

–¡56! –gritó Ana –¡8 por 7 es 56! ¡Y 7 por 8 también!

–Muy bien, Ana –dijo la pelirroja.

–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! –exclamó Ven.

–¿Ves, Ana? –preguntó Sal –¿A que molan las mates?

–¡¡Mucho!! –respondió la niña –¿Hacemos 9 por 6?

–Claro –contestó Mati –Nos damos un beso con los dedos del 9 y el 6…

 

–Contamos cuántos dedos hay por encima de los dedos besucones en cada mano, y multiplicamos esos dos números…

 

–Ya tenemos 4 unidades. Ahora contamos los dedos besucones y los que están por debajo y serán las decenas…

–Más 5 decenas…

–¡54! –volvió a gritar Ana emocionada.

–¡Es chulísimo, Mati! –dijo Sal.

–¡Mola un montón! –añadió Ven.

–Gracias a los 3 –dijo Ana –Mañana se lo voy a enseñar a Lara, mi hermana.

–Pero, ¡si sólo tiene cuatro años! –dijo Ven.

–¿Y qué? –le respondió Ana muy digna –Pero es listísima.

 

P.S: Esta entrada es un regalo de cumpleaños para Ana. Nos hemos enterado de que mañana es su cumple y de que no le gustan mucho las tablas de multiplicar. Sal, Ven, Gauss y yo esperamos que le gusten ahora un poco más 😉

¡FELIZ CUMPLEAÑOS, ANA! 

 

Si los menos jóvenes os sentís nostálgicos y queréis recordar las canciones de las tablas de Enrique y Ana, aquí os las dejo: Tabla del 1, tabla del 2, tabla del 3, tabla del 4, tabla del 5, tabla del 6, tabla del 7, tabla del 8, tabla del 9 y tabla del 10 🙂

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¿Otra forma de multiplicar?

07 de noviembre de 2012

Anteriormente en Mati, una profesora muy particular

–¡Ea! –les dijo la pelirroja –Ya lo tenéis, leemos los números azules de izquierda a derecha y tenemos que 235 por 1591 es 373885.

–¡Toma, toma, toma! –gritó el pequeño — ¡Y decía Sal que era muy complicado para mí! ¡Cómo mola!

En el capítulo de hoy…

–Jo, no es justo –se quejó Ven –Raquel siempre dibuja a Sal más guapo que yo…

–No lo creo, Ven –dijo Mati –¡Estáis los dos guapísimos!

Gauss gruñó un poco.

–Tú también, celosón –Mati acarició a Gauss.

Estaban leyendo la última entrada de La hora de las tareas en el ordenador, para ver cómo Clara había contado lo sucedido.

–Mira, Mati –exclamó Sal de pronto –¡Belén ha dejado un comentario con otro método para multiplicar!

 

–Ah. sí –les dijo la pelirroja –Es un método para multiplicar también muy sencillo, si queréis os lo explico…

–¡¡Sí!! –dijeron los dos hermanos a la vez.

–Poneos cómodos –dijo Mati guiñando un ojo –Vamos a calcular cuánto es 1591 por 235, pero con este método. Para ello, primero vamos a descomponer los números así, en unidades, decenas, centenas y unidades de millar:

1591= 1000 + 500 + 90 + 1       y      235= 200 + 30 + 5 

–¡Vale! –gritó Ven –Eso es fácil.

–Ahora los escribimos en una tabla como ésta –siguió ella y guiñando un ojo continuó –y vamos a jugar un poco a los barquitos…

 

–Pero has puesto cuadritos de más, Mati –protestó Sal.

–Ahora veréis para qué –dijo ella –En la primera fila, la fila del 1000, vamos poniendo los resultados de multiplicar 1000 por 200, 30 y 5…

–Qué fácil –interrumpió Ven –Multiplicar por 1000 es poner 3 ceros detrás.

–Pues, todo tuyo –le animó Mati y Ven rellenó la fila del 1000 –Y en la siguiente casilla, ponemos la suma de los tres productos obtenidos y la rellenamos de amarillo.

 

–¿Y ahora? –preguntó Sal.

–Tranquilo, Sal –contestó Mati –Primero vamos a pensar qué hay en la celda sombreada en amarillo.

–Vaya –intervino Ven –Pues 20000 más 30000 más 5000, Mati, lo hemos calculado así.

–Efectivamente, Ven –dijo ella –O dicho de otra forma:

(1000 x 200) + (1000 x 30) + (1000 x 5) 

–y si sacamos factor común 1000, nos queda

1000 x (200 + 30 +5) = 1000 x 235 

–Claro, Mati –dijo Sal —1000 por 235 es 235000, anda que…

–Ya, cielo –añadió ella –pero lo que quiero que veáis es que esta tabla no sólo nos dará el resultado final de 1591 por 235, sino que tendremos también muchos resultados parciales que podemos aprovechar de ella.

–Ah, claro –respondió el gafotas –¡Mola!

–Ahora –continuó Mati –Hacemos lo mismo con la fila del 500… y sumamos los 3 productos, 100000 + 15000 +2500 es 117500

–Espera, espera, Mati –pidió Ven –Ahora tenemos que 117500 es 500 por 235, ¿no?

–Efectivamente, cielo –corroboró ella.

–¡Toma, toma, toma! –gritó Ven –¡Cómo mola!

–Pero aún tenemos otro resultado parcial más –continuó Mati –Vamos a sumar estas dos casillas en amarillo, ¿qué tenemos en la casilla rosa?

–Déjame pensar –dijo Sal –Tenemos que

 235000= 235 x 1000  y 117500= 235 x 500

entonces

235000 + 117500 = 235 x (1000 + 500) = 235 x 1500 

por lo tanto, en la casilla rosa, 352500,  tenemos el resultado de 235 por 1500, ¿no, Mati?

