BLOGS

¿Ha caído dentro o fuera?

–Dibuja bien el círculo, Ven, si no el campeonato no será justo.

–Ya, Sal, estoy intentando hacerlo lo mejor que puedo…

–Usa la cuerda de la peonza, como si fuera un compás, ¿no?

–A ver… –el pequeño Ven se mordía la lengua muy concentrado mientras trataba de trazar el círculo. Gauss andaba a la vez que Ven dibujaba –Ya. Ha quedado casi perfecto –concluyó.

–¿Perfecto, Ven? –dijo Sal mirando aquello por encima de sus gafotas –No has aguantado bien la cuerda… ¡Eso no es un círculo!

–No, no lo es –dijo Mati –Pero es una bonita curva de Jordan.

 

–¿Una curva de quién? –preguntó el pequeño pensando orgulloso en que había creado algo importante.

–De Jordan –respondió Mati –Porque es cerrada y simple, no se corta a sí misma.

–Pero no es un círculo, Mati –protestó Sal –No sirve para jugar con las peonzas…

–Depende de a lo que quieras jugar –contestó la pelirroja con un guiño.

— ¿Y la curva de Jordan tiene alguna cosa chula como la cicloide? –preguntó Ven curioso y excitado.

–Pues claro, todas las curvas son interesantes –dijo la gafotas –Si alguna curva no fuera interesante, lo sería por eso, por no serlo. Como los números –terminó diciendo con un guiño.

–¿Qué tienen de interesante la curva de Jordan, Mati? –preguntó Sal.

–Las, las curvas de Jordan –respondió ésta –Hay infinitas. Cualquier deformación continua de un círculo es una curva de Jordan.

–¿Has llamado deformación a mi curva, Mati? –preguntó Ven con un  medio puchero.

–Cielo –dijo Mati sonriendo –Una deformación no es nada malo. Es sólo una cambio de forma, puede mejorar la forma inicial.

–¿Cómo es una deformación continua, Mati? –preguntó el gafotas.

–Pues imagina que tienes un círculo elástico o de plastilina. Lo deformas sobre un folio de papel, no se puede ni cortar, ni pegar, sólo estirar y apretar, sin partirlo. sin superponer unos puntos sobre otros –dijo ella –Eso es, más o menos, lo que los matemáticos llamamos un deformación continua.

–¿Las inventó Jordan? –quiso saber Ven.

–No, se les llama así porque fue Camille Jordan el primer matemático que demostró que cualquier curva cerrada y simple dividía al plano en dos regiones, una la de dentro y otra la de fuera.

–Pero eso lo sabe cualquiera, Mati, ¿no? –comentó el gafotas.

–Sí, es bastante intuitivo –añadió Mati –Pero bastante complicado de demostrar con rigor, no creas. de hecho, el propio Jordan no lo terminó de demostrar, tenía algunos errores que no supo resolver. La primera prueba completa la dio Oswald Veblen, pero no era de eso de lo que yo quería hablar, chicos –continuó la pelirroja y guiñando un  ojo  copncluyó –No tenéis edad para hablar de Topología Algebraica.

–¿Nos enseñas a jugar con una curva de Jordan, Mati? –pidió el pequeño.

–Con mucho gusto –respondió Mati –Se trata de dibujar una curva de Jordan, lanzamos una moneda o la peonza, y tenemos que adivinar si ha caído dentro o fuera de la curva.

–¿¿Eso?? –dijo Sal muy sorprendido –Eso es de niños de la guarde, Mati…

–Sal tiene razón, Mati –dijo Ven –Es un juego un poco tonto, no te enfades.

–¿Ah, sí? –Mati sacó su cuaderno y comenzó a hacer un dibujo –¿Este punto rojo está dentro o fuera de la curva?

 

–¡Hala, Mati! –Ven se moría de la risa –¡Te has pasado!

–No, no, es una curva de Jordan, de niños de la guarde… –bromeó la pelirroja.

–Bueno, ésa es muy complicada… –protestó Sal.

–¿Y ésta? –Mati les mostró otro dibujo.

 

–¡Jajajajaja! –Ven se tronchaba –Y ésa es muy fácil, Mati. El punto rojo está fuera.

–Efectivamente –confirmó ella –Pero vamos a fijarnos un poco en este dibujo para aprender a resolver casos más complicados, ¿os parece?

