No hace mucho leí (pero no recuerdo dónde) que una de las fórmulas más importantes de la ciencia para saber interpretar correctamente algunos hechos de la vida cotidiana es el teorema de Bayes, por desgracia también es uno de los resultados que más gente se equivoca al usarlo: debe de ser un problema general con la estadística y la probabilidad, todo el mundo se cree que sabe lo suficiente para utilizarla y, en muchos casos, eso no es cierto… En fin. Como ya hemos comentado en otras ocasiones, se cometen errores hasta en el uso de los elementos más sencillos como la media o en casos de probabilidad no demasiado complicados. El problema con el que nos enfrentamos hoy es que, por una parte, la probabilidad condicionada (de eso se trata) aparece por todas partes y, por otra, en muchos, muchos casos se interpreta de forma totalmente errónea. Ya hablamos en su día sobre las probabilidades condicionadas, pero hoy me gustaría entrar en un caso el que se suele errar (y mucho).
Tal vez lo más apropiado sea poner un ejemplo típico que se pone muchas veces para explicar este hecho: supongamos que 10.000 personas nos hacemos una prueba médica para detectar si tenemos una enfermedad muy grave: mortal de necesidad y que esta, en nuestro caso, sale positiva ¿podemos afirmar con total rotundidad que tenemos dicha enfermedad? ¿Todo ha acabado para nosotros? Todos podemos comprender que eso dependerá de la fiabilidad de la prueba realizada. Lo que a muchos se le escapa es que también depende de la rareza de la enfermedad y eso es absolutamente fundamental y varía el resultado de forma dramática. Vamos a tratar de explicarlo:
Supongamos que la enfermedad a cuya prueba nos estamos sometiendo la tiene el 0.1% de la población (uno de cada mil habitantes tiene la enfermedad). Naturalmente las pruebas tienen un cierto porcentaje de error, así supongamos que si tienes la enfermedad, la prueba la detecta correctamente en un 90% de los casos y que si no tienes la enfermedad, la prueba falla (te dice que tienes la enfermedad sin tenerla) en un 10% de los casos, esto es: acierta también en un 90% de los casos. Sigamos suponiendo que, por desgracia, el test sale positivo (asegura que tenemos la enfermedad): ¿qué probabilidad hay de que tengamos realmente la enfermedad? En este punto, la inmensa mayoría de la población dirá que un 90%, pero esto es totalmente erróneo como vamos a tratar de explicar (estimados trolls: leed hasta el final antes de decir que la que estoy totalmente equivocada soy yo, aunque soy consciente de que eso va en contra de vuestro espíritu).
Este es un caso de lo que se conoce como probabilidad condicionada tratamos de saber qué probabilidad tenemos de haber contraído la enfermedad sabiendo que el resultado del test es positivo. En realidad, las cuentas no son muy complicadas: si el 0,1% de la población tiene la enfermedad, esto significa que aproximadamente 10 de los 10 000 que han pasado la prueba tienen la enfermedad y como el test positivo en ellos falla en un 10%, resulta que en 9 de los individuos sometidos a la prueba, el test ha dicho que tienen la enfermedad y es correcto. Pero un cierto porcentaje de los examinados (un 10%) no tienen la enfermedad y el test dice que sí la tienen. Los que no tienen la enfermedad son (aproximadamente) 9 990 y de ellos un 10% dan falso positivo: un total de 999. Así tenemos a 9+999=1 008 positivos de la prueba, pero de ellos solo 9 tienen realmente la enfermedad. En otras palabras si el test en nuestro caso ha resultado positivo, la probabilidad de que tengamos la enfermedad es de 9/1 008= 0,0089… esto es ¡¡¡¡¡menos de 1%!!!! Así que la probabilidad de que estemos enfermos no es muy grande (90%) sino muy, muy pequeña (0,9%).
Supuesta imagen de Bayes
Naturalmente lo dicho anteriormente se refiere a una población sometida a unas pruebas, si hemos desarrollado otros síntomas que corroboren el resultado de las pruebas sí que puede ser interesante poner en orden nuestras vidas y tratar de repetir cuánto amamos a aquellos que realmente nos importan. Igualmente, si la enfermedad no es tan rara, las probabilidades varían. Supongamos, ahora que se trata de una epidemia que afecta al 50% de la población, veremos que con la misma fiabilidad de las pruebas la cosa varía totalmente:
Ahora, 5 000 personas aproximadamente tienen la enfermedad y de ellos un 90% dan positivo en las pruebas, esto es: tenemos 4 500 enfermos que dan positivo en el test. De los 5 000 sanos, un 10% de ellos también dan positivo: 500 en total. Por lo tanto, en total 5 000 personas han dado positivo en el test (4 500 realmente enfermos y 500 que no lo están). Rehaciendo las cuentas de antes, la probabilidad de que tengamos la enfermedad es de 4 500/5 000 = 0,9, esto es: un 90%.
