BLOGS

Entradas etiquetadas como ‘coordenadas cartesianas’

Una función muy importante

–Descansa un poco, Sal. Ya te sale muy bien…

–No, no estoy seguro, Ven. Quiero hacerlo muy bien en la función del Día de Andalucía.

–¿Vais a tocar todos los de tu clase a la vez? –preguntó Ven.

–Claro –respondió el gafotas –¿Por qué?

–En ese caso te recomiendo que no soples demasiado… –le sugirió el pequeño.

–¿¿Por qué?? –preguntó Sal extrañado.

–No sé, no te sale muy bien –respondió el pequeño mirando a otro lado.

–Acabas de decir lo contrario, Ven –respondió Sal –. Mentiroso… Voy a seguir ensayando.

–No, de verdad –suplicó Ven –. Nos estás martirizando…

–Se trata de celebrar el día de nuestra comunidad autónoma, Ven –le espetó Sal con aire digno –. Me parece que no eres consciente de la importancia de esta función…

–Huy, todas las funciones son muy importantes –Mati acababa de llegar –, al menos, a los matemáticos nos apasionan.

Mati20Blogs_44

–Hola, Mati –la saludó el pequeño Ven muy contento — ¿Nos vamos al parque con Gauss?

La mascota comenzó a mover la cola con entusiasmo ante la propuesta de Ven.

–Hola, Mati –la saludó Sal serio — ¿Por qué te gustan tanto las funciones? ¿Las de música?

–Esas también –respondió la pelirroja –, pero me refería a las funciones matemáticas.

–¿Qué son funciones matemáticas? –preguntó el pequeño y añadió con cara de pillo –¿Cantáis sumas y multiplicaciones?

–No, no es eso –le contestó ella con un guiño –Una función matemática no es más que una regla o ley que te permite asignar a cada elemento de un primer conjunto un único elemento de otro conjunto.

–No entiendo… –aceptó Ven.

–Os lo explico con un ejemplo –propuso ella –. Una función podría ser asignar a cada  número el valor de su cuadrado. Al 1 le asignamos el 1, al 2 le asignamos el 4, al 3 le asignamos 9… y así sucesivamente.

funciones_1

 

 

–¡Eh, un momento! –dijo Ven –Has asignado el mismo número al 1 y al -1. Eso no vale.

–Sí, Ven, sí vale –dijo Mati –. A dos elementos del primer conjunto se les puede asignar el mismo elemento del segundo conjunto. Piensa por ejemplo en una función que a cada palabra del castellano le asignara su primera letra. Habría muchas palabras que tendrían asignada la a, por ejemplo.

–Toma, claro –aceptó el pequeño.

–Pero en matemáticas estudiamos, principalmente, funciones entre conjuntos numéricos –continuó la pelirroja –. A las funciones se les suele llamar f, de función, y la función que hemos descrito que asigna a cada número su cuadrado se escribiría así:

 

funciones_2

–Eso significa –continuó Mati –que f transforma lo que está entre paréntesis, x, en eso mismo, x, al cuadrado. Nuestro amigo Fis dice que le parece una f embarazada, con su x en la tripa.

–¡Toma! ¡Es verdad! –dijo Ven divertido.

–Pues sí, no lo había pensado nunca, pero sí –añadió Mati –. Yo siempre las veo como una especie de máquina, en las que entra un número y sale transformado.

funciones_3

 

 

–¿Para qué sirven las funciones, Mati? –preguntó Sal.

–Huy, para muchísimas cosas –respondió Mati –. Por ejemplo, se pueden usar para estudiar fenómenos físicos, químicos, económicos…

–¿Nos dices otra función Mati? –pidió el pequeño.

–Pues sí, de hecho ya os he dicho algunas anteriormente –respondió ella –, aunque no la llamásemos así. Pero cuando estudiábamos las ecuaciones de las rectas, estábamos dibujando funciones.

–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! –gritó Ven.

–No entiendo, Mati –resopló el gafotas.

