Hoy toca pensar (y mañana también)

Parte del valor de las Matemáticas (de la disciplina, no de las afortunadas que nos dedicamos a la misma),  al margen de su utilidad y aplicación a otras disciplinas, radica en la capacidad que tienen para hacernos pensar. Pero hacernos pensar bien, en el sentido de que hemos de ordenar nuestro pensamiento y determinar las pautas adecuadas que nos permitan resolver el problema con el que nos enfrentamos. Me gustaría poner tres ejemplos de problemas muy conocidos que comparten un espíritu común. Del primero daré la solución, aunque propondré variantes de las que no adelantaré la suya, pero de los otros dos solo daré alguna pista. Una aclaración: son problemas para todas las edades, podemos decir que de 9 a 99 años.

¿Estamos listos? Puesto que decimos que tenemos que ser ordenados, empezaremos por el primero:

Supongamos que tenemos un tablero de ajedrez y varios juegos de dominó tal que sus piezas cubren dos casillas del tablero; es evidente que con 32 piezas de dominó se puede cubrir todo el tablero, pero una pregunta clásica es la siguiente: si eliminamos dos casillas que ocupan alguna de las esquinas diagonalmente opuestas del tablero: ¿podemos cubrir las casillas restantes con piezas de dominó de tal forma que cada pieza cubra dos casillas y que no se superpongan?

Fuente

La respuesta no es excesivamente complicada si encontramos la clave para resolver el problema: cada ficha de dominó ocupa dos casillas de ajedrez, y como dichas casillas son contiguas han de ser forzosamente de distinto color: una casilla negra y otra blanca, por tanto con las fichas de dominó cubriremos siempre el mismo número de casillas blancas que negras; pero dos casillas diagonalmente opuestas siempre tienen el mismo color, por lo tanto en nuestro tablero «mutilado» tendremos más casillas de un color que de otro y será imposible de cubrir con fichas de dominó.

Ahora supongamos que eliminamos dos casillas de distinto color: ¿se puede siempre cubrir el tablero con fichas de dominó? ¿existen casos en los que sí y otros en los que no? Espero vuestras soluciones en los comentarios.

Para los otros dos problemas no voy a dar la solución, aunque daré alguna pista al final:

Supongamos que tenemos un cubo dividido en 27 cubitos como en la figura:

Si una hormiga comienza a horadar un túnel comenzando por una de las caras de uno de los cubitos de alguna esquina y pasando de un cubito a otro a través de una pared común (no a través de un lado, ni de un vértice), ¿podrá nuestra hormiga terminar en el cubito central después de haber pasado por todos los demás cubitos y sin repetir ninguno?

El último puede que sea el más difícil, pero si habéis resuelto los anteriores tenemos un buen entrenamiento que nos permitirá atacarlo con la actitud adecuada:

El esquema que exponemos a continuación representa a 13 ciudades y a las carreteras que las unen:

La pregunta en este caso es: ¿podemos realizar un recorrido empezando y terminando en alguna de las ciudades y pasando por todas las demás ciudades y sin repetir ninguna? (El camino empieza y termina en la misma ciudad).

Espero que os gusten los problemas propuestos y que dejéis vuestras soluciones en los comentarios, pero…, un momento: se me olvidaba que había prometido alguna pista. No quiero ser muy explícita, pero digamos que para solucionar el problema de cubrir con fichas de dominó el tablero de ajedrez sin dos esquinas opuestas ha venido muy bien que las casillas del tablero sean blancas y negras y con una disposición muy específica.

Venga, va, deja de pensar en la estupidez que haya dicho alguno de nuestros ministros este fin de semana y trata de resolver estos retos.

Espero que mis alumnos de Matemática Discreta sepan resolverlos todos sin ningún esfuerzo… 😉

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