BLOGS

So long, and thanks for all the fish

Todo pasa y todo queda y hoy nos toca pasar…

Esta es la última entrada en este blog de 20minutos.

 

thats-all-folks

¿¿Por qué??

Pues porque empezamos aquí por haber ganado el Premio 20Blogs al mejor blog de 2011 con nuestro Mati y sus mateaventuras y parte del premio era el alojamiento de un blog en el medio durante un año. Pues bien,  nos avisan por el pinganillo de que ese tiempo ya ha pasado,  de que tienen que recortar en gastos  y  de que nos tenemos que ir. Ea, pues ya está, ¿qué le vamos a hacer?

Nos pareció importante e ilusionante que se concediera  el Premio al Mejor Blog a uno dedicado a la divulgación de las Matemáticas y no solo porque era el nuestro, claro, sino porque fue recibido con sorpresa y entusiasmo por muchos compañeros de la divulgación científica. Y aún más que un medio que llegaba a tantos lectores, como 20minutos,  dedicara uno de sus blogs a la citada tarea de divulgación. Había lugar para la esperanza…

Pero el tiempo ha acabado y nos tenemos que marchar.

Nos da mucha pena dejar de aparecer por esta ventana, es la verdad, pero seguiremos adelante en nuestra lucha contra el anumerismo y en conseguir demostrar la belleza y la utilidad de las Matemáticas, aunque de vez en cuando sigamos encontrando molinos que resulten ser gigantes, que aquí la catalana y la andaluza somos mu pesás y estamos convencidas de que conseguiremos empapar con gotitas de mates a mucha gente.

autoras

Seguimos en nuestro blog original que tantas alegrías y, sobre todo, tantos amigos nos ha dado y seguiremos, como dice el título de nuestro libro, hasta el infinito y más allá.

No descartamos la posibilidad de que Mati, una profesora muy particular reaparezca en otro blog, sobre todo las entradas de la categoría La hora de las tareas. Y en cualquier caso, permanezcan atentos a sus pantallas (y a nuestras cuentas de Twitter, @RaquelberryFinn y @ClaraGrima) porque queda mucha Mati y va a aparecer también por sitios que vosotros no creeríais… ;)

Muchas gracias a todos los que nos habéis leído cada semana, de verdad, ha sido un año muy, muy fructífero en muchísimos sentidos.

Muchísimas gracias, de verdad.

Y muchas gracias también a 20minutos por la valentía de alojar un blog de Matemátcias durante un poco más de un año.

No podemos evitar despedirnos con la famosa frase de Douglas Adams:

So long, and thanks for all the fish

y recomendando aquello de

DONTPANIC2

Seguimos nadando por la red…

Un beso

Raquel y Clara

 

¿Polígonos de solo 2 lados?

–Vaya caras de susto que has puesto, Ven –dijo Sal en tono de burla.

–¿Yo? ¿Yo? –replicó el pequeño –. No he tenido miedo en ningún momento, campeón.

–Anda que no –respondió el gafotas con sorna.

–Te repito que no, Sal –insistió Ven –No me ha dado nada de miedo, ¿cómo puede dar miedo una en blanco y negro?

–Huy –Mati acababa de llegar –, será que no has visto Nosferatu

Mati20Min_51p

–Hola, Mati –la saludó el mayor –. Hemos visto King Kong y Ven tenía una cara de susto…

–Nonononono, Sal –se quejó Ven –… Eres un pesado, gafotas.

–Yo también me asusté con King Kong –interrumpió Mati tratando de desviar la atención –, pero es una película muy tierna y, sobre todo, me gusta mucho porque se ve Manhattan…

–Eso es verdad –la apoyó Sal en el discurso que se había dado cuenta de que se había pasado molestando a su hermanito –¿Te acuerdas de cuando fuimos a Manhattan a ver el Momath, Ven?

–Sí –contestó el pequeño aún muy serio.

–Qué suerte tienen los niños de Manhattan de tener un museo de mates tan molón, ¿verdad, Ven? –preguntó Sal de nuevo.

–Ajá –respondió Ven sin mirar a su hermano.

–Me encantaría ir otra vez a Nueva York –suspiró el gafotas –. A ti también, Ven, ¿verdad?

–Puede –dijo el pequeño mirando por el rabillo del ojo a Sal.

–Pues además de un museo de mates molón –intervino Mati –, Manhattan tiene una distancia propia.

–¿¿Una distancia propia?? –preguntó Sal mientras sus gafitas resbalaban por su nariz. Ven seguía serio pero ya había girado la vista hacia la pelirroja, Gauss resopló con alivio porque sabía que Mati los iba a tener entretenidos un rato.

–Sí –confirmó ella –, la distancia Manhattan.

–¿Qué es la distancia Manhattan? –quiso saber Sal.

Ya lo contamos un día que vosotros habíais salido a jugar –contestó Mati –, pero os la explico en un momento. Habitualmente, cuando queremos saber la distancia entre 2 puntos, lo que hacemos es medir con una regla, un metro… el segmento que los une, ¿no?

bilateros_1

–Toma, claro –dijo Ven – ¿Cómo lo vas a hacer si no?

–De muchas otras formas –dijo Mati –, pero digamos que la más usual es esa, y en ese caso lo que estamos haciendo es calcular o medir la distancia euclídea. Pero hay otras formas de medir distancias, y la distancia Manhattan es solo una de ellas.

–¿Cómo mide la distancia entre 2 puntos la distancia Manhattan? –preguntó el gafotas.

–Caminando por una cuadrícula, como es, aproximadamente, el plano de Manhattan –respondió Mati –. La distancia entre 2 puntos es la longitud del camino más corto formado por segmentos horizontales y verticales, que una a los dos puntos. Y hay muchos caminos con esta propiedad.

bilateros_2

–Pero, Mati –preguntó el pequeño –, si tomas distintos caminos, la distancia puede variar…

–No –dijo ella –, todos los caminos que podáis pintar sobre un papel cuadriculado uniendo 2 puntos, tienen la misma longitud. fíjate en nuestro dibujo anterior, todos miden 19.

–Cómo mola… –dijo Ven.

–Pero, ¿para qué sirve medir así, Mati? –preguntó Sal –Todo el mundo sabe que la distancia más corta entre 2 puntos es la línea recta.

–Sí, pero ¿qué pasa si la línea recta que une a 2 puntos en una ciudad atraviesa varios edificios? –preguntó ella –La distancia Manhattan es más real a la hora, por ejemplo, de diseñar rutas en ciudades.

–Es verdad… –dijo Ven con la boca abierta.

–Y además –continuó Mati –como ofrece distintas rutas, podemos escoger la que tenga menos semáforos, la que pase cerca de la casa de la chica que os gusta…

–¡Mola! –gritó Sal ruborizándose inmediatamente.

–Pero  –continuó Mati –, con la distancia Manhattan pasan otras cosas muy curiosas, ¿queréis que os cuente alguna?

–¡¡Sí!! –respondieron los niños al unísono.

–A ver –comenzó Mati –¿cuáles son los polígonos con menos lados que podemos dibujar?

Los niños se quedaron un rato pensando hasta que Sal dijo:

–Los triángulos, con menos de 3 lados no se puede encerrar una región, ¿no?

–Eso es –confirmó ella –. Pues con la distancia Manhattan se pueden dibujar polígonos de solo dos lados, los llamaremos… no sé… biláteros.

–Pero, vamos a ver, Mati –gritó Ven –, ¡eso es imposible!

–No, no lo es –contestó ella –. El truco está en que entre dos puntos, con la distancia Manhattan, hay infinitos segmentos distintos, si llamamos segmentos a los caminos de longitud mínima que unen los dos puntos. Por lo tanto, si tenemos 2 puntos y elegimos dos segmentos de la distancia Manhattan distintos que los unan, tenemos un polígono de 2 lados, que encierra un área.

bilateros_3

–Cómo mola… –el pequeño no podía cerrar la boca que se le había desencajado.

–Yo no veo que haya infinitos caminos de la misma longitud –dijo el gafotas.

–Pues sí –respondió la pelirroja –, porque puedes cambiar la cuadrícula al tamaño que quieras…

–Ah, vale –aceptó el gafotas.