–Intentaré explicarlo –anunció ella –. Hay varias formas de representar una función. Una, ya la hemos visto, escribiendo f(x)=x2 . A x se le llama variable independiente de la función y, como veis, representar de esta forma una función consiste, simplemente, en escribir una expresión en la que aparece la variable, x, por ejemplo: f(x)= x2, f(x)= 3x3-1, f(x)=x/2…

–Ajá –dijo Ven muy serio, Sal miró a su hermano por encima de sus gafotas.

–Pues bien –continuó ella –, cada función de x se puede representar también como una curva en el plano. Para ello, vamos a dar algunos valores, los que queramos, a la variable x y pintamos en el plano cartesiano, los puntos de coordenadas (x, f(x)), como aprendimos cuando estudiamos las coordenadas cartesianas.

–A mí me gustan más las coordenadas polares… –interrumpió el pequeño, Sal le recriminó con la mirada y Mati siguió:

–Vamos a escribir, para ayudarnos, una tabla donde ponemos los valores que le vamos dando a x y el correspondiente valor que le asigna  f(x)= x2

funciones_6

 

–Esto significa –prosiguió ella –que la gráfica de nuestra función, f(x)= x2, pasa por los puntos de coordenadas: (-2,4), (-1, 1), (0,0), (1,1) y (2,4). Pues bien, la gráfica de nuestra función  f(x)= x2 es la siguiente curva roja, llamada parábola.

 

funciones_7

 

–¡Mola! –dijo Ven.

–Ahora, si tenemos la ecuación  de una recta, por ejemplo , en forma implícita –continuó la pelirroja –, 2x-3y+1=0, vamos a dejar solita a la y en  la izquierda de la expresión y pasamos el resto de términos a la derecha.

funciones_4

 

–¿Veis? –preguntó Mati.

–¿¿Qué?? –dijeron los dos hermanos a la vez.

–Tenemos que y es igual a una expresión de x –respondió ella –. Cuando esto ocurre, decimos que y es una variable dependiente de x y tenemos, por lo tanto, una función de x:

funciones_5

–¿Cómo sabes que eso es una función de x? –preguntó el gafotas.

–Porque es una máquina que transforma números en otros –respondió ella guiñando un ojo.

funciones_13

 

–¡Moooooooooooooola! –volvió a exclamar el pequeño.

–Sí, mola –corroboró Mati –. La recta de ecuación 2x -3y +1=0 es la gráfica de la función f(x)=(2x+1)/3.

–¿Todas las rectas son gráficas de una función, Mati? –preguntó el gafotas.

–Todas, menos las rectas verticales  –dijo ella –. Basta que despejéis, en la ecuación de la recta, el valor de y y lo que os salga es la función de x que estáis representando.

–¡Toma! –exclamó Ven –¡Y lo podremos hacer también con las ecuaciones de las circunferencias!

–¡No! –dijo de pronto Mati –Las circunferencias no son la gráfica de una función, sino de 2 funciones…

–Sí, hombre… –dijo Ven desconfiado.

–Piensa un poco –le retó la pelirroja –, a ver si sabes por qué. Pero ahora vamos que es la hora de la función de Sal.

 

 

 

Seguimos pendientes de las rectas…

Anteriormente en Mati, una profesora muy particular…

 

–¡Toma, toma, toma! ¡CÓMO MOLA! –a Ven se le salían los ojos de las órbitas.

–¡Me encanta, Mati! –Sal estaba también entusiasmado.

–Pues aún hay más…–respondió ella con tono de misterio –pero ésas la dejaremos pendientes… Ahora vamos a dar un paseo por la playa

En el capítulo de hoy…

–Mira, Sal, el tobogán, ¿nos tiramos? –preguntó Ven animado –Parece muy emocionante, mira cuánta pendiente tiene…

–No, no tiene tanta pendiente, Ven, es casi como el del parque de nuestra casa. No seas exagerado…

–Que no, Sal, que este tiene más pendiente –insistió el pequeño.

–¿Cómo lo puedes saber? –preguntó su hermano mirando por encima de sus gafotas.

