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Archivo de la categoría ‘La hora de las tareas’

¿Polígonos de solo 2 lados?

–Vaya caras de susto que has puesto, Ven –dijo Sal en tono de burla.

–¿Yo? ¿Yo? –replicó el pequeño –. No he tenido miedo en ningún momento, campeón.

–Anda que no –respondió el gafotas con sorna.

–Te repito que no, Sal –insistió Ven –No me ha dado nada de miedo, ¿cómo puede dar miedo una en blanco y negro?

–Huy –Mati acababa de llegar –, será que no has visto Nosferatu

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–Hola, Mati –la saludó el mayor –. Hemos visto King Kong y Ven tenía una cara de susto…

–Nonononono, Sal –se quejó Ven –… Eres un pesado, gafotas.

–Yo también me asusté con King Kong –interrumpió Mati tratando de desviar la atención –, pero es una película muy tierna y, sobre todo, me gusta mucho porque se ve Manhattan…

–Eso es verdad –la apoyó Sal en el discurso que se había dado cuenta de que se había pasado molestando a su hermanito –¿Te acuerdas de cuando fuimos a Manhattan a ver el Momath, Ven?

–Sí –contestó el pequeño aún muy serio.

–Qué suerte tienen los niños de Manhattan de tener un museo de mates tan molón, ¿verdad, Ven? –preguntó Sal de nuevo.

–Ajá –respondió Ven sin mirar a su hermano.

–Me encantaría ir otra vez a Nueva York –suspiró el gafotas –. A ti también, Ven, ¿verdad?

–Puede –dijo el pequeño mirando por el rabillo del ojo a Sal.

–Pues además de un museo de mates molón –intervino Mati –, Manhattan tiene una distancia propia.

–¿¿Una distancia propia?? –preguntó Sal mientras sus gafitas resbalaban por su nariz. Ven seguía serio pero ya había girado la vista hacia la pelirroja, Gauss resopló con alivio porque sabía que Mati los iba a tener entretenidos un rato.

–Sí –confirmó ella –, la distancia Manhattan.

–¿Qué es la distancia Manhattan? –quiso saber Sal.

Ya lo contamos un día que vosotros habíais salido a jugar –contestó Mati –, pero os la explico en un momento. Habitualmente, cuando queremos saber la distancia entre 2 puntos, lo que hacemos es medir con una regla, un metro… el segmento que los une, ¿no?

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–Toma, claro –dijo Ven – ¿Cómo lo vas a hacer si no?

–De muchas otras formas –dijo Mati –, pero digamos que la más usual es esa, y en ese caso lo que estamos haciendo es calcular o medir la distancia euclídea. Pero hay otras formas de medir distancias, y la distancia Manhattan es solo una de ellas.

–¿Cómo mide la distancia entre 2 puntos la distancia Manhattan? –preguntó el gafotas.

–Caminando por una cuadrícula, como es, aproximadamente, el plano de Manhattan –respondió Mati –. La distancia entre 2 puntos es la longitud del camino más corto formado por segmentos horizontales y verticales, que una a los dos puntos. Y hay muchos caminos con esta propiedad.

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–Pero, Mati –preguntó el pequeño –, si tomas distintos caminos, la distancia puede variar…

–No –dijo ella –, todos los caminos que podáis pintar sobre un papel cuadriculado uniendo 2 puntos, tienen la misma longitud. fíjate en nuestro dibujo anterior, todos miden 19.

–Cómo mola… –dijo Ven.

–Pero, ¿para qué sirve medir así, Mati? –preguntó Sal –Todo el mundo sabe que la distancia más corta entre 2 puntos es la línea recta.

–Sí, pero ¿qué pasa si la línea recta que une a 2 puntos en una ciudad atraviesa varios edificios? –preguntó ella –La distancia Manhattan es más real a la hora, por ejemplo, de diseñar rutas en ciudades.

–Es verdad… –dijo Ven con la boca abierta.

–Y además –continuó Mati –como ofrece distintas rutas, podemos escoger la que tenga menos semáforos, la que pase cerca de la casa de la chica que os gusta…

–¡Mola! –gritó Sal ruborizándose inmediatamente.

–Pero  –continuó Mati –, con la distancia Manhattan pasan otras cosas muy curiosas, ¿queréis que os cuente alguna?

–¡¡Sí!! –respondieron los niños al unísono.

–A ver –comenzó Mati –¿cuáles son los polígonos con menos lados que podemos dibujar?

Los niños se quedaron un rato pensando hasta que Sal dijo:

–Los triángulos, con menos de 3 lados no se puede encerrar una región, ¿no?

–Eso es –confirmó ella –. Pues con la distancia Manhattan se pueden dibujar polígonos de solo dos lados, los llamaremos… no sé… biláteros.

–Pero, vamos a ver, Mati –gritó Ven –, ¡eso es imposible!

–No, no lo es –contestó ella –. El truco está en que entre dos puntos, con la distancia Manhattan, hay infinitos segmentos distintos, si llamamos segmentos a los caminos de longitud mínima que unen los dos puntos. Por lo tanto, si tenemos 2 puntos y elegimos dos segmentos de la distancia Manhattan distintos que los unan, tenemos un polígono de 2 lados, que encierra un área.

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–Cómo mola… –el pequeño no podía cerrar la boca que se le había desencajado.

–Yo no veo que haya infinitos caminos de la misma longitud –dijo el gafotas.

–Pues sí –respondió la pelirroja –, porque puedes cambiar la cuadrícula al tamaño que quieras…

–Ah, vale –aceptó el gafotas.

–Pero además –continuó Mati –, pueden existir biláteros con los mismos vértices con los lados con la misma longitud y totalmente diferentes…

–Sí, hombre… –dudó el pequeño.

–Mira el siguiente dibujo –le pidió Mati –A la izquierda tenemos un bilátero de lado 2, es la única forma de dibujar un bilátero con esa longitud de lado entre dos puntos. Pero después, tenemos dos biláteros de lado de longitud 8, absolutamente diferentes.

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–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! –gritó Ven.

–¿Cuántos biláteros distintos de lado 8 se pueden dibujar? –preguntó Sal.

–Mira –dijo Mati –, esa es una buena pregunta, a ver si la respondéis. Podéis empezar por calcular cuántos biláteros distintos hay de lado 4, luego de lado 5…

Los niños dejaron de escuchar a Mati y se pusieron a dibujar biláteros en un papel cuadriculado.

Y tú, ¿te atreves a contarlos? Puedes dejar tu respuesta en los comentarios 🙂

 

Pito, pito, gorgorito…

–¡No vale! –protestó Ven –Rífalo otra vez, Sal.

–Pero si ya lo hemos rifado 3 veces, Ven –respondió el gafotas –. Tú la quedas.

–¡Anda ya! ¡Ni hablar! –protestó el pequeño –Siempre me toca a mí, ¡has hecho trampa! ¡Eres un tramposo!

–¡Mentira! ¿Cómo se hace trampa al Pito, pito, gorgorito? –insistió Sal.

–Pero, vamos a ver, gafotas –dijo el pequeño –, ¿por qué nunca te toca a ti?

–¿Qué le pasa a estos chicos? –Mati acababa de llegar.

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–Hola, Mati –la saludó Sal –. Este Ven, que es un tramposo.

–Sí, claro, yo, yo soy el tramposo –bufó su hermano –. Cada vez que vamos a jugar al escondite me toca a mí quedarla el primero.

–¿Cómo lo sorteáis? –preguntó la pelirroja.

–Con Pito, pito, gorgorito –le contestó Sal.

–¿Y siempre empiezas con Ven? –siguió indagando Mati.

–Sí, claro –aceptó el gafotas.

–Pues, en ese caso –dijo ella –siempre la quedará Ven, porque el número de golpes de voz es un número impar.

–¿¿Cómo?? –preguntó el pequeño.

–A ver –pidió ella –, ¿cómo es vuestra canción de ‘pito, pito’?

Pito, pito, gorgorito, ¿dónde vas tú tan bonito? A la era de mi abuela. Pim, pam, fuera –cantó Ven un poco enfadado.

–Vamos a contar –les dijo — el número de golpes de ritmo que damos al frasear esta canción:

pitopito

 

15 golpes de ritmo –dijo el pequeño.

–Efectivamente –dijo Mati –, y como es impar, siempre acabará en el primer niño.

–¿Por qué, Mati? –preguntó el gafotas –¿Y si hay 3 niños?

–Si hay 3 niños –contestó ella –acabará en el último, en el tercero, que normalmente es el  que sortea.

–¿Cómo lo sabes? –preguntó el pequeño desconfiado.

–Se trata de dividir 15 entre el número de niños –respondió Mati —y quedarse con el resto. Si son dos niños, el resto es 1, por lo tanto, le toca al primero. Si son 3, el resto es 0, eso significa que ha dado  vueltas completas y termina en el último niño.

–¿Y si son 4 niños? –preguntó Ven –Ah, ya, sobran 3, la queda el tercero… ¡mola! Pero ya no la sorteas tú nunca más, gafotas.

–Esto me recuerda… –interrumpió Mati tratando de desviar la conversación –al Problema de Josefo

–¿Josefo? ¿Qué es eso? –preguntó Ven con curiosidad.