–Pero además –continuó Mati –, pueden existir biláteros con los mismos vértices con los lados con la misma longitud y totalmente diferentes…

–Sí, hombre… –dudó el pequeño.

–Mira el siguiente dibujo –le pidió Mati –A la izquierda tenemos un bilátero de lado 2, es la única forma de dibujar un bilátero con esa longitud de lado entre dos puntos. Pero después, tenemos dos biláteros de lado de longitud 8, absolutamente diferentes.

bilateros_4

 

–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! –gritó Ven.

–¿Cuántos biláteros distintos de lado 8 se pueden dibujar? –preguntó Sal.

–Mira –dijo Mati –, esa es una buena pregunta, a ver si la respondéis. Podéis empezar por calcular cuántos biláteros distintos hay de lado 4, luego de lado 5…

Los niños dejaron de escuchar a Mati y se pusieron a dibujar biláteros en un papel cuadriculado.

Y tú, ¿te atreves a contarlos? Puedes dejar tu respuesta en los comentarios :)

 

El mundo según cien pequeños granujas

¡Muy buenas! Hoy quien se dirige a vosotros es la ‘pintamonas’, Raquel, porque resulta que Sal y Ven hacen un cameo en un libro de humor gráfico que he escrito y dibujado. Se titula Pequeños Granujas, tiene prólogo de Berto Romero, y lo ha publicado Panini Books esta temporada. Va dirigido a padres, madres, abuelos, abuelas, tíos, tías, educadores… vamos, a todos los que tengáis un ‘pequeño granuja’ cerca.  Y os lo quería presentar aprovechando este espacio que compartimos con Mati. Pero pensándolo mejor, os dejo un artículo de Jordi Canyissà, periodista especializado en cómics y humorista gráfico: él lo cuenta mucho mejor.

Espero que os guste :) ¡Y a ver si encontráis a Sal y a Ven en las páginas de Pequeños Granujas!

 

El dedo de un niño señaló al emperador que paseaba desnudo y la realidad se hizo evidente: el traje nuevo no existía. ¿Por qué nadie había se había atrevido a decirlo antes? Hizo falta un niño para decir alto y claro aquello que los adultos se negaban a ver.

Como en el cuento de Andersen, también son los niños los encargados de abrirnos los ojos en el libro Pequeños Granujas (Panini Books), escrito y dibujado por Raquel Garcia Ulldemolins, con un subtítulo que es toda una advertencia: “Mamá, papá… no sabéis nada de la vida”. Ellos, los pequeñajos, sí que saben de la vida y nos lo cuentan a lo largo de casi un centenar de viñetas. La lista de los temas que tratan es larga y variada: va de la escuela a la tele, de los hermanos a la fama, y de los platos de verdura al sexo (que, mira tú por donde, pueden estar relacionados).

PG_Pag_70p

Este mundo, visto por sus ojos, es también el nuestro pero hacen que lo veamos de una manera diferente. Entre la mirada fresca de los niños y la mirada experimentada de los adultos existe una distancia divertida y reveladora a la vez. Sus comentarios primero nos arrancan una sonrisa y, después, nos invitan a repensar más de una idea.

Como bien dice el humorista Berto Romero en el prólogo, este libro es como un niño: “unas veces es profundamente sabio; otras, ingenuo y feliz en su ignorancia”. Raquel Garcia Ulldemolins ha sabido plasmar sobre el papel la voz de los más pequeños de una manera fresca y transparente, sin aditivos ni colorantes. Sus niños hablan como los niños, no como adultos en miniatura. Hablan sin tapujos, tal y como son. Y son tal y como les vemos en este libro: a veces inocentes y temerosos, a veces altivos y orgullosos, pero siempre espontáneos, directos y con el punto justo de ternura.

PG_Pag_59p

Quien más, quien menos reconocerá en alguna de estas criaturas el ingenio espontáneo de sus hijos, sobrinos o de los hijos de sus amigos.

Estos Pequeños granujas se presentan en escenas de una viñeta por página. Cada página con un pequeño granuja distinto, excepto en unos pocos casos en los cuales el pequeño protagonista reaparece creando un efecto de continuidad (o de running gag si se prefiere) que contribuye a dar mayor coherencia al conjunto.

 

Protagonistas cercanos

Los dibujos lucen un trazo de pincel flexible. Un trazo que recrea con dulzura los peinados, los bolsillos de los pantalones vaqueros, el estampado de los vestidos y distintos modelos de zapatos. Son detalles que no saturan las viñetas y que, en cambio, ayudan a que los pequeños protagonistas del libro sean más cercanos. Son detalles que humanizan el dibujo.

En un prólogo para un libro de la serie Calvin & Hobbes, Charles Schulz confesaba sentirse maravillado por la minuciosidad con la cual su colega Bill Watterson dibujaba elementos aparentemente menores como los zapatos o las mesillas de noche. Los personajes de Pequeños granujas no están muy lejos de esos otros granujillas que son Charlie Brown o Calvin. Ellos, también, como en el cuento de Andersen, nos hacen sonreír y, a la vez, nos ayudan a ver el mundo con otros ojos. Y no os atreváis a decirles que no tienen razón porque seguro que os contestan con una réplica inesperada. Los niños son así.

 

Jordi Canyissà

 

coberta_PGranujasp_p

Pequeños granujas. Mamá, papá… no sabéis nada de la vida

Raquel Garcia Ulldemolins

Panini Books, noviembre de 2012

Lee el resto de la entrada »

10 consejos para dar consejos

Todos hemos visto alguna vez esas listas que aparecen en internet de gente experta en algún tema que nos dan consejos sobre prácticas convenientes o no en alguna red social o en algún apartado específico de la red. Normalmente, además, son consejos negativos: de cosas que no debemos hacer. En muchos casos, dichos consejos están dictados por el sentido común, en otros después de observar ciertas prácticas abusivas por parte de algunos usuarios y muchas son simplemente un corta y pega de otros consejos elaborados por otros. Son comunes las listas de prácticas de buena costumbre en Twitter, en Instagram o en Facebook. La verdad es que yo hubiera agradecido que algunos comentaristas de blogs se hubieran leído alguna lista de consejos sobre comentarios y la aplicaran. Así que me voy a animar y voy a dar una de dichas listas, casi se podría considerar una metalista, puesto que voy a dar consejos para elaborar cualquiera de esas listas de consejos:

Allá va mi lista:

10 consejos que has de seguir cuando quieras elaborar una lista de consejos sobre cualquier tema en internet:

  1. No dé consejos.

Creo que he terminado mi lista un poco antes de lo previsto, pero ahora voy a tratar de justificarla y mi justificación, aunque parezca imposible, viene de la mano de algunos resultados matemáticos. Me explico:

Existen algunos problemas de optimización (encontrar el mejor valor que puede alcanzar una función) que no pueden resolverse por métodos clásicos y que, si tratamos de resolverlos con un ordenador, nos encontramos con un problema bastante serio como se verá. Para que se me entienda voy a escoger el más típico de dichos problemas de optimización. Ya hablamos de él en algún momento: el problema del viajante (TSP): en dicho problema, expresado de forma simple,se trata de visitar un conjunto de ciudades volviendo al punto de partida (se conocen las distancias entre ellas) recorriendo la menor distancia posible. dijkstra_1

Por extraño que parezca, a pesar de lo simple de su planteamiento, si el número de ciudades no es muy bajo no existe ningún método que nos permita encontrar la ruta óptima. Uno puede pensar que probando todas las combinaciones de ciudades se podrá encontrar la mejor. Pero nos encontramos con la dificultad de que todas las combinaciones, en general, es un número ingente. Supongamos que tenemos que visitar 100 ciudades, todas las combinaciones es 100! y este es un número más grande de lo imaginable (el número de partículas elementales en el universo observable es mucho menor). Por lo tanto, hemos de renunciar a encontrar la ruta óptima y limitarnos a conseguir una ruta aceptablemente buena. Para conseguir dicha ruta aceptablemente buena, un procedimiento que se suele utilizar es el llamado de Algoritmos Genéticos ¿Cómo funcionan los algoritmos genéticos? Pues los algoritmos genéticos tratan de simular el proceso darwinista mediante el cual la naturaleza consigue especies que se adapten a su medio. Voy a intentar explicarlo con el ejemplo de las ciudades:

Para simplificar, supongamos que tenemos 6 ciudades a las que denominamos A, B, C, D, E y F. Tratamos de encontrar la permutación óptima de dichas letras que nos de la distancia mínima. Los elementos que componen nuestro algoritmo genético son los siguientes:

En primer lugar necesitamos una población inicial con el número de individuos que decidamos de antemano, para obtener dicha población inicial nos basta con encontrar aleatoriamente tantas permutaciones como nos sean necesarias. Así entre todas las permutaciones posibles escogemos por sorteo unas cuantas. Supongamos que, en nuestro caso, la población inicial es de 6 individuos y construimos dichos individuos aleatoriamente y obtenemos los siguientes seis: ABEFDC, ABCEFD, AEBCFD, ACDBEF, AEFCDB y ADCBFE (empezamos siempre en la A que es donde está el punto de partida y entendemos que, al final, hemos de volver a A) . Como estos individuos los hemos construidos aleatoriamente, puede que ninguno de ellos se acerque, ni de lejos, a la solución óptima, pero nos da igual, eso no es importante. Lo siguiente que necesitamos es una función que nos diga cómo de buenos son los elementos de nuestra población. En este caso la función puede ser la distancia que tenemos que recorrer si seguimos el orden de cada permutación; esto es: para ABEFDC (y para todas las demás permutaciones), medimos la distancia de A a B, le sumamos la distancia de B a E, de E a F, de F a D, de D a C y de C a A, para obtener la distancia total de ABEFDC.

Así, cada uno de los individuos de nuestra población tendrá asignado un número y, en nuestro caso, cuanto más pequeño sea dicho número, mejor, más corta será la distancia que tengamos que recorrer. Esta función es lo que se llama la aptitud de los individuos, por lo tanto, en nuestro ejemplo cuanto más pequeña sea la distancia asociada a una permutación, más apta será dicha permutación.

Ahora le asignamos papeletas a cada individuo para realizar un sorteo, cuanto más apto sea un individuo (menos distancia tengamos que recorrer), más papeletas le asignamos para el siguiente sorteo que consiste en un proceso de selección: vamos a realizar emparejamientos por puro sorteo (pero los mejores individuos tienen más papeletas) y vamos a construir 3 parejas mediante dicho sorteo (puede que un mismo individuo salga dos o más veces en dicho proceso de emparejamiento). Supongamos que una de dichas parejas sea la formada por los individuos ABCEFD y ACDBEF, ahora vamos a cruzar a dichos individuos, vamos a obtener sus hijos, para construir la siguiente generación.

Hay varios métodos para hacer esto, en algunos casos es más simple describir dicho proceso, en otros un poco más complicado. Propongamos uno: hacemos otro sorteo y escogemos un lugar entre 2 y 4: supongamos que sale 3: eso significa que al cruzar ABCEFD con ACDBEF, vamos a obtener dos hijos, el primero escogemos las tres primeras ciudades de ABCEFD: ABC y el resto de las ciudades las recorremos: después de C, en el orden en el que aparecen en ACDBEF: después de C está D, después estaría B, pero como por B ya hemos pasado, nos la saltamos y vamos a E y por último a F; por tanto, el primer hijo sería ABCDEF. Ahora hacemos lo mismo empezando por ACDBEF, así las tres primeras ciudades serían ACD, en ABCEFD, la siguiente ciudad después de D es A, que nos la saltamos, después B, después C que nos la saltamos porque ya la hemos visitado, después E y por último F. Por lo tanto, a partir de ABCEFD y ACDBEF hemos obtenido dos hijos: ABCDEF y ACDBEF (que, curiosamente, es igual que uno de sus padres, pero no nos preocupamos por ello).

Por lo tanto, como teníamos tres parejas y de cada pareja hemos obtenidos dos hijos, tenemos ahora seis individuos de nuevo. Esos individuos los hemos obtenido intercambiando la información genética de la población inicial. Pero ahora interviene un elemento esencial, sin él el método no funcionaría, sin él la naturaleza no habría obtenido los individuos que mejor se adaptan a su habitat: la mutación. Mutaciones ocurren pocas y la mayoría son regresivas: dan peores individuos, pero , muy de vez en cuando, producen individuos mejor adaptados y sin ella el proceso darwiniano no tendría sentido. Así lo que hacemos es, una vez obtenidos los hijos, realizamos un nuevo sorteo pero tal que la probabilidad de ser mutado sea muy pequeña (digamos 1 entre 1000), por lo tanto, de cada 1000 individuos mutamos aproximadamente a 1. Supongamos que uno de los hijos que hemos obtenido en el proceso anterior ABCDEF sale mutante ¿qué hacemos? realizar otro sorteo (ya llevamos unos cuantos) y sacamos dos números entre el 2 y el 6, por ejemplo 3 y 5, pues intercambiamos las ciudades que aparecen en tercer y quinto lugar para obtener ABEDCF.

Resumiendo:

a partir de la población inicial, escogemos parejas (por un sorteo asignando más papeletas a los mejores individuos), cruzamos dichas parejas (en un proceso en el que se intercambia la información de dichas parejas) y puede que mutemos algún individuo y con estas tres operaciones hemos construido la siguiente generación a la que le volvemos a aplicar el proceso y así tantas veces como se decida en un principio. Lo curioso es que hay un resultado matemático que nos asegura que, con este método, vamos a aproximarnos a la solución óptima tanto como queramos (cuantas más generaciones mejor) y que si algunos de los elementos no lo tenemos en cuenta puede que nunca nos aproximemos a dicha solución porque nos quedemos estancados en lo que se llama un óptimo local y nunca nos aproximemos al óptimo global que es lo que estamos buscando.

maximo

Y ¿qué tiene que ver todo esto con las listas de consejos en internet?

Pues que si seguimos las listas de consejos, no estamos siguiendo un proceso evolutivo: nos estamos estancando en óptimos locales ya que hacen que todos los individuos se parezcan y eliminamos diversidad que es fundamental para obtener mejores elementos. En algún sentido se puede decir que el mestizaje es fundamental para la mejora de la población (¿hacen alta más argumentos aún para probar lo estúpido del racismo?) y que poblaciones muy endógamas (como las familias reales), suelen degenerar y dar individuos muy defectuosos.

Mezclénse, por favor… Huy, al final he dado un consejo ;)

 

Pito, pito, gorgorito…

–¡No vale! –protestó Ven –Rífalo otra vez, Sal.

–Pero si ya lo hemos rifado 3 veces, Ven –respondió el gafotas –. Tú la quedas.

–¡Anda ya! ¡Ni hablar! –protestó el pequeño –Siempre me toca a mí, ¡has hecho trampa! ¡Eres un tramposo!

–¡Mentira! ¿Cómo se hace trampa al Pito, pito, gorgorito? –insistió Sal.

–Pero, vamos a ver, gafotas –dijo el pequeño –, ¿por qué nunca te toca a ti?

–¿Qué le pasa a estos chicos? –Mati acababa de llegar.

Mati20Min_50p

–Hola, Mati –la saludó Sal –. Este Ven, que es un tramposo.

–Sí, claro, yo, yo soy el tramposo –bufó su hermano –. Cada vez que vamos a jugar al escondite me toca a mí quedarla el primero.

–¿Cómo lo sorteáis? –preguntó la pelirroja.

–Con Pito, pito, gorgorito –le contestó Sal.

–¿Y siempre empiezas con Ven? –siguió indagando Mati.

–Sí, claro –aceptó el gafotas.

–Pues, en ese caso –dijo ella –siempre la quedará Ven, porque el número de golpes de voz es un número impar.

–¿¿Cómo?? –preguntó el pequeño.

–A ver –pidió ella –, ¿cómo es vuestra canción de ‘pito, pito’?

Pito, pito, gorgorito, ¿dónde vas tú tan bonito? A la era de mi abuela. Pim, pam, fuera –cantó Ven un poco enfadado.