–Espera, que me tiro y te lo digo –dijo Ven y salió corriendo al tobogán.

Mati, Sal y Gauss se quedaron esperando la opinión del experto que volvió en pocos minutos sonriente.

–Me he quemado el culete, estaba muy caliente –dijo éste –Pero tiene la misma pendiente, he sentido las mismas cosquillitas en la barriga.

–Bueno, bueno –intervino la pelirroja sonriendo –Es una escala de medida bastante original, pero si queréis os cuento cómo se puede medir exactamente una pendiente.

–¡Sí, Mati! –dijeron los dos hermanos a la vez, Gauss se tumbó panza arriba para tomar el sol.

–La pendiente del tobogán, es la pendiente de la recta que lo representa –comenzó a hablar Mati.

–¡Toma, rectas! ¡Mola! –interrumpió Ven.

–Sí, para eso también sirve conocer las rectas –dijo Mati y continuó guiñando un ojo–Ya veis que son muy interesantes… Pues bien, vamos a usar para explicarlo una recta y lo hacemos con un dibujo, ¿vale?

Mati sacó su cuaderno y dibujó una recta que pasaba por los puntos A y B  de coordenadas (1,1) y (4,3), respectivamente.

–Ésta es la recta de antes, ¿verdad, Mati? –preguntó Sal.

–¡Ajá! Voy a usar la misma porque vamos a ver nuevas ecuaciones de la recta –dijo Mati –Cuando queremos calcular la pendiente de una recta, lo que estamos tratando de medir es el ángulo que forma con el suelo, como cuando medimos la pendiente del tobogán. Nuestro suelo es el eje de las x, donde medimos la primera coordenada.

–Pero fijaos que este ángulo, esta elevación es la misma que si el suelo estuviese a la altura del punto A –continuó la gafotas.

–¡Toma, toma, toma! ¡Claro! –gritó Ven sobresaltando a Gauss en su baño solar.

–¿Cómo medimos el ángulo, Mati? –preguntó Sal.

–En realidad, cuando hablamos de la pendiente de una recta no medimos el ángulo como tal, sino una cantidad propia del ángulo, que es la tangente de dicho ángulo –respondió ella.

–¿Qué es la tangente? –quiso saber Sal.

–Bueno, es una característica que nos permite identificar a un ángulo sin saber cuánto mide –comenzó a decir Mati –pero nos ayuda a determinar su inclinación. Para ello, vamos a medir la distancia en vertical entre los dos puntos A y B, y la distancia en horizontal entre los 2. Fijaos, tenemos un triángulo rectángulo, como en el Teorema de Pitágoras, ¿os acordáis? –les preguntó la pelirroja.

–¡¡Sí, sí!! ¡¡Con los catetos!!

–Eso es, Ven. Pues la tangente del ángulo que queremos se calcula dividiendo entre sí la longitud de los catetos –continuó Mati –Dividimos el cateto que no toca al ángulo por el cateto que si la toca.

–Que en nuestro caso particular sería…

–Pero, Mati –dijo Sal pensativo –Los catetos miden lo mismo que las coordenadas del vector AB, ¿no?

–Efectivamente, cielo –Mati se sorprendió alegremente –Si conocemos el vector de la recta, la pendiente de ésta se calcula dividiendo la segunda coordenada del vector por la primera coordenada del mismo. Nos ha salido positiva porque el ángulo que forma es menor que 90º, agudo. Eso significa que la recta va subiendo cuando nos movemos hacia la derecha. –siguió Mati –Pero cuando el ángulo es obtuso, mayor de 90º, la pendiente será negativa y la recta irá bajando cuando nos movemos la derecha también.

–¡Toma, toma, toma! ¡La del tobogán es negativa porque cuando vamos hacia adelante, el tobogán va bajando!–como siempre Ven estaba estusiasmado.

–¡Exacto! Pues aún hay más –siguió nuestra amiga matemática –Conociendo un punto de la recta, por ejemplo A y la pendiente, m, podemos calcular otra ecuación de la recta: la ecuación punto-pendiente.

