Entradas etiquetadas como ‘Euclides’

Solo con regla y compás

–Mira, Sal, este año yo también llevo compás –dijo Ven muy alegre.

–Hala, Ven, ya eres mayor –dijo Sal.

–¡Ya podré dibujar círculos perfectamente! –respondió el pequeño –Los planetas me van a salir chulísimos…

–Pero, Ven, el compás es para las clase de Matemáticas… –añadió el gafotas.

–Ya, pero si lo llevo en la mochila, también lo podré usar en Conocimiento del Medio para dibujar el Sol, ¿no?

–Supongo que sí –dijo Sal –pero yo sólo lo uso en Mates…

–Efectivamente, chicos –Mati acababa de entrar –Se pueden hacer muchas Matemáticas sólo con una regla y un compás.

–¡Hola, Mati! –la saludaron los dos niños.

–¿Has visto, Mati? –dio Ven eufórico –¡En tercero ya llevamos compás! ¡Y regla!

–Ya puedes hacer Matemáticas al estilo de la antigua Grecia –respondió la pelirroja –Como en tiempos de Euclides…

–Ese Euclides, ¿es el mismo que nos contaste para calcular el máximo común divisor?

–Efectivamente, Sal –le contestó ella.

–Ese Euclides sí que era listo, ¿no? –dijo Ven boquiabierto.

–Sí, ciertamente, era bastante listo, como vosotros –Mati les sonrió.

–Y aparte de dibujar círculos, ¿qué más se puede hacer con un compás, Mati? –preguntó Sal ansioso.

–Huy, muchísimas cosas… –les dijo –De hecho, en aquellos tiempos, los matemáticos pensaban que sólo las construcciones que se podían hacer con regla y compás eran elegantes. Además eran una regla y un compás ideales…

–¿Por qué ideales? –interrumpió Ven –¿Mejor que el mío? ¿Has visto bien el mío?

–No, Ven, ideales en el sentido de que no tenían que existir como tales –siguió Mati –La regla era infinita y no tenía marcas…

–¿Como las reglas de Golomb? –interrumpió Sal.

–No exactamente –dijo ella –La regla de los griegos no tenían ninguna marca.

–Y el compás, ¿qué tenía de ideal? –quiso saber Ven.

–Pues que se cerraba al separarse del papel –les dijo –No tenía memoria para recordar las aperturas que había hecho…

–Toma, qué complicado todo… –resopló el pequeño.

–A lo mejor sí es un poco complicado para vosotros, aún –siguió Mati –Pero si queréis, os cuento como usar vuestra regla y vuestro compás como si fuera una especie de calculadora.

–¡Toma, toma, toma! ¡Vale! –gritó Ven entusiasmado.

–¿Aunque no sean ideales? –dudó el gafotas.

–Aunque no sean ideales –respondió la pelirroja –¿Te apetece, Sal?

–Pues claro –respondió él con una sonrisota.

–Os enseñaré primero a sumar sólo con la regla  –les anunció –Decidme dos números.

–8 y 9 –dijo Ven –Nuestras edades.

–Pues, muy bien –empezó a decir Mati –Ya veréis qué fácil, sólo hay que dibujar un segmento que mida 8 y a continuación, uno que mida 9, y medir el segmento resultante.

 

–Jo, pero es más rápido sumar, Mati –protestó el pequeño.

–Ya, si sabes hacerlo, sí –dijo ella –pero con este método no hace falta saber sumar…

–Eso sí… –terminó aceptando Ven.

–Y si queréis restar 9 menos 8 –les dijo –Dibujáis primero el segmento de 9 y en el punto en el que termina, dibujamos el de 8, pero en sentido contrario. Medimos lo  que queda del primer segmento, es el resultado de 9 -8.

 

 

–¿Y si hacemos 4 menos 9? –preguntó Sal.

–En ese caso –dijo Mati –el resultado será todo lo que sobresalga del segmento de longitud 4 pero le ponemos un signo menos delante.

–Qué chulo… -exclamó Sal –Se parece a lo los saltitos que nos contaste aquella vez.

–Pues sí –respondió la pelirroja guiñando un ojo –Es que estamos haciendo lo mismo.

–¿Se puede multiplicar también, Mati? –preguntó Ven impaciente.

–Pues, claro, cielo –le anunció ella –Y ahora vamos a usar el compás.

–¡¡Mola!! –contestó el pequeño.

–¡Multiplica 3 por 5 con la regla y el compás, Mati! –le pidió Sal.

–Vamos allá –les dijo –Pintamos un segmento de longitud 1 y otro de longitud 3 formando un ángulo.

–¿Cuánto tiene que medir el ángulo? –preguntó el gafotas.

–Da igual –respondió ella –A continuación del segmento de longitud 1, dibujamos el segmento de longitud 5.

 

 

–Ahora –siguió Mati –Dibujamos, en rojo, la recta que une los otros extremos de los segmentos de longitud 3 y 1, y vamos a prolongar, con lápiz, la semirrecta que contiene al segmento de longitud 3.

