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No te muevas tanto…

–Mira a Gauss, Sal ¡Se parece a un conejo de Fibonacci!

–¡Hala, es verdad! Y mira mis piernas, parecen de goma…

–Y mi brazo… –siguió el pequeño entusiasmado –Mira, ¡ese niño está loco! Yo levanto el brazo izquierdo y él ¡levanta el derecho!

–Claro, Ven –respondió su hermano –Es un espejo.

–¿Y? ¿Por qué me veo al revés? ¿Por qué no me veo la cabeza abajo y los pies arriba?

–Pues porque el plano de simetría es el espejo, que es perpendicular al suelo – intervino Mati.

–¿¿Qué?? –los niños se quedaron mirando a Mati perplejos. Gauss cambió de espejo, su identidad de conejo no le convencía ni mucho ni poco.

–Tranquilos, chicos. Voy a tratar de explicarlo –dijo la pelirroja con una sonrisa –Os contaré que es una simetría. Pero empezaremos por el plano, ¿vale?

–¿Qué plano, Mati? –preguntó Sal intrigado.

–En el de la hoja de nuestro cuaderno, ¿os apetece?

–Sí, claro –respondió Sal.

–Como si viajáramos hasta Planilandia –añadió Mati.

–¿Dónde está Planilandia? –preguntó inmediantamente Ven –¿Es un parque de atracciones?

–No, Planilandia es un país dónde todo ocurre como en una inmensa hoja de papel –siguió la gafotas –Otro día hablaremos de ese libro de Edwin Abbott. Hoy os voy a tratar de explicar cómo funcionarían los espejos de este país en una hoja de papel, lo que los matemáticos llamamos simetrías en el plano.

–¡Vale! –dijo Ven con entusiasmo mientras Sal se ajustaba las gafitas sobre la nariz.

–Imaginaos que tenemos un Gauss en nuestro país plano frente a un espejo, que en nuestro plano es sólo una recta. Vamos a dibujar al Gauss que se refleja, al simétrico de Gauss respecto de esa recta.

–¡Mola! –gritó Ven mientras su mascota miraba de reojo al cuaderno de Mati.

–Antes de reflejar a Gauss, vamos a hacerlo con un triángulo que es más sencillo, ¿os parece? –propuso Mati.

–Venga –respondió el gafotas.

–Calculamos primero el punto simétrico de A –empezó a decir Mati –Después calcularemos el de B y el de C y podremos dibujar el triángulo simétrico.

–¿Cómo hacemos el simétrico de A, Mati? ¿Lo podemos pintar nosotros? –preguntó Sal.

–Claro. Trazamos desde A una recta perpendicular a la nuestra, la que representa el espejo, que llamamos eje de simetría

–¿Perpendicular es que forme ángulo recto como la esquina de una portería? –preguntó el pequeño.

–Eso es, Ven –continuó Mati –Llamaremos M al punto de corte de esta nueva recta con el eje de simetría.

–Ese punto, M, estará a la misma distancia de A que de su punto simétrico, que llamaremos A*, justo en la mitad, ¿sí?

–Sí… –dijo Sal muy concentrado.

–Pues el simétrico de A, A*, es un punto que está sobre la recta que acabamos de dibujar, a la misma distancia de M que el punto A. Medimos la distancia de A hasta M

–¡6 cuadritos!

–Muy bien, Ven. Ahora contamos 6 cuadritos hacia la derecha sobre la recta, empezando en M… y aquí tenemos al simétrico de A, le ponemos su nombre… A*

–¿Me dejas hacer a mí el simétrico de B, Mati? Pero solo –preguntó Sal.

–No, y yo también, oye… –protestó el pequeño.

–Claro, entre los dos, Ven –contestó su hermano, mientras Gauss retorcía un poco el hocico y se hacía el indiferente ante la posibilidad de calcular el simétrico de un punto respecto a una recta, “como si me importara mucho…” pensó con un poco de pelusilla.

–Pintamos la recta perpendicular… -mascullaba Ven –Aquí está el punto del medio… ¿le llamamos también M, Mati?

–Puedes llamarlo N, si te apetece –contestó la pelirroja con un guiño.

– 9 cuadritos desde B hasta N… –contaba el gafotas –Ahora 9 cuadritos a partir de N, y ahí está B*.

–¡Te pillamos, so simétrico de B! –dijo Ven mientras apuntaba a la libreta con el índice y el pulgar a modo de pistola.