–¡Hala, qué suertudas las rectas! –dijo Ven –Tiene un montón de ecuaciones…

–Pues no se vayan todavía, aún hay más –dijo cómicamente Mati –Vamos a dejar sola a la y en el miembro de la derecha…

–¡Otra! –dijo Sal con sorpresa.

–A esta nueva ecuación de la recta, en la que se expresa el valor de la coordenada y de un punto en función de x, se le llama ecuación explícita de la recta.

–Ésa ya la vimos, ¿no, Mati? –preguntó Ven.

–No, no. La que vimos fue la ecuación implícita. Pero ya veréis, hacemos lo mismo con la ecuación implícta de la recta, es decir, dejamos a la y sola en el primer miembro… –Mati continuó con voz de misterio.

–¡Toma! ¡Sale lo mismo! –se asombró el pequeño.

–Claro, pero aún hay más… –continuó Mati –¿Qué número multiplica a la x?

–¡2/3! -dijo Sal –¡La pendiente!

–¡Eso es! –corroboró ella — Por lo tanto, podíamos conocer la pendiente simplemente despejando la y en la ecuación implícita y saber si la recta se inclina hacia arriba o hacia abajo. Si tenemos la ecuación explícita de una recta, la pendiente de la misma es el número que multiplica a la x, es decir, el coeficiente de x en la ecuación explícita.

–Pues a nuestra mascota… –dijo Ven mirando a Gauss todo despatarrado en la arena –No le va lo de las pendientes, prefiere estar tumbado…

¿Estás de broma?¡La bola no entró!

–¡Punto mío!

–¿Qué dices, Ven? ¡Ha dado en la línea! ¡Eso es dentro!

–¿¿Dentro?? De eso nada, Sal, ha dado fuera de la línea.

–Ha dado sobre la línea –dijo Sal muy seguro, tranquilo y convencido.

Gauss miraba fijamente la línea tratando de posicionarse en aquella discusión. Pero no lo tenía tampoco muy claro. Al fin y al cabo, adoraba a sus dos dueños y no le gustaba tomar partido. Mati se dejaba querer por el sol y la brisa marina pensando en teoremas y conjeturas.

–Que sí, que ha dado sobre la línea, ¿lo ves? –dijo Sal sin perder los nervios.

–No, Sal, ¡ésa es una marca antigua! –Ven estaba cada vez más rojo y nervioso. Se le empezaba a rizar el pelo, no se sabe muy bien por qué.

–Huy, qué acalorados estáis, chicos –Mati salió de su ensoñación matemática–¿Qué os pasa?

–Nada, Mati –dijo Sal –Sólo que Ven está tratando de hacer trampas…

–Nada de eso, Mati –interrumpió el pequeño muy excitado –Ha dado fuera de la línea,  ¡punto mío!

–Que no, Ven, pesado, que ha dado sobre la línea –insistió el gafotas.

–¿¿Estás de broma?? ¡La bola no entró! –Ven estaba cada vez más enfadado, casi tira la raqueta al suelo, pero no lo hizo  porque era un regalo de sus abuelos y no quería romperla.

–Entiendo… –añadió la pelirroja tratando de buscar una salida a aquella situación –Todo depende de decidir si el punto donde la bola tocó el suelo estaba sobre una línea o no…

Mati se quedó cómicamente pensando, los niños la miraban esperando, cada uno por su lado, que le diera la razón. Gauss miraba al mar…

–En Matemáticas es mucho más fácil saberlo, ¿sabéis? –comenzó a decir Mati –Se trata simplemente de usar una ecuación.

–¡Toma! Nosotros ya sabemos ecuaciones, Mati –dijo el pequeño con alegría –Nos enseñaste el otro día.

–Es cierto, Ven –respondió Mati –pero las ecuaciones de las que os hablo, son un poco diferentes, aunque también muy sencillas.

–¿Por qué son diferentes, Mati? –preguntó inmediatamente Sal.