–¡Sí! –dijo el gafotas.

–Vamos a pintar líneas desde ese punto hacia varias direcciones –Mati dibujó 5 líneas –¿Qué tienen en común estas 5 líneas?

–¿Que todas salen del mismo punto? –dijo Sal.

–¿Qué todas son rojas? –bromeó Ven con cara de pillo.

–No –Mati empezaba a ponerse misteriosa –Tiene que ver más con la curva de Jordan. Voy a poner otro punto, ahora verde. Y pintaré también unas líneas saliendo de él…

–¿Lo veis ya? –preguntó Mati retadora.

–¿El qué? –Ven se empezaba a poner nervioso –Cuéntanoslo ya, por favor, Mati.

–Vamos a contar cuántas veces cortan las líneas rojas a la curva de Jordan –propuso ella.

–0, 2, 2, 2 y 2 –dijo Sal.

–Ahora, contamos las verdes –dijo Mati.

–3, 3, 1, 1, y 1 –respondió Ven.

–¿Lo veis ahora? –volvió a preguntar la gafotas.

Los niños se quedaron pensando muy serios…

–¡Ya! –gritó de repente Sal –¡Los rojos son pares, y los verdes son impares!

–Efectivamente –confirmó ella.

–¿Y qué pasa con eso, Mati? –preguntó el pequeño.

–Que esa propiedad se cumplirá siempre en cualquier curva de Jordan –les explicó –Las líneas trazadas desde cualquier punto de la región interior de la curva, cortará a la curva un número impar de veces. Mientras que desde un punto en la región exterior de la curva, todas las líneas cortan a dicha curva un número par de veces.

–¡Toma, toma, toma! ¡Es verdad! ¡Cómo mola, Mati! –el pequeño Ven estaba alucinando.

–¿Os atrevéis con el primer dibujo que os puse?

–¡Sí! -respondieron al unísono los dos hermanos. Gauss ladró, no se sabe por qué. Él es así.

–La línea de la izquierda corta 12 veces… –dijo Sal –La de la derecha 16… Par ¡Está fuera!

–¡Cómo mola! –dijo Ven entusiasmado.

–Efectivamente –corroboró ella –Pero basta con dibujar una línea, todas las demás tendrán la misma paridad en el número de cortes con la curva.

–Es muy chulo este juego, Mati –confesó el gafotas –Siento haber dicho que era de niños pequeños…

–No te preocupes, Sal –respondió Mati –No pasa nada, cielo ¿Os atrevéis a colorear la región de dentro?

–¡Vamos!

–Vamos a jugar a eso, Sal –propuso el pequeño.

–Mejor, porque tus círculos… –bromeó el gafotas.

 

 

5 comentarios

  1. He visto de casualidad vuestro blog en la portada de 20minutos y me ha gustado mucho. Se nota que hay trabajo detrás, tanto en las explicaciones y la parte matemática como en la parte artística.

    Seguid así, intentaré pasarme de vez en cuando a echarle un ojo.

    Fdo.: Un estudiante de 2º de Matemáticas

    20 Junio 2012 | 12:28

  2. Dice ser Alberto

    Me encanta, no pares.

    Un millón de gracias por este rato.

    20 Junio 2012 | 12:57

  3. Si la recta toca de forma tangente a la curva en algún punto, entonces ese (sí) (no) se tiene en cuenta para contabilizar si está dentro o fuera (lo dejo para que lo piensen los lectores)

    Este mismo año de la Licenciatura hemos visto una demostración de este Teorema. Algo que parece totalmente intuitivo nos llevó 2 semanas de una hora de clase durante 4 días a la semana de Lemas previos.

    La demostración de Schönflies lo generaliza y afirma que existe un difeomorfismo del plano en sí mismo tal que lleva la esfera unidad en la curva de Jordan, el disco unidad abierto en la componente conexa acotada y el complemento del cierre del disco anterior en la otra componente conexa.

    20 Junio 2012 | 13:43

  4. Dice ser maru

    Otra semana gracias por tan grandes reseñas, esta cae para los peques, ^^
    Mucho animo y seguid igual.

    20 Junio 2012 | 16:04

  5. Dice ser Tia de Sobrino

    La primera vez que te leo y me ha encantado, no sera la ultima

    20 Junio 2012 | 20:43

Los comentarios están cerrados.