–Imaginaos que queremos sortear quién la queda al juego del escondite –les dijo –. Los ponemos todos en círculo, el primero lo dejamos, el segundo se salva, el tercero lo dejamos, el cuarto se salva… y así, vamos saltando uno cada vez, hasta que solo queda uno…

–Pero después de la primera vuelta –interrumpió Sal –, todos los impares habrán quedado.

–Sí, claro –aceptó ella –pero volvemos a repetir el procedimiento. Pensemos que tenemos 12 niños, en la primera vuelta, salvamos de quedarla a los pares

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–En la siguiente vuelta –les dijo –, se salvarían el 3, el 7 y el 11:

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–Si repetimos el proceso –siguió la pelirroja –, en la siguiente se salvan el 1 y el 5

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–¡Y la queda el 9! –gritó Ven –Nunca me pondré en ese sitio.

–Si lo hacemos con distintos números de jugadores –les dijo Mati –tendríamos:

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–¿Notáis algo? –les preguntó la gafotas.

–No –dijo Ven muy apagado.

–Pues fijaos –anunció ella –que si el número de jugadores es una potencia de 2, siempre la queda el primero:

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–Y ¡mirad! –gritó  Ven –Entre los los 1, están los impares por orden.

–Es verdad –dijo Sal –¿Eso pasa siempre?

–Siempre –aseguró Mati.

–¿Y si hay 39 niños? –preguntó el pequeño –¿Dónde me pongo?

–Si hay 39 niños –dijo Mati –, buscamos la potencia de 2 más cercana a 39, que es…

–¡32! –gritó el gafotas.

–Eso es –dijo ella –, para 32 niños la queda el 1, y ponemos para los siguientes la sucesión de impares:

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–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! –exclamó Ven.

–Mola mucho, Mati… –añadió.

–¿Jugamos al escondite? –preguntó ella –Yo la quedo, yo la queeeeeeeeeeeedo…

Interpolando que es gerundio

–¿Lo has anotado, Ven?

–Claro, Sal, ¿qué te crees? Soy un gran científico.

–Bueno, no siempre Ven, recuerdo aquella vez que…

–Lo siento mucho. Me equivoqué. No volverá a ocurrir.

Nuestros dos amiguitos están haciendo un experimento para ver cómo se enfría el agua que han calentado en el microondas. Para ello, el pequeño Ven está anotando en su cuaderno de científico la temperatura del agua del vaso cada 30 segundos. Sal es el encargado de las mediciones con un termómetro y Gauss permanece atento garantizando la no manipulación de los datos.

–¿Estáis listos, chicos? –pregunta Mati entrando en la habitación –Tenemos que irnos.

–¿Ahora? –preguntó Sal un poco disgustado.

–Sí –dijo ella –. Tenéis que haceros la foto para el DNI si queréis viajar a Lyon a visitar a Fis.

–¿Podemos ir mañana, Mati? –preguntó Ven –Si nos vamos ahora no podemos terminar el experimento…

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–Me temo que no, cielo –respondió Mati –. Tenemos que ir ahora.

–Vaya –se quejó Sal sin mucho entusiasmo –, ahora no sabremos cuánto tarda en enfriarse el agua…

–Si queréis –les propuso Mati –, podéis interpolar los datos que habéis obtenido y predecir qué ocurriré dentro de un rato…

–¿Como nos enseñaste el otro día? –preguntó Sal.

–Sí –dijo ella –. Podéis hacerlo como el otro día, resolviendo el sistema de ecuaciones, o bien os puedo enseñar otro método.

–¿Tenemos que encontrar una parábola? –preguntó Ven.

–Depende del número de datos del experimento que tengáis –respondió Mati –, si son solo 3 datos, el polinomio que pasará por esos 3 dato será una parábola. Pero si son más puntos no tiene por qué serlo.

–No me entero, Mati –terminó aceptando el pequeño.

–Voy a tratar de explicarlo –propuso la pelirroja –.  Supongamos que medimos la temperatura en el instante 0, cuando sacamos el agua del microondas y está a 75ºC. Al cabo de 30 segundos, está a 70ºC y los 60 segundos está a 60ºC, a los 90 a 45ºC y a los 120 segundos a 25ºC. Podemos representar en el plano estos datos, dibujando los puntos (0,75), (30, 70), (60, 60), (90, 45) y (120,25). 

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–Si ahora –les dijo –, conseguimos una curva que pase por todos los puntos amarillos, por ejemplo un polinomio que son las funciones más sencillas…

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–…podríamos intuir cuál era la temperatura  a los 45 segundos –siguió Mati –viendo que valor de la curva corresponde a 45:

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–¡Toma! ¡Claro! –exclamó Ven –¡Qué chulada!

–Se trata entonces –dijo Sal –de calcular el polinomio que pasa por los 5 puntos amarillos, ¿no?

–Efectivamente –confirmó la gafotas –, como vimos el otro día, como son 5 puntos buscamos un polinomio de grado 4 (o menos) o menor con las siguientes pistas:

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–¡Hala! ¡Qué sistema tan grande, Mati!  –exclamó Ven.

–Lo es –aceptó ella.

–¿Lo resolvemos con el método de Gauss? –preguntó el gafotas.

–Se puede resolver con el método de Gauss –dijo la pelirroja — pero os voy a a enseñar otro método de interpolación que calcula el polinomio que pasa por los puntos que queráis sin tener que resolver ningún sistema de ecuaciones.

–Sí, hombre…–dijo Ven –¿Cómo?

–Con el método de interpolación polinómica de Lagrange –anunció Mati –Pero como tenemos que ir a hacernos las fotos y tenemos un poco de prisa, os lo contaré sobre un ejemplo más sencillo, con 3 puntos, no con 5. Si lo quieres con más puntos, se hace igual.

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–3 puntos…–comenzó diciendo Sal que pensaba en voz alta –, nos sale un polinomio de grado 2… o menos… una parábola, ¿no?

–Efectivamente, Sal –confirmó ella –, como máximo, un polinomio de grado 2. Vamos a etiquetar las coordenadas de estos 3 puntos con x1, x2, x3, y1, y2 e y3, así:

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–Ajá –dijo Ven con cara de interesante.

–Para construir el polinomio que pasa por estos 3 puntos –continuó Mati –vamos a construir primero 3 polinomios más pequeñitos, los polinomios de Lagrange, uno por cada punto.

–Ajá –repitió el pequeño.

–Al polinomio correspondiente al primer punto, le llamamos L1 y se calcula como el producto de (x-x2) por (x-x3). Si hubiera más puntos, multiplicaríamos también por (x-x4), por (x-x5), etc… Todos los (x-xk) posibles menos (x-x1) porque estamos con el polinomio L1. Y ahora dividimos por la misma expresión que tenemos en el numerador, pero sustituyendo x por x1. así:

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–Vamos a sustituir x1, x2, x3 por sus valores, 0,3 y 6 –propuso ella –, a ver que nos queda:

 

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–Ya tenemos el primer polinomio de Lagrange, L1 –anunció Mati.

–Mola –dijo Sal.

–Para calcular el segundo polinomio de Lagrange,  L2 –continuó ella –, ponemos en el numerador el  producto de (x-x1) por (x-x3). Si hubiera más puntos, multiplicaríamos también por (x-x4), por (x-x5), etc… Todos los (x-xk) posibles menos (x-x2) porque estamos con el polinomio L2.  Y en este caso  dividimos por la misma expresión que tenemos en el numerador, pero sustituyendo x por x2. Vamos a ver que nos queda:

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–Ea –dijo Ven –, pues ya tenemos L2, el segundo polinomio de Lagrange, ¿no, Mati?

–Efectivamente, Ven –confirmó esta –.Nos queda solo el tercero, porque tenemos 3 puntos.

–Vamos allá –dijo Sal con alegría.

–Para calcular el tercer polinomio de Lagrange,  L3 –anunció Mati –, ponemos en el numerador el  producto de (x-x1) por (x-x2). Si hubiera más puntos, multiplicaríamos también por (x-x4), por (x-x5), etc… Todos los (x-xk) posibles menos (x-x3) porque estamos con el polinomio L3.  Y para este polinomio,   dividimos por la misma expresión que tenemos en el numerador, pero sustituyendo x por x3. Nos quedará:

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–Y ahora, ¿qué hacemos? –preguntó Ven impaciente.

–Ahora vamos a construir el polinomio interpolador que pasa por los 3 puntos usando L1, L2 y L3 así –respondió ella –: multiplicando L1 por y1, L2 por y2 y L3 por y3, y sumando los resultados:

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–Sustituimos –continuó Mati — y1, y2 e y3 por sus valores 7, 7 y 6:

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–Y por último –dijo la pelirroja –, sustituimos los polinomios de Lagrange por los que hemos calculado antes:

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–¿Ya hemos terminado? –preguntó el pequeño.

–Casi –contestó ella –. vamos a simplificar este polinomio…

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–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! –gritó Ven.

–Es una parábola –dijo Sal.

