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¡Unamos los pueblos!

Hoy os quisiera plantear un problema de los llamado de optimización, uno de esos problemas que puede parecer, a primera vista, más simple de lo que en realidad es.

Supongamos que tenemos cuatro pueblos cercanos que, por alguna razón, aún no están comunicados entre sí: igual ha pasado un huracán y ha destruido las carreteras que existían o, peor aún, un banco las ha expropiado y se las ha quedado sin saber qué hacer con ellas. Da igual, el caso es que queremos construir carreteras que las unan y estamos en una suposición, por lo tanto, podemos suponer que no nos sobra el dinero y queremos construir la red de carreteras con menos kilómetros, la más económica. El último dato que nos falta es que las ciudades se encuentran formando un cuadrado de lado 10 km. Así tenemos el siguiente diagrama:

En principio, el problema no parece tan difícil, ya que todas los posibles formas de unir los vértices de un cuadrado usando el menor número de carreteras (segmentos de rectas empezando y terminando en ciudades) son los que presentamos a continuación:

Y se puede comprobar que los de la primera fila suman una distancia total de 30 km, los de la segunda (usando el teorema de Pitágoras) de 20+√200 km que son algo más de 34 km. Así que parece claro que gana cualquiera de los diseños de la primera fila. Pero ¿son esas todas las posibles soluciones?

 

En principio no, porque hay otros diseños con la misma longitud que los de la primera fila y que presentan algunas ventajas sobre las anteriores, como las dos que presentamos ahora:

Si nos fijamos estos dos diseños tienen también una longitud de 30 km y la ventaja a la que nos referíamos es que la distancia más larga entre los pueblos es más corta que la distancia más larga en aquellos diseños como el que tenía forma de U: para los de forma de U la distancia más larga posible entre dos pueblos es de 30 km, mientras que en el diseño en H la distancia más larga entre dos pueblos es de 20 km.

Pero todavía lo podemos hacer mejor.  Si consideramos unir cada par de ciudades diagonalmente opuestas por sendas carreteras con un cruce (o una rotonda si tenemos un alcalde al que le gusten mucho: por aquí por el sur, el de Dos Hermanas, por ejemplo), tendremos un diseño en X:

 

La longitud total de esa red de carreteras es poco más de 28 km (de nuevo usando Pitágoras). Y parece que ya no se va a poder mejorar, pero estaremos equivocados

Entonces, ¿tenemos diseño ganador? Pues no, porque podemos modificar ligeramente los diseños en H hasta obtener algo así:

Está demostrado que la longitud mínima se alcanza cuando escogemos los puntos de cruce de las carreteras  de forma que éstas formen un ángulo de 120º en los puntos en los que se bifurcan.

 

Es fácil calcular cómo se ha de escoger el punto en el que las carreteras se bifurcan para que sea óptimo el diseño.

Si nos fijamos  el triángulo ABC es un triángulo rectángulo (el ángulo en C es de 90º) y el ángulo en B debe ser la mitad de 120º , 60º, por lo tanto, puesto que los ángulos internos de un triángulo suman 180º, tenemos que el ángulo en A (en el triángulo ABC) es de 30º. Si hacemos una  copia del triángulo ABC (pegando por el lado AC), y nos fijamos en el triángulo ABB’, éste es un triángulo equilátero (puesto que los ángulos en A, B y B’ son de 60º los 3) y por tanto BC es la mitad de AB, como AC vale 5 km, usando el teorema de Pitágoras tenemos que el lado BC mide 5/ √3 y por lo tanto,  obtenemos que la longitud total de esta red de carreteras es de 10+10√km que es algo más de 27 km y es el ganador absoluto.

Ahora es el momento en el que planteo: ¿y si en vez de cuatro ciudades son tres todas a la misma distancia? ¿Y cinco?

Si queréis ver la solución a estos problemas, se puede este vídeo maravilloso (está en inglés, pero creo que es suficientemente ilustrativo y muy recomendable), donde se da la solución para los distintos casos, pero lo más interesante es que llega a dicha solución con la única ayuda de unas pompas de jabón. Por cierto, esto me da una idea de la que hablaros otro día: de las matemáticas de las pompas de jabón. Pero eso será en otra ocasión.

 

 

Piratas y polares

–¿Jugamos al fútbol, Sal?

–Está lloviendo, Ven.

–¿En nuestro cuarto?

–Sabes que no nos dejan…

–Pues qué rollo de lluvia… –el pequeño frunció el ceño e hinchó sus carrillos.