–Vamos a contar –les dijo — el número de golpes de ritmo que damos al frasear esta canción:

pitopito

 

15 golpes de ritmo –dijo el pequeño.

–Efectivamente –dijo Mati –, y como es impar, siempre acabará en el primer niño.

–¿Por qué, Mati? –preguntó el gafotas –¿Y si hay 3 niños?

–Si hay 3 niños –contestó ella –acabará en el último, en el tercero, que normalmente es el  que sortea.

–¿Cómo lo sabes? –preguntó el pequeño desconfiado.

–Se trata de dividir 15 entre el número de niños –respondió Mati –y quedarse con el resto. Si son dos niños, el resto es 1, por lo tanto, le toca al primero. Si son 3, el resto es 0, eso significa que ha dado  vueltas completas y termina en el último niño.

–¿Y si son 4 niños? –preguntó Ven –Ah, ya, sobran 3, la queda el tercero… ¡mola! Pero ya no la sorteas tú nunca más, gafotas.

–Esto me recuerda… –interrumpió Mati tratando de desviar la conversación –al Problema de Josefo

–¿Josefo? ¿Qué es eso? –preguntó Ven con curiosidad.

–Imaginaos que queremos sortear quién la queda al juego del escondite –les dijo –. Los ponemos todos en círculo, el primero lo dejamos, el segundo se salva, el tercero lo dejamos, el cuarto se salva… y así, vamos saltando uno cada vez, hasta que solo queda uno…

–Pero después de la primera vuelta –interrumpió Sal –, todos los impares habrán quedado.

–Sí, claro –aceptó ella –pero volvemos a repetir el procedimiento. Pensemos que tenemos 12 niños, en la primera vuelta, salvamos de quedarla a los pares

circulo_1

 

 

–En la siguiente vuelta –les dijo –, se salvarían el 3, el 7 y el 11:

circulo_2

 

 

–Si repetimos el proceso –siguió la pelirroja –, en la siguiente se salvan el 1 y el 5

circulo_3

 

–¡Y la queda el 9! –gritó Ven –Nunca me pondré en ese sitio.

–Si lo hacemos con distintos números de jugadores –les dijo Mati –tendríamos:

tabla_1

 

–¿Notáis algo? –les preguntó la gafotas.

–No –dijo Ven muy apagado.

–Pues fijaos –anunció ella –que si el número de jugadores es una potencia de 2, siempre la queda el primero:

tabla_2

 

–Y ¡mirad! –gritó  Ven –Entre los los 1, están los impares por orden.

–Es verdad –dijo Sal –¿Eso pasa siempre?

–Siempre –aseguró Mati.

–¿Y si hay 39 niños? –preguntó el pequeño –¿Dónde me pongo?

–Si hay 39 niños –dijo Mati –, buscamos la potencia de 2 más cercana a 39, que es…

–¡32! –gritó el gafotas.

–Eso es –dijo ella –, para 32 niños la queda el 1, y ponemos para los siguientes la sucesión de impares:

tabla_3

 

–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! –exclamó Ven.

–Mola mucho, Mati… –añadió.

–¿Jugamos al escondite? –preguntó ella –Yo la quedo, yo la queeeeeeeeeeeedo…

El algoritmo de los cupidos 2.0

Tiempo ha que Cupido disparaba sus flechas más o menos ciegamente. Como todos en estos tiempos, hasta el dios del amor se ha modernizado y actualmente los portales de citas o encuentros por internet se han convertido en una herramienta de auxilio al niño alado cada día más utilizados y cada vez más lucrativos para sus creadores. Pero, ¿como asignan las parejas dichos portales? ¿actúan ciegamente como el dios Cupido? Lo cierto es que no y que, dada la gran cantidad de gente que se apuntan a ello, es necesario utilizar algoritmos que propongan parejas de forma eficaz, con lo cual se pretende que la mayor parte de los usuarios queden satisfechos.

Naturalmente cuanto más gente se apunte a un portal concreto, más posibilidades existirá de encontrar la persona adecuada para alguien nuevo que se apunte, pero, a la vez, más difícil será manejar la cantidad de datos necesarios para realizar los emparejamientos. Por lo tanto, es necesario diseñar un procedimiento que permita determinar el tipo de datos que hay que saber de cada persona y, después, en función de dichos datos, tratar de realizar tantos emparejamientos satisfactorios como sea posible.

Afortunadamente hay un charla TED que nos explica cómo se hace esta asignación. Para quien no lo sepa TED  (copiando de la wikipedia) “es una organización sin ánimo de lucro dedicada a las “Ideas dignas de difundir” (del inglés: Ideas worth spreading). TED es ampliamente conocida por su congreso anual (TED Conference) y sus charlas (TED Talks) que cubren un amplio espectro de temas que incluyen ciencias, arte y diseño, política, educación, cultura, negocios, asuntos globales, tecnología y desarrollo, y entretenimiento”. Numerosos y muy destacados conferenciantes han participado en las charlas TED. En una de las lecciones TED,  Como decía, en una charla TED Christian Rudder, fundador de uno de dichos portales de citas y encuentros, relata las matemáticas involucradas en el funcionamiento de dicho portal. Ya que métodos de asignación más o menos ciegos (como Cupido) o basados en algoritmos de emparejamiento de grafos como los que hemos contado en alguna ocasión, incluso aquellos métodos que tienen en cuenta preferencias de los participantes, no son válidos dadas las características dinámicas del problema que estamos considerando.

Christian Rudder. Fuente.

Christian Rudder. Fuente.

Veamos qué es lo que nos cuenta Christian Rudder:

En primer lugar, se han de acumular tantos datos como sea posible: hemos de conocer las preferencias de aquellos que se apuntan al portal, se les ha de formular preguntas, pero las preguntas han de tener varias características para que su información sea eficaz: las respuestas a dichas preguntas han de ser o bien un simple o no o un número: han de ser fácilmente cuantificables. Tanto en las preferencias de cada uno como en las características o preferencias que deseamos de nuestro posible pareja. Algunas de dichas preguntas serían: ¿Te gustaría tener hijos algún día? ¿cuántas veces te cepillas los dientes? ¿te gustan las películas de miedo? ¿crees en dios? 

Pero, naturalmente, no todas las preguntas (o las respuestas a ellas) han de valorarse igualmente, algunas son más significativas que otras, así se le pide a los usuarios que clasifiquen la importancia de cada una de las preguntas; por ejemplo, para mi puede ser poco significativo si a alguien le gustan las películas de miedo, pero fundamental que se cepille los dientes al menos tres veces al día (y, a ser posible, que esas veces sean después de las comidas, pero esto no sé si se llega a preguntar).

Así, estos tres elementos para cada una de las preguntas formuladas (la respuesta del usuario, la deseada por su posible pareja y la importancia que le demos a dicha pregunta) son los que alimentan el algoritmo de asignación de parejas. Y lo único que hay que hacer es convertir todas las respuestas en un número por cada pareja potencial, de tal forma que la información más o menos abstracta obtenida de las respuestas se conviertan en algo manejable por el ordenado como es un número. Naturalmente confiamos en que, cuanto mayor sea dicho número, más posibilidades tenemos de construir una pareja adecuada. La pregunta es. ¿cómo construimos dicho número? Y la respuesta es relativamente simple, veámosla con un ejemplo: supongamos que se formulan solo dos preguntas y tratemos de asignar un número a las respuestas de dos parejas para ver cómo de afines son. Las dos preguntas son:

1) ¿Te gustan mucho las historias de Mati?  Y las posibles respuestas son: mucho, bastante, poco, nada.

2)  ¿Eres vegetariano/a? Y las posibles respuestas son o no.

Como hemos dicho antes, también se pregunta sobre la importancia de ese tema a los distintos candidatos. Supongamos que obtenemos estas respuestas:

De la persona a la que queremos asignar una pareja (llamemos 1 a esta persona):

tarjeta1

 

De un posible candidato (llamado A) a emparejarse con 1:

tarjeta2

De otro posible candidato (llamado B) a emparejarse con 1:

tarjeta3

Tratamos de darle un número a las parejas 1-A y 1-B para determinar cuál de las dos es más compatible.