–Pero, bueno –Mati estaba muy satisfecha –¡Qué chicos tan listos!

–Yo hago la tercera fila –dijo inmediatamente Ven.

–Entonces –añadió el pequeño —21150 es 90 por 235, ¿a que sí?

–Sí, y ahora, de nuevo –siguió ella –sumamos estas dos casillas amarillas, a ver qué tenemos en la rosa…

 

–Pues –comenzó a decir el gafotas –a ver…

352500 = 235 x 1500  y  21150 =235 x 90

por lo tanto

352500 + 21150 = (235 x 1500) + (235 x 90)= 235 x 1590

y entonces

373650= 235 x 1590

–¡Eso es! –Mati no pudo disimular su alegría, Gauss protestó un poco.

–Mati –preguntó Ven –¿y si sumamos estas dos casillas que yo he coloreado de amarillo? Sale 138650…

 

–En ese caso tenemos que

117500 + 21150 = (235 x500) + (235 x 90) = 235 x 590 = 138650

–¡Toma, toma! –Ven estaba alucinando.

–Sólo queda la fila del 1 –dijo el gafotas –La más fácil…

–No me digas nada, Mati –suplicó Ven –Ahora sumamos 373650 más 235, ¿no?

–Efectivamente –dijo ella –y coloreamos de rosa el resultado como antes:

 

–¡Toma, toma, toma!Ha salido lo mismo que con el otro método –gritó Ven –¡1591 por 235 es 373885!

–Claro, Ven –dijo ella –El resultado no puede depender del método elegido. Pero este método además, tiene la ventaja como hemos visto, de proporcionar resultados parciales. A ver si adivináis que obtenemos al sumar las casillas de la primera columna, la del 200…

 

–¿1591 por 200? –preguntó Sal.

–Efectivamente, guapo –respondió ella –¿Y si sumamos en las dos siguientes?

–¡Yo, yo! –pidió Ven –La rosa, 47730, es 1591 por 30 y la azul, 7955, es 1591 por 5.

–Muy bien, Ven –dijo Mati orgullosa –¿y si sumamos las casillas en amarillo en la siguiente figura?

Los niños se quedaron unos segundos pensando hasta que finalmente Sal gritó:

–¡1090 por 205!

–¡Bravo! –dijo Mati –Muy bien, chicos.

–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! –gritaba Ven.

Gauss miraba la escena con pelusilla. Mati propuso:

–¿Nos vamos de paseo con Gauss?

–¡¡Sí!! –dijeron los niños al unísono.

–Si vemos a nuestros amigos en el parque –añadió Ven –les contaré este juego de multiplicar.

 

PS: El algoritmo presentado en esta entrada se puede encontrar aquí.

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Un número misterioso para una noche misteriosa

31 de octubre de 2012

–Sal, dame la máscara de zombi, ¡es mía!

–No, Ven, todo es de los dos y yo la he cogido antes.

–¿No dijiste que te ibas a disfrazar de momia, pesado?

–Pero he cambiado de opinión, voy a ir de zombi.

–¡Y yo también! ¡¡Y esa máscara es mía!! –Ven estaba cada vez más enfadado.

–Pero si tú no necesitas máscara para parecer un zombi… –respondió Sal con cara de pillín.

–¿Cómo puedes decirme eso? –dijo Ven hipando –Soy tu hermano pequeño…

–Pero, bueno… –Mati acababa de entrar –¿Qué pasa aquí? ¿Estáis listos para salir a pedir caramelos?

–Pasa lo de siempre, Mati –dijo el pequeño y añadió con pena–Que Sal es un carota y se quiere poner mi máscara de zombi.

–¿No me la puedes prestar un día? –respondió el gafotas.

–Sí, pero otro día –dijo Ven –¡No el día de Halloween!

–Ya, ya veo… –interrumpió Mati –Oye, ¿sabéis qué? ¿Sabéis que también hay números que dan miedo?

Los niños miraron a Mati por el rabillo del ojo sin creerse mucho lo que decía la pelirroja, Sal aguantando la máscara con fuerza.

–Mati…–dijo finalmente el pequeño –Que no somos niños pequeños…

–Bueno, en ese caso –respondió ésta y añadió con voz terrorífica –no os contaré la historia del misterioso número 6174…

 

–¿Por qué es misterioso ese número? –preguntó Ven receloso –¿Se come a los gafotas carotas?

Sal miró a su hermano torciendo la boca y preguntó a Mati:

–¿Qué pasa con el 6174, Mati? ¿Es de Fibonacci? ¿Es una potencia de 2? ¿Es primo?

–¿Cómo va a ser primo, Sal, si es par? –protestó el pequeño.

–¡Toma! Es verdad…–aceptó Sal –Qué fallo tan tonto.

–No, no es un número de Fibonacci –comenzó a decir la pelirroja –ni es una potencia de 2, ni, como ha dicho Ven, es un número primo, pero ya veréis. Os propongo un juego.

–¡Sí! –dijeron los dos niños a la vez.

–Elegid un número de 4 cifras, que no tenga las 4 cifras iguales –les dijo.

–1108 –dijo Ven rápidamente –Es mi cumpleaños, 11 de agosto.

Sal pensó en protestar pero no quería molestar a su hermano en pro de conseguir que éste le dejara finalmente la máscara.

–Muy bien, me parece estupendo –dijo Mati –Ahora ordenamos sus cifras primero de mayor a menor, 8110, y luego de menor a mayor, 0118, y restamos el segundo al primero, a ver qué sale.

 8110-0118=7992

–7992 –dijo Ven –¿Éste ya es de Fibonacci?

–No, Ven –respondió Mati –No buscamos números de Fibonacci, paciencia, que es la madre de la Ciencia… Ahora hacemos lo mismo con 7992, ordenamos de mayor a menor, 9972, de menor a mayor, 2799 y restamos.