–¿Qué les pasa a mis chicos? –Mati acababa de entrar en el salón.

–Que no podemos jugar a nada porque está lloviendo -protestó el gafotas. Ven seguía enfadadísimo con los mofletes hinchados.

–¡Tengo una idea! –propuso alegremente la pelirroja –Jugaremos a los piratas y así, de paso, os enseñaré para qué sirven las coordenadas polares.

–¿Polares? –preguntó Ven extrañado –Los piratas están en el Caribe, no en el Polo, Mati.

–¿Piratas en el hielo, Mati? –el gafotas también estaba muy sorprendido.

–No, no -la pelirroja rió alegremente –Las coordenadas polares no tienen nada que ver con los Polos Terrestres ¡Nada de esquimales esta tarde!

El pobre Gauss ladró con tristeza, ahora que había elegido el disfraz apropiado…

–Entonces, ¿por qué les llamas polares? –preguntó Sal.

–Porque vamos a dar unas coordenadas, ya sabéis, un nombre y un apellido, a cada punto de nuestro mapa en función de un polo (un punto especial), y no de un origen y unos ejes como hacíamos cuando vimos las coordenadas cartesianas.

–¿Sin ejes? –preguntó el pequeño.

–Sólo con un eje -contestó la gafotas.

–¡¿Cómo?! -preguntaron los dos hermanos a la vez.

 –Veréis, os voy a dibujar un mapa del tesoro -propuso Mati y comenzó a dibujar en su cuaderno.

  

–Vosotros dos estáis junto a las palmeras y aquí –Mati señaló sobre el dibujo –tenéis el tesoro. Es así como lo pintaban los piratas, ¿no?

–Sí, claro –contestó Ven –pero este mapa es un poco tonto. Yo cruzaría el lago y llego antes.

–No, Ven, no podemos cruzar el Lago Llorón porque puede haber cocodrilos y es muy peligroso.

–Pero es más corto, por ahí , Sal.

–Sí, pero no sabemos a qué distancia del lago está el tesoro, ¿no te das cuenta?

–Pues vamos hasta la torre desde el lago, Sal.

–Tampoco sabemos a qué distancia está el tesoro de la torre… –el gafotas seguía contestando inmerso en sus pensamientos.

Ven se quedó un rato mirando el mapa de Mati y pensando. No podían empezar desde la Torre, ni desde las Rocas Burlonas…

–No tenemos más remedio que empezar desde las palmeras, parece…- terminó aceptando.

–Efectivamente, chicos. La única manera de encontrar el tesoro con este mapa es partiendo de las palmeras, porque los piratas han ido dejando las marcas usando coordenadas polares en cada uno de esos puntitos ¿Os explico cómo?

–¡¡Sí!! -contestaron al unísono. Gauss se quitó el gorro de pelo que lo estaba asfixiando.

 –Vamos a eliminar los dibujitos del mapa y vamos a quedarnos sólo con la información que necesitamos para encontrar el tesoro –dijo Mati y dibujó en su cuaderno.

 

–Para encontrar el punto 1, el mapa nos indica una dirección (en dirección a las Rocas Burlonas) y una distancia (201 pasos), ¿no?

–¿Todos los piratas tienen el mismo número de pie? –preguntó Ven angustiado.

–No, pero eso hacía más emocionante la búsqueda –respondió Mati y continuó – Como os decía, para saber dónde está el punto 1 del mapa necesitamos 2 datos, la distancia y la dirección. Esos dos datos son lo que llamaremos coordenadas polares, el nombre y el apellido que identificará a cada punto del mapa.

–Entiendo, Mati –dijo Sal –el nombre es 201 pasos y el apellido es hacia las Rocas Burlonas, ¿no?

–Exacto, Sal –contestó ella –Sólo que en lugar de decir hacia las Rocas Burlonas, indicaremos el ángulo que forma esa dirección con la línea horizontal que sale de las palmeras.

 

–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola, Mati! –parecía que a Ven se le estaba pasando el enfado. Gauss seguía serio.

–¿Ves, Ven? Se pueden hacer cosas divertidas cuando llueve -contestó Mati sonriendo -Pues esta forma que tenían los piratas para señalar dónde habían escondidos sus tesoros, los matemáticos lo llamamos Sistema de Coordenadas Polares y es diferente al que os conté hace poco, el Sistema de Coordenadas Cartesianas, que se parecía al juego de los barquitos, ¿recordáis?