 

 

–Necesitamos dibujar ahora –continuó la pelirroja –Una recta paralela a la roja, que pase por el otro extremo del segmento de longitud 5, el que no está pegado al segmento de longitud 1.

–¿Paralela? –preguntó Ven.

–Eso es, Ven –dijo ella –Una recta con la misma dirección, con el mismo vector, pero que pase por el extremo libre del segmento verde. Vamos a usar para ello el compás.

–¡Mola! –dijo Ven y le dio el suyo.

–Pinchamos con el compás en el extremo libre del segmento verde –les dijo –y abrimos el compás lo suficiente para que el arco de círculo que dibujemos corte en 2 puntos distintos a la recta roja, P y Q. Estos dos puntos, por lo tanto, están a la misma distancia del extremo verde libre.

 

–Muy bien, chicos, seguimos. Vamos a llamarle A al extremo verde libre del segmento de longitud 5 –continuó la gafotas –Ahora, elegimos otro punto sobre la recta roja, P’, a la misma distancia de Q que  P.  Abrimos el compás desde A hasta P y  dibujamos dos arcos, uno con centro en Q y otro con centro en P’, que se cortarán en 2 puntos. Elegimos el que esté más cerca de A y le llamamos O.

 

 

–¿Y ahora, Mati? –preguntó Sal intrigado.

–Pues, nada –respondió ésta –Ya lo tenemos, la recta que pasa por A y por O, es paralela a la recta roja, y va a cortar a la semirrecta que dibujamos en lápiz en un punto que llamaremos C.

–¿Y? –siguió preguntando el gafotas.

–Que si llamamos B al extremo libre del segmento de longitud 3, el resultado de 3 por 5, es la longitud del segmento entre B y C.

 

–¡Toma. toma, toma! –exclamó el pequeño Ven.

–¡¡Es chulísmo! –gritó Sal –¿Se puede dividir?

–Claro –respondió Mati –¿Os enseño?

–¡Sí! –gritaron a la vez.

–Vamos a dividir 8 entre 4 –les propuso.

–Sale 2 –dijo Ven.

–Ya, Ven –añadió su hermano –Pero vamos a verlo con dibujos…

–Ahora pintamos dos segmentos de longitud 4 y 8 –les dijo –formando un ángulo, cualquiera, y marcamos una unidad de longitud sobre el segmento del denominador, esto es, el de 4. Dibujamos también una línea roja que una los extremos libres de los 2 segmentos.

 

 

–Ahora lo que queremos es una paralela a la línera roja que que pase por la marca del 1.

–¿Lo hacemos otra vez con compás, Mati? –preguntó Sal.

–Claro –contestó ella — Pinchamos sobre 1 y dibujamos un arco que corte a la línea roja en dos puntos, P y Q. Después, elegimos otro punto sobre la línea roja, Q’, a la misma distancia de Q que el punto P.

 

 

–Pinchamos en 1, abrimos hasta P, y dibujamos dos arcos con esa apertura, uno pinchando en Q y otro pinchando en Q’, que se cortarań en 2 puntos. Elegimos el más cercano al 1 y le llamamos O.

 

 

–Pues ya lo tenemos –anunció Mati –La recta que pasa por 1 y O es paralela a la recta roja…

–¿¿¿Y??? –preguntó Ven.

–Pues que el resultado de dividir 8 entre 4 –respondió ella –es la longitud de segmento que va desde A hasta B en este dibujo

 

–¡Wow! –Sal estaba emocionado.

–Alucinante… –dijo Ven con los ojos brillantes.

–Lo es –admitió ella –Y todo gracias a un  Teorema de Tales.

–¿Qué es el teorema de Tales, Mati? –quiso saber Sal.

–Os lo cuento el próximo día –dijo ella –Y os enseñaré también más cositas con regla y compás.

 

Paseando por la Gran Manzana (sin Euclides de la mano)

En capítulos anteriores vimos cómo la distancia más corta entre dos puntos de la superficie terrestre no siempre es lo que parece. Así, la distancia más corta entre Sevilla y la capital de las Islas Salomón viene dada por esta curva:

 

Pero, ¿es ese un fenómeno que se da sólo porque la esfera no es plana? ¿si nos restringimos a porciones más pequeñas de la Tierra, como ciudades, que son casi un plano, podemos considerar que la línea recta es la distancia más corta entre dos puntos? Bueno, la verdad es que no del todo puesto que otras consideraciones aparecen en este caso. Así que tratemos de fijar conceptos:

Supongamos que estamos en una gran ciudad y queremos llegar de un punto a otro, ¿consideraremos la recta como el camino óptimo? Si se puede ir en línea recta sí, pero, en general la línea recta entre dos puntos en una ciudad implica atravesar edificios lo cual puede traer inconvenientes que no ha lugar considerarlos aquí. Entonces me parece que no es mala idea buscar la distancia más cortas en una ciudad “andando por las calles” (el problema de circular es ligeramente más complicado puesto que implica direcciones únicas). como paradigma de ciudad para este ejemplo se suele tomar es el de la parte central de Manhattan por estar muy bien estructurado.Así supongamos que queremos ir de un punto a otro de Manhattan (con o sin la compañía de Euclides) y que no vamos a atravesar rascacielos porque eso no está bonito, no. ¿Cuál será esa ruta?

