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Paseando por la Gran Manzana (sin Euclides de la mano)

En capítulos anteriores vimos cómo la distancia más corta entre dos puntos de la superficie terrestre no siempre es lo que parece. Así, la distancia más corta entre Sevilla y la capital de las Islas Salomón viene dada por esta curva:

 

Pero, ¿es ese un fenómeno que se da sólo porque la esfera no es plana? ¿si nos restringimos a porciones más pequeñas de la Tierra, como ciudades, que son casi un plano, podemos considerar que la línea recta es la distancia más corta entre dos puntos? Bueno, la verdad es que no del todo puesto que otras consideraciones aparecen en este caso. Así que tratemos de fijar conceptos:

Supongamos que estamos en una gran ciudad y queremos llegar de un punto a otro, ¿consideraremos la recta como el camino óptimo? Si se puede ir en línea recta sí, pero, en general la línea recta entre dos puntos en una ciudad implica atravesar edificios lo cual puede traer inconvenientes que no ha lugar considerarlos aquí. Entonces me parece que no es mala idea buscar la distancia más cortas en una ciudad “andando por las calles” (el problema de circular es ligeramente más complicado puesto que implica direcciones únicas). como paradigma de ciudad para este ejemplo se suele tomar es el de la parte central de Manhattan por estar muy bien estructurado.Así supongamos que queremos ir de un punto a otro de Manhattan (con o sin la compañía de Euclides) y que no vamos a atravesar rascacielos porque eso no está bonito, no. ¿Cuál será esa ruta?

Figura 1

En la Geometría Euclideana, que es la geometría que todos aprendemos desde nuestros primeros años de estudios, la distancia entre dos puntos se mide como la longitud del segmento que los une, o dicho de otra forma, como el módulo del vector que esos dos puntos definen. Esa forma de medir la distancia es conocida como distancia euclídea y es la que usamos cuando medimos usando un metro entre los dos extremos de lo que queremos medir. En realidad, se trata de una consecuencia del Teorema de Pitágoras. Si tenemos dos puntos en el plano de coordenadas (a,b) y (c,d) respectivamente y queremos calcular la distancia euclídea entre ellos, basta con fijarse que la longitud de los catetos del triángulo rectángulo que definen son (c-a) la de uno y (d-b) la del otro.  Entonces, por el Teorema de Pitágoras, sabemos que la distancia euclídea se mide como

Ahí todo está bien y correcto, pero esa no es la única forma de medir la distancia entre dos puntos en el plano. Existe otra distancia, conocida como Distancia de Manhattan o Distancia L1, que mediría la distancia entre los puntos de la Figura 1 como

Es decir, la suma de las longitudes de los dos catetos del triángulo rectángulo. O bien, la de cualquier ruta que una al punto (a,b)  con el punto (c,d) a través de segmentos horizontales y verticales, en otras palabras, la longitud de cualquier escalera que suba desde (a,b)  con el punto (c,d)


En verde, la distancia euclídea, y en rojo, azul y amarillo, la distancia Manhattan: todas ellas son rutas óptimas. (Imagen  sacada de aquí)

 

Pues bien, cuando se trata de diseñar rutas de recorrido mínimos en ciudades, tiene más sentido usar esta distancia que la Euclídea, por lo de no atravesar rascacielos que habíamos dicho. Es más, puesto que todas las ‘escaleras’ tienen la misma longitud, nos permite elegir entre distintas opciones, en función de semáforos, zonas de dudosas seguridad, etc…

Evidentemente, no todas las ciudades, ni siquiera Nueva York, están distribuidas como una cuadrícula, pero se considera para según qué problemas de dieños de rutas este tipo de distancia. Y también, cómo no, en el diseño de circuitos ortogonales en los que predominan la conexiones en vertical y horizontal, o en el de un plano de metro.

