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Cuántas ecuaciones, ¡por Gauss!

–¿Por qué tenemos que hacer lo que tu digas, Sal?

–No, eso no es cierto, Ven,  y lo sabes. Antes nos hemos subido en la atracción que tú has elegido.

–Pues ahora quiero probar aquí –insistió Ven –. Soy el mejor lanzador del mundo.

–Estás siendo presumido, Ven –replicó Sal –. Se lo diré a mamá…

–Lo que pasa, Sal, es que no quieres reconocer que soy mejor lanzador … –insistió el pequeño cada vez más enfadado.

–El dinero es de los 2, Ven –contestó el aludido — y en estas casetas de tiro casi nunca se gana…

–¡Ja!–dijo Ven con cara de enfadadísimo.

–Vaya, qué risa tan poco convincente… –dijo Mati interviniendo en la cumbre.

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–Es que Sal no quiere que compitamos en esta caseta –se apresuró a contarle Ven.

–Es que nos queda poco dinero, Mati –se defendió el gafotas –, y en estas casetas es muy difícil conseguir premio.

–¡JA! –insistió Ven.

–Bueno, eso y que Ven es un poco presumido y se cree un gran lanzador…

–Huy, no os lo vais a creer –dijo Mati muy teatrera tratando de relajar el ambiente–, me acabáis de recordar un romance sobre un lanzador un poco presumido, ¿os lo cuento?

Los niños asintieron con la cabeza. Gauss resopló, estas discusiones le agotaban. Mati les recitó el romance:

Rafael Rodríguez Vidal. Enjambre matemático.

 

–Ni i-de-a –dijo Ven enfurruñado –¿Qué es un duro, Mati?

–Ah, tienes razón –le contestó la pelirroja –. Un duro eran 5 pesetas.

Sal se quedó pensando un buen rato al cabo del cual admitió:

–No me sale.

–Os enseñaré a hacerlo usando ecuaciones -les anunció.

–¡Ecuaciones! –exclamó Sal –Me encantan.  Ya nos enseñaste ecuaciones.

–Efectivamente –confirmó ella –. Pero en aquella ocasión solo teníamos una letra sospechosa, la x, y en este misterio –añadió bajando la voz imprimiendo misterio a la escena –hay dos sospechosas, la x y la y.

–¡Toma! –dijo el pequeño –¡Mola!

–¿Dos letras sospechosas? –preguntó el gafotas.

–Sí, la x representará el número de aciertos del tirador y la y representará el número de fallos del mismo –dijo Mati –. Tenemos que descubrir quién es x y quién es y.

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–Como tenemos 2 sospechosas –continuó ella –, a las ecuaciones que vamos a tratar de resolver las llamamos ecuaciones con 2 incógnitas. 

–¿Qué ecuación tenemos que resolver, Mati? –preguntó Sal ansioso.

–Ecuaciones, Sal –respondió Mati –, para tener un único valor del acertijo, necesitamos tener, al menos, 2 ecuaciones, tantas como incógnitas.

–¿Qué pasa si solo tenemos una ecuación con 2 incógnitas? –preguntó el pequeño.

–En ese caso –respondió ella –, la ecuación tendrá infinitas soluciones.

–Sí, claro… –dijo Ven con sorna.

–Te lo voy a demostrar –anunció la pelirroja –. Vamos a ver una primera ecuación que deben verificar x e y, ¿cuánto debe valer la suma de x más y?

Los niños se quedaron pensativos hasta que el gafotas exclamó:

–¡16! Porque hizo 16 lanzamientos en total.

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–Eso es –confirmó Mati –. Pues mira, Ven, si solo tenemos esa ecuación, tenemos varios  resultado distintos.

Mati empezó a escribir todas las posibles soluciones de la ecuación planteada:

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–¡Eh! –interrumpió el gafotas –Esas soluciones no valen. Si acierta 16 y no falla ninguna, el feriante tendrá que pagarle 16 duros, y el romance dice que quedaron en paz.

–Efectivamente –confirmó Mati –, es por lo que necesitamos imponer la segunda condición, la de quedar en paz, para obtener otra ecuación y conseguir que la solución sea única: como por cada acierto le daban 5 pesetas, y por cada fallo él pagaba 3, si al final quedaron en paz fue porque 5 por x (el número de aciertos) era igual que 3 por y (el número de fallos). Ya tenemos la otra ecuación:

 

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–Pues ya está –anunció Mati –, ya tenemos nuestro sistemas de 2 ecuaciones lineales con  2 incógnitas.

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–¿Lineales? –preguntó Ven extrañado.

–Sí, lineales –le explicó Mati –porque las incógnitas no aparecen elevadas a ninguna potencia.

–Y ahora, ¿qué hacemos, Mati? –preguntó el gafotas –¿A quién desenmascaramos primero? ¿A la x o a la y?

–Veréis –anunció la pelirroja –, aunque existen distintos métodos para resolver este tipo de sistemas de ecuaciones, os voy a enseñar el método de Gauss para resolverlas.  

–¡Sí! –gritó el pequeño abrazando a su mascota con riesgo de asfixia –¡Tu método, Gaussito bonito! ¡Tú método!

–Ven, no seas burro –le pidió su hermano –. Vas a despachurrar a Gauss.

Ven lo depositó de nuevo en el suelo, Gauss fingió un desmayo. Él es así. Una vez recuperada la mascota, Mati continuó:

–Para ello, antes que nada, vamos a ordenar un poco la escena del crimen –les dijo guiñando un ojo –. Llevamos a las incógnitas con sus compañeros al término de la izquierda, y los números que no llevan incógnita al término de la derecha.  En nuestro ejemplo, solo tenemos que llevarnos las 3y al término de la derecha en la segunda ecuación, nos la llevamos pero cambiando su signo, pasan como -3y:

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–Ahora vamos a construir una cajita especial –les anunció Mati –que llamaremos matriz del sistema. Como son 2 ecuaciones, será una caja con 2 filas (horizontales) y 3 columnas (verticales); una columna para la x, otra para la y y otra para el número que se ha quedado en el término de la derecha, al que llamamos término independiente porque no depende de las incógnitas, ya que no las acompaña.

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–Qué caja tan mona –dijo Ven pícaro.

–En realidad, los matemáticos –dijo Mati –no dibujamos la cajita así, sino usando dos paréntesis grandotes, así :

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–¿Y ahora? –preguntó Sal ansioso.

–Ahora vamos a tratar de conseguir que en la segunda fila, en la columna de la x, aparezca un 0 –les dijo –. Así tendremos en la segunda ecuación, una ecuación con una sola incógnita que es muy fácil de resolver como os enseñé.

–Ya –dijo Ven –, pero eso es hacer un poco de trampa, ¿no, Mati?

–¡Jajajajajaja! –se rio ella –No, tranquilo, lo haremos muy legalmente. Para ello tenemos que buscar un número, que llamaremos N, de forma que al multiplicar el coeficiente de x en la fila 1 (1 en nuestro ejemplo) obtengamos el coeficiente de x en la segunda fila (5) pero con el signo cambiado; o sea, N es el número que multiplicado por 1 nos da -5.

–Muy fácil –dijo Sal –. N es -5.

–Efectivamente -dijo Mati –. Ahora multiplicamos la fila 1 por -5 y se la sumamos  a la fila 2. El resultado será la nueva fila 2 de nuestra matriz.

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–Veamos cómo queda nuestra nueva matriz del sistema –les dijo.