Figura 1

En la Geometría Euclideana, que es la geometría que todos aprendemos desde nuestros primeros años de estudios, la distancia entre dos puntos se mide como la longitud del segmento que los une, o dicho de otra forma, como el módulo del vector que esos dos puntos definen. Esa forma de medir la distancia es conocida como distancia euclídea y es la que usamos cuando medimos usando un metro entre los dos extremos de lo que queremos medir. En realidad, se trata de una consecuencia del Teorema de Pitágoras. Si tenemos dos puntos en el plano de coordenadas (a,b) y (c,d) respectivamente y queremos calcular la distancia euclídea entre ellos, basta con fijarse que la longitud de los catetos del triángulo rectángulo que definen son (c-a) la de uno y (d-b) la del otro.  Entonces, por el Teorema de Pitágoras, sabemos que la distancia euclídea se mide como

Ahí todo está bien y correcto, pero esa no es la única forma de medir la distancia entre dos puntos en el plano. Existe otra distancia, conocida como Distancia de Manhattan o Distancia L1, que mediría la distancia entre los puntos de la Figura 1 como

Es decir, la suma de las longitudes de los dos catetos del triángulo rectángulo. O bien, la de cualquier ruta que una al punto (a,b)  con el punto (c,d) a través de segmentos horizontales y verticales, en otras palabras, la longitud de cualquier escalera que suba desde (a,b)  con el punto (c,d)


En verde, la distancia euclídea, y en rojo, azul y amarillo, la distancia Manhattan: todas ellas son rutas óptimas. (Imagen  sacada de aquí)

 

Pues bien, cuando se trata de diseñar rutas de recorrido mínimos en ciudades, tiene más sentido usar esta distancia que la Euclídea, por lo de no atravesar rascacielos que habíamos dicho. Es más, puesto que todas las ‘escaleras’ tienen la misma longitud, nos permite elegir entre distintas opciones, en función de semáforos, zonas de dudosas seguridad, etc…

Evidentemente, no todas las ciudades, ni siquiera Nueva York, están distribuidas como una cuadrícula, pero se considera para según qué problemas de dieños de rutas este tipo de distancia. Y también, cómo no, en el diseño de circuitos ortogonales en los que predominan la conexiones en vertical y horizontal, o en el de un plano de metro.

Otra cosa que no diríamos si pensáramos con la distancia de Manhattan es “No había nadie en 10 Km a la redonda” Porque cuando utilizamos esta expresión, estamos intrínsecamente midiendo con la distancia euclídea. Con esta distancia, la que usamos habitualmente en el día a día, los puntos que están a menos distancia de 10 Km de nosotros, son aquellos que están contenidos en un círculo alrededor nuestra de radio 10 Km.

Pero si pensáramos con la distancia de Manhattan, no sería un círculo, sino ¡un rombo!

Todos los puntos de la frontera del círculo de la izquierda están a la misma distancia euclídea del origen de coordenadas, y todos los puntos de la frontera del rombo de la izquierda están a la misma distancia L1 del origen de coordenas, como se explica en la siguiente figura:

El punto verde y el punto rojo están a la misma distancia del punto azul (nótese que el ángulo formado por el rombo y el eje en el punto verde es de 45º y, por lo tanto, la longitud de los dos catetos del triángulo rectángulo formado es la misma, está representada con a en la Figura) Y en general, cualquier punto de la frontera del rombo está a la misma distancia del origen (punto azul).


Ahora vamos a ver, que  dependiendo de la distancia elegida, el punto más cercano a uno dado puede ser distinto, lo que sería de utilidad conocer a la hora de diseñar rutas de longitud mínima, por ejemplo, para empresas de distribución, mensajería…

Si usamos la euclídea (la usual) el punto rojo está más cerca del origen (en azul) mientras que si usamos la de Manhattan el origen esá más cerca del punto verde. 

 

 Eso sí, puede que la distancia Manhattan sea más práctica y refleje mejor la realidad en el diseño y optimización de rutas de distribución, pero mi experiencia como madre me permite asegurar que cuando somos niños es la distancia eulcídea la que ‘traemos’ instalada: “De aquí para acá, mío, de aquí para allá, tuyo”.

Pues bien, ahora que ya conocemos la distancia Manhattan, os formulo una pregunta. Si tenemos dos puntos sobre el plano, P y Q, los puntos que están a la mitad de camino entre P y Q, a la misma distancia de ambos, definen una recta que conocemos, como mediatriz. ¿Y si usamos la distancia L1,? ¿Qué aspecto tiene la mediatriz entre P y Q?

PS: Cuando explico esta distancia a mis estudiantes no puedo resistir la tentación de llamarla Distancia del Ensanche, y es que Barcelona es mi debilidad (aunque Nueva York no está nada, pero nada mal).