En primer lugar lo que haremos será asignar un valor a las importancias que le damos a las respuestas de los demás. Así si decimos que la pregunta X no es importante, a dicha pregunta le asignamos un valor 0, si es poco importante le asignamos un valor 1, bastante importante, un valor 10, a muy importante (mucho), le asignamos un valor 50 y si decimos que es obligatoria, le asignamos un valor 250.

Así como 1 ha dicho que la pregunta 1 es poco importante, le asignaremos a las respuestas de A y B como máximo ese valor si coincide con los deseos de 1 (que era que le gustaran mucho las historias de Mati). Puesto que 1 ha dicho que la primera pregunta es poco importante (1 punto) y que la segunda es bastante importante (10 puntos) el total al que se puede aspirar por parte de y de B en el grado de satisfacción de  1 es de 11 puntos. De esos posibles 11 puntos consigue 1 en la pregunta 1 puesto que su respuesta cumple los deseos de 1 y 0 en la pregunta 2 puesto que no es vegetariano contrariamente a lo que deseaba 1. Por tanto A  tiene un total de 1 punto sobre 11 (valor_de_A_para_1=1/11). Sin embargo, saca 0 puntos en la primera pregunta ya que no cumple los deseo de (podríamos matizar esto ya que su respuesta no difiere en mucho) y 10 puntos en la segunda pregunta puesto que sí es vegetariano, tal y como deseaba 1, así que obtiene 10 puntos de 11  (valor_de_B_para_1=10/11).

El siguiente paso es hacer lo mismo con respecto a los deseos de y de B. A había dado poca importancia a las dos preguntas, luego lo máximo que se puede alcanzar es 2 puntos. saca 0 puntos en la primera pregunta, pero saca 1 punto en la segunda, así que obtiene un total de 1 punto sobre 2 posibles (valor_de_1_para_A=1/2). Con respecto a los deseos de B, este había otorgado poca importancia a la primera pregunta (1 punto en disputa) y mucha importancia a la segunda pregunta (50 puntos en disputa), de esos 51 puntos posibles, A obtiene solo 1 correspondiente a la primera pregunta, así que tiene 1 punto sobre 51 (valor_de_1_para_B=1/51).

Entonces ya sabemos que para el mejor candidato es B que obtiene 10/11 puntos, mientra que obtiene 1/11, pero desde el punto de vista de Bes un mal candidato puesto que solo obtiene 1/51 puntos ¿Cómo determinamos qué pareja es la mejor? Pues mediante la media geométrica de los dos valores que involucran a cada pareja (la media geométrica de dos valores es la raíz cuadrada del producto de los dos valores). Así a la pareja 1-A le asignamos como valor la raíz cuadrada de (1/11)(1/2) y ese valor es 0,213 y a la pareja 1-B le asignamos la raíz cuadrada de (10/11)(1/51) cuyo valor es 0,133. Luego concluimos que la pareja más factible (con valores muy bajos en este ejemplo) es la pareja 1-A.

Alguien se podría preguntar el porqué de usar la media geométrica en vez de la media aritmética. La razón es que en este tipo de cuestiones, la media geométrica es más fiable; imaginad que tenemos dos parejas, en la primera pareja ambos obtienen una puntuación de 1/3 con respecto al otro y en la segunda pareja se obtienen valores muy desiguales, así uno obtiene una puntuación de 2/2 y el otro un 0/2. Si realizamos la media aritmética de ambas parejas, para la primera queda 1/3 y la segunda 1/2, luego esta última obtiene mejor puntuación, sin embargo, en esa segunda pareja, uno de los individuos ha obtenido un 0 con respecto al otro, lo cual quiere decir que es totalmente incompatible y esa pareja está condenada al fracaso. Si calculamos la media geométrica, eso queda mejor reflejado ya que la media geométrica de la primera pareja es 1/3, mientras que de la segunda es 0, mostrando así la inviabilidad de esta segunda  pareja.

Evidentemente, una vez que se ponga en contacto la pareja asignada por el algoritmo, los miembros de esta deberían poner un poco de su parte y tratar de enamorar al otro por los medios que han existido siempre porque ningún algoritmo sustituirá a una caricia, a una mirada, a un beso…

Interpolando que es gerundio

–¿Lo has anotado, Ven?

–Claro, Sal, ¿qué te crees? Soy un gran científico.

–Bueno, no siempre Ven, recuerdo aquella vez que…

–Lo siento mucho. Me equivoqué. No volverá a ocurrir.

Nuestros dos amiguitos están haciendo un experimento para ver cómo se enfría el agua que han calentado en el microondas. Para ello, el pequeño Ven está anotando en su cuaderno de científico la temperatura del agua del vaso cada 30 segundos. Sal es el encargado de las mediciones con un termómetro y Gauss permanece atento garantizando la no manipulación de los datos.

–¿Estáis listos, chicos? –pregunta Mati entrando en la habitación –Tenemos que irnos.

–¿Ahora? –preguntó Sal un poco disgustado.

–Sí –dijo ella –. Tenéis que haceros la foto para el DNI si queréis viajar a Lyon a visitar a Fis.

–¿Podemos ir mañana, Mati? –preguntó Ven –Si nos vamos ahora no podemos terminar el experimento…

Mati20M_49p

–Me temo que no, cielo –respondió Mati –. Tenemos que ir ahora.

–Vaya –se quejó Sal sin mucho entusiasmo –, ahora no sabremos cuánto tarda en enfriarse el agua…

–Si queréis –les propuso Mati –, podéis interpolar los datos que habéis obtenido y predecir qué ocurriré dentro de un rato…

–¿Como nos enseñaste el otro día? –preguntó Sal.

–Sí –dijo ella –. Podéis hacerlo como el otro día, resolviendo el sistema de ecuaciones, o bien os puedo enseñar otro método.

–¿Tenemos que encontrar una parábola? –preguntó Ven.

–Depende del número de datos del experimento que tengáis –respondió Mati –, si son solo 3 datos, el polinomio que pasará por esos 3 dato será una parábola. Pero si son más puntos no tiene por qué serlo.

–No me entero, Mati –terminó aceptando el pequeño.

–Voy a tratar de explicarlo –propuso la pelirroja –.  Supongamos que medimos la temperatura en el instante 0, cuando sacamos el agua del microondas y está a 75ºC. Al cabo de 30 segundos, está a 70ºC y los 60 segundos está a 60ºC, a los 90 a 45ºC y a los 120 segundos a 25ºC. Podemos representar en el plano estos datos, dibujando los puntos (0,75), (30, 70), (60, 60), (90, 45) y (120,25). 

interpola_1

 

–Si ahora –les dijo –, conseguimos una curva que pase por todos los puntos amarillos, por ejemplo un polinomio que son las funciones más sencillas…

interpola_2

 

 

–…podríamos intuir cuál era la temperatura  a los 45 segundos –siguió Mati –viendo que valor de la curva corresponde a 45:

interpola_3

 

–¡Toma! ¡Claro! –exclamó Ven –¡Qué chulada!

–Se trata entonces –dijo Sal –de calcular el polinomio que pasa por los 5 puntos amarillos, ¿no?

–Efectivamente –confirmó la gafotas –, como vimos el otro día, como son 5 puntos buscamos un polinomio de grado 4 (o menos) o menor con las siguientes pistas:

interpola_4

–¡Hala! ¡Qué sistema tan grande, Mati!  –exclamó Ven.

–Lo es –aceptó ella.

–¿Lo resolvemos con el método de Gauss? –preguntó el gafotas.

–Se puede resolver con el método de Gauss –dijo la pelirroja — pero os voy a a enseñar otro método de interpolación que calcula el polinomio que pasa por los puntos que queráis sin tener que resolver ningún sistema de ecuaciones.

–Sí, hombre…–dijo Ven –¿Cómo?

–Con el método de interpolación polinómica de Lagrange –anunció Mati –Pero como tenemos que ir a hacernos las fotos y tenemos un poco de prisa, os lo contaré sobre un ejemplo más sencillo, con 3 puntos, no con 5. Si lo quieres con más puntos, se hace igual.

interpola_5

 

–3 puntos…–comenzó diciendo Sal que pensaba en voz alta –, nos sale un polinomio de grado 2… o menos… una parábola, ¿no?