 9972-2799=7173

–Pues no veo qué tiene que ver con el misterioso 6174 –se quejó Ven con retintín.

–Espeeeeera –insistió Mati –Vamos a hacerlo con 7173…

7731-1377=6354

 

–¿Y ahora con 6354? –preguntó el gafotas.

–Sí, lo haremos hasta que nos aparezca el 6174 –dijo ella.

6543-3456=3087

8730-0378=8352

8532-2358=6174 

 

–¿Cómo sabías que iba a salir el 6174, Mati? –preguntó  Ven.

–Porque siempre sale –contestó ella –Y veréis qué pasa si ahora lo hacemos para 6174…

7641-1467=6174 

–Hala –se asombró Sal –Vuelve a salir él.

–Sí –corroboró Mati –Ya siempre sale 6174.

–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! –exclamó Ven.

–Pues bien empecéis con el número de 4 cifras (no todas iguales) que empecéis –les dijo –siempre llegáis al 6174.

–¡Es chulísimo, Mati! –dijo Sal.

–Sí, esta propiedad fue descubierta en 1949 por un matemático indio, Dattatreya Ramachandra Kaprekar, y por eso se le llama al 6174 la constante de Kaprekar.

–¿Y si lo hacemos con 5 cifras, Mati? –preguntó el gafotas.

–Para 5 cifras no se llega a un número fijo –respondió ella –pero para 3, sí, vamos a verlo. Decidme un número de 3 cifras, no todas iguales.

–365 –dijo rápidamente Ven –los días de un año. No bisiesto, claro…

–Vamos a hacerlo –dijo Mati.

653-356=297

972-279=693

963-369=594

954-459=495

954-459=495

–¡Toma, toma, toma! ¡Es el 495! –se emocionó el pequeño.

–Efectivamente –corroboró Mati –Con 3 cifras siempre llegamos a 495.

–¿Y con 6? –preguntó Sal nervioso.

–Con 6 cifras ya no se llega a un único número fijo –respondió ella –De hecho, sólo se llega a un único número fijo con 3 y 4 cifras, ¿no os parece misterioso?

–Sí, lo es –dijo Sal dando vueltas en su cabecita todo lo que les habia contado Mati.

–Hombre, pero mucho miedo… –dijo Ven –no da, Mati, no te enfades, ¿eh?

–Hablando de miedo –dijo ésta –¿Quieres que te maquille como el zombi más espeluznante de todos los zombis?

–¡¡Sí!! –respondió Ven.

–¡¡Y yo también, Mati!! –dijo Sal.

–¿Y la máscara? ¿Qué hacemos con ella? –preguntó Mati.

–Se la ponemos a Gauss –respondió el gafotas con cara de pillo.

 

 

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Multiplicando, multiplicando…

24 de octubre de 2012

–¿Te queda mucho, Sal?

–Sólo una multiplicación, Ven.

–¿Te puedo ayudar?

–No, gracias. Éstas no sabes hacerlas aún.

–Enséñame tú.

–Eres muy pequeño, Ven –respondió el gafotas –Ya te las enseñarán en el cole.

–Andaaaaaaa –insistía el pequeño –Enséñameee, Saaaaal…

–¿Qué es lo que quiere aprender este caballero? –preguntó Mati que acababa de llegar.

–¡Hola, Mati! –saludó Ven con alegría pensando que ella sí que le enseñaría.

–Hola, Mati –saludó Sal sin levantar la cabeza de su cuaderno –Ven quiere hacer multiplicaciones de varias cifras y aún no se lo han enseñado en el cole.

 

–Bueno, bueno… –comenzó a decir la pelirroja –Igual yo le puedo enseñar un pequeño truco para hacerlo…

–¿Con la calculadora? –preguntó Ven mirando de reojo.

–No, no, sin calculadora –dijo ésta –Con la mente, lápiz y papel. A ver,  ¿qué multiplicación es la que queremos hacer?

–235 por 1591 –dijo Sal.

–Veréis –les dijo –Vamos a escribirlo en una tabla como en el juego de los barquitos. Ponemos arriba, en horizontal,  por ejemplo, el 1591, lo escribimos de izquierda a derecha. Y en vertical, de abajo a arriba, el otro, el 235.

–Ahora vamos a dividir los cuadraditos de la tabla –les dijo –pintando estas líneas diagonales con el lápiz…

–Pues como en los barquitos –continuó Mati –Vamos rellenando los cuadraditos con el resultado de multiplicar los 2 cuadraditos correspondientes: 5 por 1 es 5, ponemos 05, para rellenar las dos mitades del cuadradito… 5 por 5 es 25, ponemos el 2 en la parte de abajo y el 5 arriba… 5 por 9 es 45, el 4 en la parte de abajo y el 5 arriba… y otra vez, 5 por 1 es 5…

–¿Puedo hacer yo el 3, Mati? Me sé la tabla del 3 –pidió el pequeño.

–Por favor… –dijo Mati y le dio el bolígrafo en una graciosa reverencia.

–A ver… 3 por 1 es 3, pongo 03, el 0 abajo… –decía Ven –3 por 5 es 15, el 1 abajo y el 5 arriba… 3 por 9 es 27, 2 abajo y 7 arriba…y 3 por 1 es 03…

 

–¡Me toca! –dijo Sal y su hermano le dio el boli –2 por 1 es 02… 2 por 5 es 10, el 1 abajo y el 0 arriba… 2 por 9 es 18, un 1 abajo y un 8 arriba… y otra vez 02…

–¡Muy bien! –les dijo la gafotas –Ahora vamos a numerar las diagonales que hicimos a lápiz, empezando desde arriba, desde la más a la derecha:

–¿Y ahora qué? –preguntó el pequeño ansioso.