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–Escribimos el sistema de ecuaciones asociados a esta nueva matriz –continuó la gafotas.

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–Ahora fijaos en la segunda ecuación –les pidió.

–¡Toma! –dijo Ven -Esa es muy fácil, solo hay que pasar -8 al término de la derecha pero dividiendo, porque estaba protegiendo a la y multiplicándola.

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–¡Toma, toma, toma!  ¡Cómo mola! –gritó el pequeño –¡Falló 10 veces, así que acertó 6 y ganó 30 pesetas!

–Bueno –añadió Sal –, en realidad no ganó nada, porque como falló 10 también tuvo que pagar 30 al feriante…

–Ya, ya –respondió Ven –, no seas aguafiestas…

–¿Sabéis? –interrumpió Mati de repente –De repente me apetece subir a la noria, ¿alguien me acompaña?

–¡Yo, yo! –gritó Ven y salió corriendo hacia la noria olvidando la disputa original. Sal y Mati se miraron, sonrieron y le siguieron. Gauss se quedó embobado mirando una perrita piloto que colgaba del puesto.

(*) El romance de esta entrada es de Rafael Rodríguez Vidal en Enjambre matemático.

¡A la moda! Y a la mediana, y a la media…

–¿Nos vamos ya, Sal?

–Un segundo, Ven, me estoy atando las botas…

–Seguro que ya están todos esperando, date prisa, por fi.

–Ya ¿Pero qué haces con la camiseta al revés, Ven?

–No está al revés –respondió el pequeño sin inmutarse –.La etiqueta va por dentro…

–Pero ¡llevas el número en el pecho! –dijo Sal.

–Sí –respondió su hermano tajante.

–Ven, ¡ponte bien la camiseta, estás un poco ridículo! –exclamó el gafotas.

–No me importa, Sal –contestó Ven caminando hacia la puerta ufano –¡Soy un moderno! ¡Esta es la moda!

–Bueno, yo no estoy tan segura… –Mati acababa de llegar, Gauss respiró aliviado.

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–¡Hola, Mati! –la saludó el gafotas –. A ver si tú lo puedes convencer…

–Hola, Mati –dijo el moderno –. Ya le he dicho al gafotas que esta es la moda…

–Ya, ya lo escuché –dijo la pelirroja –, y ya te dije que no estaba segura de ello. No creo que sea la forma más frecuente de llevar la camiseta, y en ese caso, no puede ser la moda.

Ven miró a Mati con el ceño fruncido pensando en alguna respuesta lo suficientemente moderna… pero no la encontró.

–La moda –les explicó Mati – es el valor que más se repite en un conjunto de valores o sucesos, por lo tanto, la moda de llevar la camiseta sería con el número en la espalda, que es como la lleva la mayoría de la gente, ¿no, Ven?

–No entiendo nada –se quejó el pequeño.

–Te estoy haciendo un poco de trampa –dijo ella –. Estoy mezclando el concepto de moda de un conjunto de datos en Estadística, con lo que comúnmente llamamos moda en la vida cotidiana, aunque eso sí, están relacionados.

–¿Qué es la moda de la Estadística, Mati? –preguntó inmediatamente el gafotas.

–La moda en Estadística –les contó –es una medida que se utiliza para obtener una primera aproximación de los valores representativos en un experimento, como lo son también la media o la mediana.

Los niños se quedaron muy serios, Gauss miró hacia la ventana disimulando.

–¿Os lo explico con un ejemplo? –les preguntó.

–¡Sí! –respondió Sal inmediatamente y se sentó en el suelo.

–Vale –aceptó el pequeño que estaba un poco despistado.

–A ver –empezó a decir ella –, supongamos que preguntamos el número de calzado que usan todos los niños de tu clase, Ven.

–Tercero A –dijo Ven – ¿Pueden estar también los de tercero B que está mi amigo Pablo?

–Por supuesto –dijo ella –, preguntamos el número de zapato a 40 niños y obtenemos las siguientes respuestas:

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–Lo primero que tenemos que hacer –continuó la pelirroja –es ordenar estos datos para poder trabajar mejor con ellos. Para ello, hacemos una tabla donde ponemos cada uno de los valores obtenidos, cada número de zapato, y al lado el número de veces que ha aparecido en la encuesta, la frecuencia.

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–Ya podemos saber cuál es la moda de este experimento –anunció Mati –, ¿cuál es el valor que más se repite, el que tiene mayor frecuencia?

–¡32! –gritó Ven de repente.

–Eso significa –añadió ella –que en tu clase la moda es tener un 32 de pie.

–Jo, pues yo no voy a la moda –se quejó el pequeño –porque tengo un 34…

–Bueno –lo consoló Mati –, 34 es un valor bastante frecuente también y cercano a la moda.

–¿Qué pasa si hay varios números de zapatos con la mayor frecuencia, Mati? –preguntó Sal.

–En ese caso –dijo la gafotas –, tendremos varias modas, no pasa nada. Nos quedan la mediana y la media para tratar de estimar el valor central del experimento.

–¿Cómo se calculan la mediana y la media? –preguntó Sal.

–La mediana –dijo ella –es el valor central de todos si los ordenamos de menor a mayor. Nos permite asegurar que es un valor mayor, o igual, que la mitad de los datos, el 50% de ellos, y menor o igual que el otro 50%. Si ordenamos nuestros datos de menor a mayor, como es un número par de datos. 40, tenemos dos valores centrales, en la posición 20 y 21. En ese caso, si hay dos valores centrales, los sumamos y dividimos el resultado por 2. En nuestro experimento, la mediana es 33: 

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–Eso significa… –masculló el gafotas –que la mitad de los niños tienen un número menor o igual que 33 y la otra mitad, un número mayor o igual que 33, ¿no, Mati? 

–Efectivamente, Sal –confirmó esta –, nos da una información de la tendencia central que es, en ocasiones, más representativa que la media. 

–¿Cómo se calcula la media, Mati? –preguntó el gafotas. 

–Para calcular la media –dijo ella —multiplicamos cada dato por su frecuencia y sumamos todos. Luego dividimos el resultado por el número total de datos, en nuestra encuesta, 40:

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–Mira –dijo Ven divertido –, se ha quedado en medio de la mediana y la moda, para que no se enfaden.

–Es cierto –dijo Mati –. Esto ha ocurrido porque nuestra distribución es muy homogénea, no hay datos muy alejados de los demás, ningún niño con un pie enorme o muy, muy pequeñito… Cuando la distribución de valores no es tan homogénea, conviene usar la mediana mejor que la media para dar una estimación central de los datos.

–Pero si salen muy parecidas, Mati… –dijo el gafotas.

–No, no siempre –respondió ella –. Imaginaos que le preguntamos a unos niños por el dinero que le dan en casa cada semana para sus cosas y obtenemos la siguientes respuestas:

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–¡Hala! –exclamó Ven –¡Qué suertudos los 2 últimos!

–Bueno, no sé, Ven –respondió Mati –, habrá que ver si además de una buena paga semanal tienen otras cosas más importantes pero… En fin, sigo: si calculamos la media, mediana y moda de esos datos, tenemos que:

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–¡Toma. toma, toma! –dijo el pequeño Ven –Ahora sí que no se parecen…

–Ajá –asintió Mati –, esto ocurre porque la muestra de valores no es homogénea. A menudo, hay quien usa el valor de la media para dar una idea de lo habitual en la muestra, pero en este caso, si decimos que los niños suelen recibir 13 euros mensuales, estamos dando una información muy lejana de la realidad, puesto que 11 de los 13 niños, más del 84% de los encuestados, reciben menos de 7 euros…

–Es verdad… –interrumpió Sal.