Otra cosa que no diríamos si pensáramos con la distancia de Manhattan es “No había nadie en 10 Km a la redonda” Porque cuando utilizamos esta expresión, estamos intrínsecamente midiendo con la distancia euclídea. Con esta distancia, la que usamos habitualmente en el día a día, los puntos que están a menos distancia de 10 Km de nosotros, son aquellos que están contenidos en un círculo alrededor nuestra de radio 10 Km.

Pero si pensáramos con la distancia de Manhattan, no sería un círculo, sino ¡un rombo!

Todos los puntos de la frontera del círculo de la izquierda están a la misma distancia euclídea del origen de coordenadas, y todos los puntos de la frontera del rombo de la izquierda están a la misma distancia L1 del origen de coordenas, como se explica en la siguiente figura:

El punto verde y el punto rojo están a la misma distancia del punto azul (nótese que el ángulo formado por el rombo y el eje en el punto verde es de 45º y, por lo tanto, la longitud de los dos catetos del triángulo rectángulo formado es la misma, está representada con a en la Figura) Y en general, cualquier punto de la frontera del rombo está a la misma distancia del origen (punto azul).


Ahora vamos a ver, que  dependiendo de la distancia elegida, el punto más cercano a uno dado puede ser distinto, lo que sería de utilidad conocer a la hora de diseñar rutas de longitud mínima, por ejemplo, para empresas de distribución, mensajería…

Si usamos la euclídea (la usual) el punto rojo está más cerca del origen (en azul) mientras que si usamos la de Manhattan el origen esá más cerca del punto verde. 

 

 Eso sí, puede que la distancia Manhattan sea más práctica y refleje mejor la realidad en el diseño y optimización de rutas de distribución, pero mi experiencia como madre me permite asegurar que cuando somos niños es la distancia eulcídea la que ‘traemos’ instalada: “De aquí para acá, mío, de aquí para allá, tuyo”.

Pues bien, ahora que ya conocemos la distancia Manhattan, os formulo una pregunta. Si tenemos dos puntos sobre el plano, P y Q, los puntos que están a la mitad de camino entre P y Q, a la misma distancia de ambos, definen una recta que conocemos, como mediatriz. ¿Y si usamos la distancia L1,? ¿Qué aspecto tiene la mediatriz entre P y Q?

PS: Cuando explico esta distancia a mis estudiantes no puedo resistir la tentación de llamarla Distancia del Ensanche, y es que Barcelona es mi debilidad (aunque Nueva York no está nada, pero nada mal).



Seguimos pendientes de las rectas…

Anteriormente en Mati, una profesora muy particular…

 

–¡Toma, toma, toma! ¡CÓMO MOLA! –a Ven se le salían los ojos de las órbitas.

–¡Me encanta, Mati! –Sal estaba también entusiasmado.

–Pues aún hay más…–respondió ella con tono de misterio –pero ésas la dejaremos pendientes… Ahora vamos a dar un paseo por la playa

En el capítulo de hoy…

–Mira, Sal, el tobogán, ¿nos tiramos? –preguntó Ven animado –Parece muy emocionante, mira cuánta pendiente tiene…

–No, no tiene tanta pendiente, Ven, es casi como el del parque de nuestra casa. No seas exagerado…

–Que no, Sal, que este tiene más pendiente –insistió el pequeño.

–¿Cómo lo puedes saber? –preguntó su hermano mirando por encima de sus gafotas.

–Espera, que me tiro y te lo digo –dijo Ven y salió corriendo al tobogán.

Mati, Sal y Gauss se quedaron esperando la opinión del experto que volvió en pocos minutos sonriente.

–Me he quemado el culete, estaba muy caliente –dijo éste –Pero tiene la misma pendiente, he sentido las mismas cosquillitas en la barriga.

–Bueno, bueno –intervino la pelirroja sonriendo –Es una escala de medida bastante original, pero si queréis os cuento cómo se puede medir exactamente una pendiente.

–¡Sí, Mati! –dijeron los dos hermanos a la vez, Gauss se tumbó panza arriba para tomar el sol.