–Eso es –confirmó Mati –.Es esta parábola:

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–Pero fijaos, chicos –señaló Mati –, que los valores y1, y2 e y3 solo los hemos usado al final para calcular el polinomio interpolador. Esto quiere decir, que si hacemos una medida diferente en los instantes 0, 3 y 6, de otra magnitud, por ejemplo, contenido de sal en el agua, para calcular el polinomio interpolador de los datos sobre salinidad, solo tenemos que sustituir y1, y2 e y3 por los datos obtenidos en esa medición.

–Qué interesante… –masculló el gafotas.

–¿Y si hacemos el polinomio de (0,75), (30, 70), (60, 60), (90, 45) y (120,25)? –preguntó el pequeño.

–Nos sale… –dijo Mati misteriosa.

–¡Un polinomio de grado 4! –gritó el gafotas y añadió bajando la voz –O menos…

–Menos, en este caso –anunció ella –, porque nos sale esta parábola: – x2/360- x/12  + 75

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–Chulísima –dijo Sal –.Ahora podemos saber cómo se enfría el agua…

–Bueno, bueno –dijo Mati –, nos hemos inventado los datos, pero en cualquier caso, las curvas de enfriamiento las estudió Newton, le podéis preguntar a Fis cuando lo veais. Pero, ahora, ¡vamos que se nos hace tarde!

Parábolas, parábolas… tú siempre buscas parábolas

–Ya está –dijo Sal y añadió señalando con su dedo –. Ahora solo pinta una línea así.

–¿Así cómo? –preguntó muy serio Ven –. Deberías ser más técnico en tus instrucciones si quieres ser ingeniero aeroespacial.

–¡Puf! Ya estamos… –resopló el gafotas –. Luego dices que soy yo el empollón…

–Es que, como nos explicó Mati –respondió el aludido –, para definir una recta necesitas o dos puntos o un punto y un vector…

–Mira, Ven –dijo de nuevo Sal –, este, este y este. Toma, 3 puntos ¿No querías 2 puntos para tu recta? Pues toma 3, pinta la recta que pasa por esos 3 puntos.

–Bueno, bueno, bueno… –Mati acababa de llegar –Eso no siempre es posible, Sal.

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–Hola, Mati –la saludó Sal sin apartar la vista de su diseño.

–Hola, Mati –dijo el pequeño –¿Cómo no vas a poder pintar la recta con 3 puntos? ¿No dijiste que necesitábamos 2? Pues con 3 mucho mejor, hombre.

–No, Ven –dijo ella –. Por 1 punto pasan infinitas rectas, por 2 puntos solo una y por 3, puede que ninguna.

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–¡Toma! –aceptó el pequeño –¡Es verdad!

–Claro, Ven –dijo Sal –. Yo ya me había dado cuenta en nuestro dibujo…

Ven miró a su hermano con el ceño fruncido, Gauss resopló.

–Pero, ¿sabes, Ven? –dijo rápidamente Mati para aliviar la tensión ambiental –. Por 3 puntos, siempre pasa una única circunferencia.

–Ya lo sé –dijo el pequeño sin perder de vista a su hermano –, nos lo contaste.

–Tienes razón –dijo la pelirroja –, qué buena memoria tienes.

–Es cierto –añadió Sal queriendo congraciarse con su hermano –, Ven tiene muy buena memoria.

–Mirad –dijo la gafotas –Como ya sabéis lo de la circunferencia y sabéis que una circunferencia no es una función, si queréis os cuento cómo calcular una función cuya gráfica pase por esos 3 puntos. Eso sí, si no tienen la misma abscisa.

–¿Cuál era la abscisa, Mati? –preguntó Ven de repente.

La abscisa es la coordenada horizontal –dijo Mati –, la que mide la distancia al eje de ordenadas, ¿recuerdas?

–Sí, sí –dijo Ven.

–¿Y por qué no pueden tener la misma abscisa, Mati? –quiso saber el gafotas.

–Porque si queremos que sea una función –respondió ella — para un valor de la x, de la abscisa, no puede tener más de un valor de la y, la ordenada.

–No entiendo –aceptó Ven.

–A ver –siguió ella –No podemos dibujar la gráfica de una función que pase por los puntos (3, 6) y (3, 8), por ejemplo. Porque la segunda coordenada del punto representa el valor de la función, y en este ejemplo, para x igual a 3, tendríamos dos posibles valores de la función, 6 y 8.

–Ah, vale –aceptó el pequeño.

–¿Y cómo será esa función, Mati? –preguntó Sal –¿Será muy rara o parecida a una recta?

–La gráfica de la función que pasa por 3 puntos que no estén alineados, –dijo esta –y que tengan distintas abscisas, será una parábola.

–¡Toma! Esa la conozco –dijo Ven –, es la curva de los tiros parabólicos de fútbol, ¿no?

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–Eso es, Ven –dijo Mati -, esa será la forma de nuestra función.

–¿Y cómo sabes que siempre se puede, Mati? –preguntó Sal curioso.

–Porque dados 3 puntos no alineados y con abscisas distintas –respondió ella –, siempre existe un polinomio de grado 2 que pasa por esos 3 puntos, y la gráfica de un polinomio de grado 2 es una parábola.

-¿Un poliqué? –preguntó Ven arrugando la carita.

–Un polinomio –dijo ella –. Una función (de x) que se escribe como suma de potencias (naturales)  de x multiplicadas por unos números, que llamamos coeficientes. Mira, te pongo unos ejemplos:

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–¿Cómo son esos grados, Mati?  –preguntó Ven con cara de pillo —¿Celsius o Fahrenheit?

–No, Ven –respondió la pelirroja –, el grado de un polinomio es el valor de la potencia más alta de x que aparece. En el polinomio f1 la potencia más grande es 4, en el polinomio f2 es y en el polinomio fla más grande es 3.

–¡Quietos, parados! –exclamó Ven –Hay números sin potencias de x en los polinomios fy  f3.

–Sí, es como si x estuviera elevada a 0 -dijo ella –por eso no aparece, por que x elevado a 0 es 1. A esos números que aparecen sin x, se les llama términos independientes, porque como no multiplican a x, no dependerán del valor de esta.

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–¿Qué tienen de especial los polinomios, Mati? –preguntó Sal.

–Huy, un montón de cosas –respondió ella –. Son las funciones más simples que hay y, entre otras cosas, se usan para dar valores aproximados de otras funciones mucho más difíciles, pero eso os lo cuento más adelante. Ahora os voy a enseñar a encontrar un polinomio de grado 2, una parábola, que pase por 3 puntos no alineados y con abscisas diferentes.

–¡Venga! –exclamó Ven con alegría.

–Decidme 3 puntos, chicos –pidió Mati.

–A ver… (1,6) –dijo el pequeño –… (2,13)...

–Y (0,3) –apuntó el gafotas.

–Muy bien –dijo ella –. Queremos un polinomio de grado 2, una parábola que pase por estos tres puntos {(0,3), (1,6), (2,13)}. El polinomio que buscamos tiene esa pinta: ax²+bx+c.

–¿Qué son esas letras, Mati? –preguntó Ven.

¿a, b y c? –preguntó Mati y añadió con voz misteriosa  –Son las incógnitas que tenemos que descubrir…

–¿Cómo las descubrimos? –preguntó el gafotas.

–Con un poco de inteligencia -dijo ella guiñando un ojo –. Vamos a ir apuntando las pistas que tenemos:

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–¡Toma! –dijo Ven –Parecemos detectives.

–A ver, Ven Holmes –dijo Mati teatrera –¿Qué sabemos de la función?

El pequeño se quedó pensativo y dijo:

–Se le ha visto pasar por (0,3).

–Hum –Mati se rascó la barbilla –Eso significa que f(0) debe valer 3, vamos a sustituir x por 0, a ver qué pasa…

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–¿Tenemos más pistas, Sal Poirot? –preguntó Mati.

–Sí, Mati Marple –dijo el gafotas–. También pasó por (1,6).

–Ajá –dijo la pelirroja, eso significa que f(1) es 6.

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–Hum, estamos cerca… –dijo Mati –¿Puede aportar algo, Gauss Colombo?

–Guau, guuuuauuuu, guaaaaau

–Dice Colombo que también pasó por (2,13) -dijo Ven divertido.

–Vaya, vaya –dijo ella –, así que f(2) es 13

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–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! –gritó Ven.

–Me encanta, Mati –dijo Sal.

–¿Os gusta? –dijo Mati –En realidad, lo que hemos hecho es resolver este sistema de ecuaciones:

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–¿También se puede resolver con el método de Gauss que nos enseñaste? –preguntó Sal.

–Efectivamente –respondió ella –, podéis elegir hacerlo como queráis.

–¿Pintamos la parábola, Mati? –pidió Ven.

–Os tengo que enseñar a dibujar funciones –dijo ella –, pero hoy la dibujamos con Google.

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–Es preciosa… –dijo el pequeño Ven.

–Entonces, si tenemos 3 puntos con abscisas diferentes -dijo Sal –, siempre tenemos una parábola.

–Si no están alineados, en cuyo caso sería una recta,  –corrigió Mati y añadió con un guiño –,una parábola chafada.

–¿Y si tenemos 4 puntos, Mati? –preguntó el gafotas.