–Porque, por ejemplo, en estas ecuaciones, no hay una sola letra misteriosa, o incógnita, la x –dijo Mati –sino que aparece con una de sus mejores amigas, la y, que también va de incógnita.

–Hum, interesante… –añadió Ven –Así que tenemos dos sospechosas…

–Sí y no –contestó ella.

–¿Sí y no? –Sal estaba cada vez más intrigado y entregado.

–Veréis en realidad de lo que se trata es de saber si un punto está o no sobre la línea o recta, que a los matemáticos  nos gusta llamar rectas a las líneas rectas, porque hay otras líneas que son curvas –Mati hizo una pequeña pausa y continuó –Para ello lo que solemos hacer es dar una ecuación de la recta, que es, podríamos decir, como una contraseña que deben cumplir los puntos para estar sobre ella.

–¿No hay sospechosos entonces, Mati?

–No exactamente, Ven –continuó la gafotas –No se trata de desenmascarar a x y la y para conocer su valor como hicimos con las ecuaciones del otro día, sino comprobar si el punto que elijamos cumple la ecuación (la contraseña) para estar en esa recta.

Los niños seguían mirando a Mati con los ojos brillantes con las raquetas en ristre, esperando que ella continuara contándoles aquella historia de contraseñas para pertenecer al club de la recta.  Gauss se echó a dormir aprovechando que no tenía que ir a buscar las bolas cuando éstas salían despedidas.

–Os lo explico con un ejemplo –propuso Mati mientras sacaba su libreta del bolso de la playa –A ver si así os resulta más fácil

–¡Sí, por favor! –dijo

–Lo primero que necesitamos es un sistema de coordenadas, por ejemplo, cartesianas.

–¿Por qué pones números negativos, Mati? –preguntó Ven.

–Son números enteros, ¿recuerdas? –dijo ella –Para indicar que estamos a la izquierda o por debajo del origen. Los positivos nos indican que estamos a la derecha o arriba del mismo. Y con este sistema de referencia, sabemos las coordenadas de los puntos como cuando jugábamos a los barquitos.

–¡Mola! Como estamos en la playa… –Ven se iba olvidando poco a poco de la polémica bola…

–Voy a dibujar una recta –continuó Mati.

–Para poder conseguir la ecuación de esta recta, es decir, la contraseña para que un punto esté sobre ella, necesito obtener algunos datos de la misma. Para ello vamos a usar, por ejemplo,  a dos miembros de ella, dos puntos que pertenecen a este club. Necesitamos las coordenadas de 2 puntos sobre ella…

–Éste y éste –dijo Sal a la vez que señalaba 2 puntos sobre el cuaderno de Mati.

–El (1,1), le llamaremos A…y el (4,3), le llamaremos B –añadió Mati.

–Muy bien. Ahora –dijo la pelirroja –Voy a darle un nombre y un apellido, unas coordenadas, a la flechita que va desde A hasta B.  A esa flecha le llamaré vector AB.

–¿Cómo se saben las coordenadas de una flecha, Mati? –preguntó Sal intrigado.

–Las coordenadas de una flecha o vector serán las siguientes: la primera coordenada nos indica cuánto nos movemos hacia la derecha, si es positiva, o hacia la izquierda, si es negativa; la segunda coordenada nos dirá cuántos pasos damos hacia arriba, si es positiva, o hacia abajo, si es negativa.

Los niños se pusieron a contar los pasos que indicaban el vector AB de su dibujo.

–Tres pasos a la derecha… –mascullaba Ven –y dos hacia arriba…¡(3,2), Mati!

–También se pueden calcular las coordenadas del vector AB restando a las coordenadas de B las coordenadas de A –les contó Mati.

–¿Cómo se restan coordenadas, Mati? –quiso saber Sal.

–Ah, claro. La primera con la primera y la segunda con la segunda –respondió ésta.

–Muy, muy bien, chicos –la pelirroja estaba orgullosa de sus amiguitos — Y claro,  las coordenadas del punto B es igual a la suma de las coordenadas de A y del vector AB.

–¡Toma, toma, toma! ¡Es verdad! –el pequeño ya estaba alucinando.