–La pendiente del tobogán, es la pendiente de la recta que lo representa –comenzó a hablar Mati.

–¡Toma, rectas! ¡Mola! –interrumpió Ven.

–Sí, para eso también sirve conocer las rectas –dijo Mati y continuó guiñando un ojo–Ya veis que son muy interesantes… Pues bien, vamos a usar para explicarlo una recta y lo hacemos con un dibujo, ¿vale?

Mati sacó su cuaderno y dibujó una recta que pasaba por los puntos A y B  de coordenadas (1,1) y (4,3), respectivamente.

–Ésta es la recta de antes, ¿verdad, Mati? –preguntó Sal.

–¡Ajá! Voy a usar la misma porque vamos a ver nuevas ecuaciones de la recta –dijo Mati –Cuando queremos calcular la pendiente de una recta, lo que estamos tratando de medir es el ángulo que forma con el suelo, como cuando medimos la pendiente del tobogán. Nuestro suelo es el eje de las x, donde medimos la primera coordenada.

–Pero fijaos que este ángulo, esta elevación es la misma que si el suelo estuviese a la altura del punto A –continuó la gafotas.

–¡Toma, toma, toma! ¡Claro! –gritó Ven sobresaltando a Gauss en su baño solar.

–¿Cómo medimos el ángulo, Mati? –preguntó Sal.

–En realidad, cuando hablamos de la pendiente de una recta no medimos el ángulo como tal, sino una cantidad propia del ángulo, que es la tangente de dicho ángulo –respondió ella.

–¿Qué es la tangente? –quiso saber Sal.

–Bueno, es una característica que nos permite identificar a un ángulo sin saber cuánto mide –comenzó a decir Mati –pero nos ayuda a determinar su inclinación. Para ello, vamos a medir la distancia en vertical entre los dos puntos A y B, y la distancia en horizontal entre los 2. Fijaos, tenemos un triángulo rectángulo, como en el Teorema de Pitágoras, ¿os acordáis? –les preguntó la pelirroja.

–¡¡Sí, sí!! ¡¡Con los catetos!!

–Eso es, Ven. Pues la tangente del ángulo que queremos se calcula dividiendo entre sí la longitud de los catetos –continuó Mati –Dividimos el cateto que no toca al ángulo por el cateto que si la toca.

–Que en nuestro caso particular sería…

–Pero, Mati –dijo Sal pensativo –Los catetos miden lo mismo que las coordenadas del vector AB, ¿no?

–Efectivamente, cielo –Mati se sorprendió alegremente –Si conocemos el vector de la recta, la pendiente de ésta se calcula dividiendo la segunda coordenada del vector por la primera coordenada del mismo. Nos ha salido positiva porque el ángulo que forma es menor que 90º, agudo. Eso significa que la recta va subiendo cuando nos movemos hacia la derecha. –siguió Mati –Pero cuando el ángulo es obtuso, mayor de 90º, la pendiente será negativa y la recta irá bajando cuando nos movemos la derecha también.

–¡Toma, toma, toma! ¡La del tobogán es negativa porque cuando vamos hacia adelante, el tobogán va bajando!–como siempre Ven estaba estusiasmado.

–¡Exacto! Pues aún hay más –siguió nuestra amiga matemática –Conociendo un punto de la recta, por ejemplo A y la pendiente, m, podemos calcular otra ecuación de la recta: la ecuación punto-pendiente.

–¡Hala, qué suertudas las rectas! –dijo Ven –Tiene un montón de ecuaciones…

–Pues no se vayan todavía, aún hay más –dijo cómicamente Mati –Vamos a dejar sola a la y en el miembro de la derecha…

–¡Otra! –dijo Sal con sorpresa.

–A esta nueva ecuación de la recta, en la que se expresa el valor de la coordenada y de un punto en función de x, se le llama ecuación explícita de la recta.

–Ésa ya la vimos, ¿no, Mati? –preguntó Ven.

