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Área de aprendizaje

–¿Que haces, Ven?

–Nada… miraba el masu que hicimos el sábado con Mati.

–¿Quieres que juguemos con él a medir arroz?

–No, no es eso, Sal… –respondió Ven un poco apenado –Es que… no se lo digas a nadie, pero yo no sé qué es el área. Yo sólo conozco el área de penalty y el área de portería. No entiendo qué pasa con el área de la base.

–Vamos a mirar en el diccionario, Ven –respondió Sal tratando de animar a su hermano.

Los niños se pusieron a hojear el diccionario hasta que Sal encontró área y leyó en voz alta:

–Espacio de tierra comprendido entre ciertos límites… Eso es lo del fútbol también –concluyó el gafotas.

–¿Qué buscan mis niños en el diccionario? ¿Masu? –Mati acababa de entrar.

–No, Mati, estamos buscando área –dijo el pequeño Ven –porque yo sólo conozco las del fútbol y no sé cuál es el aŕea del masu.

–Ah, entiendo –Mati sonrió – Te refieres al área de la base del masu, ¿no?

Ven afirmó fuertemente con su cabecita.

–Cuando hablábamos el sábado de áreas, me refería a la medida de la superficie de la base de nuestro masu, por ejemplo. Cuando hablamos de área de una figura plana, estamos dando una medida de la superficie que ocupa.

–Y, ¿eso cómo se mide? ¿Con un metro muy ancho?

–Más o menos, Ven –respondió la pelirroja –Se mide usando cuadraditos pequeñitos, como si pusiéramos losetas en el suelo.

–¿Losetas? –preguntó Sal mientras sus gafas resbalaban por su naricilla.

–Más o menos, ¿queréis que os explique cómo se calcula el área de las figuras planas?

–¿Es muy difícil? –preguntó Ven con preocupación mientras Gauss ponía las orejas tiesas esperando la explicación de Mati.

–No, para nada, al menos el cálculo de áreas de algunas figuras. Este cálculo es algo conocido desde la antigüedad cuando aún no se sabían muchas matemáticas –comenzó diciendo Mati –El historiador Herodoto sugiere que fueron los egipcios los primeros que se plantearon medir el áreea de los terrenos de cultivo, para poder volver a delimitar los mismos después de la inundación anual del Nilo, porque ésta, la inundación, borraba los límites de las parcelas y luego había discusiones sobre los campesinos para volver a poner límites a sus fincas.

–Vaya, rollo de Nilo…

–Pues sí, Ven, era un poco rollo tener que volver a marcar las parcelas tras cada inundación, pero a cambio, tenían tierras muy fértiles. Pero bueno, esta teoría de Herodoto puede no ser del todo cierta, puesto que parece que también los babilonios conocían el cálculo de áreas…

–¿Cómo se calcula el área, Mati? –preguntó impaciente Sal.

–Vamos a ello, chicos. Antes que nada, necesitamos fijar una unidad de área común para todos. Como tenemos nuestro cuaderno de cuadritos, elegimos como unidad de área el cuadrito de la hoja de papel.

 

–Comenzaremos calculando el área de un cuadrado. Si a nuestra unidad de área la llamamos u2, como es habitual, al lado del cuadrito le llamamos u y será la unidad de longitud. Dibujamos un cuadradro y medimos cuántos u mide el lado. Sólo habría que medir uno de ellos puesto que si es un cuadrado, los 4 lados miden lo mismo.

 

 

 

–Fijaos que nuestro cuadrado está relleno de cuadritos, como si fuera un suelo enlosado, ¿no?

–Sí –respondió el pequeño.

–Entonces, el área de nuestro cuadrado es el número de losetas o cuadritos (que son unidades de área) que necesitamos para recubrirlo.

–¡Yo los cuento, yo los cuento, por fa! –dijo Ven y se puso a contar con su dedito sobre la libreta de Mati –Son 64 baldosas.

 

 

 

–Muy bien, Ven ¡Qué rápido eres contando! –afirmó Mati provocando en Ven una sensación de superioridad.

–Que es exactamente… –Sal seguía mirando absorto el dibujo –…el resultado de 8 x 8…¿Verdad, Mati?

–Efectivamente, Sal –corroboró ésta –Y así es siempre, el área de un cuadrado se calcula multiplicando la longitud de sus lados.

 

–¿Siempre, siempre? –preguntó Ven.

–Siempre, siempre –contestó Mati.

–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! Y no te tienes que saber las tablas de multiplicar, ¡basta con contar losetas!

–¿Pero qué dices, Ven? ¿Y si son miles, miles y miles de losestas? –intervino Sal.

–Toma, es verdad…

–En es caso –dijo Mati –usamos las multiplicaciones, o una calculadora. No os preocupéis.