–Ahora vamos a sumar todos los números de color rosa que están por encima de cada diagonal, siguiendo el orden que indican los números –les dijo –Encima de la diagonal 1, tenemos solo 5, lo ponemos…

–Ahora sobre la línea 2… –empezó a decir Mati.

–¡8! –gritó Ven –5 más 0 y más 3 es ¡8!

–Eso es –confirmó Mati.

–¡Yo hago la 3! –pidió Sal — 5 más 4, es 9; más 7 es 16; más 0, nada, más 2..18 ¿lo pongo, Mati?

–No, ahora –le respondió –cuando nos sale un número de 2 cifras, ponemos sólo las de las unidades, 8 en este caso, y le regalamos las decenas a la siguiente diagonal, ¿vale?

–¡Me pido la línea 4! –exclamó Ven –¿Sumo también el 1 que le ha regalado la línea 3?

–Claro –dijo Mati –por eso lo hemos escrito en rosa.

–¡Vale! –Ven frunció el ceñó estuvo un rato mascullando y finalmente — ¡23! ¿Le regalo el 2 a la siguiente?

–Eso es –Mati sonrió satisfecha.

–Venga, ¿hacemos la 5? –les preguntó.

–La hago yo –dijo Sal –¡7!

–¡Yo termino! –pidió Ven — ¡Las dos que faltan!

–¡Qué morro! –se quejó el gafotas.

–Pero si la última es 0…

 

–¡Ea! –les dijo la pelirroja –Ya lo tenéis, leemos los números azules de izquierda a derecha y tenemos que 235 por 1591 es 373885.

–¡Toma, toma, toma! –gritó el pequeño — ¡Y decía Sal que era muy complicado para mí! ¡Cómo mola!

–Bueno, es cierto –aceptó el gafotas y añadió con burla –que con este método lo puede hacer un pequeñajo como tú…

Ven arrugó su carita y Sal añadió con una sonrisa

–Un pequeñajo tan listo como tú,  quería decir…

Ven abrazó a su hermano sonriendo y Gauss…bueno, ya sabéis que a Gauss no le gusta demasiado quedarse al margen de estos eventos de amor desenfrenado…

 

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Un poco de gimnasia mental

17 de octubre de 2012

–¿Jugamos al fútbol, Sal?

–Espera, Ven, estoy intentando un resolver un problema de Fermi…

–¿Cuál?

–El que nos propuso Mati de cuántas patas de mesas y sillas hay en nuestro cole.

–Vale, ¿te puedo ayudar y así nos vamos antes a jugar al fútbol?

–Claro –respondió el gafotas –¿Me traes la calculadora que hay en el estudio?

–Pero, bueno –Mati acababa de entrar –¿para qué necesitas una calculadora, Sal?

–¡Hola, Mati! –saludó Ven.

–Hola, Mati –añadió Sal –Para hacer unas cuentas.

–¿Qué cuentas? Si se puede saber… –indagó la pelirroja.

–Pues, la primera es 18 por 25 –dijo Sal –Porque en mi cole hay dos clases de cada curso, cada clase tiene aproximadamente 25 niños…

–Esa cuenta es muy sencilla, Sal –interrumpió Mati –Puedes hacerla en tu cuaderno o, mejor aún, mentalmente.

–Entonces, ¿para qué se han inventado las calculadoras, Mati? –protestó el pequeño que adoraba usar esa maquinita.

–Para hacer cálculos, evidentemente –respondió Mati –Pero no por ello debemos dejar de usar la calculadora que tenemos sobre los hombros.

–Pero si se hacen más rápido y más fácil con la calculadora –insistió Ven –¿por qué tengo que hacerlo con la mente?

–Porque el cálculo mental nos sirve para hacer deporte con la mente, Ven –dijo ella.

–¿Deporte con la mente? –se extrañó Sal.

–Claro –siguió Mati –Si dejásemos de caminar porque podemos ir a todos sitios en coche, nuestras piernas se atrofiarían…

–¡Sí, sí! -interrumpió Ven –¡Eso sale en Wall-E! ¡Y estaban todo gordos y no se podían mover!

–Sí, si no nos movemos nos quedamos así –dijo Mati –Y si no ejercitamos la mente, también pierde muchas de sus funciones y habilidades.

–Ya, Mati –aceptó Sal –Pero algunas cuentas no son fáciles de hacer mentalmente.

–Puede –dijo Mati –Pero se pueden aprender estrategias y trucos…

–¿Nos cuentas uno, Mati? –pidió Ven alegre.

–Os contaré varios –anunció la gafotas –Poneos el chándal en el cerebro, ¡allá vamos!

–¡Mola! –gritó el pequeño.

–Vamos a empezar con uno sencillo –les propuso –Multiplicar mentalmente por 5.

–Pues vaya –protestó el pequeño –La tabla del 5 se la sabe hasta Edu que nunca atiende en clase…

–¿Sí? –preguntó Mati –¿Cuánto es 82 por 5?

–Bueno, Mati, te has pasado… –reconoció Ven –Eso no sale en la tabla.

Mati sonrió y le guiñó un ojo a Ven.

–Te enseñaré a calcularlo muy rápido –le dijo al pequeño –Multiplicar por 5 es igual que dividir por 2 y luego multiplicar por 10. Dividir por 2, no es más que calcular la mitad, ¿cuál es la mitad de 82?

–41 –dijo Sal rápidamente.

–Ahora multiplicamos por 10 –les dijo –que como 41 no tiene decimales, se trata sólo de añadir un cero final.

–¡410! –exclamó Ven airoso.

–¿Ves, Ven? –le preguntó Mati –¿A que es muy rápido? Y sin calculadora…

–¡Toma! ¡Verás cuando se lo cuente a Lucas! –Ven estaba entusiasmado.

–¿Y si el número que tenemos que multiplicar por 5 no es par, Mati? –preguntó el gafotas –No será divisible por 2… Por ejemplo, .