–No, no. La que vimos fue la ecuación implícita. Pero ya veréis, hacemos lo mismo con la ecuación implícta de la recta, es decir, dejamos a la y sola en el primer miembro… –Mati continuó con voz de misterio.

–¡Toma! ¡Sale lo mismo! –se asombró el pequeño.

–Claro, pero aún hay más… –continuó Mati –¿Qué número multiplica a la x?

–¡2/3! -dijo Sal –¡La pendiente!

–¡Eso es! –corroboró ella — Por lo tanto, podíamos conocer la pendiente simplemente despejando la y en la ecuación implícita y saber si la recta se inclina hacia arriba o hacia abajo. Si tenemos la ecuación explícita de una recta, la pendiente de la misma es el número que multiplica a la x, es decir, el coeficiente de x en la ecuación explícita.

–Pues a nuestra mascota… –dijo Ven mirando a Gauss todo despatarrado en la arena –No le va lo de las pendientes, prefiere estar tumbado…

Piratas y polares

–¿Jugamos al fútbol, Sal?

–Está lloviendo, Ven.

–¿En nuestro cuarto?

–Sabes que no nos dejan…

–Pues qué rollo de lluvia… –el pequeño frunció el ceño e hinchó sus carrillos.

–¿Qué les pasa a mis chicos? –Mati acababa de entrar en el salón.

–Que no podemos jugar a nada porque está lloviendo -protestó el gafotas. Ven seguía enfadadísimo con los mofletes hinchados.

–¡Tengo una idea! –propuso alegremente la pelirroja –Jugaremos a los piratas y así, de paso, os enseñaré para qué sirven las coordenadas polares.

–¿Polares? –preguntó Ven extrañado –Los piratas están en el Caribe, no en el Polo, Mati.

–¿Piratas en el hielo, Mati? –el gafotas también estaba muy sorprendido.

–No, no -la pelirroja rió alegremente –Las coordenadas polares no tienen nada que ver con los Polos Terrestres ¡Nada de esquimales esta tarde!

El pobre Gauss ladró con tristeza, ahora que había elegido el disfraz apropiado…

–Entonces, ¿por qué les llamas polares? –preguntó Sal.

–Porque vamos a dar unas coordenadas, ya sabéis, un nombre y un apellido, a cada punto de nuestro mapa en función de un polo (un punto especial), y no de un origen y unos ejes como hacíamos cuando vimos las coordenadas cartesianas.

–¿Sin ejes? –preguntó el pequeño.

–Sólo con un eje -contestó la gafotas.

–¡¿Cómo?! -preguntaron los dos hermanos a la vez.

 –Veréis, os voy a dibujar un mapa del tesoro -propuso Mati y comenzó a dibujar en su cuaderno.

  

–Vosotros dos estáis junto a las palmeras y aquí –Mati señaló sobre el dibujo –tenéis el tesoro. Es así como lo pintaban los piratas, ¿no?

–Sí, claro –contestó Ven –pero este mapa es un poco tonto. Yo cruzaría el lago y llego antes.

–No, Ven, no podemos cruzar el Lago Llorón porque puede haber cocodrilos y es muy peligroso.

–Pero es más corto, por ahí , Sal.

–Sí, pero no sabemos a qué distancia del lago está el tesoro, ¿no te das cuenta?

–Pues vamos hasta la torre desde el lago, Sal.

–Tampoco sabemos a qué distancia está el tesoro de la torre… –el gafotas seguía contestando inmerso en sus pensamientos.

Ven se quedó un rato mirando el mapa de Mati y pensando. No podían empezar desde la Torre, ni desde las Rocas Burlonas…

–No tenemos más remedio que empezar desde las palmeras, parece…- terminó aceptando.

–Efectivamente, chicos. La única manera de encontrar el tesoro con este mapa es partiendo de las palmeras, porque los piratas han ido dejando las marcas usando coordenadas polares en cada uno de esos puntitos ¿Os explico cómo?