He tratado de eludir las fórmulas en esta explicación, pero sí me gustaría decir que este es un ejemplo del Teorema de Bayes, llamado así en honor del religioso presbiteriano Thomas Bayes (siglo XVIII) del que se supone (nunca publicó sobre el tema) que fue el primero en estudiar dicho resultado.
En cualquier caso, sea cuál sea la probabilidad de tener una enfermedad chunga, mi consejo es que tratemos de sonreír todo lo posible mientras podamos, mientras nos dejen…
Todo esto me suena… Creo que aclaré algo hace poco respecto a este tema:
http://www.20minutos.es/noticia/1731246/0/gripe/vacuna/hospitalizaciones/
Es interesante mencionar que la mayoría caen en la «falacia de la probabilidad condicional», un vicio muy extendido que merece la pena corregir:
http://es.wikipedia.org/wiki/Probabilidad_condicionada#La_falacia_de_la_probabilidad_condicional
25 febrero 2013 | 10:17
No me gusta hablar de enfermedades, Mati. ¿Qué ha pasado con el pollo ese que se comían no se cuantos y luego resultaba que sólo me lo comía yo…?. Con lo bonito que era ese ejemplo…
Estoy enfermo y loco de amor vida mía,
ni duermo, ni como, creo que ni respiro,
sólo sueño tenerte entre mis brazos,
y mirar de nuevo la luna reflejada en tus ojos,
esa luna llena asomada a la ventana
como un maravilloso regalo de los dioses
y siento que te deseo desesperadamente,
y adoro ese gesto tuyo, cuando levantas un poco la cabeza
para darme un beso, y luego vuelves a cerrar los ojos,
y toda la noche se pasa en un segundo.
(Lam)Yo deseo tu amor
(Sol) Yo deseo tu amor
(Mi) y tenerte a mi lado (Lam)
yo no puedo vivir
(Sol) yo no puedo vivir
(Mi) sin tu pelo en mis manos (Lam).
25 febrero 2013 | 10:33
Bayes también explicó porque si en un concurso de Televisión te dan 3 opciones, eliges una, y después te muestran de las 2 que quedan 1 erronea, tienes más posibilidades de ganar si cambias de opción que conservando tu primera elección.
¡Qué cosas!
25 febrero 2013 | 11:53
Pon las fórmulas, para deleitarnos.
25 febrero 2013 | 13:19
TEOREMA DE BAYES:
P(A|B) x P(B) = P(B|A) x P(A)
donde: P(A|B): probabilidad de A suponiendo que se ha dado el suceso B (A condicionado a B).
No es lo mismo la probabilidad de dar positivo en caso de que estés enfermo que la probabilidad de estar enfermo en caso de que hayas dado positivo.
La falacia de la probabilidad condicional radica en la gente supone que P(A|B) = P(B|A) y esto no es cierto.
25 febrero 2013 | 16:46
Bonito ejemplo de sensibilidad, especificidad, prevalencias, valores predictivos positivos y negativos!!! Apasionante! yo ahora por trabajo estoy inmersa en un proyecto de crear un software para predecir la pérdida dentaria en función de unos factores de riesgo y manejo mucho estos términos.
Un modelo altamente sensible pero con una prevalencia de la enfermedad baja, dará un modelo poco útil clínicamente para pronosticar la enfermedad.
A veces es conveniente un modelo que descarte la enfermedad (por ejemplo, es importantísimo que si pronosticas que alguien no tiene el SIDA, que no lo tenga realmente para evitar propagaciones) y a veces es mejor un modelo que prediga muy bien la enfermedad (si le dices a alguien que han de extraerle un riñón quirúrgicamente, que de verdad esté enfermo pues el coste de un falso positivo es muy alto…un riñón sano!! )
Es decir, siempres hay que sopesar los costes de un falso positivo y de un falso negativo y determinar cuál es más asumible.
27 febrero 2013 | 14:20
Si quereis saber un poco más acerca del teorema de Bayes y su historia, la editorial Crítica en su colección Drakontos,ha publicado recientemente «La teoría que nunca murió» de Sharon Bertsch McGrayne.
27 febrero 2013 | 21:04