–¿Cuánto es la mitad de 99, Sal? –le preguntó.

–La mitad de 100 es 50… –mascullaba Sal –98 es 2 menos, la mitad de 98 es 49… 49’5, Mati.

–Eso es –confirmó Mati –Ahora multiplicamos 49’5 por 10. Cuando hay decimales, multiplicar por 10 es correr la coma una cifra a la derecha.

–¡495! ¡Toma, toma! –gritó Ven abrazando a Gauss.

–Es verdad –dijo Sal y añadió con cara de pícaro–Pero se podía hacer más rápido.

–¿Sí? ¿Cómo? –le retó su hermano desafiante.

–Porque 99 por 5 es sumar cinco 99 veces –dijo el gafotas –Si lo sumas 100 veces te saldría 500, 5 x 100 y ahora sólo tienes que restarle un vez 5, y te sale 495.

–Ah, claro –aceptó Ven.

–Efectivamente, Sal –dijo Mati –Eso que acabas de hacer es lo que yo quería decir con la gimnasia mental.

Sal sonrió sonrojado, Ven le echó el brazo por los hombros orgulloso. Gauss resopló con pelusilla.

–Ahora –les dijo –Vamos a calcular 18 por 25. Multiplicar por 25 es lo mismo que dividir por 4 y multiplicar por 100, ¿no?

Los niños asintieron con la cabeza, Mati continuó:

—Dividir por 4, es calcular 2 veces la mitad del mismo; multiplicar por 100 es simplemente añadir 2 ceros al final de nuestro número, o si tiene decimales, correr la coma hacía la derecha dos cifras, ¿verdad?

–Si calculo la mitad de 18 es 9 –dijo Sal –Y la mitad de 9 es 4’5… Entonces, 18 dividido entre 4 es 4’5, sólo falta multiplicar por 100… 4’500…corro la coma dos cifras…

–450, 450, ¡¡450!! –Ven daba vueltas tapándose la cara con la camiseta.

–¿Veis? –les dijo –Hacer deporte siempre es divertido y sano, con la mente también.

–¿Nos enseñas más trucos, Mati?

–Claro –contestó ella –De hecho, Sal nos acaba de enseñar uno.

–¿Cuál? –preguntó el pequeño.

–Pues que multiplicar por 99 es multiplicar por 100 y restar el número –dijo Mati –Y se podría extender a que multiplicar por 9 es multiplicar por 10 y restarle el número…

–Y multiplicar por 999 –interrumpió Ven —es multiplicar por 1000 y restar el número…

–Eso es –confirmó Mati con una amplia sonrisa –¿Cuánto es 999 por 15?

–Eso es … –empezó a decir Ven –15 por 1000, 15000… 15000 menos 15… 100 menos 15 es 85… 1000 menos 15 serán 985… ¡14985! ¿no, Mati?

–Efectivamente, Ven –dijo Mati contenta, Sal abrazó a su hermano pequeño lleno de orgullo y satisfacción.

–¡Otro, Mati! –pidió Ven.

–A ver si se os ocurre a vosotros –les retó –una estrategia para multiplicar por 11.

Los niños se quedaron muy pensativos… Al cabo de pocos segundos, Sal dijo:

–Muy fácil: es multiplicar por 10 y luego sumarle el número.

–¡Ahá! Entonces, ¿cuánto es 76 por 11? –les preguntó.

–76 por 10 es 760 –dijo Ven –760 más 76… 760 más 40 es 800…me faltan 36.. ¡836! ¿no?

Mati asintió con la cabeza y Ven no puedo contener su emoción.

–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola!

–Mati –dijo Sal –Si multiplicar por 25 es multiplicar por 100 y dividir por 4, entonces dividir por 25 es al revés, ¿no? Dividir por 25 es multiplicar por 4 y dividir por 100.

–Exacto –dijo Mati –Multiplicar por 4 es calcular dos veces el doble y dividir por 100 es quitar dos ceros del final si hay, o uno (si sólo hay uno) y poner una coma a la izquierda de la última cifra, o una coma a la izquierda de las dos últimas cifras (si no hay nigún cero) ¿Cuánto es 42 dividido entre 25?

–Multiplicamos 42 por 4… –decía Sal –42 por 2 es 84.. 84 por 2 es 168…dividimos por 100 poniendo la coma a la izquierda de las dos últimas cifras… ¡1’68!

Mati asintió de nuevo sonriendo.

–¡Eres un máquina! –dijo Ven y le zampó un beso a su hermano mayor. Gauss no parecía disfrutar mucho de aquella exaltación del sentimiento fraternal.

–¿Veis cómo es más divertido andar con la mente que moverse en coche? –les preguntó.

–Mucho más –dijo Sal muy satisfecho.

–¿Nos enseñas más? –preguntó Ven.

–Seguiremos otro día –dijo Mati –Ahora es hora de que juguéis un poco al futbol, ya sabéis eso de Mens sana in corpore sano.

 

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Y dale con Tales…

10 de octubre de 2012

Anteriormente en Mati, una profesora muy particular…

–Sí –corroboró la pelirroja –Y si los pegáis por los ángulos C1, C2, C3 y C4 , también.

–¡Cómo mola, Mati! –Sal estaba entusiasmado.

–Voy a buscar cartulina de colores –dijo Ven.

–Estupendo –añadió Mati –Otro día seguiremos hablando de Tales…

–Oye, Sal, ¿esto de Tales no te recuerda a lo que nos contó Mati en la playa?

–¿A qué te refieres, Ven?

–A cuando nos enseñó a calcular la altura de la silla del socorrista.

–Ummmm… -el gafotas se quedó pensando –puede ser, sí…

–Efectivamente, Ven –confirmó Mati que acababa de llegar –Es la misma idea.

–¡Hola, Mati! –dijeron los dos hermanos a la vez.

–¡Guau! –dijo Gauss, no estaba para muchas conversaciones.