–¿Y si los lados no son iguales, Mati? –preguntó Sal.

–¿Si tenemos un rectángulo? Vamos a contarlo a ver qué pasa… –dijo la gafotas mientras cogía de nuevo su cuaderno y dibujaba un rectángulo.

–¡Yo cuento! –volvió a pedir el pequeño y se puso a puntear cuadritos con su dedito.

 

 

–Es verdad, Mati, otra vez nos ha salido lado por lado –el gafotas no pudo reprimir una sonrisa.

–Vamos a darle un nombre a esos lados para distinguirlos –propuso la pelirroja –A uno de ellos, por ejemplo, al horizontal, le llamamos base; al vertical, le llamaremos altura. Con esos nombres ya podemos afirmar que el área de un rectángulo es el producto de su base por su altura.

 

 

 

–¡Qué fácil, Mati! –Ven estaba alucinando.

–Vamos a ver ahora el área de un triángulo –propuso ella.

–¿Rectángulo, isósceles o escaleno? –preguntó Sal.

–Bueno, no es importante, pero vamos a elegir uno escaleno que son más desiguales.

–¿Puedo contar las losetas otra vez yo? –preguntó Ven con carita de bueno.

–Claro, ¿verdad, Sal? –respondió Mati. Sal asintió con su cabecita.

 

–Ahora no se puede… –la carita de Ven perdió su brillo de repente.

–Es cierto, ahora hay trocitos de losetas, Mati. Ven tiene razón.

–Vamos a encerrar ese triángulo dentro de un rectángulo, a ver si nos ayuda –dijo Mati –Pintamos de verde la zona del rectángulo que no es parte de nuestro triángulo.

 

–Partimos nuestro triángulo en 2 usando esta rayita roja vertical y nos fijamos en que: el triángulo amarillo y el verde a la derecha de la línea roja son iguales y los dos triangulitos, el amarillo y el verde, a la derecha de la línea roja, también son iguales, ¿no?

–Sí… ¿y?

–Pues eso, Ven, significa que el área verde, la suma de los 2 triángulos verdes, es igual que el área de nuestro triángulo original.

–Ya lo veo… –dijo Sal –La suma de esas áreas es el área del rectángulo, o sea, base por altura.

–Eso es, Sal –continuó la gafotas –Y como el rectángulo contiene a dos triángulos como el nuestro amarillo, el área de nuestro triángulo es la mitad de la del rectángulo.

 

 

–¡Toma, toma, toma! –Ven achuchó a Gauss con la emoción. Éste se dejó querer –¡Ahora el círculo!

–Oh, despacio, Ven –dijo Mati sonriendo –Vamos a segur un poco con figuras de lados rectos, ya vendrán las curvas…

–Mejor, así no nos mareamos –contestó Sal guiñando un ojo a su hermano que sonrió sin entender muy bien el chiste, francamente.

–Vale –terminó aceptando Ven.

–Vamos a ver cómo se calcula el área de otros paralelogramos –propuso Mati.

–¿El qué? –la cara de Ven se arrugó enterita.

–Un paralelogramo es una figura plana de 4 lados, con la propiedad de que esos lados son paralelos 2 a 2..

–¿Qué significa paralelo, Mati?

–Dos lados son paralelos, Ven, si por mucho que lo estirásemos, nunca se encontrarían.

–Entonces, si son paralelos, tiene que ser un cuadrado o un rectángulo.

–No, Sal , hay otros paralelogramos: los rombos y los romboides. En el caso del rombo, los 4 lados miden lo mismo.

–Yo sé cómo dice rombo en japonés –interrumpió Ven –Bishi. Me lo explicó papá con una marca de coches que tiene 3 bishis.

–Hala, Ven, eso no lo sabía yo –dijo Mati –Gracias.

–De nada –respondió Ven orgulloso.

 

–¿Por qué les llamas rectángulo al cuadrado también, Mati? –preguntó Sal.

–En realidad, el cuadrado es un rectángulo con los lados iguales, y se llaman así, rectángulos, porque sus lados se cortan entre sí formando un ángulo recto...

–¡Como la esquina de una portería! –Dijo Ven ufano

–Eso es –confirmó Mati.

 

 

–Mientras que ni en el romboide ni en el rombo, los ángulos son rectos ¿Cuánto mide el área de este romboide? –propuso la pelirroja después de dibujar uno en su cuaderno.

–Otra vez hay trocitos de losetas… –dijo el pequeño serio.

–Ya veréis… –empezó diciendo Mati –Fijaos en el dibujo en que el triangulito T1 es exactamente igual que el triangulito T2

–Cierto… –puntualizó el gafotas.

–Recortamos el triángulo T1 y lo pegamos junto a T2, ¿que nos queda?