–Usando la mediana y la moda –continuó la pelirroja –, afirmaríamos que la mitad de los niños reciben 6 euros o menos cada semana y que lo más frecuente es que reciban 5 euros semanales ¿No os parece que da una visión más real de los datos?

–¡Mucho más! –gritó el gafotas –¡Me gusta la mediana!

–A la mediana –añadió Mati sonriendo –se le llama también percentil 50. O segundo cuartil… Pero de este otro tipo de medidas y de otras formas de analizar nuestras muestras de datos hablaremos otro día, que os esperan en la cancha.

¡Más fracciones!

–¿Jugamos al Hex un rato, Sal?

–No puedo, Ven, tengo que hacer la tarea de Mates.

–¿Te queda mucho?

–No, solo unas sumas de fracciones.

–¿Me enseñas a sumar fracciones? –pidió Ven a su hermano.

–Toma, calcula esto que es muy fácil.

El pequeño Ven se dispuso alegremente a realizar la suma que le había propuesto su hermano, 3/5 más 2/5…

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–¡Hala, qué burro! Pero, ¿qué has hecho, Ven? –preguntó el gafotas exaltado.

–No me llames burro, tú –se quejó el pequeño reprimiendo un puchero –. Estoy en 3º y aún no hemos estudiado las sumas de fracciones…

–Lo siento, Ven –dijo Sal mientras le ponía un brazo por los hombros –Se me ha escapado… Te enseñaré cómo se hace, ¿quieres?

–Bueno, bueno, bueno… –Mati acababa de llegar – ¿Jugando a profesor y alumno?

–¡Hola, Mati! –saludaron los dos pequeños, Gauss ladró.

–Iba a enseñarle a Ven a sumar fracciones –añadió Sal.

Mati miró lo que había escrito Ven y dijo:

–Ah, ya veo… pero cuando los denominadores son iguales, sólo tenemos que sumar los numeradores, Ven.

–Es que en su clase aún no han explicado fracciones, Mati –se apresuró a excusarlo su hermano.

–Eso –añadió Ven.

–Ya, ya, lo sé –dijo ella –Debes pensar en las fracciones como si fueran trozos de tarta, ya verás cómo es más fácil…

–¿Trozos de tarta? –preguntó el pequeño rápidamente.

–Sí –respondió Mati –. Si dividimos una tarta en 5 trozos, 1/5 será un trozo, 2/5 serán dos trozos, 3/5 serán 3… Ahora piensa, ¿cuánto son 3/5 más 2/5?

–¡Cinco trozos! –exclamó Ven.

–Eso es –dijo Sal con una enorme sonrisa –. Serían 5/5, o lo que es lo mismo, 1, porque sería la tarta entera.

–Muy bien, chicos –añadió la pelirroja.

–Ahora lo comprendo todo –dijo Ven ceremonioso –Así que solo sumamos los números de arriba… 3/8 más 11/8 serán 14 /8… ¡Eh! Un momento, no pueden ser 14/8. Eso es más de una tarta.

–Cierto –confirmó la pelirroja y añadió guiñando un ojo–. Pero nadie dijo que solo tuviésemos una tarta. Además, fíjate, Ven, que 14 es 7 por 2 y 8 es 4 por 2, podemos, en ese caso, eliminar ese 2 en el numerador y el denominador y nos queda una fracción más elegante.

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–¡Toma! ¡Claro! –aceptó un Ven entusiasmado, pero su cara perdió de pronto el color –¿Qué pasa si no son iguales los denominadores, Mati?

–Vamos a pensarlo, ¿no? –propuso ella –Imaginemos que tenemos que sumar 3/8 + 1/6… Lo dibujamos como porciones de tarta

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–Ahora nos fijamos en la suma –les dijo –. No podemos hablar de octavos, porque el trozo resultante de sumar tiene un lado azul (el que representa los cortes en octavos) y otro en verde (que representa los cortes en sextos, en 6 partes iguales). Por la misma razón, no podemos hablar de sextos, ¿no?

–Claaaaaaaaro –murmuró Ven.

–¿Qué podemos hacer, chicos? –les preguntó Mati.

–Hacer porciones de distinto tamaño, ¿no? Más pequeñas –propuso Sal.

–Efectivamente –dijo ella –. En nuestras dos tartas iniciales, vamos a hacer nuevos cortes para dividir en fracciones de forma que al superponerlas, al sumarlas, las líneas azules y las líneas verdes coincidan. Para ello, el número de trozos debe ser el mismo en ambas tartas, ¿no?

–Ajá –asintió Ven muy teatrero.

–Tenemos que cortar cada uno de los 8 trozos de la primera tarta en un número N de trozos que nos darán en total 8xN porciones –les contó – y cada uno de los 6 trozos de la segunda tarta en M trozos, y nos quedarán 6xM porciones. Pero queremos que 8xN y 6xM sean iguales. Ahora bien, 8xN es un múltiplo de 8 y 6xM es un múltiplo de 6, por lo tanto necesitamos…

–¡Un múltiplo común a 6 y 8! –exclamó Sal.

–Eso es, muy bien –confirmó Mati –. Y para hacer el menor número de cortes, buscaremos…

¡El mínimo común múltiplo! –gritó Ven con entusiasmo.

–Pero, bueno, ¡sois fantásticos! –la pelirroja estaba orgullosa, Gauss gruñó con pelusilla –Lo calculamos como os enseñé.

–Primero el máximo común denominador –propuso Sal.

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–Y ahora dividimos 8 x 6 entre el MCD (8, 6) –concluyó el pequeño –y nos queda 24.

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–Ya lo tenemos –anunció ella –Vamos a dividir cada tarta en 24 trozos. Para ello, cada trozo de la primera, lo cortamos en 3, 24/8, y cada trozo de la segunda, lo cortamos en 4, 24/6. Así tenemos que 3/8 son lo mismo que 9/24 y que 1/6 serán 4/24 y por lo tanto:

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–¡13/24! ¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! –gritó el pequeño.

–Pues ya lo sabes –concluyó la gafotas –Para sumar fracciones con distinto denominador, también nos sirve el mínimo común múltiplo del que hablamos el otro día.

–¿Me pones una suma, Mati? –pidió Ven y Mati le escribió una en su libreta: 8/15 + 5/6.

–Primero el mcm(15, 6) –dijo Sal y lo calcularon.

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–Ahora tenemos que hacer 30 trozos de cada tarta –continuó el pequeño –O sea que en la de 15 trozos, hay que dividir cada trozo en 2 trozos, y por lo tanto, si 8/15 eran 15 trozos ahora tendré 16 trozos, es decir 16 trozos, que serán 16/30. En la tarta de 6 trozos, tengo que dividir cada uno de ellos en 5 trozos, por lo tanto, si 5/6 eran 5 trozos de esa tarta ahora tendré 5 por 5, 25 trozos de la nueva… 25/30. Y ahora 25 más 16… 41…¡41/30!

 

–Perfecto, Ven –le felicitó Mati–Ya sabes cómo sumar fracciones con distinto denominador –A continuación resumió todo el método en la libreta para que los chicos lo repasaran con ella.

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–Pero, Mati –preguntó el gafotas –¿No es más rápido hacer la división que indica la fracción y luego sumar lo que nos sale?