–Hola, chicos –respondió ella –La idea que usamos aquel día en la playa es la misma que, según cuenta Herodoto, usó Tales para medir la pirámide de Keops.

–¿La pirámide de qué? –preguntó Ven con los ojos apretados.

–La gran pirámide de Guiza, una de las siete maravillas del mundo, que está en Egipto –les contó Mati.

 

–¡Toma! –se asombró el pequeño –¿Y cómo lo hizo , Mati?

–Pues usando su teorema –dijo la pelirroja y le guiñó un ojo –Tales pensó que cuando su sombra midiera lo mismo que él, los rayos de Sol estarían formando un ángulo de 45 grados con su cabeza y con la cima de la pirámide, y por lo tanto, la altura de la pirámide sería igual a la sombra de la misma en ese instante.

–En ese caso –continuó Mati — si llamamos h a la altura de Tales y s a la sombra del mismo, cuando s sea igual a h, los rayos de Sol forman un ángulo de 45 grados en la cabeza de Tales. Y como los rayos de Sol son paralelos unos con otros, el rayo de Sol en la cima de la pirámide también forma 45 grados y por lo tanto H es igual a S. Sólo hay que medir S para conocer H, porque estamos mirando triángulos semejantes.

–¿Cómo sabes que son semejantes, Mati? –preguntó Sal.

–Pues porque la suma de todos los ángulos internos de un triángulo es 180 grados –empezó a decir la gafotas –Como H y S forman 90 grados, igual que h y s, y el Sol forma 45 grados en la cabeza y en la cima, el ángulo que forma el Sol con el suelo en los 2 casos, tiene que ser de 45 grados; con lo cual, los tres ángulos son iguales.

–¡Toma. toma. toma! ¡Cómo mola! –Ven estaba entusiasmado.

–¿Y cómo podía Tales medir su sombra? –preguntó Sal receloso –Si se agachaba a medirla, ya no podía medirla… ¿Tenía un ayudante?

–Hay varias versiones –dijo Mati –Algunas hablan de que en realidad usó un bastón, pero hay otras que dicen que Tales pintó un círculo de radio su altura y se puso en el centro; cuando su sombra tocara el círculo, ya sabía que era tan larga como su altura.

–¡Es verdad! –Sal respiró tranquilo.

–¡Me encanta Tales! –gritó el pequeño saltando provocando que nuestro Anubis particular ladrara del susto.

–Pues no se vayan todavía, aún hay más –anunció cómicamente Mati.

–¿Qué más, Mati? –preguntó Sal intrigado.

–Pues, por ejemplo –anunció Mati –gracias a este teorema de Tales podemos dividir un segmento en el número de partes iguales que queramos. usando sólo regla y compás.

–¿¿Sí?? –preguntó el pequeño –¿¿Cómo??

–Ya veréis –dijo la pelirroja –pintamos un segmento en nuestro cuaderno, ¿en cuántas partes iguales queréis dividirlo?

–¡En 5! –gritó Ven.

 

–Bien –siguió ella –ahora pintamos otro segmento formando un ángulo, el que queramos, con el segmento AB. 

 

–¿Y ahora? –preguntó el gafotas.

–Ahora abrimos el compás, con la medida que queráis, y marcamos 5 veces sobre el segmento AC

 

 

–Ahora sólo tenemos que unir la última marca –les dijo Mati –con el extremo B…

 

 

–…y trazar paralelas a ese segmento por las otras 4 marcas –terminó de decir Mati.

 

–¡Toma, toma, toma! –el pequeño Ven estaba emocionado.

–Sí que mola, Tales, sí –corroboró el gafotas.

–Otro día os enseñaré a conseguir oro con él… –anunció Mati misteriosa.

–¿¿Cómo?? –preguntaron los niños a la vez.

–Otro día…

 

 

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¡Más triángulos!

03 de octubre de 2012

Anteriormente en Mati, una profesora muy particular

–¡Wow! –Sal estaba emocionado.

–Alucinante… –dijo Ven con los ojos brillantes.

–Lo es –admitió ella –Y todo gracias a un  Teorema de Tales.

–¿Qué es el teorema de Tales, Mati? –quiso saber Sal.

–Os lo cuento el próximo día –dijo ella –Y os enseñaré también más cositas con regla y compás.

–Vaya, parece que Mati hoy viene más tarde, Sal.

–¿Tienes tu regla y tu compás, Ven?

–Sí, claro –respondió el pequeño y añadió ilusionado –A ver  qué nos enseña hoy…

–El teorema de Tales, creo  –dijo el gafotas –Pero no estoy muy seguro de si se dice así…

–Pues sí, Sal –Mati acababa de llegar –Lo has dicho perfectamente, un teorema de Tales.

–¡Hola, Mati! –dijeron al unísono Sal y Ven, mientras Gauss se acercaba a las piernas de la recién llegada.

–¿Nos lo cuentas? –pidió Sal apresurado.

–Claro –respondió ella –Os contaré uno de los 2 teoremas de Tales.

–¿Sólo uno? –protestó Ven.

–Hoy uno –dijo la pelirroja –y otro día otro, ¿vale?

–Vale –terminó aceptando Ven.

–El teorema de Tales sobre triángulos semejantes–comenzó diciendo Mati –nos asegura que si dos rectas cualesquieras se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra.

–¿Qué son triángulos semejantes, Mati? ¿Que se parecen mucho?

–Más o menos, Ven –respondió Mati —Dos triángulos son semejantes si tienen los tres ángulos iguales.

–¡Ajá! –exclamó Ven–Entonces son exactamente iguales.

–No, Ven –le corrgió Mati –Pueden tener los mismos ángulos y ser de diferentes tamaños, mira:

–Estos 2 triángulos –continuó Mati –Tienen los 3 ángulos iguales y uno es mayor que el otro, ¿no?