–Efectivamente, Sal –confirmó ella –, como máximo, un polinomio de grado 2. Vamos a etiquetar las coordenadas de estos 3 puntos con x1, x2, x3, y1, y2 e y3, así:

interpola_6

–Ajá –dijo Ven con cara de interesante.

–Para construir el polinomio que pasa por estos 3 puntos –continuó Mati –vamos a construir primero 3 polinomios más pequeñitos, los polinomios de Lagrange, uno por cada punto.

–Ajá –repitió el pequeño.

–Al polinomio correspondiente al primer punto, le llamamos L1 y se calcula como el producto de (x-x2) por (x-x3). Si hubiera más puntos, multiplicaríamos también por (x-x4), por (x-x5), etc… Todos los (x-xk) posibles menos (x-x1) porque estamos con el polinomio L1. Y ahora dividimos por la misma expresión que tenemos en el numerador, pero sustituyendo x por x1. así:

interpola_7

 

–Vamos a sustituir x1, x2, x3 por sus valores, 0,3 y 6 –propuso ella –, a ver que nos queda:

 

interpola_8

 

–Ya tenemos el primer polinomio de Lagrange, L1 –anunció Mati.

–Mola –dijo Sal.

–Para calcular el segundo polinomio de Lagrange,  L2 –continuó ella –, ponemos en el numerador el  producto de (x-x1) por (x-x3). Si hubiera más puntos, multiplicaríamos también por (x-x4), por (x-x5), etc… Todos los (x-xk) posibles menos (x-x2) porque estamos con el polinomio L2.  Y en este caso  dividimos por la misma expresión que tenemos en el numerador, pero sustituyendo x por x2. Vamos a ver que nos queda:

interpola_9

 

 

–Ea –dijo Ven –, pues ya tenemos L2, el segundo polinomio de Lagrange, ¿no, Mati?

–Efectivamente, Ven –confirmó esta –.Nos queda solo el tercero, porque tenemos 3 puntos.

–Vamos allá –dijo Sal con alegría.

–Para calcular el tercer polinomio de Lagrange,  L3 –anunció Mati –, ponemos en el numerador el  producto de (x-x1) por (x-x2). Si hubiera más puntos, multiplicaríamos también por (x-x4), por (x-x5), etc… Todos los (x-xk) posibles menos (x-x3) porque estamos con el polinomio L3.  Y para este polinomio,   dividimos por la misma expresión que tenemos en el numerador, pero sustituyendo x por x3. Nos quedará:

interpola_10

 

 

–Y ahora, ¿qué hacemos? –preguntó Ven impaciente.

–Ahora vamos a construir el polinomio interpolador que pasa por los 3 puntos usando L1, L2 y L3 así –respondió ella –: multiplicando L1 por y1, L2 por y2 y L3 por y3, y sumando los resultados:

interpola_11

 

 

–Sustituimos –continuó Mati — y1, y2 e y3 por sus valores 7, 7 y 6:

interpola_12

–Y por último –dijo la pelirroja –, sustituimos los polinomios de Lagrange por los que hemos calculado antes:

interpola_13

 

–¿Ya hemos terminado? –preguntó el pequeño.

–Casi –contestó ella –. vamos a simplificar este polinomio…

interpola_14

 

–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! –gritó Ven.

–Es una parábola –dijo Sal.

–Eso es –confirmó Mati –.Es esta parábola:

interpola_15

 

–Pero fijaos, chicos –señaló Mati –, que los valores y1, y2 e y3 solo los hemos usado al final para calcular el polinomio interpolador. Esto quiere decir, que si hacemos una medida diferente en los instantes 0, 3 y 6, de otra magnitud, por ejemplo, contenido de sal en el agua, para calcular el polinomio interpolador de los datos sobre salinidad, solo tenemos que sustituir y1, y2 e y3 por los datos obtenidos en esa medición.

–Qué interesante… –masculló el gafotas.

–¿Y si hacemos el polinomio de (0,75), (30, 70), (60, 60), (90, 45) y (120,25)? –preguntó el pequeño.

–Nos sale… –dijo Mati misteriosa.

–¡Un polinomio de grado 4! –gritó el gafotas y añadió bajando la voz –O menos…

–Menos, en este caso –anunció ella –, porque nos sale esta parábola: - x2/360- x/12  + 75

interpola_16

 

–Chulísima –dijo Sal –.Ahora podemos saber cómo se enfría el agua…

–Bueno, bueno –dijo Mati –, nos hemos inventado los datos, pero en cualquier caso, las curvas de enfriamiento las estudió Newton, le podéis preguntar a Fis cuando lo veais. Pero, ahora, ¡vamos que se nos hace tarde!

En ocasiones veo Voronois

Hace unos cuanto días, mi santo (espero que Elvira Lindo me perdone por este pequeño plagio que lo ha de considerar como un homenaje), que estaba leyendo el libro de Nate Silver “The signal and the noise” (La señal y el ruido), me señaló una imagen muy curiosa.

Para quien no lo recuerde Nate Silver se hizo bastante famoso después de las últimas elecciones norteamericanas ya que fue capaz de predecir el resultado en todo y cada uno de los estados sin errores (en las anteriores elecciones solo se equivocó en uno de los estados). El método de Silver consiste en acumular tantos datos como sea posible (en el caso de las elecciones: todas las encuestas que estén disponibles así como otros indicios a partir de declaraciones de los candidatos, elementos influyentes, etc.) y entre esos datos tratar de discernir cuáles constituyen la señal (la parte importante a partir de la cual podemos extraer conclusiones) y cuáles son el ruido inherente a toda extracción de datos masiva y que hemos de saber eliminar.

Pues bien, la imagen que me mostraba mi santo era la de la ruta seguida por la flota japonesa para el ataque a la base americana de Pearl Harbor que marcó la entrada de EE. UU. en la Segunda Guerra Mundial e ilustraba que dicha ruta trataba de evitar la detección por parte de los americanos (aunque sostiene Silver que había suficientes señales que fueron obviadas y que hubieran permitido evitar el ataque).

A mi santo aquella imagen le llamó poderosamente la atención y sabía que a mi también me la iba a llamar ¿Por qué? Voy a tratar de explicarlo a continuación.

Una de las páginas con información más exhaustiva sobre la Guerra del Pacífico es The Campaigns of the Pacific War, allí podemos encontrar la ruta que siguió el grueso de la flota japonesa.

ruta

 

Más de uno dirá que la ruta es un tanto extraña, que lo lógico hubiera sido ir en línea recta y, aún más, no haber salido de una base remota de una pequeña isla en el punto más al norte de Japón. Sin embargo, todo tiene su sentido, pero antes permitidme hablar de un viejo “amigo”: Voronoi.

Giorgy Voronoi (1868–1908) fue un matemático que estudió lo que se llama en la actualidad los diagramas de Voronoi. He hablado alguna vez sobre dichas estructuras que aparecen casi en cualquier parte (por ejemplo, aquí y aquí, hasta gané un premio por esta última entrada). Pero digamos, hablando pronto y mal, que dada una colección de puntos en el plano (o en la superficie de la esfera como en el caso que nos ocupa), el diagrama de Voronoi asigna a cada uno de esos puntos su región de influencia. Por ejemplo, en la siguiente figura mostramos 8 puntos y sus regiones de Voronoi. Si los puntos azules representan, por ejemplo, pizzerias, la región de cada punto nos indica cuáles son los puntos más cercanos a esa pizzería que a ninguna otra y, por lo tanto, es una posible división de áreas de reparto.