–Ahora el de C, ¿cómo llamamos al punto de en medio, Ven?

–Llámalo P, forastero… –contestó Ven con tono de vaquero, que este niño es muy novelero y se mete rápido en el papel…

Los dos hermanos dibujaron el simétrico de C en el papel, mientras Gauss se miraba la pata derecha como si nada de aquello fuera con él.

–Ya, ya tenéis los simétricos de los 3 puntos –intervino Mati –ya podéis pintar el triángulo simétrico.

–¡Ahora con Gauss! –dijo Sal y su mascota salió de su ensimismamiento con alegría para descubrir que los niños seguían absortos en el cuaderno.

–Muy bien, chicos – intervino Mati -Aunque hemos hecho un poco de trampa…

–¿Trampa? ¿Por qué? –Ven frunció el ceño.

–Porque en Planilandia no se puede hacer ese movimiento…

–¿Por qué? –preguntó Sal intrigado.

–Porque cuando hacemos una simetría, es como si levantásemos a Gauss y le diéramos la vuelta en el aire…

–¿¿Y?? –Ven estaba cada vez más intrigado.

–Que en Planilandia nadie puede salir de la hoja de papel –concluyó Mati –No hay forma de conseguir el simétrico de Gauss con un movimiento dentro del propio plano, del propio papel.

–Claaaaaaro… –Sal sonreía –Es cierto…

–Por esa razón –continuó la gafotas –los matemáticos llamamos a la simetría, movimiento inverso. Hay que salirse del plano y darle la vuelta la figura de Gauss para que coincida con la otra.

–¡Toma, toma, toma! ¡Es verdad! Gauss no se podrá mover en Planilandia –la cara de Ven se entristeció –Pobre…

–Claro que se podrá mover –corrigió Mati –Pero usando movimientos directos, por ejemplo, una traslación o un giro.

–¿Qué es una traslación? –preguntó el gafotas.

–Una traslación consiste en mover el objeto usando un vector, el vector de la traslación.

–¿Y cómo se hace? –preguntó Sal.

–Decidme las coordenadas de un vector…

(7,9) –dijo Ven –Nuestras edades.

–Vamos a hacer una traslación de vector (7,9) a Gauss –propuso Mati –Tenemos que mover cada punto según esa dirección, 7 cuadritos a la derecha y 9 hacia arriba…

–Cuando hayamos movido un punto, llevamos sobre él el resto de la silueta de Gauss y ya está –concluyó ella.

–¡Y sin salirse de Planilandia! –dijo Ven abrazando a su mascota –Sólo hay que arrastrarlo.

–Efectivamente, la traslación es un movimiento directo porque no nos salimos del plano –les contó Mati.

–¿Y el giro? ¿Cómo es el giro? –Sal estaba entregado a los movimientos del plano. Gauss se estaba mosqueando un poco…

–Para identificar un giro, necesitamos elegir un punto, centro del giro, y un ángulo, el ángulo de giro –les contó su amiga –¿qué punto queréis que sea el centro del giro?

–¿Tiene que ser un punto sobre el dibujo de Gauss? –preguntó Sal.

–Como queráis –contestó la pelirroja –Pero no es necesario.

–Venga, éste –dijo el pequeño pintando un punto azul sobre el papel.

Gauss gruñó, pero de mentirijilla, en el fondo tanto protagonismo le estaba gustando…

–Estupendo –afirmó Mati –Y lo giramos 45 grados, la mitad de un ángulo recto, ¿vale?

–¡Vale! –dijeron los chicos al unísono.

–Para ello, trazamos una línea desde el centro de giro hasta la punta de la cola de Gauss y giramos era línea 45 grados, apoyados en el centro y vemos hasta donde llega Gauss, como si la punta de su cola estuviese pegada a la línea.

–¡Toma, toma, toma! ¡Qué gracioso! –Ven volvió a abrazar a su mascota.

–¿Veis? Estos 2 movimientos, el giro y la traslación, son movimientos directos –dijo Mati –Se pueden hacer sin salirse del plano.

–Me gusta mucho esto, Mati…

–A mí también, Sal –contestó ella –Y se pueden usar para enlosar el plano con baldosas de diferentes formas, según como movamos las losetas… Pero eso ya lo vemos otro día, ahora volvamos a casa, que es hora de merendar.

–¡Sí, sí! –insistió el pequeño –Tanto movimiento me ha dado mucha hambre…

 

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