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Interpolando que es gerundio

–¿Lo has anotado, Ven?

–Claro, Sal, ¿qué te crees? Soy un gran científico.

–Bueno, no siempre Ven, recuerdo aquella vez que…

–Lo siento mucho. Me equivoqué. No volverá a ocurrir.

Nuestros dos amiguitos están haciendo un experimento para ver cómo se enfría el agua que han calentado en el microondas. Para ello, el pequeño Ven está anotando en su cuaderno de científico la temperatura del agua del vaso cada 30 segundos. Sal es el encargado de las mediciones con un termómetro y Gauss permanece atento garantizando la no manipulación de los datos.

–¿Estáis listos, chicos? –pregunta Mati entrando en la habitación –Tenemos que irnos.

–¿Ahora? –preguntó Sal un poco disgustado.

–Sí –dijo ella –. Tenéis que haceros la foto para el DNI si queréis viajar a Lyon a visitar a Fis.

–¿Podemos ir mañana, Mati? –preguntó Ven –Si nos vamos ahora no podemos terminar el experimento…

Mati20M_49p

–Me temo que no, cielo –respondió Mati –. Tenemos que ir ahora.

–Vaya –se quejó Sal sin mucho entusiasmo –, ahora no sabremos cuánto tarda en enfriarse el agua…

–Si queréis –les propuso Mati –, podéis interpolar los datos que habéis obtenido y predecir qué ocurriré dentro de un rato…

–¿Como nos enseñaste el otro día? –preguntó Sal.

–Sí –dijo ella –. Podéis hacerlo como el otro día, resolviendo el sistema de ecuaciones, o bien os puedo enseñar otro método.

–¿Tenemos que encontrar una parábola? –preguntó Ven.

–Depende del número de datos del experimento que tengáis –respondió Mati –, si son solo 3 datos, el polinomio que pasará por esos 3 dato será una parábola. Pero si son más puntos no tiene por qué serlo.

–No me entero, Mati –terminó aceptando el pequeño.

–Voy a tratar de explicarlo –propuso la pelirroja –.  Supongamos que medimos la temperatura en el instante 0, cuando sacamos el agua del microondas y está a 75ºC. Al cabo de 30 segundos, está a 70ºC y los 60 segundos está a 60ºC, a los 90 a 45ºC y a los 120 segundos a 25ºC. Podemos representar en el plano estos datos, dibujando los puntos (0,75), (30, 70), (60, 60), (90, 45) y (120,25). 

interpola_1

 

–Si ahora –les dijo –, conseguimos una curva que pase por todos los puntos amarillos, por ejemplo un polinomio que son las funciones más sencillas…

interpola_2

 

 

–…podríamos intuir cuál era la temperatura  a los 45 segundos –siguió Mati –viendo que valor de la curva corresponde a 45:

interpola_3

 

–¡Toma! ¡Claro! –exclamó Ven –¡Qué chulada!

–Se trata entonces –dijo Sal –de calcular el polinomio que pasa por los 5 puntos amarillos, ¿no?

–Efectivamente –confirmó la gafotas –, como vimos el otro día, como son 5 puntos buscamos un polinomio de grado 4 (o menos) o menor con las siguientes pistas:

interpola_4

–¡Hala! ¡Qué sistema tan grande, Mati!  –exclamó Ven.

–Lo es –aceptó ella.

–¿Lo resolvemos con el método de Gauss? –preguntó el gafotas.

–Se puede resolver con el método de Gauss –dijo la pelirroja — pero os voy a a enseñar otro método de interpolación que calcula el polinomio que pasa por los puntos que queráis sin tener que resolver ningún sistema de ecuaciones.

–Sí, hombre…–dijo Ven –¿Cómo?

–Con el método de interpolación polinómica de Lagrange –anunció Mati –Pero como tenemos que ir a hacernos las fotos y tenemos un poco de prisa, os lo contaré sobre un ejemplo más sencillo, con 3 puntos, no con 5. Si lo quieres con más puntos, se hace igual.

interpola_5

 

–3 puntos…–comenzó diciendo Sal que pensaba en voz alta –, nos sale un polinomio de grado 2… o menos… una parábola, ¿no?

–Efectivamente, Sal –confirmó ella –, como máximo, un polinomio de grado 2. Vamos a etiquetar las coordenadas de estos 3 puntos con x1, x2, x3, y1, y2 e y3, así:

interpola_6

–Ajá –dijo Ven con cara de interesante.

–Para construir el polinomio que pasa por estos 3 puntos –continuó Mati –vamos a construir primero 3 polinomios más pequeñitos, los polinomios de Lagrange, uno por cada punto.

–Ajá –repitió el pequeño.