–Bueno –dijo esta –, no siempre es más rápido, puesto que tienes que hacer la división y además, en la mayoría de los casos, no tendrás el resultado exacto. Por ejemplo, vamos a calcular 10/3 + 17/9. Si lo hacemos con el método que propones:

dibujo_8–Pero si lo hacemos sumando las fracciones –continuó Mati –, que son los valores exactos de los números que queremos sumar:

 

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–Como veis, el resultado es diferente –les dijo y añadió con sonrisa traviesa–. Es preferible tratar las fracciones como lo que son, fracciones, no tratar de ver sus intimidades que se pueden alterar los resultados y mis chicos son muy precisos en sus cálculos, ¿no?

–Totalmente –afirmó Ven con rotundidad.

–No lo había pensado –añadió el gafotas –. Prefiero hacerlo con fracciones, sí.

–Bueno, Sal –dijo de pronto el pequeño –, termina tu tarea, yo jugaré mientras con Mati al Hex, ¿vale?

El ‘más menor’ de los múltiplos y el ‘más mayor’ de los divisores

–No se puede, Sal –dijo Ven.

–Espera, Ven, yo creo que sí –respondió el gafotas.

–Pero nunca serán igual de altas –insistió el pequeño — ¿No ves que los cubos de números son más pequeños que los cubos de letras?

–Que eso no impoooooorta… –contestó el gafotas.

–¡Anda que no! –siguió Ven con la regla en la mano –¡Mira! Los de letras miden 9 centímetros y los de números solo miden 6 centímetros de lado.

–Pero, bueno… –Mati acababa de llegar –¿Qué pasa aquí? Cuánto jaleo…

–Hola, Mati –la saludó Sal –. Vamos a construir dos torres gemelas con los cubos, una de letras y otra de números, para demostrar que las mates son tan importantes como las letras –el gafotas guiñó un ojo.

–Pero es imposible, porque los cubos de letras son más grandes que los de números –añadió su hermano con retintín.

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–Hola, Ven –saludó la pelirroja –No, ¿por qué dices que es imposible?

–Porque los de letras miden 9 centímetros y los de número 6 –contestó el pequeño cada vez más enfadado.

–Vamos a pensar un poco –propuso ella –Si hacemos una torre con 8 cubos de letras, ¿cuánto medirá?

–72 centímetros… –dijo Ven con cansancio.

–Eso es, Ven –dijo Mati –9 por 8, es decir, un múltiplo de 9, ¿no?

–Pues claro –contestó Ven mirando a Mati por el rabillo del ojo.

–Y si hacemos una torre con 10 cubos de números, ¿cuánto medirá? –siguió preguntando ella.

–60… –respondió Ven.

–Ajá, un múltiplo de 6, ¿no? –les preguntó.

–Sí  –respondió el gafotas con interés.

–Luego el problema que tenemos que resolver es encontrar un número que sea, a la vez,  múltiplo de 9 y múltiplo de 6 –les dijo –. Un múltiplo común a 9 y 6.

–Ya lo tengo –gritó el gafotas –Basta poner 6 cubos de letras y 9 cubos de números, y medirán 54 centímetros las dos torres ¡Guay!

–Muy bien, Sal –dijo Mati mientras Ven dudaba entre enfurruñarse por haber perdido la disputa y alegrarse porque el problema tenía solución –Ahora os pregunto, ¿se pueden hacer dos torres gemelas más pequeñas que esas con cubos de 6 y 9 centímetros de lado?

Los niños se quedaron muy serios, Gauss ladró para disimular y empezó a perseguir a una mosca imaginaria. Él es así.

–Ni i-d-e-a –acabó admitiendo Ven.

–Se trataría de encontrar el menor múltiplo que tienen en común 6 y 9, ¿no? –dijo Mati –Lo que se suele llamar mínimo común múltiplo de 6 y 9, y que se escribe así: mcm (6,9).

–¿Y eso cómo se hace, Mati? –preguntó enseguida Sal impaciente.

–Hay otras formas de hacerlo –les contó –, pero a mí me resulta más fácil calcularlo usando el máximo común divisor, ¿os acordáis?

–Sí, sí –dijo Sal –. Nos lo contaste. Se hacía con el algoritmo de Euclides, ¿no?

–Efectivamente, cielo –dijo Mati –Pues bien, el mínimo común múltiplo de 2 números se puede calcular dividiendo el producto de esos dos números entre el máximo común divisor de estos.

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–Vamos a calcular el mcm(6,9) –les propuso –.Para ello vamos a calcular primero MCD(6,9) usando el algoritmo de Euclides.

–¡Vale! –dijeron los dos hermanos a la vez.

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–Ea, pues ya lo tenemos –les dijo la gafotas.

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–¡Claaaaaro! –exclamó Sal –Basta con poner 2 cubos de letras y 3 de números, ¡era muy fácil!

–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! –gritó Ven.

–¿Veis? Era posible –dijo Mati guiñando un ojo –Os voy a proponer ahora aun acertijo. Imaginaos que vuestros padres os dan paga cada semana, cada 7 días; vuestros abuelos os dan paga cada 14 días y yo os doy una paga cada 35 días…

–Ojalá –dijo Ven con una sonrisa pícara.

Si os damos las 3 pagas hoy por primera vez –les dijo —¿cuándo volveremos a daros los 3 la paga a la vez?

Los niños se quedaron pensando muy serios,  hasta que Sal dijo:

–¿Hay que calcular el mínimo común múltiplo de 7, 14 y 35?

–¡Muy bien! –dijo Mati.

–¿Y cómo calculamos el mínimo común múltiplo de 3 números? –preguntó Ven.

–Pues agrupando, convenientemente, por parejas –respondió Mati –, así:

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–Calculamos primero mcm(7,14) –les dijo.

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–Nos sale 14 –continuó la pelirroja –. Ahora tendríamos que calcular mcm(14, 35) 

 

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–¡Es 70! –dijo Sal de pronto.

–Así que no volverán a coincidir las 3 pagas hasta dentro de 70 días –concluyó Mati.

–¡Hala, qué morro! –se quejó el pequeño.

–Pero si era todo ficticio, Ven… –se burló el gafotas.

–Con este método para calcular el mínimo común múltiplo –les contó Mati —evitamos tener que factorizar en primos, que puede ser muy complicado. Pensad, por ejemplo, que si queremos descomponer en factores primos el número 7663, el primer factor primo que  tiene es 79, y para llegar hasta él hemos tenido que probar con muchos primos antes…

–Jo, pues sí que es difícil factorizar… –se quejó Ven.

–Venga, el último acertijo –les dijo Mati —Ahora tenemos 25 bolitas rojas, 15 bolitas azules y 45 bolitas verdes. Queremos hacer collares exactamente iguales sin que sobren bolitas, ¿cuántos collares como máximo puedo hacer?

Los niños se volvieron  aquedar muy serios. Finalmente Ven preguntó:

–¿Hay que hacer el mcm(25, 15, 45)?

–No, no –dijo Mati –Si queremos que todos los collares sean iguales, todos tienen que tener el mismo número de bolitas rojas, ¿no?

Los niños asintieron con la cabeza. Gauss también.

–Por lo tanto –siguió la pelirroja –,  tenemos que dividir el número de bolas rojas entre el número de collares y, si no queremos que sobren bolas rojas, el número de collares debe ser un divisor del número de bolas rojas, de 25, ¿verdad?

Sal y Ven volvieron a asentir. Gauss también, es muy novelero.

–Lo mismo ocurre con las bolas azules –continuó ella –por lo que el número de collares debe ser divisor de 15.