–¡¡Sí!! -contestaron al unísono. Gauss se quitó el gorro de pelo que lo estaba asfixiando.

 –Vamos a eliminar los dibujitos del mapa y vamos a quedarnos sólo con la información que necesitamos para encontrar el tesoro –dijo Mati y dibujó en su cuaderno.

 

–Para encontrar el punto 1, el mapa nos indica una dirección (en dirección a las Rocas Burlonas) y una distancia (201 pasos), ¿no?

–¿Todos los piratas tienen el mismo número de pie? –preguntó Ven angustiado.

–No, pero eso hacía más emocionante la búsqueda –respondió Mati y continuó – Como os decía, para saber dónde está el punto 1 del mapa necesitamos 2 datos, la distancia y la dirección. Esos dos datos son lo que llamaremos coordenadas polares, el nombre y el apellido que identificará a cada punto del mapa.

–Entiendo, Mati –dijo Sal –el nombre es 201 pasos y el apellido es hacia las Rocas Burlonas, ¿no?

–Exacto, Sal –contestó ella –Sólo que en lugar de decir hacia las Rocas Burlonas, indicaremos el ángulo que forma esa dirección con la línea horizontal que sale de las palmeras.

 

–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola, Mati! –parecía que a Ven se le estaba pasando el enfado. Gauss seguía serio.

–¿Ves, Ven? Se pueden hacer cosas divertidas cuando llueve -contestó Mati sonriendo -Pues esta forma que tenían los piratas para señalar dónde habían escondidos sus tesoros, los matemáticos lo llamamos Sistema de Coordenadas Polares y es diferente al que os conté hace poco, el Sistema de Coordenadas Cartesianas, que se parecía al juego de los barquitos, ¿recordáis?

–Claro, Mati –contestó el gafotas.

–Para el sistema de coordenadas polares necesitamos un punto especial, al que llamamos polo u origen

–Eso es igual que en el sistema cartesiano –puntualizó Ven.

–Efectivamente, pero sólo un eje, lo llamaremos eje polar, y será una semirrecta que sale del polo, por ejemplo, horizontal y hacia la derecha.

 

–Vamos a ver cómo funciona este sistema de coordenadas. Ven, pinta un punto en algún sitio y llámalo A –el pequeño se apresuró a dibujar el punto  –Para calcular las coordenadas polares de A necesitamos saber a qué distancia está del polo y qué ángulo forma con el eje polar  el segmento que une al punto A con el polo.

–¡Yo!  Yo lo mido con la regla –dijo Ven.

–Espera, te traigo mi transportador de ángulos para medir el ángulo –dijo Sal.

 Los niños se pusieron mano a la obra y calcularon las dos medidas que les había pedido la pelirroja.

–9 centímetros y 30 grados –dijo el gafotas.

–Muy bien, chicos, eso significa que las coordenadas polares de A son (9, 30)

 –¡Qué chulo, Mati! –el pequeño estaba radiante.

–Me encanta –dijo Sal.

–Me alegro, chicos. Ahora lo haremos al revés. Imaginaos que queremos saber dónde está el punto (4, 50) en nuestro mapa. Vamos a encontrarlo.

–¡Venga! –gritó Ven.

–Miramos la primera coordenada, 4. Eso significa que está a distancia 4 del polo, o sea, si pintamos una circunferencia de radio 4 alrededor del polo, será un punto de esa circunferencia.

 

–Como la segunda coordenada es 50 sabemos que el segmento que une al polo con el punto que estamos buscando forma un ángulo de 50º con el eje polar. Entonces, usando nuestra regla medidora de ángulos, dibujamos una semirrecta formando un ángulo de 50º con el eje.

–Ya está. El punto de coordenadas (4,50) es el punto donde se cortan la circunferencia y la recta.

  

–¡Toma, toma, toma! ¡Es chulísimo! –el pequeño Ven estaba entusiasmado.

–Entonces, los piratas, en realidad, usaban las coordenadas polares en cada punto,¿no?