–Al polinomio correspondiente al primer punto, le llamamos L1 y se calcula como el producto de (x-x2) por (x-x3). Si hubiera más puntos, multiplicaríamos también por (x-x4), por (x-x5), etc… Todos los (x-xk) posibles menos (x-x1) porque estamos con el polinomio L1. Y ahora dividimos por la misma expresión que tenemos en el numerador, pero sustituyendo x por x1. así:

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–Vamos a sustituir x1, x2, x3 por sus valores, 0,3 y 6 –propuso ella –, a ver que nos queda:

 

interpola_8

 

–Ya tenemos el primer polinomio de Lagrange, L1 –anunció Mati.

–Mola –dijo Sal.

–Para calcular el segundo polinomio de Lagrange,  L2 –continuó ella –, ponemos en el numerador el  producto de (x-x1) por (x-x3). Si hubiera más puntos, multiplicaríamos también por (x-x4), por (x-x5), etc… Todos los (x-xk) posibles menos (x-x2) porque estamos con el polinomio L2.  Y en este caso  dividimos por la misma expresión que tenemos en el numerador, pero sustituyendo x por x2. Vamos a ver que nos queda:

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–Ea –dijo Ven –, pues ya tenemos L2, el segundo polinomio de Lagrange, ¿no, Mati?

–Efectivamente, Ven –confirmó esta –.Nos queda solo el tercero, porque tenemos 3 puntos.

–Vamos allá –dijo Sal con alegría.

–Para calcular el tercer polinomio de Lagrange,  L3 –anunció Mati –, ponemos en el numerador el  producto de (x-x1) por (x-x2). Si hubiera más puntos, multiplicaríamos también por (x-x4), por (x-x5), etc… Todos los (x-xk) posibles menos (x-x3) porque estamos con el polinomio L3.  Y para este polinomio,   dividimos por la misma expresión que tenemos en el numerador, pero sustituyendo x por x3. Nos quedará:

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–Y ahora, ¿qué hacemos? –preguntó Ven impaciente.

–Ahora vamos a construir el polinomio interpolador que pasa por los 3 puntos usando L1, L2 y L3 así –respondió ella –: multiplicando L1 por y1, L2 por y2 y L3 por y3, y sumando los resultados:

interpola_11

 

 

–Sustituimos –continuó Mati — y1, y2 e y3 por sus valores 7, 7 y 6:

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–Y por último –dijo la pelirroja –, sustituimos los polinomios de Lagrange por los que hemos calculado antes:

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–¿Ya hemos terminado? –preguntó el pequeño.

–Casi –contestó ella –. vamos a simplificar este polinomio…

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–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! –gritó Ven.

–Es una parábola –dijo Sal.

–Eso es –confirmó Mati –.Es esta parábola:

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–Pero fijaos, chicos –señaló Mati –, que los valores y1, y2 e y3 solo los hemos usado al final para calcular el polinomio interpolador. Esto quiere decir, que si hacemos una medida diferente en los instantes 0, 3 y 6, de otra magnitud, por ejemplo, contenido de sal en el agua, para calcular el polinomio interpolador de los datos sobre salinidad, solo tenemos que sustituir y1, y2 e y3 por los datos obtenidos en esa medición.

–Qué interesante… –masculló el gafotas.

–¿Y si hacemos el polinomio de (0,75), (30, 70), (60, 60), (90, 45) y (120,25)? –preguntó el pequeño.

–Nos sale… –dijo Mati misteriosa.

–¡Un polinomio de grado 4! –gritó el gafotas y añadió bajando la voz –O menos…

–Menos, en este caso –anunció ella –, porque nos sale esta parábola: – x2/360- x/12  + 75

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–Chulísima –dijo Sal –.Ahora podemos saber cómo se enfría el agua…

–Bueno, bueno –dijo Mati –, nos hemos inventado los datos, pero en cualquier caso, las curvas de enfriamiento las estudió Newton, le podéis preguntar a Fis cuando lo veais. Pero, ahora, ¡vamos que se nos hace tarde!

5 comentarios

  1. ¡Está genial la explicación!

    11 abril 2013 | 10:23

  2. Dice ser manuel

    Quizá se podría indicar en la propia figura, en cada eje, lo que se está representando. Temperatura (T, ºC) en función del tiempo (t, min), etc… De todas formas queda claro, ya que se indica en el texto.

    11 abril 2013 | 12:58

  3. Dice ser Kastle

    Se echó en falta el polinomio de interpolación de Newton. Grandiosos matemáticos.

    11 abril 2013 | 13:53

  4. Dice ser rss noticias

    Hmmm, que dices ? 🙂
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    11 abril 2013 | 18:03

  5. Dice ser Pepe

    Me ha encantado la explicación, y eso que me la sabía!!
    Besos

    11 abril 2013 | 22:26

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