–En ese caso, si repetimos este procedimiento –les contó –llegaremos un polinomio que pase por ellos de grado,  como máximo 3. Pero podrá ser de grado 2, y que los 4 estén sobre una parábola, o de grado 1, que estén alineados…

–¡Mola! –dijo Ven.

–A esto –continuó Mati –, a buscar polinomios que pasen por un conjunto de puntos se le llama interpolación polinómica. Otro día os explico para qué se utiliza y otras formas de hacerlo sin resolver sistemas de ecuaciones, ¿vale?

–¡Vale! –exclamó de nuevo Ven.

–¿Y con 5 puntos, Mati? –siguió indagando Sal.

–Con 5 puntos, tendríamos un sistema de 5 ecuaciones con 5 incógnitas, tantas como puntos –respondió esta –, que nos daría como función sospechosa un polinomio de grado, como máximo, 4.

–Claro –dijo el gafotas –, porque si están alineados, será un polinomio de grado 1, una recta…

–¿Qué forma tiene un polinomio de grado 4, Mati? –preguntó el pequeño.

–Vamos a mirar uno en Google –les propuso.

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–¡Me gustan los polinomios! –gritó Ven.

–Como dice un amigo mío, –dijo Mati con una sonrisa — a mí también, pero solo hasta cierto grado.

 

Rutas y rodeos

–¡Hala! ¡Lo que faltaba! –protestó Sal –Por aquí no podremos pasar.

–¡Jo! Nunca llegaremos a casa de Lucas –añadió el pequeño compungido –. Estará triste y nervioso esperándonos.

–Grrrrrrrrrrrrrrrrr –gruñó Gauss al que los penitentes le daban un poco de mal rollo.

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–Tranquilo, chicos –dijo Mati tratando de calmar los ánimos –. Iremos por una ruta alternativa. Llamaremos a Lucas para decirle que llegaremos un poco tarde.

–Joooooooooo, estoy cansado de andar, Mati –volvió a quejarse Ven –. Me duelen los pies.

–Ánimo, Ven –respondió ella –. Llegaremos pronto.

Mati consultó en el mapa y dijo:

–Iremos por la calle de Cauchy, es un rodeo, pero no nos encontraremos más procesiones y podremos pasar.

–¿Por la calle Cauchy? –dijo Sal extrañado –Por ahí está muy lejos, Mati.

–Bueno –dijo ella –, calculo que por Cauchy tendremos que caminar unos 1000 metros. Sí, es largo, pero vosotros sois unos grandes deportistas…

–¡Hala! Dices 1000 metros para disimular, Mati –exclamó Ven muy enfadado –, pero eso es ¡un kilómetro!

–Sí, Ven, es 1 kilómetro –respondió su hermano –, pero una vez yo tuve que hacer un rodeo mucho mayor con una excursión del colegio, ¡de 3 kilómetros!

–En realidad –dijo la pelirroja mientras comenzaba a andar en dirección a la calle Cauchy –, los rodeos que debemos hacer en una ruta no se pueden comparar así, con los valores absolutos. No es riguroso.

–¿Qué quieres decir, Mati? –preguntó el gafotas echando a andar tras ella lleno de curiosidad.

–Lo que digo, Sal, es que no puedes afirmar que el rodeo que hiciste con el cole fuese mayor que el que tenemos que hacer hoy.

–¿Cómo que no, Mati? –siguió indagando Sal –¿Desde cuándo 3 kilómetros no es más largo que 1 kilómetro?

–Eso, eso, Mati –añadió el pequeño que los seguía arrastrado del pantalón por Gauss.

–No, chicos, no es eso –les contó –. Efectivamente, 3 kilómetros es más que 1 kilómetro, pero si lo que queremos es cuantificar qué rodeo fue más grande habría que conocer también cuáles eran las longitudes de las rutas directas en ambos casos, para comparar relativamente.

Los niños se quedaron muy serios, pero siguieron caminando con la gafotas porque querían saber a qué se refería su amiga.

–El camino directo a la casa de nuestro amigo Lucas –continuó ella –, si no estuviera cortada la calle con la procesión, tiene una longitud aproximada de 250 metros. Como el rodeo que estamos haciendo tiene una longitud de 1000 metros, podríamos decir que es un rodeo de dilación 4, el resultado de dividir la longitud del rodeo entre la longitud del camino directo.

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–Eso es mucho, ¿no, Mati? –preguntó Sal.

–Pues sí, es un rodeo importante –confirmó ella –.Fijaos que es 4 veces mayor, y mirado en cuestión de porcentajes, el rodeo es un 400% del recorrido directo o, si queréis mirarlo al revés, el camino directo es un 25% del rodeo. Pero si queremos compararlo con el rodeo que dio Sal en su excursión, necesitamos saber cuál era la longitud del recorrido directo…

–Creo que eran unos 1300 metros, Mati –dijo el gafotas –, al menos, eso es lo que recuerdo.

–En ese caso –siguió ella –, la dilación de aquel rodeo fue de 2, 307.

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–¿Ves, gafotas? –dijo de pronto Ven –¡Este rodeo es peorcísimo!

–Es bastante peor, sí –dijo ella –El rodeo hasta la casa de Lucas es un 173,38% del rodeo que dio Sal en su excursión o el rodeo de Sal fue un 57,67% del rodeo que tenemos que dar hoy.

–Jo, Mati –se quejó el pequeño –. No hables de porcentajes que no te entiendo.

–Te enseño, Ven –dijo ella –, es muy fácil. Si quieres saber qué tanto por ciento de 4 es 2,307, solo tienes que dividir 2,307 entre 4 y multiplicar por 100.

 

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–Ahora bien –siguió Mati –, si quieres saber qué tanto por ciento de 2,307 es 4 , solo tienes que dividir 4 entre 2,307 y multiplicar por 100.

 

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–Pues sí –aceptó Ven con una sonrisa –, es muy fácil.

–¿Sabéis? Ahora que hablamos de dilación en rutas –continuó la pelirroja –, una cosa que me llama mucho la atención es la dilación que algunas veces se obtienen al comparar rutas a pie con rutas en coche en las ciudades. Por ejemplo, en Sevilla. Supongamos que queremos ir desde el número 1 de la calle Alemanes al número 10 de la calle García Vinuesa caminando, solo tenéis que recorrer 41 metros, solo hay que cruzar la avenida de la Constitución

 

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–Sin embargo, si queréis ir en coche… –Mati hizo una pausa dramática –tendréis que recorrer ¡¡6700 metros!!

 

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–¡Toma, toma, toma! –exclamó el pequeño –Es increíble.

–Pero es verdad –dijo Mati con un guiño –. No estaría mal ordenar el tráfico teniendo en cuenta la dilación de las rutas no directas.

–Mati, ¿y si cortan una calle y no se puede llegar al sitio donde queremos ir? –preguntó el gafotas.

–Huy, qué pregunta tan interesante –dijo esta –, eso nos llevaría a hablar de conectividad de grafos y ordenación del tráfico. Pero eso os lo cuento otro día porque fijaos quién os está llamando desde el balcón…

–¡¡LUCAS!! –gritaron los niños.

–¡Guau, guuauuuauu, guaaaau!

 

Hamilton y el viajante

–Nos paramos a tomar algo, ¿chicos? –preguntó Mati a los chicos.

–Huy, pues sí –dijo el gafotas –. Estoy un poco cansado.

–Yo quiero un zumo de naranja, sí –añadió el pequeño Ven.

–¡Guauuuu!

Nuestros amigos salieron de paseo para ver su nuevo libro en las librerías. Para optimizar el recorrido, Mati les ha enseñado a diseñar el árbol de recorridos mínimos que conecta su casa con cada una de las librerías que querían visitar. Ahora necesitan un rato de descanso…

 

Mati20Min_46p

 

 

–Mati –dijo de pronto Sal –, el árbol que nos has dibujado con el algoritmo de Dijkstra está muy bien,

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pero para ir de la librería Richter a la librería Euler, tenemos que pasar de nuevo por nuestra casa, ¿no se puede diseñar un camino que desde casita vaya a todas las librerías sin tener que pasar otra vez por casa y que sea lo más corto posible? 

–¡Toma! –dijo el pequeño –De la librería Hilbert a la librería Celsius, también hay que volver a pasar por la librería Fahrenheit

–Es cierto –dijo Sal –, lo que necesitamos es un recorrido que empezando y terminando en casa, pase por todas las librerías, sin repetir ninguna, y que sea lo más corto posible. 

–Bueno, bueno, bueno –dijo Mati con car de sorprendida –, lo que acabas de plantear es un problema muy famoso conocido como el Problema del viajante

–Querrás decir del viajero… –interrumpió el gafotas.

–No, del viajante –continuó ella –. Un viajero es una persona que viaja o que relata un viaje. Un viajante, aunque puede ser también alguien que viaja, es un vendedor comercial que hace viajes para negociar sus ventas o sus compras.

–Ah, vale –asintió Sal.

–Pues bien –siguió ella –, en el Problema del viajante se plantea cómo diseñar un recorrido que empiece y termine en el mismo sitio, la oficina del viajante por ejemplo o su hotel en una determinada ciudad, y que pase por todos los puntos que necesita visitar sin repetir ninguno y con la menor longitud posible.

–¿Cómo se resuelve, Mati? –preguntó el pequeño Ven.