–Imposible que tengan los mismos ángulos… –dijo Ven desconfiado.

–Ya verás –respondió ella –Podemos poner el ángulo A’ sobre A, el B’ sobre B y C’ sobre C, y coinciden.

–¡Toma! Es verdad –terminó aceptando el pequeño.

–Pues bien, como os decía, el teorema de Tales nos asegura que si dos rectas cualesquieras se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra. Vamos a verlo con un dibujo: dibujamos estas 3 rectas rojas paralelas y dos rectas negras que la cortan.

–Por el teorema de Tales, lo que sabemos es que si dividimos la longitud del segmento AB entre la longitud del segmento A’B’, obtendremos el mismo valor que al dividir la de BC entre B’C’ y que al dividir la del segmento AC entre la del A’C’.

–Y eso, ¿qué tiene que ver con triángulos semejantes? –preguntó Sal arrugando su naricilla.

–Si aplicamos este teorema a triángulos semejantes como los 2 que hemos visto antes –dijo Mati — Lo que tenemos es que los lados son proporcionales.

–Ya veo… –murmuró el gafotas.

–Y yo… –dijo Ven, aunque no parecía muy convencido.

–Por eso –continuó ella –cuando el otro día teníamos esta construcción

–…teníamos dos triángulos semejantes, unidos en el punto A –les dijo –Y el  resultado de dividir el lado verde, de longitud 8, entre la de el lado azul, de longitud 4, en el mayor de los dos triángulos, es igual al resultado de dividir el segmento AB entre el lado de longitud 1  en el menor de los dos triángulos.

–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! –dijo Ven.

–Ah, claro… –se asombró Sal.

–Además –les propuso la pelirroja –os propongo un pequeño truco  para que podáis explicar el Teorema de Tales a vuestros amiguitos…

–¡Venga! –interrumpió Ven.

–Necesitamos 4 hojas de colores –les dijo –Y las colocamos así

–Ahora –continuó –las cortamos según dos líneas, con la dirección que queramos…

–Si separamos las hojas –les dijo Mati –tendremos 4 triángulos diferentes, le ponemos nombre a sus ángulos.

–Sabemos que los ángulos marcado con las letra B1, B2, B3 y B4 son iguales porque estaban unidos por ahí, ¿no? –les preguntó.

Los niños asintieron con la cabeza.

–Pues bien, pedidle a vuestros amigos que pongan los triángulos uno encima de otro pegados por los ángulos A1, A2, A3 y A4 , ya veréis…

–¡Claro! ¡Son semejantes! –dijo Sal.

–Sí –corroboró la pelirroja –Y si los pegáis por los ángulos C1, C2, C3 y C4 , también.

–¡Cómo mola, Mati! –Sal estaba entusiasmado.

–Voy a buscar cartulina de colores –dijo Ven.

–Estupendo –añadió Mati –Otro día seguiremos hablando de Tales…

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Solo con regla y compás

26 de septiembre de 2012

–Mira, Sal, este año yo también llevo compás –dijo Ven muy alegre.

–Hala, Ven, ya eres mayor –dijo Sal.

–¡Ya podré dibujar círculos perfectamente! –respondió el pequeño –Los planetas me van a salir chulísimos…

–Pero, Ven, el compás es para las clase de Matemáticas… –añadió el gafotas.

–Ya, pero si lo llevo en la mochila, también lo podré usar en Conocimiento del Medio para dibujar el Sol, ¿no?

–Supongo que sí –dijo Sal –pero yo sólo lo uso en Mates…

–Efectivamente, chicos –Mati acababa de entrar –Se pueden hacer muchas Matemáticas sólo con una regla y un compás.

–¡Hola, Mati! –la saludaron los dos niños.

–¿Has visto, Mati? –dio Ven eufórico –¡En tercero ya llevamos compás! ¡Y regla!

–Ya puedes hacer Matemáticas al estilo de la antigua Grecia –respondió la pelirroja –Como en tiempos de Euclides…

–Ese Euclides, ¿es el mismo que nos contaste para calcular el máximo común divisor?

–Efectivamente, Sal –le contestó ella.

–Ese Euclides sí que era listo, ¿no? –dijo Ven boquiabierto.

–Sí, ciertamente, era bastante listo, como vosotros –Mati les sonrió.

–Y aparte de dibujar círculos, ¿qué más se puede hacer con un compás, Mati? –preguntó Sal ansioso.

–Huy, muchísimas cosas… –les dijo –De hecho, en aquellos tiempos, los matemáticos pensaban que sólo las construcciones que se podían hacer con regla y compás eran elegantes. Además eran una regla y un compás ideales…

–¿Por qué ideales? –interrumpió Ven –¿Mejor que el mío? ¿Has visto bien el mío?

–No, Ven, ideales en el sentido de que no tenían que existir como tales –siguió Mati –La regla era infinita y no tenía marcas…

–¿Como las reglas de Golomb? –interrumpió Sal.

–No exactamente –dijo ella –La regla de los griegos no tenían ninguna marca.

–Y el compás, ¿qué tenía de ideal? –quiso saber Ven.

–Pues que se cerraba al separarse del papel –les dijo –No tenía memoria para recordar las aperturas que había hecho…

–Toma, qué complicado todo… –resopló el pequeño.

–A lo mejor sí es un poco complicado para vosotros, aún –siguió Mati –Pero si queréis, os cuento como usar vuestra regla y vuestro compás como si fuera una especie de calculadora.

–¡Toma, toma, toma! ¡Vale! –gritó Ven entusiasmado.

–¿Aunque no sean ideales? –dudó el gafotas.

–Aunque no sean ideales –respondió la pelirroja –¿Te apetece, Sal?

–Pues claro –respondió él con una sonrisota.

–Os enseñaré primero a sumar sólo con la regla  –les anunció –Decidme dos números.