–Y también divisor de 45… –apostilló Sal –por las bolitas verdes.

–Eso es –dijo Mati –El número de collares debe ser un divisor común de 25, 15 y 45, y como queremos hacer el mayor número de colares posibles, será el MCD(25, 15, 45). Hacemos primero el MCD(45, 25)

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–Y por último, el MCD(15,5)

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–Ya tenéis, les dijo que el MCD(25, 15, 45) es 5 –continuó Mati –Así que podréis hacer como máximo 5 collares iguales.

–¡Claro! –exclamó Sal –Cada collar tendrá 5 bolitas rojas, 3 bolitas azules y 9 bolitas verdes.

–¡Qué chulo, Mati! –dijo Ven.

–¿Os gusta? –preguntó ella sonriendo –Pues el próximo día os enseñaré a sumar fracciones usando lo que aprendimos hoy.

–¡¡Guauuu!! –dijo Gauss que siempre tiene que ser el que diga la última palabra…

¡Viva México!

–A mí me da un poco de vergüenza, Sal…

–Pero, ¿por qué, Ven? Ahora tendremos más amigos aún –dijo Sal con una sonrisa de oreja a oreja.

–No, si ya, si lo sé –añadió el pequeño –, pero ¿y si no les gustan las mates?

–¿Cómo no les va a gustar las mates, Ven? –protestó el gafotas –Si Mati nos contó que tenía un montón de amigos  mexicanos matemáticos…

–Muchos y muy buenos –afirmó Mati mientras se acercaba a nuestros tres amigos — ¿De qué estáis hablando, chicos?

–¡Hola, Mati! –la saludó Sal.

–Hola, Mati –añadión Ven –. Es que nos hemos enterado de que ahora desde México, en http://www.20minutos.com.mx/ pueden visitar nuestro blog…

–Pero, ¡eso es estupendo! –exclamó la pelirroja –Adoro México tengo muchos amigos y familiares en el país.

Mati20Min_38p

–Te lo dije, Ven –apostilló Sal.

–¿Y es verdad que les gustan las mates? –preguntó el pequeño.

–Claro, les gustan mucho, ¡muchísimo! –confirmó ella –. Desde hace muchos, muchísimos años… ya los aztecas alrededor de los años 1543 y 1544 a.C. tenían un sistema de aritmética para la medición de sus terrenos agrícolas muy, muy avanzado… ¡y muy curioso!

–¿Curioso? –preguntó Sal –¿Por qué curioso?

–Pues porque, por ejemplo –les contó –usaban símbolos para sus medidas como corazones, manos o flechas.

–¡Cómo mola! –dijo Ven.

–Y esos símbolos, Mati –siguió preguntando el gafotas –¿qué representaban? ¿Operaciones?

–No, no –dijo ésta –Eran unidades de medida para estimar la cantidad de tierra que poseía cada agricultor y poder calcular así los impuestos que debían pagar por ellas.

–No me entero… –se quejó Ven.

–Los aztecas por aquella época tenían una unidad de medida –siguió Mati –, el tlalquahuitl, que equivalía, aproximadamente a 2,5 metros…

–¿¿El qué?? –preguntó Ven con la carita muy arrugada.

–El tlalquahuitl –repitió ella no sin esfuerzo –. Pero cuando medían los lados del terreno, a veces se encontraban con trozos que no llegaban a medir un  tlalquahuitl. Por ello, tenían unas símbolos que indicaban fracciones de esa unidad de medida, entre otros, como os he dicho,  un corazón, una mano o una flecha.

–¿Eso es un corazón, Mati? –preguntó Ven extrañado.

–Sí, eso parece según lo que he podido leer en el trabajo de María del Carmen Jorge y Jorge y Barbara Willians –les dijo.

–¿Y qué fracción representa cada símbolo de estos? –preguntó el gafotas.

–Pues parece que, según ese trabajo, el corazón representa 2/5 de un tlalquahuitl, la flecha sería 1/2 de tlalquahuitl y la mano 3/5 de tlalquahuitl.

–Cómo mola… –exclamó Ven.

–Sí, es alucinante –añadió ella –que tuvieran un sistema métrico tan elaborado hace tantísimos años… Fijaos en esta otra imagen de aquella época recogida en el Códice Vergara

–¿Qué significan esos puntos y rayitas, Mati? –quiso saber Sal.

–Cada raya representa 1 tlalquahuitl, le llamaremos T al tlalquahuitl. para que sea más cortito; cada  punto representa 20 T –les dijo ella — Las 4 rayitas con techo, representan al número 5. Así, si medimos en el campo más a la derecha tendremos: 20 T (el puntito) + 3 por 5 (las rayitas agrupadas de 5 en 5) + 2 rayitas sueltas. En total, 37 T.

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–¡Tomaaaaaaaaaaaaaa! ¡Está padrísimo!–gritó Ven.

–¿Os atrevéis a medir los otros campos? –les retó.

Los niños se pusieron manos a la obra y escribieron:

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–Pero bueno… –dijo Mati –Veo que habéis entendido perfectamente la aritmética azteca…

–Un poco, sí –aceptó Sal no sin ruborizarse.

–Pues aún tenían otros símbolos para indicar cantidades siguió Mati –como podéis ver en esta imagen:

–Pues parece que sí que a nuestros amigos mexicanos les gustan las mates –añadió Ven.

–Ya os lo dije -respondió ella –¿Qué os parece si les damos la bienvenida?

–Bienvenidos a nuestro rincón a todos nuestros amigos que nos leen desde México –dijo Sal muy solemne –Podéis ver nuestra presentación aquí.

–¡VIVA MÉXICO! –grito Ven con pasión, provocando que Gauss saliera corriendo despavorido corriendo.

 

La vuelta al mundo con una cuerda

–¡He vuelto a ganar! ¡He vuelto a ganar!

–Esta pista está mal, no puede ser, Sal –se quejó el pequeño.

–Nada, nada –respondió el gafotas –.Te gano con los dos coches, Ven, no seas mal perdedor.

–Pues, ya no juego más, ea –apostilló este –. Estoy cansado de ser siempre el segundo.

–Huy, como Erastótenes... –Mati acababa de llegar.

–¿¿Quién?? –preguntó Ven con la cara arrugada como una pasa.

–Erastótenes –dijo ella –. Era un conocido matemático, astrónomo, poeta, geógrafo y filósofo griego.

–¿Y jugaba al Scalextric, Mati? –preguntó Sal con cara de pícaro.

–No, no –dijo Mati sonriendo –, pero algunos historiadores aseguran que se le conocía con el sobrenombre de Beta,  por la segunda letra del alfabeto griego, porque ocupó el segundo lugar en todas las ramas de la ciencia que cultivó.

–Pobre… –se lamentó Ven –Como yo con esta pista maldita…

–Bueno –continuó la pelirroja –, a este señor se le recuerda como el primer hombre que fue capaz de dar una aproximación de la longitud de un meridiano de la Tierra en el año 240 a.C.

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–Qué tío… –murmuró Ven.

–¿Cómo lo hizo, Mati? –preguntó enseguida Sal.