–Claro, Mati –contestó el gafotas.

–Para el sistema de coordenadas polares necesitamos un punto especial, al que llamamos polo u origen

–Eso es igual que en el sistema cartesiano –puntualizó Ven.

–Efectivamente, pero sólo un eje, lo llamaremos eje polar, y será una semirrecta que sale del polo, por ejemplo, horizontal y hacia la derecha.

 

–Vamos a ver cómo funciona este sistema de coordenadas. Ven, pinta un punto en algún sitio y llámalo A –el pequeño se apresuró a dibujar el punto  –Para calcular las coordenadas polares de A necesitamos saber a qué distancia está del polo y qué ángulo forma con el eje polar  el segmento que une al punto A con el polo.

–¡Yo!  Yo lo mido con la regla –dijo Ven.

–Espera, te traigo mi transportador de ángulos para medir el ángulo –dijo Sal.

 Los niños se pusieron mano a la obra y calcularon las dos medidas que les había pedido la pelirroja.

–9 centímetros y 30 grados –dijo el gafotas.

–Muy bien, chicos, eso significa que las coordenadas polares de A son (9, 30)

 –¡Qué chulo, Mati! –el pequeño estaba radiante.

–Me encanta –dijo Sal.

–Me alegro, chicos. Ahora lo haremos al revés. Imaginaos que queremos saber dónde está el punto (4, 50) en nuestro mapa. Vamos a encontrarlo.

–¡Venga! –gritó Ven.

–Miramos la primera coordenada, 4. Eso significa que está a distancia 4 del polo, o sea, si pintamos una circunferencia de radio 4 alrededor del polo, será un punto de esa circunferencia.

 

–Como la segunda coordenada es 50 sabemos que el segmento que une al polo con el punto que estamos buscando forma un ángulo de 50º con el eje polar. Entonces, usando nuestra regla medidora de ángulos, dibujamos una semirrecta formando un ángulo de 50º con el eje.

–Ya está. El punto de coordenadas (4,50) es el punto donde se cortan la circunferencia y la recta.

  

–¡Toma, toma, toma! ¡Es chulísimo! –el pequeño Ven estaba entusiasmado.

–Entonces, los piratas, en realidad, usaban las coordenadas polares en cada punto,¿no?

–Eso es.  Retomemos el mapa del tesoro sólo con puntos.

–Para llegar al punto 1 usamos como polo las palmeras y vamos al (201, hacia Rocas Burlonas), para llegar al punto 2 usamos como polo el punto 1 y nos movemos a (94, vieja torre); para llegar al tesoro usamos las polares desde el punto 2 y vamos a (63, cañones abandonados).

–¡Y el tesoro es nuestro! –Ven abrazaba al acalorado Gauss.

–¿Y tiene algo que ver con la Estrella Polar? –preguntó el gafotas.

–En cierto sentido, sí, puesto que es la que señala el eje de rotación de la Tierra y nos ayuda a ubicarnos –contestó la pelirroja –Las coordenadas polares son muy útiles en navegación y también en robótica, para programar las rutas de los robots indicando la dirección de movimiento y la distancia que debe recorrer en esa dirección.

–Wow… –Ven seguía entusiasmado.

–Bueno, bueno, creo que me merezco una merienda, ¿no? –dijo Mati guiñando un ojo.

–Sí, es hora de merendar –asintió Ven.

Nuestros cuatro amigos salieron hacia la cocina con Gauss a la cabeza.

 

Descartes y los barquitos

–A, 5.

–¡Agua!

–No puede ser, Ven, ¿¿has puesto algún barco??

–¡Pues, claro! ¿Qué crees, Sal? ¿Que no sé jugar a los barquitos? –contestó el pequeño.

–Es que es imposible que no haya encontrado aún ninguno… –protestó el gafotas.

 

 

–Buenas tardes, caballeros… –Mati acababa de llegar.

–¡Hola, Mati! –saludaron los niños al unísono.

–¿Jugáis a las batalles navales? Me encanta ese juego –contestó la pelirroja.

–Y a mí. Pero Sal no consigue encontrar ninguno de mis barcos -respondió Ven con cara de pícaro. Su hermano lo miró serio por encima de sus gafitas.

–Además de que es un juego divertido es un buen método para aprender las coordenadas cartesianas –-añadió Mati.

–¿¿El qué?? –preguntaron los dos con los ojos abiertos de par en par.