–8 y 9 –dijo Ven –Nuestras edades.

–Pues, muy bien –empezó a decir Mati –Ya veréis qué fácil, sólo hay que dibujar un segmento que mida 8 y a continuación, uno que mida 9, y medir el segmento resultante.

 

–Jo, pero es más rápido sumar, Mati –protestó el pequeño.

–Ya, si sabes hacerlo, sí –dijo ella –pero con este método no hace falta saber sumar…

–Eso sí… –terminó aceptando Ven.

–Y si queréis restar 9 menos 8 –les dijo –Dibujáis primero el segmento de 9 y en el punto en el que termina, dibujamos el de 8, pero en sentido contrario. Medimos lo  que queda del primer segmento, es el resultado de 9 -8.

 

 

–¿Y si hacemos 4 menos 9? –preguntó Sal.

–En ese caso –dijo Mati –el resultado será todo lo que sobresalga del segmento de longitud 4 pero le ponemos un signo menos delante.

–Qué chulo… -exclamó Sal –Se parece a lo los saltitos que nos contaste aquella vez.

–Pues sí –respondió la pelirroja guiñando un ojo –Es que estamos haciendo lo mismo.

–¿Se puede multiplicar también, Mati? –preguntó Ven impaciente.

–Pues, claro, cielo –le anunció ella –Y ahora vamos a usar el compás.

–¡¡Mola!! –contestó el pequeño.

–¡Multiplica 3 por 5 con la regla y el compás, Mati! –le pidió Sal.

–Vamos allá –les dijo –Pintamos un segmento de longitud 1 y otro de longitud 3 formando un ángulo.

–¿Cuánto tiene que medir el ángulo? –preguntó el gafotas.

–Da igual –respondió ella –A continuación del segmento de longitud 1, dibujamos el segmento de longitud 5.

 

 

–Ahora –siguió Mati –Dibujamos, en rojo, la recta que une los otros extremos de los segmentos de longitud 3 y 1, y vamos a prolongar, con lápiz, la semirrecta que contiene al segmento de longitud 3.

 

 

–Necesitamos dibujar ahora –continuó la pelirroja –Una recta paralela a la roja, que pase por el otro extremo del segmento de longitud 5, el que no está pegado al segmento de longitud 1.

–¿Paralela? –preguntó Ven.

–Eso es, Ven –dijo ella –Una recta con la misma dirección, con el mismo vector, pero que pase por el extremo libre del segmento verde. Vamos a usar para ello el compás.

–¡Mola! –dijo Ven y le dio el suyo.

–Pinchamos con el compás en el extremo libre del segmento verde –les dijo –y abrimos el compás lo suficiente para que el arco de círculo que dibujemos corte en 2 puntos distintos a la recta roja, P y Q. Estos dos puntos, por lo tanto, están a la misma distancia del extremo verde libre.

 

–Muy bien, chicos, seguimos. Vamos a llamarle A al extremo verde libre del segmento de longitud 5 –continuó la gafotas –Ahora, elegimos otro punto sobre la recta roja, P’, a la misma distancia de Q que  P.  Abrimos el compás desde A hasta P y  dibujamos dos arcos, uno con centro en Q y otro con centro en P’, que se cortarán en 2 puntos. Elegimos el que esté más cerca de A y le llamamos O.

 

 

–¿Y ahora, Mati? –preguntó Sal intrigado.

–Pues, nada –respondió ésta –Ya lo tenemos, la recta que pasa por A y por O, es paralela a la recta roja, y va a cortar a la semirrecta que dibujamos en lápiz en un punto que llamaremos C.

–¿Y? –siguió preguntando el gafotas.

–Que si llamamos B al extremo libre del segmento de longitud 3, el resultado de 3 por 5, es la longitud del segmento entre B y C.

 

–¡Toma. toma, toma! –exclamó el pequeño Ven.

–¡¡Es chulísmo! –gritó Sal –¿Se puede dividir?

–Claro –respondió Mati –¿Os enseño?

–¡Sí! –gritaron a la vez.

–Vamos a dividir 8 entre 4 –les propuso.

–Sale 2 –dijo Ven.

–Ya, Ven –añadió su hermano –Pero vamos a verlo con dibujos…

–Ahora pintamos dos segmentos de longitud 4 y 8 –les dijo –formando un ángulo, cualquiera, y marcamos una unidad de longitud sobre el segmento del denominador, esto es, el de 4. Dibujamos también una línea roja que una los extremos libres de los 2 segmentos.

 

 

–Ahora lo que queremos es una paralela a la línera roja que que pase por la marca del 1.

–¿Lo hacemos otra vez con compás, Mati? –preguntó Sal.

–Claro –contestó ella — Pinchamos sobre 1 y dibujamos un arco que corte a la línea roja en dos puntos, P y Q. Después, elegimos otro punto sobre la línea roja, Q’, a la misma distancia de Q que el punto P.

 

 

–Pinchamos en 1, abrimos hasta P, y dibujamos dos arcos con esa apertura, uno pinchando en Q y otro pinchando en Q’, que se cortarań en 2 puntos. Elegimos el más cercano al 1 y le llamamos O.

 

 

–Pues ya lo tenemos –anunció Mati –La recta que pasa por 1 y O es paralela a la recta roja…

–¿¿¿Y??? –preguntó Ven.

–Pues que el resultado de dividir 8 entre 4 –respondió ella –es la longitud de segmento que va desde A hasta B en este dibujo

 

–¡Wow! –Sal estaba emocionado.

–Alucinante… –dijo Ven con los ojos brillantes.

–Lo es –admitió ella –Y todo gracias a un  Teorema de Tales.

–¿Qué es el teorema de Tales, Mati? –quiso saber Sal.

–Os lo cuento el próximo día –dijo ella –Y os enseñaré también más cositas con regla y compás.

 

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