–¿Qué pasa si sumamos al punto A dos veces el vector AB? –preguntó ella.

Los niños se quedaron pensando y mirando al dibujo, hasta que, finalmente, Sal dijo:

–Que andaríamos 6 pasos a la derecha y 4 hacia arriba y llegaríamos… a este punto –señaló el gafotas sobre el dibujo –Al de coordenadas (7, 5).

–¿No es el mismo resultado que si hacemos esta cuenta? –cuestionó Mati a los niños.

–¿Cómo se multiplica 2 por (3,2)? –preguntó el gafotas — ¿A la primera coordenada? ¿O a la segunda?

–A las dos –respondió la gafotas.

–¡TOMAAAAAAAAAAAAA! –gritó Ven entusiasmado –Sale (7,5)

–Claro –continuó Mati sonriendo –Todos los puntos de esa recta se pueden conseguir sumando a A el vector AB un número de veces o restándolo.

–¿Cómo que restándolo?

–A ver, ¿hacéis este cálculo? –les pidió

Los niños se pusieron manos a la obra.

–¿Cómo se hace 1-6, Mati? –preguntó el pequeño.

–Andando 6 pasos a la izquierda en la regleta, ¿no te acuerdas? Y 1-4 se calcula dando 4 pasos a la izquierda del 1 también en la regleta.

–Huy, es verdad… –se disculpó Ven –A ver qué nos sale… (-5, -3)… ¡Toma! ¡Es verdad! ¡También está sobre la recta! –el pequeño Ven disfrutaba cada descubrimiento.

–Bueno, pues ya sabemos que para que un punto esté sobre la recta, debe cumplir esa contraseña o condición: que debe ser igual que el punto A más el vector AB multiplicado por un número. O sea que la ecuación que debe cumplir un punto (x,y) para pertenecer a esta recta es la siguiente

–Y eso, ¿cómo se usa, Mati? –preguntó sal muy serio.

–Vamos a ver, decidme un punto sospechoso de pertenecer a la recta…

Los niños miraron el dibujo.

–El (7,5) –propuso Ven McEnroe.

–Muy bien –dijo Mati –tomamos x como 7 e y como 5 y susitituimos en la ecuación. (7,5) pertenecerá a la recta si k nos da el mismo valor en las dos ecuaciones.

–Efectivamente, (7,5) cumple la ecuación, para el valor de k igual a 2. Es un miembro de la recta –concluyó Mati.

–¡Toma, toma, toma! –el pequeño saltaba de alegría.

–Ahora el (10, 9) –propuso Sal animado.

–Vamos a ver si (10, 9) se sabe la contraseña…

–¡Ja! ¡Te pillamos (10,9)! Tú no eres del club de la recta… –Ven estaba disfrutando con aquello.

–Es alucinante, Mati…–Sal miraba al cuaderno y se ajustaba las gafas.

–Las Matemáticas siempre lo son –respondió ella con un guiño –Pero hay otras formas de detectar a los miembros de una recta. Os las enseñaré. Vamos a dejar sola a k en las dos ecuaciones como ya sabemos, deshaciendo en orden inverso todas las operaciones que la ocultan…

–Cuando igualamos las dos ecuaciones porque las dos valen lo mismo, k,  tenemos una nueva ecuación de la recta, que se llama ecuación continua.

–Así, cada vez que tengamos dos puntos de una recta podemos calcular suu ecuación continua sin más que hacer esto

–¡Qué chulo! –exclamó Sal — ¿¡Cómo la usamos para saber si, por ejemplo, el (1,0) pertenece al club?

–Muy fácil –dijo Mati –Cambiamos x por 1 e y por 0 y vemos qué pasa.

–Ajá, no eres de nuestro club, forastero… –dijo Ven cuando descubrieron que el (1,0) no pertenecía a la recta.

–¿Os gusta, chicos? –continuó la pelirroja –Pues aún podemos escribir la ecuación de la recta de otra forma.

–¡Venga! –la animó Sal.