–Eso es.  Retomemos el mapa del tesoro sólo con puntos.

–Para llegar al punto 1 usamos como polo las palmeras y vamos al (201, hacia Rocas Burlonas), para llegar al punto 2 usamos como polo el punto 1 y nos movemos a (94, vieja torre); para llegar al tesoro usamos las polares desde el punto 2 y vamos a (63, cañones abandonados).

–¡Y el tesoro es nuestro! –Ven abrazaba al acalorado Gauss.

–¿Y tiene algo que ver con la Estrella Polar? –preguntó el gafotas.

–En cierto sentido, sí, puesto que es la que señala el eje de rotación de la Tierra y nos ayuda a ubicarnos –contestó la pelirroja –Las coordenadas polares son muy útiles en navegación y también en robótica, para programar las rutas de los robots indicando la dirección de movimiento y la distancia que debe recorrer en esa dirección.

–Wow… –Ven seguía entusiasmado.

–Bueno, bueno, creo que me merezco una merienda, ¿no? –dijo Mati guiñando un ojo.

–Sí, es hora de merendar –asintió Ven.

Nuestros cuatro amigos salieron hacia la cocina con Gauss a la cabeza.

 

Descartes y los barquitos

–A, 5.

–¡Agua!

–No puede ser, Ven, ¿¿has puesto algún barco??

–¡Pues, claro! ¿Qué crees, Sal? ¿Que no sé jugar a los barquitos? –contestó el pequeño.

–Es que es imposible que no haya encontrado aún ninguno… –protestó el gafotas.

 

 

–Buenas tardes, caballeros… –Mati acababa de llegar.

–¡Hola, Mati! –saludaron los niños al unísono.

–¿Jugáis a las batalles navales? Me encanta ese juego –contestó la pelirroja.

–Y a mí. Pero Sal no consigue encontrar ninguno de mis barcos -respondió Ven con cara de pícaro. Su hermano lo miró serio por encima de sus gafitas.

–Además de que es un juego divertido es un buen método para aprender las coordenadas cartesianas –-añadió Mati.

–¿¿El qué?? –preguntaron los dos con los ojos abiertos de par en par.

–Las coordenadas cartesianas, que son, podríamos decir, como el nombre y el apellido de los puntos en un plano, para poder distinguirlos unos de otros, sin posibilidad de confundirlos.

–No entiendo nada –aceptó el pequeño Ven.

–Si Sal te dice “D,6”, Ven, ¿tienes alguna duda de dónde está apuntando?

–¡Toma, claro que no! A éste -señaló Ven con su dedo sobre el papel –Miro dónde se cruzan la fila D y la columna 6 y ya está.

–Pues así es cómo se asignan las coordenadas cartesianas a cualquier punto del plano. Os lo explico con un dibujo.

–¡Sí! -contestaron con alegría los dos hermanitos.

–Lo que queremos es saber identificar cualquier punto de un plano, porque, por ejemplo, vamos a esconder un tesoro y luego vamos a venir a buscarlo… Aquí está nuestra casa y aquí enterramos nuestro tesoro.

–Como piratas, ¿no?

–Sí, Ven, ¡como piratas! –prosiguió Mati – Lo primero que tenemos que hacer para poder asignar coordenadas a cada punto del plano y poder saber exactamente dónde escondimos el tesoro, es elegir un punto especial al que llamaremos origen, origen de coordenadas ¿Dónde lo ponemos?

–Aquí –Sal señaló un punto sobre el papel.

–Muy bien. Ahora dibujamos dos rectas perpendiculares que se cortan en el origen.

–¿Qué son perpendiculares, Mati?

–Que se cortan formando cuatro ángulos rectos, como los de la esquina de una portería.

 

–Como si fueran el signo + de la suma, ¿no, Mati? –preguntó el gafotas.

–Exacto, Sal, pero en grandote, uno vertical, de arriba a abajo, y otro horizontal, de izquierda a derecha. Al horizontal le llamaremos eje de abscisas y al vertical, eje de ordenadas.