–¡Un rectángulo! –gritó Ven.

–En ese caso, es pan comido para mis chicos –dijo Mati guiñando un ojo.

–Pero qué divertido es calcular áreas, Mati –dijo Ven –Siento haber dicho que lo del Nilo era un rollo.

–¡Jajajaja! –Mati se rió –una cosa no quita la otra, Ven.

–¿Y el área del rombo es lado por lado, Mati?

–Eso es, Sal –respondió Mati.

–Pues ahora que hemos acabado con las figuras de 4 lados, vamos a ver las de 5, ¿vale? –pidió Ven con alegría.

–¿Quién dice que hemos terminado con las figuras de 4 lados, chico impaciente? –Mati alborotó el cabello de Ven – ¿Qué pasa si los lados de la figura no son paralelos de 2 en 2?

–¿Qué pasa? –preguntó inmediatamente Sal.

–Pues que no tenemos paralelogramos, y en ese caso, cuando, por ejemplo,  2 de los lados del cuadrilátero, de la figura de 4 lados, son paralelos y los otros 2 no, se les llaman trapecios.

–Como en el circo… -dijo Ven.

–Y como unos músculos de la espalda –añadió Sal.

–¡Toma, trapecio es una palabra polisémica! –A Ven le encantan las palabras polisémicas.

–Cierto, como área –Mati sonrió – Vamos a quedarnos con los trapecios que son cuadriláteros y vamos a calcular su área, ¿os parece?

–¡¡Sí!! –contestaron al unísono.

–Los trapecios, como los triángulos, se pueden clasificar en rectángulos (si uno de sus ángulos es recto), isósceles (si tienen 2 lados con la misma longitud) o escalenos (si los 4 lados tienen longituedes distintas).

 

–Como los triangulós –apostilló Ven.

–Eso ya lo ha dicho, Mati –dijo su hermano.

–Huy, es verdad –Ven se ruborizó –Lo siento.

–No pasa nada, cielo –dijo ella – Ahora, a ver cómo calculamos su área.

 

 

–Antes que nada, vamos a recortar los triangulitos laterales, y los llamamos T1 y T2, a la base de T1 le llamamos b1 y a la base de T2 le llamamos b2. Llamamos h a la altura del rectángulo que nos queda al cortar los triángulitos. Por útlimo, como los 2 lados paralelos no miden lo mismo, al más largo le llamamos base mayor y al más corto, base menor. Tenemos un cuadrado, en el centro y dos triángulos pegados. Sabemos calcular el área de los 3, sólo hay que sumar, ¿no?

–Es verdad, y ya está –Ven se sentía satisfecho y feliz.

–Pero vamos a toquetear un poco esas cuentas, a ver si conseguimos una fórmula como la de base por altura del rectángulo –propuso Mati.

–Y del romboide –añadió el pequeño.

Mati, en otra hoja de sus cuaderno, empezó a escribir y a componer, descomponer, sacar factor común… Finalmente obtuvo lo que buscaba.

–Ya tenemos, entonces, la fórmula para el cálculo del área de un trapecio. Es la suma de las bases por su altura, dividido por 2.

–¡TOMA! ¡Cómo mola!

–Sí, Ven, mola mucho –dijo Sal con una gran sonrisa.

–Venga, ya, Mati, ahora los de 5 lados –pidió Ven emocionado.

–Pero, bueno… ¿y nos olvidamos de los pobres trapezoides? –dijo ella dramatizando cómicamente.

–Y esos ¿quién son? –resopló Ven.

–Los trapezoides son cuadriáteros donde ninguno de sus lados es paralelo a otro. Imagina un trapecio elástico y gira una de sus bases para que no sea paralela a la otra.

–Ya, ya lo veo –dijo Sal –¡A por el trapezoide!

–Huy, creo que Gauss necesita salir un poco a tomar el aire –respondió Mati –Tiene cara de estar mareado con tanta geometría. Lo dejamos para otro día, chicos.

 

 

 

2 comentarios

  1. Dice ser Kastle

    Un tema interesante el de las áreas y tan simple como complejo… (integrar es un coñazo :-p).

    Creo que esta lección no sigue la tónica de las anteriores, demasiada teoría junta la hace un poco más aburrida que las anteriores donde, ya fuera en modo de juego o en modo de alusiones, las hacías más amenas. Justo en el tema de las áreas y superficies se pueden sacar muchos paralelismos y utilidades que pueden dar un tono más relajado y divertido a la lección.

    ¡Un saludo y seguid así!

    25 Abril 2012 | 10:54

  2. Dice ser Juansi

    “¿Y el área del rombo es lado por lado, Mati?”

    25 Abril 2012 | 19:18

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