— Eratóstenes había leído o le habían comentado que el 21 de Junio el Sol estaba sobre la vertical de Siena (la actual Asuán): el Sol llegaba hasta el fondo de los pozos más profundos y comprobó que en Alejandría eso no era así, sino que los palos clavado verticalmente daban una sombra de algo más de 7º (aproximadamente 1/50 de la circunferencia), así que si la distancia entre Asuán y Alejandría era de 5000 estadios (medida de longitud en aquel entonces), el meridiano tendría que medir 250000 estadios. Aquí surge una polémica porque no se sabe exactamente a cuánto corresponde uno de los estadios de Eratóstenes; parece lo lógico suponer que era el estadio egipcio (él vivía en Egipto) que corresponde con 157,2 metros lo cual da una longitud del meridiano de 39300 kilómetros que está muy cerca del valor verdadero que es de 40.008 km aproximadamente.

 

–¡QUÉ TÍO! –volvió a repetir Ven.

–Pero ahora os voy a proponer un reto –anunció Mati –Ya sabéis cómo se mide la longitud de una circunferencia: si conocemos el radio de la circunferencia, r, podemos conocer también su longitud gracias a π:

L= 2π x r

–Sí. sí, me acuerdo, me acuerdo –interrumpió el pequeño.

–Vamos a redondear la longitud del círculo del Ecuador con 40000 kms, aunque en realidad serían 40,008 kms –siguió ella –. Eso nos daría que el radio de la Tierra es 6366197,723675813 metros. solo tenemos que dividir 40000000 entre 2π. Ahora imaginad  que ponemos una cuerda muy apretadita alrededor del Ecuador, una cuerda de 40000 km.

–Vaya cuerda…

–Ahora le añadimos 6 metros más de longitud a esa cuerda… –continuó Mati.

–¿Solo 6 metros? –preguntó el gafotas.

–Sí, solo 6 metros –confirmó ella –Ahora la cuerda no está apretadita en el Ecuador, ¿verdad? ¿cuánto diréis que se separa de la Tierra?

–No se notaría nada, Mati –dijo Sal.

–Sí, eso nos dice la intuición, pero vamos a medirlo –les propuso:

40000006 = 2π x r

..y entonces el radio que nos sale es 6366198,678605472 metros, ¡casi un metro se separa esa cuerda de la Tierra!

–¡¡¡Toma, toma, toma!!! ¡Cómo mola! –gritó Ven.

–Es alucinante… –añadió sal casi sin voz.

–Lo es, sin duda –dijo Mati –. A veces nuestra intuición nos falla. Pero, bueno, ¿me enseñáis vuestros regalos? Aparte de esta pista tan molona, claro.

–Mejor, Mati –dijo Ven enseguida –. Estoy cansado de ser el Beta de esta familia…

 

Una de camellos

–¡Hala! Sí que debe ser incómodo venir desde tan lejos encima de un camello, ¿no?

–Bueno, Ven… En realidad no vienen de tan lejos, no creas…

–¡Anda que no, Sal! ¡Vienen de Oriente!

–Esto… –el gafotas dudó un rato –No sé cómo decirte esto, Ven, pero…

–¿Os cuento un acertijo sobre camellos? –interrumpió rápidamente Mati.

–Siempre que no nos jorobes mucho… –contestó Ven con cara de pícaro.

–Vale, Mati, ya veo –dijo Sal guiñando el ojo a su amiga.

–Veréis –empezó a contarles ella –Hace mucho, muchísimo años, en un país muy lejano, un noble anciano estaba a punto de morir…

–Pobre… –interrumpió el pequeño.

–Era un anciano muy, muy mayor –continuó ella –Justo antes de morir le dijo a sus 3 hijos:

Hijos míos, lo único que os dejo de herencia son mis 17 camellos a los que he cuidado con el máximo cariño y que tanto me han ayudado en esta vida. Sólo os pediré algo, que el mayor de vosotros, que tiene muchos hijos se quede con la mitad; el mediano que está esperando un hijo se quede con la tercera parte, y tú, el más joven, con la novena parte de la herencia.

El hijo pequeño, que era el más hábil con los cálculos protestó:

Pero, padre…

Déjalo descansar –le pidió el hermano mediano —Haremos lo que nos pide, ha sido un buen padre.

-¿No os dais cuenta de que es imposible dividir la herencia como nos pide? –insistió el pequeño, pero el padre ya había muerto.

–¡Toma! ¡Es verdad! –exclamó Ven –17 no se puede dividir por 2, porque no es par, ni por 3 porque sus cifras suman 8 que no es múltiplo de 3, ni por 9 porque la suma de sus cifras tampoco es múltiplo de 9… ¡vaya tela!

–Muy bien, Ven –dijo Mati –.Veo que recuerdas lo que os conté sobre divisibilidad.

–Espero que la solución no sea partir uno de los camellitos a trocitos, ¿verdad, Mati? –preguntó Sal un poco angustiado.

–No, no fue esa la solución, sigo:

Pasados unos días tras la muerte del padre, se hallaban los 3 hermanos tomando un té a la sombra de un árbol cuando vieron acercarse en un camello a una sabia del lugar, a la que todos reconocían enseguida por su larga melena de color rojo…

–¡¡Eras tú, Mati!! –gritó el pequeño.

–No, yo aún no había nacido –dijo ella guiñando un ojo y continuó:

Después de que le hubieron contado la historia, aquella sabia, de nombre Matim, les dijo lo siguiente:

–Os regalo mi camello, yo puedo apañarme sin él. Así tendréis 18 camellos, que es un número divisible por 2, por 3 y por 9.

Los 3 hermanos aceptaron el regalo de Matim y con este nuevo animal decidieron darle la mitad, 9 camellos,  al mayor, un tercio, 6 camellos, al mediano y la novena parte, 2 camellos, al hermano pequeño.

–Para, para, Mati –pidió el gafotas –. 9 + 6 + 2 son 17 camellos, ¡sobra uno!  ¿Qué hicieron con él?

–Se lo devolvieron a Matim y le dieron las gracias por la ayuda –respondió la pelirroja.

–¿Cómo es posible, Mati? –preguntó Sal –¿Cómo pudo sobrar un camello?

–Muy simple, Sal –dijo esta –Con ese reparto, el de un medio, más un tercio más un noveno, siempre sobrará.

–¿Por qué? –preguntó rápidamente el pequeño.

–Pues porque esas fracciones –siguió ella –no suman 1

–¿Cuánto suman esas fracciones, Mati? –preguntó el gafotas.

–Vamos a multiplicar la primera de ellas por 9, numerador y denominador para que no cambie; la segunda por 6 y la tercera por 2 y las sumamos:

 

–¿Veis? -les dijo –Nos queda 17 partido por 18 y eso no es 1. El noble anciano no sabía demasiadas matemáticas…

–Ya, ya veo –dijo Sal.

–A mí me da pena el hijo pequeño –añadió Ven –. Solo se quedó con 2 camellos…

–Creo que no –dijo Mati –, me contaron que quedó fascinado por la inteligencia de Matim y que tuvieron 3 camellos…

–¡Toma, toma, toma! ¡Como los reyes! –interrumpió Ven.

–Sí, pero Matim y su esposo –continuó la gafotas –los usaron para regalar matemáticas a los niños de las aldeas de la zona, pasando pueblo por pueblo con sus camellos.

–Qué bonito es el amor… –exclamó Ven con un suspiro.

–Y las matemáticas –añadió Sal con un guiño.

¿Y si divido infinito entre infinito?

–Me encantan las luces de Navidad –exclamó Ven con los ojos llenos de reflejos de colores.

–Sí, son las noches más bonitas del año… –añadió Sal –Bueno, y las de verano cuando vemos en la playa las Perseidas.

–Es verdad, Sal –dijo el pequeño –, pero en Navidad las luces son de todos los colores.

–¿Por qué solo ponemos estas luces tan  bonitas en Navidad, Mati? –preguntó el gafotas.