–Siento deciros –anunció Mati con voz de drama –que es un problema tremendamente complicado de resolver.

–¿Porque somos pequeños? –siguió indagando Ven.

–No, no –dijo ella –porque es un problema que a partir de, por ejemplo,  25 puntos, 25 puntos que visitar en el recorrido, no se puede resolver ni con el ordenador más potente del mundo.

–¡Tomaaaaaaaaaaaaaa! –se extrañó Ven.

–¿Por qué, Mati? –quiso saber Sal.

–Porque la cantidad de caminos posibles que habría que comparar –dijo ella –es inabordable incluso para una máquina. Es lo que se conoce como un problema NP-duro, pero de esos problemas os hablaré cuando seáis un poco mayores.

–¿Y qué hacen entonces? –preguntó el pequeño apenado.

–Existen estrategias para dar buenas aproximaciones al camino más corto en esas condiciones –respondió la pelirroja –, pero no existe ningún método para calcular el mejor. En cualquier caso, esas estrategias sí son un poco complicadas para vosotros.

–Mati –preguntó Sal saliendo de una ensoñación que lo había mantenido ausente unos segundos –, ¿y si no queremos que sea el más corto posible? Quiero decir, ¿se puede diseñar un recorrido que empiece y termine en nuestra casa y que pase por todas las librerías sin repetir ninguna?

–Vaya –bromeó ella –, esta tarde va de problemas difíciles.

Los niños se quedaron mirando a Mati extrañados, ella siempre sabe resolver cualquier cosa. Gauss bostezó.

–Sí, chicos –continuó –. Lo que Sal plantea ahora es encontrar en este  grafo

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lo que se conoce como un circuito  hamiltoniano, en honor a Hamilton. 

–¡Toma! ¡Claro! –exclamó Ven –El de la Fórmula 1…

–¡Jajajajajajajajaja! –Mati no pudo reprimir la risa –No, este circuito no tiene nada que ver con Lewis Hamilton, sino con William Rowan Hamilton, al que seguro que nuestro amigo Fis conoce muy bien porque le gusta la mecánica cuántica.

–¿Qué es un circuito hamiltoniano, Mati? –preguntó Sal curioso.

–Un circuito o ciclo hamiltoniano en un grafo –dijo ella –es un camino formado por aristas   (los segmentos azules de nuestro grafo) adyacentes que empieza y termina en un vértice (punto rojo) y pasa por todos los demás vértices (los demás puntos rojos de nuestro grafo) sin repetir ninguno.

–¿Cómo se hace, Mati? –preguntó Sal –¿Por qué ‘dices que es un problema difícil?

–Pues porque el problema de saber si existe o no  un ciclo hamiltoniano en un grafo –dijo ella –es un problema que tampoco pueden resolver ni los ordenadores más potentes para grafos con más de, por ejemplo, 50 vértices. Este es un problema NP-completo.

–Pues vaya –dijo Ven con penita.

–Y en nuestro grafo, ¿podemos dibujar un ciclo hamiltoniano? –preguntó Sal.

–Bueno –dijo ella –, en este grafo seguro que vosotros podéis intentar encontrarlo, si existe, hay muy pocos vértices…

Los niños se pusieron a mirar el grafo, al cabo de unos minutos el pequeño Ven gritó:

–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! ¡Sí se puede dibujar un circuito de Hamilton! ¡Mira, Mati!

–No, Ven –interrumpió ella y añadió con un guiño –. No lo dibujes, vamos a dejar a nuestros amigos lectores que lo intenten. Nosotros tenemos que seguir nuestro paseo.

 

 

De rama en rama, pero por el camino más corto

–Ya hemos llegado –dijo Ven –. Esta es la librería Voronoi.

–El que reparte el bacalao –bromeó Sal.

–¡Toma! ¡Cómo mola el escaparate con nuestro libro! –añadió el pequeño.

–¡Guauu, guauuuu!

–Sí, está precioso –dijo Mati –, me encanta.

–Y hemos llegado rapidísimo gracias al itinerario que tú has preparado, Mati –dijo el gafotas.

Mati20Min_42p

–Bueno, es que la Teoría de Grafos es muy apañada para diseñar rutas de recorridos mínimos –respondió ella con un guiño.

–¿Nos enseñas a hacerlo, Mati? –pidió Sal.

–Con muchísimo gusto –respondió la pelirroja –. Antes de planear la ruta, he dibujado un grafo de la siguiente manera: un vértice, un punto rojo, que representa a nuestra casita. Después he puesto un vértice por cada una de las 10 librerías que queríamos visitar hoy: Celsius, Euler, Fahrenheit, Fibonacci, Gadner, Gauss, Hilbert, Könisberg, Richter y Voronoi.  A continuación, he dibujado aristas, segmentos azules, uniendo esas librerías indicando la distancia en metros de cada posible ruta  que las unía, mirad:

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–Vamos a construir  los caminos de recorrido mínimo desde nuestra casita hasta cada una de las 10 librerías usando el algoritmo de Dijsktra –continuó Mati –El resultado de esta construcción será un árbol.

–¿Un árbol? –preguntó Ven con cara de sorpresa.

–Sí, un árbol –confirmó ella –Es decir, nos quedaremos solo con algunas de las aristas azules de este grafo que acabamos de dibujar de forma que todas las librerías  aparecen conectadas con esas aristas y se puede ir de uno a cualquier otro paseando por ellas. Además, no se forman ciclos de aristas, es decir, no hay ningún recorrido circular como el que aparece marcado con trazo rojo en la siguiente imagen.

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–¿Y cómo sabemos qué aristas se quedan y qué aristas se van?–preguntó el gafotas.

–Eso es lo que  os voy a explicar ahora mismo –anunció Mati con una sonrisa –Para ello, vamos a hacer una tabla que nos ayude, como esta:

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–En la primera columna  –continuó ella –ponemos el nombre de las librerías que queremos visitar. En la columna central, escribimos la longitud del camino más corto  desde casa a la librería correspondiente encontrado  hasta ese momento, y en la última columna el nombre de la última librería de ese camino que hemos visitado antes de llegar a la librería de esa fila.

Los niños asintieron con la cabeza y permanecieron muy atentos, Gauss se dedicó a mirar a las perritas que pasaban…

–Comenzamos desde el vértice que representa a nuestra casa –siguió la pelirroja –, ¿a cuántas librerías podemos llegar directamente desde Casita?

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–A 5 –dijo Sal –: a la librerías Gauss, Euler, Voronoi, Fibonacci y Fahrenheit.

–Efectivamente –confirmó Mati –, vamos a pintar esas librerías de amarillo:

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–Ahora miramos la distancia desde casa a cada una de esas 5 librerías –siguió ella –y la escribimos en la tabla, a las librerías que no están conectadas con nuestra casa le asignamos la distancia infinito, porque aún no podemos llegar a ellas. En esta primera tabla, la en la columna de la derecha solo puede estar nuestra casa porque salimos de allí.

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–Nos fijamos ahora en la librería más cercana de las 5 conectadas a casa –les propuso Mati.

–Hay 2 –dijo Ven rápidamente –, Gauss y Fahrenheit.

–Tendremos que elegir una de ellas –dijo Mati, ¿cuál?

–¡¡Gauss!! –respondieron los niños al unísono.

–¡Guauuuuu, guauuuuu, guaauuuu! –dijo… bueno, ya sabéis quién.

–Muy bien, elegimos la librería Gauss. Pintamos de verde el vértice correspondiente y la arista que la une con nuestra casa.–continuó Mati –. Y ahora desde esta librería, podremos llegar a otras nuevas.

–¡Sí! –exclamó el pequeño — A Euler y a Könisberg.

–Las pintamos de amarillo –concluyó Mati.

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–A continuación, actualizamos la tabla –les dijo –. Desde la librería Gauss podemos llegar a Euler, Fahrenheit, Richter y Könisberg. Calcularemos el recorrido de los 4 caminos que, pasando por la librería Gauss, van de casa a cada una de estas 4 librerías, y para cada una de ellas nos quedamos con el que pasa por Gauss solo si es menor que el que ya está en la tabla. Para la librería Euler, el camino que pasa por Gauss mide 180 (arista entre Casita-Gauss) más 230 (arista Gauss-Euler), esto es, 410. Lo descartamos porque en la tabla anterior Euler está a 330 de casa. Para la librería Fahrenheit, el camino que pasa por Gauss mide 180 (arista entre Casita-Gauss) más 314 (arista Gauss-Fahrenheit), esto es, 494. Lo descartamos porque en la tabla anterior Fahrenheit está a 180 de casa.  Para la librería Richter, el camino que pasa por Gauss mide 180 (arista entre Casita-Gauss) más 198 (arista Gauss-Richter), esto es, 378. Este sí lo cambiamos  porque en la tabla anterior Richter estaba distancia infinita de casa. Y por último, para la librería Könisberg, el camino que pasa por Gauss mide 180 (arista entre Casita-Gauss) más 275 (arista Gauss-Könisberg), esto es, 455. Este también  lo cambiamos  porque en la tabla anterior Könisberg estaba distancia infinita de casa. Solo tenemos que actualizar Richter y Könisberg:

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–Qué chulo, Mati… –Sal estaba embobado.