 

voronoi_2

 

No voy a entrar aquí a contar las propiedades del diagrama de Voronoi, ni a decir cómo construirlo (podéis ver las entradas que acabo de enlazar), pero sí diré que es sabido que si queremos construir una ruta que atraviese por la región en la que se encuentre los puntos y hemos de estar lo más alejados de ellos (para no molestarlos, por ejemplo, si suponemos que son unos nidos de aves que queremos observar), dicha ruta ha de utilizar porciones del diagrama de Voronoi. A estas alturas nos podemos preguntar qué tiene todo esto que ver con Pearl Harbor. Pues bien, en el siguiente mapa muestro las bases navales de EE. UU. en el Pacífico en aquella época (en rojo Pearl Harbor, las otras son en las Aleutianas al norte, Midway y Wake que es la más al este):

bases

 

Creo que todo va a empezar a aclararse con la siguiente imagen, en la que muestro el diagrama de Voronoi de dichas bases:

voronoi

 

¿Qué tal si ahora superponemos la ruta seguida por la flota japonesa con dicho diagrama? Lo que podemos imaginar:

voronoi+ruta

 

Efectivamente, la flota japonesa escogió el punto ideal para salir hacia el ataque, en el sentido de ser el más alejado posible a las bases americanas y, desde entonces, siguió una ruta muy precisa que procuraba estar lo más alejado posible de las bases enemigas hasta que sobrepasaron la vertical de la base en las Aleutianas en la que tomaron bruscamente una ruta de acercamiento hacia Pearl Harbor, aunque se dirigieron primero perpendicularmente hacia la línea imaginaria que marca la frontera entre la región de Voronoi de Midway y de Pearl Harbor lo cual supone evitar, en la medida de lo posible a dichas bases.

Así que ya sabéis: si pretendéis atacar una base enemiga, lo ideal es que sigáis la ruta que os marca el diagrama de Voronoi de los puestos de vigilancia de vuestros rivales, aunque, de todos es conocido que es mejor llevarse bien con todos y hacer el amor y no la guerra.

Parábolas, parábolas… tú siempre buscas parábolas

–Ya está –dijo Sal y añadió señalando con su dedo –. Ahora solo pinta una línea así.

–¿Así cómo? –preguntó muy serio Ven –. Deberías ser más técnico en tus instrucciones si quieres ser ingeniero aeroespacial.

–¡Puf! Ya estamos… –resopló el gafotas –. Luego dices que soy yo el empollón…

–Es que, como nos explicó Mati –respondió el aludido –, para definir una recta necesitas o dos puntos o un punto y un vector…

–Mira, Ven –dijo de nuevo Sal –, este, este y este. Toma, 3 puntos ¿No querías 2 puntos para tu recta? Pues toma 3, pinta la recta que pasa por esos 3 puntos.

–Bueno, bueno, bueno… –Mati acababa de llegar –Eso no siempre es posible, Sal.

Mati20Min_48p

–Hola, Mati –la saludó Sal sin apartar la vista de su diseño.

–Hola, Mati –dijo el pequeño –¿Cómo no vas a poder pintar la recta con 3 puntos? ¿No dijiste que necesitábamos 2? Pues con 3 mucho mejor, hombre.

–No, Ven –dijo ella –. Por 1 punto pasan infinitas rectas, por 2 puntos solo una y por 3, puede que ninguna.

parabolas_1

 

–¡Toma! –aceptó el pequeño –¡Es verdad!

–Claro, Ven –dijo Sal –. Yo ya me había dado cuenta en nuestro dibujo…

Ven miró a su hermano con el ceño fruncido, Gauss resopló.

–Pero, ¿sabes, Ven? –dijo rápidamente Mati para aliviar la tensión ambiental –. Por 3 puntos, siempre pasa una única circunferencia.

–Ya lo sé –dijo el pequeño sin perder de vista a su hermano –, nos lo contaste.

–Tienes razón –dijo la pelirroja –, qué buena memoria tienes.

–Es cierto –añadió Sal queriendo congraciarse con su hermano –, Ven tiene muy buena memoria.

–Mirad –dijo la gafotas –Como ya sabéis lo de la circunferencia y sabéis que una circunferencia no es una función, si queréis os cuento cómo calcular una función cuya gráfica pase por esos 3 puntos. Eso sí, si no tienen la misma abscisa.

–¿Cuál era la abscisa, Mati? –preguntó Ven de repente.

La abscisa es la coordenada horizontal –dijo Mati –, la que mide la distancia al eje de ordenadas, ¿recuerdas?

–Sí, sí –dijo Ven.

–¿Y por qué no pueden tener la misma abscisa, Mati? –quiso saber el gafotas.

–Porque si queremos que sea una función –respondió ella — para un valor de la x, de la abscisa, no puede tener más de un valor de la y, la ordenada.

–No entiendo –aceptó Ven.

–A ver –siguió ella –No podemos dibujar la gráfica de una función que pase por los puntos (3, 6) y (3, 8), por ejemplo. Porque la segunda coordenada del punto representa el valor de la función, y en este ejemplo, para x igual a 3, tendríamos dos posibles valores de la función, 6 y 8.

–Ah, vale –aceptó el pequeño.

–¿Y cómo será esa función, Mati? –preguntó Sal –¿Será muy rara o parecida a una recta?

–La gráfica de la función que pasa por 3 puntos que no estén alineados, –dijo esta –y que tengan distintas abscisas, será una parábola.

–¡Toma! Esa la conozco –dijo Ven –, es la curva de los tiros parabólicos de fútbol, ¿no?

parabola-soccer

–Eso es, Ven –dijo Mati -, esa será la forma de nuestra función.

–¿Y cómo sabes que siempre se puede, Mati? –preguntó Sal curioso.

–Porque dados 3 puntos no alineados y con abscisas distintas –respondió ella –, siempre existe un polinomio de grado 2 que pasa por esos 3 puntos, y la gráfica de un polinomio de grado 2 es una parábola.

-¿Un poliqué? –preguntó Ven arrugando la carita.

–Un polinomio –dijo ella –. Una función (de x) que se escribe como suma de potencias (naturales)  de x multiplicadas por unos números, que llamamos coeficientes. Mira, te pongo unos ejemplos:

parabolas_2

 

 

–¿Cómo son esos grados, Mati?  –preguntó Ven con cara de pillo –¿Celsius o Fahrenheit?

–No, Ven –respondió la pelirroja –, el grado de un polinomio es el valor de la potencia más alta de x que aparece. En el polinomio f1 la potencia más grande es 4, en el polinomio f2 es y en el polinomio fla más grande es 3.

–¡Quietos, parados! –exclamó Ven –Hay números sin potencias de x en los polinomios fy  f3.

–Sí, es como si x estuviera elevada a 0 -dijo ella –por eso no aparece, por que x elevado a 0 es 1. A esos números que aparecen sin x, se les llama términos independientes, porque como no multiplican a x, no dependerán del valor de esta.

parabolas_3

–¿Qué tienen de especial los polinomios, Mati? –preguntó Sal.

–Huy, un montón de cosas –respondió ella –. Son las funciones más simples que hay y, entre otras cosas, se usan para dar valores aproximados de otras funciones mucho más difíciles, pero eso os lo cuento más adelante. Ahora os voy a enseñar a encontrar un polinomio de grado 2, una parábola, que pase por 3 puntos no alineados y con abscisas diferentes.

–¡Venga! –exclamó Ven con alegría.

–Decidme 3 puntos, chicos –pidió Mati.

–A ver… (1,6) –dijo el pequeño –… (2,13)...

–Y (0,3) –apuntó el gafotas.

–Muy bien –dijo ella –. Queremos un polinomio de grado 2, una parábola que pase por estos tres puntos {(0,3), (1,6), (2,13)}. El polinomio que buscamos tiene esa pinta: ax²+bx+c.

–¿Qué son esas letras, Mati? –preguntó Ven.

¿a, b y c? –preguntó Mati y añadió con voz misteriosa  –Son las incógnitas que tenemos que descubrir…

–¿Cómo las descubrimos? –preguntó el gafotas.

–Con un poco de inteligencia -dijo ella guiñando un ojo –. Vamos a ir apuntando las pistas que tenemos:

parabolas_4

–¡Toma! –dijo Ven –Parecemos detectives.

–A ver, Ven Holmes –dijo Mati teatrera –¿Qué sabemos de la función?

El pequeño se quedó pensativo y dijo:

–Se le ha visto pasar por (0,3).

–Hum –Mati se rascó la barbilla –Eso significa que f(0) debe valer 3, vamos a sustituir x por 0, a ver qué pasa…

parabolas_5

 

–¿Tenemos más pistas, Sal Poirot? –preguntó Mati.