–Las coordenadas cartesianas, que son, podríamos decir, como el nombre y el apellido de los puntos en un plano, para poder distinguirlos unos de otros, sin posibilidad de confundirlos.

–No entiendo nada –aceptó el pequeño Ven.

–Si Sal te dice “D,6”, Ven, ¿tienes alguna duda de dónde está apuntando?

–¡Toma, claro que no! A éste -señaló Ven con su dedo sobre el papel –Miro dónde se cruzan la fila D y la columna 6 y ya está.

–Pues así es cómo se asignan las coordenadas cartesianas a cualquier punto del plano. Os lo explico con un dibujo.

–¡Sí! -contestaron con alegría los dos hermanitos.

–Lo que queremos es saber identificar cualquier punto de un plano, porque, por ejemplo, vamos a esconder un tesoro y luego vamos a venir a buscarlo… Aquí está nuestra casa y aquí enterramos nuestro tesoro.

–Como piratas, ¿no?

–Sí, Ven, ¡como piratas! –prosiguió Mati – Lo primero que tenemos que hacer para poder asignar coordenadas a cada punto del plano y poder saber exactamente dónde escondimos el tesoro, es elegir un punto especial al que llamaremos origen, origen de coordenadas ¿Dónde lo ponemos?

–Aquí –Sal señaló un punto sobre el papel.

–Muy bien. Ahora dibujamos dos rectas perpendiculares que se cortan en el origen.

–¿Qué son perpendiculares, Mati?

–Que se cortan formando cuatro ángulos rectos, como los de la esquina de una portería.

 

–Como si fueran el signo + de la suma, ¿no, Mati? –preguntó el gafotas.

–Exacto, Sal, pero en grandote, uno vertical, de arriba a abajo, y otro horizontal, de izquierda a derecha. Al horizontal le llamaremos eje de abscisas y al vertical, eje de ordenadas.

–Ahora vamos a dividir estos ejes, usando como unidad de medida, por ejemplo, dos cuadraditos del papel. Hacia la derecha y hacia arriba, los numeramos con números naturales, positivos. Y a la izquierda y hacía abajo, les pondremos un signo delante, para distinguirlos.

–Ahora, para conocer cuáles son las coordenadas de nuestra casa y de nuestro tesoro, dibujamos una línea vertical desde el punto donde está hasta encontrar al eje de abscisas, y una linea horizontal hasta encontrar al eje de ordenadas. Con estas dos líneas y los ejes, tendremos dos rectángulos, en los que nuestros puntos, la casa y el tesoro, serán una de las esquinas. Por eso, a estas coordenadas también se le llaman coordenadas rectangulares. Pues bien, las coordenadas de nuestros puntos serán: la primera, el número marcado en el eje de abscisas y la segunda el número marcado en el eje de ordenadas. Por eso, a la primera coordenada de un punto se le llama la abscisa y a la segunda, se le llama la ordenada.

–Nuestra casa tiene la misma abscisa que ordenada, Mati –observó Sal.

–Sí, es verdad, en este caso el rectángulo es un cuadrado, tiene los lados iguales.

–Y la abscisa del tesoro es 14 y la ordenada es 9, ¿no? –siguió indagando el gafotas.

–Exacto –respondió la pelirroja.

–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola, Mati! Así siempre encontraremos el tesoro –el pequeño Ven estaba alucinando.

–¿Y por qué le llamas cartesianas? ¿Porque a los mapas también se le llaman cartas? –preguntó Sal.

–No, no. El nombre de cartesianas de lo debe a René Descartes, filósofo y matemático francés, que sostenía que la visión que tenemos de las cosas depende de dónde hayamos fijado el origen de coordenadas –Mati guiñó un ojo, los niños no dijeron nada.

–¿Está muerto? –preguntó Ven con carita de pena.

–Sí, hace mucho tiempo, en 1650 –contestó la pelirroja mientras le acariciaba el pelo —Oye, ¿queréis saber también para que podemos usar las coordenadas cartesianas aparte de señalar exactamente un lugar del plano?

–¡Claro!

–Para conocer la distancia entre dos puntos del plano sin necesidad de ir a medirlo.

–¿Cómo? –quiso saber el gafotas excitado.

–Dibujamos un triángulo de la siguiente manera.

–Es un triángulo rectángulo, porque tiene un ángulo recto, donde se cortan el lado vertical y el horizontal. Al lado más largo de un triángulo rectángulo, se le llama hipotenusa, que en nuestro dibujo es el que queremos medir. Y a los otros dos lados del triángulo, les llamamos catetos

–Pobres…–dijo Ven.