–Lo es –dijo ella –. Ahora miramos, de nuevo, la columna central y buscamos a quién corresponde el número más pequeño…

–¡Fahrenheit! –gritó Ven — ¡El de los termómetros de Estados Unidos!

–¡Vamos para allá! –exclamó Mati –¡Fahrenheit en verde!

–¡Ahora pillamos a Celsius y a Hilbert! –añadió el gafotas –¡Que se vuelvan amarillos!

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–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! –dijo Ven.

–Actualicemos nuestra tabla –sugirió ella –Desde Fahrenheit se puede llegar a Richter, Celsius, Hilbert y Fibonacci. Estudiemos esos caminos: Para la librería Richter, el camino que pasa por Fahrenheit mide 180 (arista entre Casita-Fahrenheit) más 267 (arista Fahrenheit-Richter), esto es, 447.   Lo descartamos  porque en la tabla anterior Richter estaba a distancia 378 de casa. Para la librería Celsius, el camino que pasa por Fahrenheit mide 180 (arista entre Casita-Fahrenheit) más 255 (arista Fahrenheit-Celsius), esto es, 435.   Este sí lo cambiamos  porque en la tabla anterior Celsius estaba distancia infinita de casa. Para la librería Hilbert, el camino que pasa por Fahrenheit mide 180 (arista entre Casita-Fahrenheit) más 230(arista Fahrenheit-Hilbert), esto es, 410.   Este también lo cambiamos  porque en la tabla anterior Hilbert estaba distancia infinita de casa. Para la librería Fibonacci, el camino que pasa por Fahrenheit mide 180 (arista entre Casita-Fahrenheit) más 450 (arista Fahrenheit-Fibonacci), esto es, 630.   Lo descartamos  porque en la tabla anterior Fibonacci  estaba a distancia 345 de casa. Solo cambiamos entonces Celsius y Hilbert:

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–Como veis –dijo Mati –, estoy marcando en amarillo las librería que ya están en verde, porque esas ya están en nuestro árbol ¿Adónde vamos?

–¡A Voronoi! -gritaron los niños.

–Sí –dijo Mati –Desde Casita, como dice en la tabla. Pintamos de verde Voronoi y la arista que lo une con Casita.

–Y a Gadner de amarillo –añadió el gafotas –porque lo hemos pillado.

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–¡Esto marcha! –dijo la gafotas –Vamos a actualizar la tabla –Desde Voronoi se puede llegar a Euler, Gadner y Fibonacci, veamos esas rutas. Para la librería Euler, el camino que pasa por Voronoi mide 190 (arista entre Casita-Voronoi) más 317 (arista Voronoi-Euler), esto es, 507.   Lo descartamos  porque en la tabla anterior Euler estaba a distancia 330 de casa. Para la librería Gadner, el camino que pasa por Voronoi mide 190 (arista entre Casita-Voronoi) más 170 (arista Voronoi-Gadner), esto es, 360.   Este lo cambiamos  porque en la tabla anterior Gadner estaba a distancia infinita de casa. Para la librería Fibonacci, el camino que pasa por Voronoi mide 190 (arista entre Casita-Voronoi) más 299 (arista Voronoi-Fibonacci), esto es, 489.   Lo descartamos  porque en la tabla anterior Fibonacci estaba a distancia 345 de casa. Solo cambiamos Gadner.

 

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–¿Hacia dónde vamos, caballeros? –preguntó Mati.

–Hacia Euler –dijo el gafotas.

–El de los puentes de Könisberg –añadió Ven.

–Eso es –dijo ella –, vamos a Euler desde Casita según nuestra tabla. Pintamos de verde Euler y la arista Casita-Euler.

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–Si miramos ahora las rutas que llegan a Gadner y a Könisberg pasando por Euler –continuó ella –, miden 745 y 630, respectivamente. son peores que las de la tabla que tenemos, así que no cambiamos nada. Y ahora, ¿adónde vamos?

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–¡A Fibonacci! –dijo Sal.

–¡El de los conejos! –añadió su hermano.

–¡Allá vamos! –dijo Mati –¡A Fibonacci, desde Casita!

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–Las rutas que llegan a Hilbert y a Gadner desde Casita pasando por Fibonacci –dijo Mati –, miden respectivamente, 595 y 655. Son peores que las de la tabla, tampoco cambiamos nada ahora.

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–¡Nos vamos a Gadner! –gritó Sal.

–El bromista… –dijo Ven.

–Muy bien –dijo ella —A Gadner desde Voronoi.

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–Desde Gadner –dijo Mati –no podemos llegar a ninguna librería en amarillo, así que no tenemos que cambiar la tabla.

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–¿Siguiente? –preguntó Mati teatrera.

–¡Richter! –dijo el gafotas.

–¡El de los terremotos! –añadió su hermano.

–¡A Richter desde Gauss! –puntualizó la pelirroja.

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–Tendremos que calcular ahora las rutas que llegan a Könisberg y a Celsius (en amarillo) pasando por Richter –propuso Mati –. Para Könisberg esa ruta mide 603, los 378 de Casita a Richter en nuestro árbol verde más los 225 de Richter a Könisberg; para Celsius, tendemos 658. Los dos son peores que los de la tabla, no cambiamos nada.

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–¡Nos vamos a Hilbert desde Fahrenheit! –anunció el gafotas.

–¡Toma! –dijo Ven –¡A ver si nos lleva a su hotel infinito!

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–Tampoco tenemos que cambiar la tabla –dijo Mati –porque Celsius está más cerca de Casita si vamos por Fahrenheit.

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–¡Vamos que nos vamos! –exclamó el pequeño –¡A Celsius desde Fahrenheit!

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–Pues ya está -dijo el gafotas –porque Könisberg está más lejos por Celsius, así que a Könisberg por Gauss como dice la tabla, ¿no, Mati?

–Perfecto –dijo Mati orgullosa de sus exploradores.

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-Ya lo tenéis –anunció la pelirroja –Si nos quedamos solo con las aristas verdes, tenemos el árbol que nos proporciona los recorridos de longitud mínima desde casa hasta cualquiera de las librerías que venden nuestro libro.

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–¡Toma, toma, toma!¡Mola infinito! –dijo Ven.

–¡Y más allá! –añadió su hermano.

–¡Guauuuuuuuuuu! –dijo Gauss poniendo una nota discordante…

 

 

Redonda, sí, pero no es una función

Anteriormente en Mati, una profesora muy particular…

–¡Moooooooooooooola! –volvió a exclamar el pequeño.

–Sí, mola –corroboró Mati –. La recta de ecuación 2x -3y +1=0 es la gráfica de la función f(x)=(2x+1)/3.

–¿Todas las rectas son gráficas de una función, Mati? –preguntó el gafotas.

–Todas, menos las rectas verticales  –dijo ella –. Basta que despejéis, en la ecuación de la recta, el valor de y y lo que os salga es la función de x que estáis representando.

–¡Toma! –exclamó Ven –¡Y lo podremos hacer también con las ecuaciones de las circunferencias!

–¡No! –dijo de pronto Mati –Las circunferencias no son la gráfica de una función, sino de 2 funciones…

–Sí, hombre… –dijo Ven desconfiado. –Piensa un poco –le retó la pelirroja –, a ver si sabes por qué. Pero ahora vamos que es la hora de la función de Sal.

En el capítulo de hoy…

–¿Nos lo cuentas, Mati? –pidió Ven con cara de no haber roto un plato en su vida.

–¿Qué queréis que os cuente, Ven? –dijo ella.

–Por qué dijiste que las circunferencias no son una función como las rectas.

–Ah, eso –exclamó Mati –. Con mucho gusto, caballeros. Os explicaré por qué las circunferencias no son la gráfica de una función.

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Sal y Ven sacaron su cuaderno dispuestos a escuchar la explicación de Mati. Gauss no parecía demasiado interesado, la verdad.

–Como os dije la otra tarde –comenzó a decir la pelirroja –, una función es una regla o ley que te permite asignar a cada elemento de un primer conjunto un único elemento de otro conjunto.

–¿Y? –preguntó el gafotas.

–Cuando tenemos una recta, los puntos sobre el   eje horizontal, el de abscisas, os lo conté cuando explicamos coordenadas cartesianas, son elementos del primer conjunto –les dijo –, y la función, cuya gráfica está representada por dicha recta, asigna a cada punto del eje de abscisas, o mejor dicho, al valor que representa,  la segunda coordenada del único punto sobre la recta que tiene como primera coordenada dicho valor en la abscisa.

Los niños arrugaron sus caritas como pasas. Gauss ladró bajito haciéndose el interesante.

–¿Lo vemos con un ejemplo? –preguntó Mati.

–Por favor –dijo Sal.

–Vamos a dibujar en nuestros ejes coordenados la recta de ecuación y=2x + 1 –dijo Mati –, que es la gráfica de la función f(x)=2x+1. Para ello solo necesitamos dar 2 valores a x, porque por 2 puntos pasa una única recta. Para x igual a 0, y será 2 por 0 más 1, o sea 1. La recta pasa por el punto (0,1). Para x igual a 1, y será igual a 2 por 1, 2, más 1, o sea 3, la recta pasa por el punto (1, 3).