–Parece que su origen podría encontrarse en la época romana, en unas fiestas llamadas los Saturnales –les dijo –que eran muy populares porque en dichas fiestas los esclavos recibían más privilegios que en ninguna época del año. Como las fiestas coincidían con el final de los días más cortos del año, por el solsticio de invierno, lo entendían como el triunfo de la luz sobre la oscuridad y lo celebraban a la luz de velas y antorchas.  Fue la popularidad de estas fiestas entre los romanos la que facilitó que los cristianos la asimilaran al nacimiento de su líder para que éstos, los romanos, pudieran convertirse a su religión sin renunciar a sus fiestas alrededor del solsticio.

–Pues sí que es el triunfo de la luz sobre la oscuridad –siguió Ven –, ¡han puesto infinitas luces este año!

–Hala, Ven –protestó Sal –, ya estás exagerando, no puede haber infinitas luces porque no hay infinitas calles y una calle no puede tener infinitas luces.

–Me estás liando… –se quejó Ven agachando su cabecita.

–Mira Ven, si hay un número finito de calles –continuó su hermano con cariño –, por ejemplo, 100 y hubiese infinitas luces en la ciudad, habría en cada calle infinito dividido entre 100 luces en cada calle, y si divides infinito entre un número sale infinito, ¿no?

–¿¿Sí?? –el pequeño abrió los ojos de para en par –¿Infinito dividido entre un número sale infinito?

–Eso es –confirmó Mati –, aunque realmente, infinito no es un número, es un concepto, pero si una cantidad crece mucho, acercándose al infinito, podemos decir que la división entre esa cantidad y un número fijo, se acerca también a infinito.

–No entiendo –confesó el pequeño Ven.

–A ver –dijo Mati –, pensemos en las siguientes divisiones: en el denominador siempre tenemos 100 y los numeradores van aumentando muy rápido, de forma que podemos decir que el numerador tiende a infinito y que , por lo tanto, estas divisiones se están a acercando a ∞ dividido por 100, ¿no?

 

–Vamos ahora a calcular el valor de esas divisiones –continuó Mati –. La primera sale 1, la segunda sale 100, la tercera sale 10000, y si siguiéramos aumentando el numerador, el resultado iría aumentando tendiendo a ∞:

–Claaaaro… –se asombró el gafotas.

–Por eso podemos decir, con muchas comillas,  que ∞ dividido por un número es ∞ –les contó.

–¡Toma! –se alegró el pequeño.

–Ahora vamos a mirar estas divisiones en las que hemos hecho lo contrario –continuó la pelirroja –, hemos dejado fijos los numeradores y hemos ido aumentando los denominadores, para  que sean ellos los que tiendan a infinito:

–¿Hacemos las cuentas, Mati? –preguntó el gafotas.

–Adelante, chicos.

–La primera da 1 otra vez –mascullaba Sal –, la segunda da 0,01… la tercera 0,001…

–Eso es, y si siguiésemos aumentando el denominador hasta el infinito, ¿qué pasaría? –les preguntó.

–Que nos saldría casi 0, ¿no, Mati?

–Eso es, Sal, muy bien.

 

–¡Eres el mejor! –dijo Ven a su hermanito.

–Los dos sois geniales –Mati guiñó un ojo –. Por esto, podemos decir, con muchas muchas comillas,  que cualquier número dividido entre ∞ es igual a 0.

–¿Y si divido infinito entre infinito? –preguntó Sal.

–¡Pues 1! –gritó Ven asustando al pobre Gauss.

–Bueno, bueno… –dijo Mati misteriosa –. Vamos a investigar un poco, ¿queréis?

–¡¡Sí!! –gritaron los dos hermanitos.

–Si ponemos en el denominador  ∞  y hacemos crecer los numeradores como en el primer ejemplo –les dijo Mati –, podríamos decir que esas divisiones tenderán a ∞ dividido por ∞, ¿no?

 

–Sí, sí, claro –dijo Ven muy serio.

–Pero al calcular el valor de las divisiones –continuó ella –, como un número dividido entre ∞ hemos dicho que vale 0, tenemos:

–O sea –dijo Ven –que ∞/∞ es igual que 0,  ¿verdad, Mati?

–O no… –respondió ella misteriosa –. Vamos a darle la vuelta a a las divisiones, en el numerador ∞ y el denominador creciendo muy rápido:

 

–¿Qué pasa al calcular el valor de estas divisiones? –les preguntó.

–Infinito dividido por un número es infinito… –decía Sal –. Todas dan como resultado infinito.

–Ajá –confirmó Mati.

–¡Ahí va! –se extrañó Ven –Ahora resulta que ∞/∞ también puede ser infinito…

–¿Cómo sabemos si ∞/∞ es 0 o es infinito?

–U otra cosa, ¿no? –dejó caer Mati misteriosa.

–¿¿Otra cosa?? –exclamó Ven –¡¡Imposible!!

–Fijaos en las siguientes divisiones –les propuso –, ahora hacemos crecer mucho tanto el denominador como el numerador… por lo tanto, también crecerían hasta ∞/∞, ¿no?

 

–¡Toma, claro! –dijo Ven muy afectado.

–Pues, calculad ahora el valor de las divisiones –les retó —, a ver qué pasa…

 

–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! –gritó Ven de pronto –¡Ahora resulta que ∞/∞ es igual que 3/4!

–Entonces, Mati –preguntó Sal —Si te preguntan cuánto es ∞/∞, ¿qué responderías?

–Que no lo sé, que depende… que es un valor indeterminado, que depende cómo se acerquen al infinito el numerador y el denominador… –les dijo –Es hermoso no saber cómo va a terminar todo en esta vida, ¿no creéis?

–Pues… –dudó Ven y añadió –Sí, es hermoso, a mí me gustan las sorpresas.

 

 

Un paseo por el MoMath

–¡Qué pasada, Mati! –exclamó Ven

–Es el mejor museo del mundo… –corroboró su hermano.

–Bueno, tengo que decir –respondió ella — que sí, que será  uno de mis favoritos a partir de ahora.

–¡Y el mío también! –añadió el gafotas

Aprovechando las vacaciones de Navidad, Mati y sus amiguitos han viajado hasta Nueva York para visitar el recién inaugurado Museo de Matemáticas, el MoMath. Un museo lleno de matemáticas con el propósito de mejorar la comprensión y la percepción de éstas, a través de la experimentación y el juego.

–Qué monos los dinosauritos… –dijó Ven –Los quiero para mi habitación.

–Más monos son los monitos, ¿no? –bromeó la pelirroja.

–¿Y el suelo de Voronoi? –le preguntó Sal –¡Eso si que mola todo!

–Es cierto, Sal –dijo Mati –Me resultaría imposible elegir alguna atracción del museo, todas son maravillosas…

–Pues yo lo tengo clarísimo –interrumpió Ven –. Mi favorito es la bici de ruedas cuadradas.

–Huy, sí –confirmó ella –. Me lo he pasado en grande, se deslizaba suave, suave, como si rodara sobre un espejo…

–Es cierto, Mati –dijo el pequeño Ven –. Parece cosa de magia…

–Pero no es magia, Ven –interrumpió su hermano –. Nos lo explicó Mati, ¿recuerdas? Es cosa de la… ¿cómo se llamaba la curva, Mati?

–La catenaria, Sal –respondió ella –. La magia está en que el suelo en el que circula la bicicleta está formado por catenarias invertidas.