Mati no pudo evitar la sonrisa.

–¿Cuánto miden los catetos? Ya vereís. El lado horizontal mide la diferencia entre las dos primeras coordenadas, las abscisas; el lado vertical mide la diferencia entre las dos segundas coordenadas, las ordenadas.

–¡Claro! -Sal estaba entusiasmado.

–Ahora, para saber cuánto mide la hipotenusa que es la distancia de nuestra casa al tesoro, sólo necesitamos el Teorema de Pitágoras.

–¿Cómo, Mati? –los niños estaban ansiosos esperando la respuesta final.

–Pues así

 

–¡Toma, Mati! ¡Y sin necesidad de medir! -Ven estaba entusiasmado.

–Pero ni Ven ni yo sabemos calcular raíces cuadradas, Mati –aceptó el gafotas serio.

–Por ahora, yo os ayudo. Ya lo aprenderemos.

–Entonces, ¿así lo hacen los piratas, Mati? –preguntó el pequeño.

–Bueno, los piratas tenían otra forma de asignar coordenadas… Os la explico otro día. Vamos a pasear a Gauss que está deseando buscar algún tesoro en el parque.

1…2…3…π…probando, probando…

–Hola, me llamo Matemáticas…

–Pero le llamamos Mati, porque es más cortito.

–Ven, no interrumpas a Mati, que nos está presentando…

–Gracias, Sal. Pues sí, me llaman Mati porque es más corto y porque asusta menos, a mucha gente no le gustan las palabras esdrújulas –Mati sonríe y guiña un ojo.

–Sí, no le gustan las catástrofes, ni los parásitos, ni los relámpagos, ni los murciélagos, ¡ni las víboras! –el pequeño Ven cierra los ojos con fuerza.

–Pues a mí me gustan los pájaros, los árboles, las pirámides, las películas, ¡los sábados! –Sal sonríe con felicidad.

–Y a mí- dice la pelirroja—me gustan la lógica, la informática, la estadística, los polígonos, los vértices, los números…

–¡Fantástico! –sentencia Ven.

–Bueno, sigamos con las presentaciones. Ellos son Sal y Ven, mis dos amiguitos, son hermanos, curiosos y simpáticos.

–A Sal le llamamos “el gafotas”, pero, tranqui, que a él le gusta.

–Sí –reconoce Sal no sin ruborizarse.

–Y él –continua Mati –es Gauss, la mascota de Sal y Ven.

–Y es el perro más listo de todos los perros, por eso le llamamos así –puntualiza Sal.

–Y porque él se presenta así, Sal, “Gauss, Gauss, Gauss” –dice Ven.

–Eso es verdad –dice Mati y continúa –Cada semana apareceremos por aquí con muchas matemáticas para compartir con vosotros. Unas veces, los miércoles,  a la hora de la tarea (con ejercicios de repaso para los pequeños de la casa) y otras veces, los lunes, cuando los niños salgan a jugar (con curiosidades y anécdotas para todos los públicos).

–Como si Mati fuera una profesora particular –dice el gafotas.

–Como el patio de mi casa –contesta pícaramente el pequeño Ven –Por cierto, ¿qué es particular? ¿Qué tiene que ver Mati con un patio?

Sal y Ven cogen el diccionario y buscan la palabra, ambos disfrutan con ello. Sal, el gafotas, lee:

Propio y privativo de algo, o que le pertenece con singularidad.

–Eso no me gusta, Sal –protesta Ven –Mati no le pertenece a nadie.

–Espera, espera. El segundo significado es: Especial, extraordinario, o pocas veces visto en su línea.

–¡Toma, toma, toma! Eso sí es Mati –responde Ven– ¡Mati es una profesora particular!

–Pero, ¿qué dices, Ven? ¡Mati es una profesora MUY particular!

–¡¡¡Sí!!! ¡¡ESA MATI COMO MOLA, SE MERECE UNA OLA!! ¡¡¡UEEEEEEEEEE!!!

–¡¡Guau, guau, guauauauuuu!!

Y en medio de este jaleo, Mati se nos acerca:

–Os esperamos por aquí cada lunes y miércoles. Por cierto, estas dos locas que veis aquí  son Clara y Raquel y  sí, sí  se responsabilizan de los errores u omisiones en los contenidos de este blog, así como de la adicción a las Matemáticas que estos puedan generar.