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–Ahora, ya veréis como a cada punto del eje de abscisas –continuó Mati –solo le corresponde un valor de la función f(x)= 2x + 1. Decidme un número.

–¡El 4! –gritó Ven.

–Para calcular el valor que nuestra función asocia al número 4 –dijo ella –o bien sustituimos x por 4 en la función, o bien, trazamos una recta vertical sobre el 4 del eje de abscisas.

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–Pintamos la recta vertical que pasa por el 4 –dijo Mati –que en realidad es el punto (4,0) del plano. Esta recta vertical será la recta de ecuación x=4 y vamos a ver cómo sólo corta a nuestra función, la recta verde.  en un único punto:

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–La corta en el punto (4, 9) –dijo Sal.

–Y sólo en el (4, 9) –añadió Mati –. Eso significa que f(4)=9, es decir, que la función asocia al 4 el valor 9.

–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! –exclamó Ven.

–Vamos a ver ahora qué pasa con la circunferencia –les propuso Mati –. Decidme el centro y el radio.

–El centro será el (0,0) –dijo de repente el pequeño.

–Y de radio 5 –añadió el gafotas.

–Vamos a calcular su ecuación como os enseñé –les propuso ella.

 

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–La ecuación es x2 + y2= 25 –dijo Sal.

–Ahora la dibujamos en nuestros ejes coordenados –dijo ella.

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–Veréis qué pasa si quisiéramos calcular la imagen del 2 –propuso Mati –en la función cuya gráfica es la circunferencia verde. Para ello, como antes, dibujamos la recta vertical sobre el 2, la recta de ecuación x=2.

 

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–¡Toma, toma, toma! ¡Es verdad! –gritó Ven –¡Es verdad!

–¿Y por qué pasa eso? –quiso saber el gafotas.

–Pues verás  –empezó diciendo ella –, si despejamos y en la ecuación de la circunferencia nos queda:

 

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–Pero, Mati –dijo Sal –, has conseguido despejar y en la ecuación, entonces ¡es una función!

–No –respondió esta –, porque no da un único valor para cada x

–¡Anda que no! –dijo Ven.

–Pues no –dijo Mati respondona –¿Cuánto vale la raíz cuadrada de 4?

–¡2! –dijo Sal con entusiasmo.

–O -2 –añadió la pelirroja –Porque -2 al cuadrado también es 4.

–Ah, claro –reconoció el gafotas.

–Si en la ecuación de la circunferencia –continuó ella –sustituimos x por 4, ¿qué ocurre?

 

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–¡Tooooooooooooomaaaaaaaaaaa! –gritó Ven.

–Por eso –dijo Mati –, cuando aparece la raíz cuadrada ponemos delante +√9, -√9 o, incluso ±√9, si queremos indicar que consideramos los 2 posibles valores de la raíz cuadrada.

–Ajá –asintió el gafotas, mientras su hermano seguía mirando el dibujo de la circunferencia de centro (0,0) y radio 5 que habían dibujado en el cuaderno.

–¡Qué pena! –dijo –Tan redondita y no es una función…

Una función muy importante

–Descansa un poco, Sal. Ya te sale muy bien…

–No, no estoy seguro, Ven. Quiero hacerlo muy bien en la función del Día de Andalucía.

–¿Vais a tocar todos los de tu clase a la vez? –preguntó Ven.

–Claro –respondió el gafotas –¿Por qué?

–En ese caso te recomiendo que no soples demasiado… –le sugirió el pequeño.

–¿¿Por qué?? –preguntó Sal extrañado.

–No sé, no te sale muy bien –respondió el pequeño mirando a otro lado.

–Acabas de decir lo contrario, Ven –respondió Sal –. Mentiroso… Voy a seguir ensayando.

–No, de verdad –suplicó Ven –. Nos estás martirizando…

–Se trata de celebrar el día de nuestra comunidad autónoma, Ven –le espetó Sal con aire digno –. Me parece que no eres consciente de la importancia de esta función…

–Huy, todas las funciones son muy importantes –Mati acababa de llegar –, al menos, a los matemáticos nos apasionan.

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–Hola, Mati –la saludó el pequeño Ven muy contento — ¿Nos vamos al parque con Gauss?

La mascota comenzó a mover la cola con entusiasmo ante la propuesta de Ven.

–Hola, Mati –la saludó Sal serio — ¿Por qué te gustan tanto las funciones? ¿Las de música?

–Esas también –respondió la pelirroja –, pero me refería a las funciones matemáticas.

–¿Qué son funciones matemáticas? –preguntó el pequeño y añadió con cara de pillo –¿Cantáis sumas y multiplicaciones?

–No, no es eso –le contestó ella con un guiño –Una función matemática no es más que una regla o ley que te permite asignar a cada elemento de un primer conjunto un único elemento de otro conjunto.

–No entiendo… –aceptó Ven.

–Os lo explico con un ejemplo –propuso ella –. Una función podría ser asignar a cada  número el valor de su cuadrado. Al 1 le asignamos el 1, al 2 le asignamos el 4, al 3 le asignamos 9… y así sucesivamente.

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–¡Eh, un momento! –dijo Ven –Has asignado el mismo número al 1 y al -1. Eso no vale.

–Sí, Ven, sí vale –dijo Mati –. A dos elementos del primer conjunto se les puede asignar el mismo elemento del segundo conjunto. Piensa por ejemplo en una función que a cada palabra del castellano le asignara su primera letra. Habría muchas palabras que tendrían asignada la a, por ejemplo.

–Toma, claro –aceptó el pequeño.

–Pero en matemáticas estudiamos, principalmente, funciones entre conjuntos numéricos –continuó la pelirroja –. A las funciones se les suele llamar f, de función, y la función que hemos descrito que asigna a cada número su cuadrado se escribiría así:

 

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–Eso significa –continuó Mati –que f transforma lo que está entre paréntesis, x, en eso mismo, x, al cuadrado. Nuestro amigo Fis dice que le parece una f embarazada, con su x en la tripa.

–¡Toma! ¡Es verdad! –dijo Ven divertido.

–Pues sí, no lo había pensado nunca, pero sí –añadió Mati –. Yo siempre las veo como una especie de máquina, en las que entra un número y sale transformado.

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–¿Para qué sirven las funciones, Mati? –preguntó Sal.

–Huy, para muchísimas cosas –respondió Mati –. Por ejemplo, se pueden usar para estudiar fenómenos físicos, químicos, económicos…

–¿Nos dices otra función Mati? –pidió el pequeño.

–Pues sí, de hecho ya os he dicho algunas anteriormente –respondió ella –, aunque no la llamásemos así. Pero cuando estudiábamos las ecuaciones de las rectas, estábamos dibujando funciones.

–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! –gritó Ven.

–No entiendo, Mati –resopló el gafotas.

–Intentaré explicarlo –anunció ella –. Hay varias formas de representar una función. Una, ya la hemos visto, escribiendo f(x)=x2 . A x se le llama variable independiente de la función y, como veis, representar de esta forma una función consiste, simplemente, en escribir una expresión en la que aparece la variable, x, por ejemplo: f(x)= x2, f(x)= 3x3-1, f(x)=x/2…

–Ajá –dijo Ven muy serio, Sal miró a su hermano por encima de sus gafotas.

–Pues bien –continuó ella –, cada función de x se puede representar también como una curva en el plano. Para ello, vamos a dar algunos valores, los que queramos, a la variable x y pintamos en el plano cartesiano, los puntos de coordenadas (x, f(x)), como aprendimos cuando estudiamos las coordenadas cartesianas.

–A mí me gustan más las coordenadas polares… –interrumpió el pequeño, Sal le recriminó con la mirada y Mati siguió:

–Vamos a escribir, para ayudarnos, una tabla donde ponemos los valores que le vamos dando a x y el correspondiente valor que le asigna  f(x)= x2

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–Esto significa –prosiguió ella –que la gráfica de nuestra función, f(x)= x2, pasa por los puntos de coordenadas: (-2,4), (-1, 1), (0,0), (1,1) y (2,4). Pues bien, la gráfica de nuestra función  f(x)= x2 es la siguiente curva roja, llamada parábola.

 

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–¡Mola! –dijo Ven.

–Ahora, si tenemos la ecuación  de una recta, por ejemplo , en forma implícita –continuó la pelirroja –, 2x-3y+1=0, vamos a dejar solita a la y en  la izquierda de la expresión y pasamos el resto de términos a la derecha.

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–¿Veis? –preguntó Mati.

–¿¿Qué?? –dijeron los dos hermanos a la vez.

–Tenemos que y es igual a una expresión de x –respondió ella –. Cuando esto ocurre, decimos que y es una variable dependiente de x y tenemos, por lo tanto, una función de x:

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–¿Cómo sabes que eso es una función de x? –preguntó el gafotas.

–Porque es una máquina que transforma números en otros –respondió ella guiñando un ojo.

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–¡Moooooooooooooola! –volvió a exclamar el pequeño.

–Sí, mola –corroboró Mati –. La recta de ecuación 2x -3y +1=0 es la gráfica de la función f(x)=(2x+1)/3.

–¿Todas las rectas son gráficas de una función, Mati? –preguntó el gafotas.