–¿Las catenarias son las de los cables? –quiso saber Ven.

–Ajá –confirmó ella — Es la curva que adopta un cable, una cuerda o una cadena, suspendida entre dos extremos. Durante mucho tiempo, se creía que esa curva era un parábola, hasta que finalmente Johann Bernouilli descubrió que no, que era un curva diferente.

–Pues bien –continuó la pelirroja –El truco está en que para que un movimiento sea suave lo que tenemos que conseguir es que el eje de la rueda, el centro, describa una linea recta. Si la carretera es lisa, eso se consigue únicamente con ruedas circulares, todos los puntos de la rueda están a la misma distancia del centro. Pero esta propiedad no la tiene el cuadrado. Para que la rueda cuadrada ruede manteniendo el centro en línea recta, el suelo no puede ser liso.

–Toma, claro –murmuró Ven.

–Ahora bien –continuó ella –, la rueda cuadrada se desliza manteniendo el centro en línea recta si lo hace sobre un suelo formado por catenarias invertidas.

–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! –gritó Ven –¡Ahora lo comprendo todo!

–Es cierto –dijo el gafotas –Recuerdo que nos lo contaste camino de Barcelona

–Efetivamente, Sal –siguió ella –. Además, con esa misma idea se podrían diseñar bicicletas cn ruedas pentagonales, hexagonales…

–O ruedas con polígonos de Reuleaux, ¿no, Mati? –preguntó el gafotas.

–No, no es lo mismo –dijo ella –En el caso de los polígonos de Reuleaux, el suelo puede ser liso por tener éstos anchura constante.

–Ah, es verdad –Sal se echó las manos a la cabeza y sonrió –. Me he liado un poco.

–Este museo es una pasada… –volvió a decir Ven –Gracias por traernos al MoMath, Mati.

–Sí, gracias, Mati –apoyó Sal –Ha sido una gran idea.

–De nada, chicos –respondió ésta –. En realidad estaba deseando que lo inauguraran desde que Clara me contó que había estado en una exhibición del Momath,  un Math Midway, y su amigo George Hart que trabajaba entonces para el MoMath le había invitado a pasear en la bicicleta de ruedas cuadradas e, incluso, a ¡cambiarle la goma de las ruedas a la misma!

 

La importancia de llamarse π

–Te está quedando perfecta, Ven.

–Gracias, Sal –respondió el pequeño orgullosito –Redonda, redonda, como debe ser una pizza, que por eso se llaman así: PI-ZZA.

–¿Por qué son redondas? Eso no tiene nada que ver, Ven…

–¿¿Cómo  que no?? –protestó éste —Mati nos contó que  π está en todos los círculos, ¿recuerdas?

–Así es, chicos –Mati acababa de llegar –Nuestro amigo π está escondido en todos los círculos.

–¡Te lo dije, gafotas! –dijo Ven con voz triunfante.

–Hola, Mati –saludó Sal –Pero eso no tiene nada que ver con que las pizzas se llamen pizzas, ¿verdad?

–No, no creo –respondió ésta –El secreto de la pizza se remonta a la época de los egipcios que, al descubrir, la levadura comenzaron a cocinar una torta redonda, al amasar una bola de masa. Después los griegos comían una torta redonda que llamaban maza, y los romanos unos discos también de pasta que, aunque al principio recibieron otro nombre, se acabaron llamando picea. Pero el verdadero auge de la pizza en Italia fue en Nápoles, y cuentan que fueron los panaderos napolitanos los que cambiaron el nombre de picea a pizza.

–Entonces, ¿no tiene nada que ver con el número π de tu camiseta, Mati? –preguntó Ven con pena.

–Me temo que no, cielo –dijo ésta –Pero lo que sí es cierto es que en todas las pizzas, por ser circulares, se esconde π.

–¿Dónde se esconde, Mati? –preguntó Sal.

En cualquier circunferencia, sea del tamaño que sea –empezó a decir Mati —si dividimos la longitud de ésta entre la longitud del diámetro, el resultado es π.

 

 

 

 

 

 

 

 

–¿Sea como sea la circunferencia, Mati? –preguntó Ven asombrado.

–Sea como sea –corroboró ella –Esto nos permite además, saber cuánto mide la longitud de una circunferencia si conocemos cuánto mide su diámetro.

L=  π x d

–Alucinante… –decía Sal –¿Y si solo conocemos el radio?

–Bueno, como un diámetro mide el doble de cualquier radio –contestó ella –tendremos que

 

 

 

 

 

 

 

 

–Por lo tanto –continuó la pelirroja –Si conocemos el radio de la circunferencia, r, podemos conocer también su longitud gracias a π:

L=  2π  x  r

–¡Toma, toma. toma! ¡Cómo mola! –gritó el pequeño Ven.

–Es chulísimo, Mati –dijo Sal.

–Lo es, pero aún hay más –anunció Mati misteriosa –También se esconde en el área del círculo…

–¿Dónde? –preguntó Sal inmediatamente –No sabemos calcular el área de cosas redondas…

–Voy a tratar de explicaros cómo ,con un pequeño truco –les anunció.

–¡Me encantan los trucos! –afirmó Ven.

–Para ello –empezó a decir Mati –Vamos a dividir la circunferencia en trozos iguales, usando radios, como si fuera una pizza. Cuanto más trozos hagamos, más claro se ve, pero haremos sólo 16, para que no se complique mucho el dibujo. Con más trozos, este mismo razonamiento también sirve.

–Como veis –siguió Mati –he coloreado con dos colores distintos los trozos, de forma alternada.

–Ha quedado muy mono… –dijo Ven pícaro.

–Ahora, voy a poner todos los trozos amarillos sobre una línea –siguió ella –y los rosas, boca abajo, los voy colocando en los huecos entre los amarillos.

–Como veis –les dijo –Tenemos un romboide de altura r.

–Pero los triángulos no tienen la base recta, Mati –interrumpió Sal –Las bases son un poco curvas…

–Tienes razón –aceptó ésta –Pero si en lugar de 16 porciones de nuestra pizza, hacemos muchísimas más, serían casi, casi rectos, y este razonamiento, como veréis, no dependerá del número de porciones que hayamos hecho. Por lo tanto, podemos pensar que las bases de nuestros triángulos son rectas.

–Vale –aceptó Sal.

–Ajá –dijo Ven muy convencido.

–¿Cuánto mide la base de nuestro romboide? –preguntó Mati.

Los niños se quedaron muy serios pensando, hasta que Ven aceptó:

–Ni idea.

–Fijaos que la base es igual a la suma de las bases de todos los triángulos amarillos –les dijo ella –Pero la suma de las bases de los triángulos amarillos es igual a la mitad de la longitud de la circunferencia, la otra mitad será la suma de las bases de los triángulos rosa.

–¡¡Claro!! –exclamó Sal –Entonces la base es π x r, ¿no?

–Ajá –corroboró Mati con un guiño.

–Ya lo tenemos –anunció la pelirroja –¿Recordáis cómo se calcula el área de un romboide?

–Sí –dijo el gafotas inmediatamente –Es igual al producto de la base por la altura.

–Eso es –respondió Mati con entusiasmo –Así, el área de un círculo de radio r será π x r2

 

–¡Tomaaaaaaaaaaa! –gritó Ven –¡Este π sirve para todo!

–Qué guay, Mati –dijo Sal.

–Bueno, pues yo os he contado cuánto mide el área de vuestra pizza –añadió Mati –a cambio espero que me contéis cuáles son los ingredientes que les vais a poner…