–Ahora vamos a dividir estos ejes, usando como unidad de medida, por ejemplo, dos cuadraditos del papel. Hacia la derecha y hacia arriba, los numeramos con números naturales, positivos. Y a la izquierda y hacía abajo, les pondremos un signo delante, para distinguirlos.

–Ahora, para conocer cuáles son las coordenadas de nuestra casa y de nuestro tesoro, dibujamos una línea vertical desde el punto donde está hasta encontrar al eje de abscisas, y una linea horizontal hasta encontrar al eje de ordenadas. Con estas dos líneas y los ejes, tendremos dos rectángulos, en los que nuestros puntos, la casa y el tesoro, serán una de las esquinas. Por eso, a estas coordenadas también se le llaman coordenadas rectangulares. Pues bien, las coordenadas de nuestros puntos serán: la primera, el número marcado en el eje de abscisas y la segunda el número marcado en el eje de ordenadas. Por eso, a la primera coordenada de un punto se le llama la abscisa y a la segunda, se le llama la ordenada.

–Nuestra casa tiene la misma abscisa que ordenada, Mati –observó Sal.

–Sí, es verdad, en este caso el rectángulo es un cuadrado, tiene los lados iguales.

–Y la abscisa del tesoro es 14 y la ordenada es 9, ¿no? –siguió indagando el gafotas.

–Exacto –respondió la pelirroja.

–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola, Mati! Así siempre encontraremos el tesoro –el pequeño Ven estaba alucinando.

–¿Y por qué le llamas cartesianas? ¿Porque a los mapas también se le llaman cartas? –preguntó Sal.

–No, no. El nombre de cartesianas de lo debe a René Descartes, filósofo y matemático francés, que sostenía que la visión que tenemos de las cosas depende de dónde hayamos fijado el origen de coordenadas –Mati guiñó un ojo, los niños no dijeron nada.

–¿Está muerto? –preguntó Ven con carita de pena.

–Sí, hace mucho tiempo, en 1650 –contestó la pelirroja mientras le acariciaba el pelo —Oye, ¿queréis saber también para que podemos usar las coordenadas cartesianas aparte de señalar exactamente un lugar del plano?

–¡Claro!

–Para conocer la distancia entre dos puntos del plano sin necesidad de ir a medirlo.

–¿Cómo? –quiso saber el gafotas excitado.

–Dibujamos un triángulo de la siguiente manera.

–Es un triángulo rectángulo, porque tiene un ángulo recto, donde se cortan el lado vertical y el horizontal. Al lado más largo de un triángulo rectángulo, se le llama hipotenusa, que en nuestro dibujo es el que queremos medir. Y a los otros dos lados del triángulo, les llamamos catetos

–Pobres…–dijo Ven.

Mati no pudo evitar la sonrisa.

–¿Cuánto miden los catetos? Ya vereís. El lado horizontal mide la diferencia entre las dos primeras coordenadas, las abscisas; el lado vertical mide la diferencia entre las dos segundas coordenadas, las ordenadas.

–¡Claro! -Sal estaba entusiasmado.

–Ahora, para saber cuánto mide la hipotenusa que es la distancia de nuestra casa al tesoro, sólo necesitamos el Teorema de Pitágoras.

–¿Cómo, Mati? –los niños estaban ansiosos esperando la respuesta final.

–Pues así

 

–¡Toma, Mati! ¡Y sin necesidad de medir! -Ven estaba entusiasmado.

–Pero ni Ven ni yo sabemos calcular raíces cuadradas, Mati –aceptó el gafotas serio.

–Por ahora, yo os ayudo. Ya lo aprenderemos.

–Entonces, ¿así lo hacen los piratas, Mati? –preguntó el pequeño.

–Bueno, los piratas tenían otra forma de asignar coordenadas… Os la explico otro día. Vamos a pasear a Gauss que está deseando buscar algún tesoro en el parque.