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Un mono delante de un ordenador

No, no estoy pensando en ningún miembro de nuestro iluminado gobierno, malpensados…

Voy a proponeros un problema de esos que cuanto más se piensan más posibilidades tenemos de que nos hiervan los sesos como decía Antonio Machado en su incomparable Juan de Mairena.

Necesitamos dos elementos para nuestro problema: los números naturales y el teclado de un ordenador. Asumo que todos sabemos qué es el teclado de un ordenador, así que voy a dedicar unas cuantas palabras a los números naturales.  Los números naturales, como es sabido, es un conjunto infinito y son el 1, 2, 3, … y así sucesivamente. Se pueden definir de la siguiente forma: el 1 es un número natural y si un número es natural, ese número más 1 también lo es. En esta mateaventura de Mati se presentan algunos de los conjuntos numéricos, entre ellos, los naturales.

Una de las propiedades fundamentales de los números naturales es que todo  conjunto formado números naturales tiene un elemento que es el más pequeño de todos ellos, el que se conoce como primer elemento del conjunto. Así, el primer elemento de los pares es el 2 y el primer elemento de los números agraciados con el gordo de la lotería de Navidad es el 523.

Ahora, con la ayuda del teclado de un ordenador vamos a definir un conjunto constituido por números naturales de la siguiente forma:

Supongamos que ponemos a un mono delante de un ordenador y que nuestro primate pulsa 1000 veces al azar en el teclado de ordenador ¿cuántas combinaciones distintas podemos obtener?

 

La verdad es que es un número ingente: mi teclado tiene 105 teclas, por lo tanto la respuesta es 105¹⁰⁰⁰ (105 elevado a mil), que viene a ser un 1 seguido de 2000 ceros.  Pero lo que nos importa hoy es que, aunque muy grande, evidentemente es un número finito. Una de dichas combinaciones es un 1 y después 999 veces a la barra espaciadora y esta es una forma de describir el número natural 1. Otra de las combinaciones puede ser teclear primero la letra U, después la N, después la O y 997 veces a la barra espaciadora y el resultado será otra descripción válida (en castellano) del número 1.

 

Por tanto, es evidente que entre todas las combinaciones de 1000 pulsaciones, algunas de dichas combinaciones describen números naturales en castellano.  Sin embargo, por fuerza, el conjunto de los números naturales que puede ser descrito en castellano con menos de 1000 pulsaciones es finito y, como el conjunto de los naturales es infinito, existen infinitos naturales que no pueden ser descritos en castellano con menos de 1000 pulsaciones. Así consideremos el conjunto de los números naturales que no pueden ser descritos en castellanos con menos de 1000 pulsaciones en el teclado de un ordenador, ese conjunto, como todo subconjunto de los naturales, tiene un primer elemento y, por tanto, ese número será:

“El menor número natural que no puede ser descrito en castellano con menos de 1000 pulsaciones en el teclado de un ordenador”

Lo curioso (y paradójico) es que ese número no puede ser descrito con menos de 1000 pulsaciones, pero lo acabamos de describir con menos de 1000 pulsaciones…

Por Gauss, ¿¿¿no os hierven los sesos???

No voy a desvelar el porqué de esta paradoja, sino que podéis añadir vuestra opinión en los comentarios y la semana que viene aclararemos qué es lo que está ocurriendo.