–Usando nuestras técnicas de desenmascaramiento vamos a tratar de llevar todo al primer miembro de la ecuación, ya veréis…

–Ya tenemos otra ecuación de la recta –dijo Mati –La ecuación implícita.

–Prueba con el (4,2), Mati –pidió Ven ansioso.

–¡¡Yo! ¡Yo lo hago! –intervino Sal –Cambio x por 4…cambio y por 2

 

–¡Otro! Hemos pillado a otro que no está  –Ven lo pasaba en grande.

–Pues además de decirnos si un punto pertenece o no a una recta, con esta ecuaciones podemos calcular todos los puntos sobre ella que queramos –dijo Mati.

–¿¿Cómo?? –preguntaron los dos niños a la vez.

–Elegid un valor para la x –les propuso.

–¡10! –gritó Ven.

–Estupendo –contestó la pelirroja –ponemos 10 en lugar de x y vamos a ver cuánto vale y

–¡Toma, toma, toma! ¡CÓMO MOLA! –a Ven se le salían los ojos de las órbitas.

–¡Me encanta, Mati! –Sal estaba también entusiasmado.

–Pues aún hay más…–respondió ella con tono de misterio –pero ésas la dejaremos pendientes... Ahora vamos a dar un paseo por la playa.

–¡Vale! –dijo Ven –Pero que sepáis que la bola no entró…

 

Descartes y los barquitos

–A, 5.

–¡Agua!

–No puede ser, Ven, ¿¿has puesto algún barco??

–¡Pues, claro! ¿Qué crees, Sal? ¿Que no sé jugar a los barquitos? –contestó el pequeño.

–Es que es imposible que no haya encontrado aún ninguno… –protestó el gafotas.

 

 

–Buenas tardes, caballeros… –Mati acababa de llegar.

–¡Hola, Mati! –saludaron los niños al unísono.

–¿Jugáis a las batalles navales? Me encanta ese juego –contestó la pelirroja.

–Y a mí. Pero Sal no consigue encontrar ninguno de mis barcos -respondió Ven con cara de pícaro. Su hermano lo miró serio por encima de sus gafitas.

–Además de que es un juego divertido es un buen método para aprender las coordenadas cartesianas –-añadió Mati.

–¿¿El qué?? –preguntaron los dos con los ojos abiertos de par en par.

–Las coordenadas cartesianas, que son, podríamos decir, como el nombre y el apellido de los puntos en un plano, para poder distinguirlos unos de otros, sin posibilidad de confundirlos.

–No entiendo nada –aceptó el pequeño Ven.

–Si Sal te dice “D,6”, Ven, ¿tienes alguna duda de dónde está apuntando?

–¡Toma, claro que no! A éste -señaló Ven con su dedo sobre el papel –Miro dónde se cruzan la fila D y la columna 6 y ya está.

–Pues así es cómo se asignan las coordenadas cartesianas a cualquier punto del plano. Os lo explico con un dibujo.

–¡Sí! -contestaron con alegría los dos hermanitos.

–Lo que queremos es saber identificar cualquier punto de un plano, porque, por ejemplo, vamos a esconder un tesoro y luego vamos a venir a buscarlo… Aquí está nuestra casa y aquí enterramos nuestro tesoro.

–Como piratas, ¿no?

–Sí, Ven, ¡como piratas! –prosiguió Mati – Lo primero que tenemos que hacer para poder asignar coordenadas a cada punto del plano y poder saber exactamente dónde escondimos el tesoro, es elegir un punto especial al que llamaremos origen, origen de coordenadas ¿Dónde lo ponemos?

–Aquí –Sal señaló un punto sobre el papel.

–Muy bien. Ahora dibujamos dos rectas perpendiculares que se cortan en el origen.

–¿Qué son perpendiculares, Mati?

–Que se cortan formando cuatro ángulos rectos, como los de la esquina de una portería.

 

–Como si fueran el signo + de la suma, ¿no, Mati? –preguntó el gafotas.

