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Yo te doy el Sol y la Luna

Todo blog que hable de matemáticas que se precie tiene que tratar tarde o temprano la paradoja de Banach-Tarski. Por favor: no se marchen después de oír eso de “la paradoja de Banach-Tarski”, lo que sigue os puede parecer curioso y absolutamente contraintuitivo, pero está demostrado y por tanto se sabe que es cierto.

Un puzzle que es un clásico y del que existen muchas variantes es el Tangram; en dicho juego, un cuadrado está dividido en varias piezas y dichas piezas podemos recomponerlas hasta formar otras figuras.

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Evidentemente en el Tangram las piezas tienen una forma muy simple, pero lo que Banach y Tarski probaron en 1926 fue que se puede hacer un Tangram muy, muy especial a partir del cubo. Efectivamente, podemos dividir el cubo macizo en cinco subconjuntos o piezas de tal forma que podemos mover dichas piezas y podemos formar ¡dos cubos macizos con exactamente el mismo volumen que el cubo inicial! Repito: podemos dividir un cubo en cinco trozos y recomponer esos trozos (no deformamos los trozos: seguirán con la misma forma original sin cambiar de forma, ni de tamaño en todo el proceso) hasta obtener dos cubos idénticos al original.

El problema está que si alguien no se cree el resultado, tendrá que leerse la demostración (que no es sencilla) y ver que es correcta para convencerse, ya que los conjuntos (las piezas del tangram), no se pueden ni describir ni ver de manera simple, digamos que son subconjuntos de puntos muy extraños del cubo inicial (aún hay más ya que se demuestra que existen dichos conjuntos, pero no se construyen explícitamente). Pero a mi lo que me encanta es una variante de esta paradoja que nos dice no que podemos construir no dos cubos idénticos al original sino que partiendo de una esfera de cualquier tamaño, podemos dividirla en trozos y reagrupar dichos trozos hasta conseguir otra esfera de otro tamaño cualquiera; esto es: podemos tomar una esfera del tamaño de un guisante, dividirla en trozos y recomponer dichos trozos hasta conseguir una esfera del tamaño de la Luna o del Sol.

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Así podemos decir: “tú dame un guisante y yo te daré la Luna y el Sol”.

xlarge_duplashrinkerAlgo curioso es que esta paradoja ha hecho su aparición en una de las series de dibujos animados en los que las matemáticas están más presentes: Futurama. Efectivamente en dicha serie se muestra un duplicador-reductor de Banach-Tarski, por desgracia, dicho duplicador no se puede construir realmente ya que las divisiones de la esfera son tan enrevesadas que parecerían más un conjunto muy disperso de puntos, además, es necesario usar puntos matemáticos, esto es: objetos de dimensión cero, cosa que en nuestro mundo físico es imposible.

 

 

Podemos encontrar una explicación más detallada de esta paradoja en esta entrada del blog Tio Petrus, o aún mas detallada en la Wikipedia en inglés donde aparece incluso un esbozo de la demostración.

 

1 comentario

  1. Dice ser manuel

    Todo eso que me dices se lo comenté a un inglés y me dijo ¡tus narices!
    después se lo dije a un ruso y me tachó de liante, de mareante, y de iluso
    mas tarde lo referí a un parisién, a un gabacho, y me dijo ¿estás borracho?
    Así que lo siento, Mati, he hecho lo que he podido, pero todos me han vencido;
    y tengo que confesarte que no entra en mi cabeza lo de la esferita esa.

    10 Febrero 2013 | 15:00

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