–Sí, Mati Marple –dijo el gafotas–. También pasó por (1,6).

–Ajá –dijo la pelirroja, eso significa que f(1) es 6.

parabolas_6

 

–Hum, estamos cerca… –dijo Mati –¿Puede aportar algo, Gauss Colombo?

–Guau, guuuuauuuu, guaaaaau

–Dice Colombo que también pasó por (2,13) -dijo Ven divertido.

–Vaya, vaya –dijo ella –, así que f(2) es 13

parabolas_7

 

–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! –gritó Ven.

–Me encanta, Mati –dijo Sal.

–¿Os gusta? –dijo Mati –En realidad, lo que hemos hecho es resolver este sistema de ecuaciones:

parabolas_8

 

–¿También se puede resolver con el método de Gauss que nos enseñaste? –preguntó Sal.

–Efectivamente –respondió ella –, podéis elegir hacerlo como queráis.

–¿Pintamos la parábola, Mati? –pidió Ven.

–Os tengo que enseñar a dibujar funciones –dijo ella –, pero hoy la dibujamos con Google.

parabolas_9

–Es preciosa… –dijo el pequeño Ven.

–Entonces, si tenemos 3 puntos con abscisas diferentes -dijo Sal –, siempre tenemos una parábola.

–Si no están alineados, en cuyo caso sería una recta,  –corrigió Mati y añadió con un guiño –,una parábola chafada.

–¿Y si tenemos 4 puntos, Mati? –preguntó el gafotas.

–En ese caso, si repetimos este procedimiento –les contó –llegaremos un polinomio que pase por ellos de grado,  como máximo 3. Pero podrá ser de grado 2, y que los 4 estén sobre una parábola, o de grado 1, que estén alineados…

–¡Mola! –dijo Ven.

–A esto –continuó Mati –, a buscar polinomios que pasen por un conjunto de puntos se le llama interpolación polinómica. Otro día os explico para qué se utiliza y otras formas de hacerlo sin resolver sistemas de ecuaciones, ¿vale?

–¡Vale! –exclamó de nuevo Ven.

–¿Y con 5 puntos, Mati? –siguió indagando Sal.

–Con 5 puntos, tendríamos un sistema de 5 ecuaciones con 5 incógnitas, tantas como puntos –respondió esta –, que nos daría como función sospechosa un polinomio de grado, como máximo, 4.

–Claro –dijo el gafotas –, porque si están alineados, será un polinomio de grado 1, una recta…

–¿Qué forma tiene un polinomio de grado 4, Mati? –preguntó el pequeño.

–Vamos a mirar uno en Google –les propuso.

parabolas10

 

–¡Me gustan los polinomios! –gritó Ven.

–Como dice un amigo mío, –dijo Mati con una sonrisa — a mí también, pero solo hasta cierto grado.

 

Los amigos de mis amigos

Cada año la gripe recorre la Tierra y, aunque la llamamos igual, cada año es distinta: ataca a más población, es más dañina o más benigna. Naturalmente el virus que la produce no siempre es el mismo y detectar las distintas mutaciones lo antes posible puede ser importante para prevenir riesgos y decidir las medidas a tomar. En 2009 cuando se temió una grave epidemia de gripe producida por el virus H1N1, los científicos de Harvard Nicholas Christakis y James Fowler desarrollaron un método que permitió predecir el avance de la epidemia con dos semanas de anticipación, proporcionando un tiempo extra precioso que pudo ser bien aprovechado y que ayudo a controlar dicha epidemia que finalmente fue más benigna que otros años. La pregunta es: ¿en qué consistía la técnica de Christakis y Fowler? ¿Eran estos dos investigadores prestigiosos médicos, biólogos, farmacéuticos, …?

La respuesta es que la técnica desarrollada por los dos profesores de Harvard se basaba solo y exclusivamente en una propiedad de la Teoría de Grafos, rama de las matemáticas y es una propiedad que tiene que ver con el número de amigos en Facebook o de compañeros de relaciones sexuales que ha tenido cualquier persona y que se conoce como la paradoja de la amistad.

Dicha paradoja viene a decir que es muy  probable que nuestros amigos tengan más amigos de los que tenemos nosotros y esto vale tanto para Facebook como para cualquier grupo de personas real. La versión sexual de la paradoja es que es muy probable que las personas con las que hemos tenido relaciones sexuales hayan tenido más relaciones sexuales que nosotros (pero más de uno pensará, con cierta razón, que sus amigos no están tan enganchados a internet y por eso tienen más éxito en el mundo real).

Veamos lo que queremos decir con un ejemplo sencillo, supongamos que tenemos un grupo de cuatro personas y que las amistades entre ellos las representamos con el siguiente grafo (los vértices son las personas y existe una arista entre ellos si son amigos):
amigos

 

En este ejemplo A, tiene un amigo, mientras que este (B), tiene tres amigos. C tiene dos amigos mientras que sus amigos tienen una media de 2,5 amigos y lo mismo ocurre con D. Así solo B tiene más amigos que sus amigos. Por tanto, en este ejemplo simple, tenemos una probabilidad de tres entre cuatro de que los amigos de alguien tengan más amigos (de media) que ese alguien.

¿Ocurrirá lo mismo en cualquier red que muestre las interconexiones (ya sean de amistad, de Facebook o sexuales) entre distintos individuos? Se puede demostrar que en cualquier grafo en el que exista una cierta variedad en los grados (número de conexiones) de los vértices esto ocurre siempre. Por ejemplo, se ha estudiado qué ocurre en Facebook en este trabajo y se llega a la conclusión de que en el 93% de los casos, los amigos de un usuario tienen más amigos que él. Más sorprendente: el número de amigos medio es de 190, pero la media de amigos de sus amigos es de 635.

¿Por qué ocurre esto?

En primer lugar, no nos deprimamos: es una propiedad que se da por la variedad de los grados y existen vértices (individuos) que tienen muchos más amigos que la media y es muy probable que estemos conectados con uno de dichos vértices, lo cual hará que se incremente la media de los amigos de nuestros amigos: la existencia de gente muy popular es lo que hace que se dé esta propiedad. Este fenómeno fue observado por primera vez por el sociólogo Scott Feld en 1991.

En realidad, esta propiedad tiene que ver con otras muchas que hace que algunas encuestas estén mal condicionadas. Por ejemplo: si a la salida de un multicine preguntamos a algunos de los espectadores que salen que cómo de llena estaba su sala, la mayoría dirá que bastante llena, porque hay más gente que sale de las salas llenas que de las semivacías. O, un ejemplo extraído de una entrada del New York Times sobre esta paradoja de la cual hemos obtenido la mayoría de la información aquí reflejada, si vamos al gimnasio, nos parecerá que la mayoría de la gente está en mejor forma que nosotros, porque la muestra la estamos extrayendo entre aquellos que están en el gimnasio y entre ellos tendremos a muchos que sean muy asiduos del gimnasio, porque a los más perezosos será más difícil encontrarlos allí.

Pero y todo esto, ¿qué tiene que ver con la gripe?

Pues lo que Christakis y Fowler hicieron fue escoger una cierta población de estudiantes que les serviría como medida y cada uno de ellos nombró a unos cuantos amigos, previsiblemente el grupo de los amigos tendrían una mayor conectividad que la población aleatoria escogida inicialmente y así fue: en el grupo de amigos se desarrolló la enfermedad dos semanas antes de media. Ello también ha llevado a proponer un método de inmunización para cuando no se desee vacunar a toda la población de una ciudad (por razones económicas, por ejemplo),  se ha probado que una estrategia efectiva es escoger una cierta población inicial aleatoriamente y que los individuos de dicha población designen cada uno unos cuantos amigos: si vacunamos a estos amigos solo necesitamos vacunar a un 20%-40% de la población para evitar la difusión de la enfermedad, mientras que si no seguimos esta estrategia, necesitaríamos vacunar a un 80%-90% para alcanzar la misma efectividad.

Ya ven, a lo mejor resulta que al final los amigos de mis amigos no son mis amigos ;)