Las sumas del Príncipe

El Príncipe fue un prodigio no solo para las matemáticas, sino también para otras disciplinas, pero las lenguas de forma muy especial. A pesar de ser el Príncipe, nació en una familia muy humilde, pero supo aprovechar las oportunidades que se le brindaron. Contó con el mecenazgo del duque de Brunswick, lo que le permitió estudiar bachillerato, tiempo en el que se estableció una curiosa relación con su profesor de matemáticas, Martin Bartels. Efectivamente, pronto su profesor comprendió que sería más provechoso para ambos estudiar juntos  y así se adentraron en las obras de autores como Euler, Newton o Lagrange. Leyendo a dichos monstruos, el Príncipe se dio cuenta del poco rigor que muchas veces caracterizaban sus obras y se propuso no caer en dicho error, dicha determinación ha marcado de manera fundamental la matemática desde su tiempo.

Pero no se trata aquí de contar la vida de Carl Friedrich Gauss, también conocido como el Príncipe de las matemáticas, sino de a través de una anécdota de su vida ( aunque parece que más que una anécdota es una leyenda) tratar de introducir un método de demostración que muchas veces es despreciado por los propios matemáticos profesionales.

Pero mejor vamos por partes, como Dexter… Para el público profano conviene decir que ya desde la época de Euclides hasta nuestros días las matemáticas han establecido un procedimiento de trabajo que se ha mostrado sumamente eficaz y que ha permitido mandar el hombre a la Luna y que yo pueda estar escribiendo esto en mi casa y que le llegue al lector en cualquier parte del mundo donde se encuentre (por citar solo dos ejemplos). Dicho procedimiento consiste en partir de unos principios fácilmente asumibles por todos (axiomas) y a partir de ellos enunciar y demostrar teoremas que servirán para enunciar y demostrar otros teoremas. Lo curioso es que desde la época de Euclides hasta la juventud de Gauss (finales del siglo XVII) el concepto de rigor en la demostración no había evolucionado casi nada. Hoy en día ese rigor es una de las bases de las matemáticas, en gran parte gracias a nuestro Príncipe. Es algo que a los profanos les cuesta mucho asumir, que las demostraciones han de hacerse con un rigor  que permite establecer unas bases sólidas de la disciplina y así poder utilizar con toda seguridad los teoremas de otros para seguir avanzando en el conocimiento matemático.

Pero de nuevo me despisto: ¡la anécdota, tengo que contar la anécdota!  Se dice que estando Gauss en la escuela elemental (entre los siete y los nueve años), su profesor mandó a los alumnos sumar todos los números del 1 al 100. Supongo que el profesor tenía algunas tareas que hacer y por eso ordenó a sus alumnos esa labor tan rutinaria y pesada. El problema para el bueno de Büttner (ese era su profesor) fue que al cabo de segundos el pequeño Gauss proclamó: «Ligget se’» (ya está). Pasada la hora, cuando el resto de sus compañeros fueron completando la suma, se comprobó que la solución de nuestro Príncipe era de las únicas acertadas.

¿Cómo llegó Gauss a esa solución?

Parece claro que dedujo de alguna forma u otra la fórmula de la progresión aritmética (una sucesión de números está en progresión aritmética si cada número se obtiene del anterior sumándole una cantidad fija, en el caso de los números del 1 al 100 cada término se obtiene sumando 1 al número anterior). Así parece que el pequeño Gauss en vez de sumar los números en orden, esto es: 1+2+3+… se le ocurrió agruparlos el primero con el último (1+100), el segundo con el penúltimo (2+99) y así sucesivamente (3+98, 4+97, 5+96… ) y vio que todas esas parejas sumaban lo mismo: 101. Así que no tenía más que multiplicar 101 por el número de parejas que se obtenía (50) para conseguir el resultado 5050. Mati lo contó con más detalle en esta mateaventura.

Pero me gustaría mostrar otra forma de llegar a la misma conclusión con una sola imagen. Para simplificar, supongamos que queremos sumar los naturales 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 (el razonamiento es el mismo para 100 o 1.000 números, pero me cansaría de pintar tantos puntitos), esta suma es el número de puntos rojos en la siguiente figura:

Efectivamente, en la última fila (fila en matemáticas es horizontal, vertical es columna) hay un punto rojo, en la anterior dos, etc. Pero, ¿cuántos puntos hay en total? Puesto que es un rectángulo 10×11, tenemos 110 puntos y, de ellos, la mitad son rojos, esto es: 55, por lo tanto, la suma 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 es igual a 55.

Si queremos sumar los mil primeros números dibujaríamos un rectángulo 1000×1001 con la mitad de los puntos rojos y la mitad grises, por tanto la suma de los mil primeros naturales es 1001000/2=500500.

Pues sí, otro ejemplo más de que una imagen puede demostrar lo mismo que mil o más palabras 🙂

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