–Exacto, Sal, pero en grandote, uno vertical, de arriba a abajo, y otro horizontal, de izquierda a derecha. Al horizontal le llamaremos eje de abscisas y al vertical, eje de ordenadas.

–Ahora vamos a dividir estos ejes, usando como unidad de medida, por ejemplo, dos cuadraditos del papel. Hacia la derecha y hacia arriba, los numeramos con números naturales, positivos. Y a la izquierda y hacía abajo, les pondremos un signo delante, para distinguirlos.

–Ahora, para conocer cuáles son las coordenadas de nuestra casa y de nuestro tesoro, dibujamos una línea vertical desde el punto donde está hasta encontrar al eje de abscisas, y una linea horizontal hasta encontrar al eje de ordenadas. Con estas dos líneas y los ejes, tendremos dos rectángulos, en los que nuestros puntos, la casa y el tesoro, serán una de las esquinas. Por eso, a estas coordenadas también se le llaman coordenadas rectangulares. Pues bien, las coordenadas de nuestros puntos serán: la primera, el número marcado en el eje de abscisas y la segunda el número marcado en el eje de ordenadas. Por eso, a la primera coordenada de un punto se le llama la abscisa y a la segunda, se le llama la ordenada.

–Nuestra casa tiene la misma abscisa que ordenada, Mati –observó Sal.

–Sí, es verdad, en este caso el rectángulo es un cuadrado, tiene los lados iguales.

–Y la abscisa del tesoro es 14 y la ordenada es 9, ¿no? –siguió indagando el gafotas.

–Exacto –respondió la pelirroja.

–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola, Mati! Así siempre encontraremos el tesoro –el pequeño Ven estaba alucinando.

–¿Y por qué le llamas cartesianas? ¿Porque a los mapas también se le llaman cartas? –preguntó Sal.

–No, no. El nombre de cartesianas de lo debe a René Descartes, filósofo y matemático francés, que sostenía que la visión que tenemos de las cosas depende de dónde hayamos fijado el origen de coordenadas –Mati guiñó un ojo, los niños no dijeron nada.

–¿Está muerto? –preguntó Ven con carita de pena.

–Sí, hace mucho tiempo, en 1650 –contestó la pelirroja mientras le acariciaba el pelo —Oye, ¿queréis saber también para que podemos usar las coordenadas cartesianas aparte de señalar exactamente un lugar del plano?

–¡Claro!

–Para conocer la distancia entre dos puntos del plano sin necesidad de ir a medirlo.

–¿Cómo? –quiso saber el gafotas excitado.

–Dibujamos un triángulo de la siguiente manera.

–Es un triángulo rectángulo, porque tiene un ángulo recto, donde se cortan el lado vertical y el horizontal. Al lado más largo de un triángulo rectángulo, se le llama hipotenusa, que en nuestro dibujo es el que queremos medir. Y a los otros dos lados del triángulo, les llamamos catetos

–Pobres…–dijo Ven.

Mati no pudo evitar la sonrisa.

–¿Cuánto miden los catetos? Ya vereís. El lado horizontal mide la diferencia entre las dos primeras coordenadas, las abscisas; el lado vertical mide la diferencia entre las dos segundas coordenadas, las ordenadas.

–¡Claro! -Sal estaba entusiasmado.

–Ahora, para saber cuánto mide la hipotenusa que es la distancia de nuestra casa al tesoro, sólo necesitamos el Teorema de Pitágoras.

–¿Cómo, Mati? –los niños estaban ansiosos esperando la respuesta final.

–Pues así

 

–¡Toma, Mati! ¡Y sin necesidad de medir! -Ven estaba entusiasmado.

–Pero ni Ven ni yo sabemos calcular raíces cuadradas, Mati –aceptó el gafotas serio.

–Por ahora, yo os ayudo. Ya lo aprenderemos.

–Entonces, ¿así lo hacen los piratas, Mati? –preguntó el pequeño.

–Bueno, los piratas tenían otra forma de asignar coordenadas… Os la explico otro día. Vamos a pasear a Gauss que está deseando buscar algún tesoro en el parque.