–Todas, menos las rectas verticales  –dijo ella –. Basta que despejéis, en la ecuación de la recta, el valor de y y lo que os salga es la función de x que estáis representando.

–¡Toma! –exclamó Ven –¡Y lo podremos hacer también con las ecuaciones de las circunferencias!

–¡No! –dijo de pronto Mati –Las circunferencias no son la gráfica de una función, sino de 2 funciones…

–Sí, hombre… –dijo Ven desconfiado.

–Piensa un poco –le retó la pelirroja –, a ver si sabes por qué. Pero ahora vamos que es la hora de la función de Sal.

 

 

 

Con Gauss en el super

–Vamos, Ven –dijo Sal –. Estoy deseando llegar para prepararnos la merienda.

–Voy todo lo rápido que puedo, Sal –respondió el pequeño –, pero es que estas manzanas pesan mucho.

–No te quejes, enano –dijo el gafotas –, que yo llevo todo el queso…

–Claro, como te has comprado todo el queso del super… –protestó el pequeño — Oye, Sal, ¿te puedo hacer una pregunta?

–Dime.

–¿¿Cuánto te has gastado en queso?? –le espetó Ven un poco ofuscado.

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–No tanto… –respondió este –¿Por qué?

–Porque mamá te avisó de que no te pasaras comprando queso, ¿sabes?

–Bueno –se defendió el mayor –, mamá nos dio 20 € y nos han sobrado 4. No lo hemos gastado todo y hemos comprado también manzanas y pan.

–Ya, pero las manzanas y el pan eran más baratas –insistía Ven en su reprimenda.

–No te creas –siguió el gafotas –, en manzanas hemos gastado el doble que en pan.

–¿Y en queso? –continuó el pequeño en su indagación.

–En queso sólo el triple que en pan –dijo Sal y añadió bajando la voz —más lo que hemos gastado en manzanas.

–¿Y eso cuánto es? –preguntó Ven cada vez más impaciente.

–Huy, eso se puede calcular muy bien resolviendo un sistema de ecuaciones –intervino Mati que había estado pendiente de la conversación mientras los acompañaba de vuelta a casa.

–Ea, pues ya sabes, Ven –concluyó el gafotas –, solo tienes que resolver el sistema de ecuaciones que dice Mati.

–¿Qué ecuaciones, Mati? ..preguntó el pequeño –¿Cuál es la incógnita?

–Las, las incógnitas –dijo esta –. Son tres en este caso: lo que habéis gastado en manzanas, lo que habéis gastado en pan y lo que habéis gastado en queso.

–¿¿3 incógnitas?? –el gafotas se interesó de pronto en la conversación –Solo sabemos resolver sistemas de 2 ecuaciones con 2 incógnitas.

–Sí –confirmó Mati –, pero el mismo método de Gauss que os enseñé para sistemas de 2 ecuaciones con 2 incógnitas se puede usar para sistemas de 3 ecuaciones con 3 incógnitas.

–¿Seguro? –preguntó Sal desconfiado –¿Cómo?

–Os lo explico con vuestra compra –les dijo Mati –. Vamos a definir las incógnitas del problema.

 

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–Esto tiene pinta de ser muy difícil… –dijo Ven por lo bajini.

–Para nada, Ven –dijo ella –, ya verás. Ahora vamos a ir escribiendo las ecuaciones con los datos que me habéis dicho ¿Cuánto habéis gastado en total?

–¡16 €! –se apresuró a contestar el pequeño.

–Ajá, eso significa que la suma de las 3 incógnitas es igual a 16.

 

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–En manzanas hemos gastado el doble que en pan –añadió el gafotas.

–Muy bien –dijo la pelirroja –, vamos a expresar ese dato como otra ecuación:

 

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–Sí, pero en queso hemos gastado el triple que en pan más lo que hemos gastado en manzanas –dijo Ven con vehemencia.

–Ese dato –dijo Mati –lo expresaremos de la siguiente forma:

 

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–¿3 ecuaciones? –preguntó Ven con cara de espanto.

–Sí –le respondió Mati –. Si queremos tener un solución única, necesitamos, al menos,  tantas ecuaciones como incógnitas, como nos pasaba el otro día. Ya tenemos nuestro sistema de ecuaciones:

 

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–¿Y ahora? –preguntó impaciente el gafotas.

–Ahora –les dijo –ordenamos la escena del crimen, poniendo todas las incógnitas en el término de la izquierda:

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–¿Ahora tenemos que escribir la cajita de coeficientes, Mati?  –preguntó Sal.

–Efectivamente –confirmo esta –.Vamos a escribir la matriz de coeficientes:

 

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–Ahora –continuó Mati –la escribimos como nos gusta a los matemáticos…

 

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–¿Qué hacemos ahora, Mati? –preguntó el pequeño.

–Lo que tenemos que conseguir operando con las filas –dijo ella –es transformar en 0 los números que os marco con círculos  en la matriz:

 

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–Empezamos con el número del círculo rojo –propuso Mati –. Como es un 1 igual que el mismo número en su posición en la Fila 1, sólo tenemos que calcular Fila 2 menos la Fila 1, y sustituir la Fila 2 por la nueva fila obtenida:

 

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–Con esto, la matriz de coeficientes se transforma en la siguiente: -dijo la pelirroja.

 

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–Le toca el turno –anunció ella –al número en el círculo verde. Como es -1 y en la Fila 1 en esa columna tenemos un 1, bastará con sumar la Fila 3 con la Fila 1, y sustituir la Fila 3 por la nueva fila obtenida.

 

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–Sustituimos en la matriz de coeficientes –continuó Mati –la Fila 3 por la nueva fila obtenida

 

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–¡Eh, el número del círculo amarillo ha cambiado! –exclamó Ven.

–Efectivamente –dijo Mati –si hubiese cambiado a 0 ya habríamos acabado. Pero no, aún no es 0. Tenemos que seguir currando. Pero antes que nada, fijaos que todos los coeficientes de la Fila 3 son pares, todos son divisibles por 2.

–Ajá –dijeron los dos hermanos al unísono.

Cuando toda una fila es divisible por un número -dijo Mati —podemos dividir la fila por ese número en cuestión y así trabajaremos con números más pequeños.

–¡Mola! -dijo Ven, Sal lo miró muy serio.

–Si dividimos la Fila 3 por 2, nos quedará:

 

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–Otra vez ha cambiado el número del círculo amarillo, Mati –advirtió el pequeño.

–Sí, pero sigue sin ser 0 –respondió Mati –. Para conseguir que el -1 en el círculo amarillo sea 0, ahora usamos la Fila 2, porque si usamos la Fila 1 podríamos perder el 0 del círculo verde que acabamos de conseguir.

–Ajá –repitió Ven, Sal esta vez no lo miró.

–Tenemos que multiplicar el número de la Fila 2 correspondiente a la columna de nuestro círculo amarillo, el -3 en nuestro ejemplo, por un número para que el resultado sea 1 y al sumarlo a la Fila 3, nuestro -1 se convierta en un 0.

–Eso es imposible –dijo Ven.

–¿Por qué? –preguntó ella.

–Ningún número multiplicado por -3 da como resultado 1 –dijo el pequeño.

–Eso no es verdad –intervino el gafotas –Si multiplicas -1/3 por -3, el resultado es 1.

–Ajá –dijo de nuevo Ven rascándose la barbilla. Gauss resopló,

–Muy bien, chicos –continuó Mati –. Multiplicaremos la Fila 2 por -1/3 y lo sumaremos a la Fila 3, el resultado será la nueva Fila 3 de la matriz de coeficientes.

 

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–Ahora tenemos la matriz:

 

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–Mati –dijo Sal —¿podemos multiplicar la última fila por 3 para quitar los denominadores?

–Podemos –confirmó ella.

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–Pero ahora –dijo Ven excitado —¡se puede dividir la Fila 3 por 4!

–Ajá –dijo Mati cómica –, podemos.

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–Ya no podemos hacer nada más –se lamentó Ven.

–Bueno –dijo Mati –, vamos a escribir el sistema de ecuaciones asociado a esta matriz y ya veréis que fácil es resolverlo:

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–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! –gritó el pequeñajo –Ya sabemos que z vale 10 –Ven hizo un pausa –¿¿Te has gastado 10 € en queso??

–No es tanto, Ven –se defendió el gafotas –, es un queso francés y estaba en oferta.

–¿Cuánto hemos gastado en pan, chicos? –preguntó Mati tratando de desviar la conversación –Podéis calcularlo muy fácilmente con la segunda ecuación, sustituyendo z por 10.

Los niños se pusieron a calcular lo que Mati había propuesto.

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–Hemos gastado 2 € en pan, Mati –anunció Ven.

–Y como en total hemos gastado 16 € –añadió su hermano –, hemos gastado 4 € en manzanas.

–¡Muy bien, chicos! –exclamó Mati con alegría –. Ya os dije que el método de Gauss también servía para 3 ecuaciones, y para 4, para 5…

–¡¡Gaussito es el mejor!! –gritó Ven tomando a su mascota en brazos.

–Lo es –apostilló el gafotas –, pero vamos ya a casa que quiero mi bocata de queso.