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Esto no es falso

No es fácil ponerse a escribir sobre la belleza de las  Matemáticas tras un fin de semana como el que hemos vivido y que nos ha dejado a la mayoría de nosotros  con un sabor amargo en la boca y, en mi caso, hundida en la más absoluta de las desesperanzas contemplando que en este barco no hay nadie decente al cargo.

¿Su afirmación también, señor presidente? Porque si su afirmación es falsa significa que lo que nos han contado es verdad, ¿no? Nos meteríamos de lleno en una interesante paradoja lógica aderezada de corrupción y delitos, ¿no le parece?

Se ha escrito mucho ya sobre el tema y por gente más docta que yo en materias de política y corrupción, así que voy a seguir con mi plan inicial, hablar de un hombre que nos dejó como legado en sus papeles grandes resultados en muchas áreas de la Ciencia, y no listados de números manchados de ilegalidades y corrupción. Esto que voy a contar no es falso, para variar.

En la entrada del pasado lunes nos hicimos eco de una noticia matemática que se había abierto un pequeño hueco en los medios de comunicación.   Bien es verdad que fue antes de saber para quienes eran los sobres, los payasos y los confetis… Ay, madre… Sigo. Parte de nuestra entrada era una crítica al poco rigor con el que se había presentado tal noticia, pero, al margen de Carl Cowen y Eva Gallardo (quien por cierto se licenció y doctoró en la Universidad de Sevilla, como apuntaba mi profesor durante la carrera, Ramón Piedra, en los comentarios) otro nombre propio destacaba en todas las noticias: el de John von Neumann que había propuesto el problema hace ochenta años. Von Neumann fue una de esas mentes brillantes que, aún rodeado de otras mentes brillantísimas, conseguía destacar por encima de ellas: nacido en Budapest a principios del siglo XX en el seno de una acaudalada familia judía, fue un niño prodigio.

neumann

Sus padres tomaron una serie de decisiones respecto a su educación que podrían suscitar un debate, pero que yo, particularmente, como madre comparto plenamente. Por una parte consideraron que era importante que el pequeño Janos (su nombre original en húngaro) asistiera al curso que le correspondía por su edad, para que se relacionara con otros niños, pero, también contrataron profesores para que potenciara los conocimientos para los que tenía mayor actitud, particularmente las matemáticas. Trataron de satisfacer su curiosidad sin alterar su infancia, sin apartarlo como a un bicho raro. Así, a los quince años comenzó sus estudios de cálculo bajo la supervisión de Gábor Szegő. Éste, maravillado ante las capacidades de su alumno, llegó a llorar en la primera clase que le impartió.

En 1930, después de haber  impartido clase en Berlín le fue ofrecida una de las cinco primeras cátedras en Princeton (Einstein fue otro de ellos) y permaneció en dicha universidad hasta su muerte. Aunque ya antes en su Hungría natal y en Alemania había destacado por su gran versatilidad, puede que fuera a partir de dicha época en la que sus aportaciones fueran más importantes y en numerosos campos: análisis matemático, geometría, teoría de la medida, lógica y fundamentos, dinámica de fluidos, estadística dentro de las matemáticas; mecánica cuántica y física nuclear en física. Además de ello, se considera el creador de la teoría de juegos y unos de los fundadores de las ciencias de la computación (aunque su mente solía ser más rápida que los ordenadores de su época que él ayudo a diseñar). Hizo algunas incursiones en otras disciplinas, en las que dejó su sello: por ejemplo, el premio Nobel de economía Samuelson afirmó que después de que von Neumann se  hubiese dedicado brevemente  a su disciplina, la economía no volvió a ser la misma.

Siendo judío, fue de los primeros que comprendió el peligro que Hitler representaba y se involucró desde muy pronto en el desarrollo de las armas nucleares, participando en el Proyecto Manhattan y, posteriormente en el diseño de la bomba de hidrógeno. Eso no estuvo muy bonito, la verdad, y posiblemente lo pagó… No falta quien afirme que  fue su participación en el desarrollo de armas nucleares y su exposición a radiaciones lo que le condujo a una muerte relativamente temprana, ya que contrajo un cáncer que pudo con él a los 53 años.

VonNeuman1 Al margen de todo lo anterior, también se ha destacado su fuerte personalidad: siempre muy atildado, enfundado en un traje completo incluso en el calor del desierto en Los Álamos y disfrutando de la comida, la bebida y la conversación (le encantaban los juegos de palabras y podía realizar algunos muy elaborados tanto en húngaro, como alemán e inglés) en las fiestas de su casa que llegaron a ser famosas en Princeton. Nunca tuvo problemas en concentrarse y prefería trabajar en el salón de su casa con la televisión encendida o en su despacho con música a todo volumen (para incordio de sus vecinos en el trabajo, Einstein entre otros).

Estoy segura, porque soy optimista, que dentro de un siglo el legado de von Neumann  seguirá vigente, mientras que la basura de Bárcenas y sus amigotes quedará sepultada y olvidada por el lodo del tiempo, por muy única, transparente, limpia que algunas quieran verla

 

 

 

 

Más vale descartar lo bueno conocido…

Comprueben que sus cinturones están abrochados, su asiento en posición vertical y su mesita plegada porque ¡van a alucinar!

Al menos, yo alucino con este problema y espero que también os provoque turbulencias y alguna sonrisa de sorpresa 😉

Vamos a continuar con los concursos que tanta polémica crearon en nuestra entrada sobre Monty Hall y vamos a presentar un concurso parecido (de hecho es parte del mismo proceso que se llevaba a cabo en Un, dos, tres).

Estamos en un concurso. Se nos presentan un cierto número de cajas, N, y podemos abrirlas en el orden que nos plazca. Cada caja contiene una cantidad de dinero distinta de las otras (no sabemos qué cantidades hay en cada una, ni cuáles son esas cantidades). Cada vez que abrimos una caja decidimos (después de contar el dinero en ella, se entiende) si nos quedamos con ella (esa es la caja que escogemos) o si la descartamos para siempre (una vez que una caja ha sido descartada, ya no podemos volver a ella). Tratamos de diseñar una estrategia que nos garantice escoger la mejor caja (la que tiene más dinero) el mayor número de veces posible

¿A qué parece que no se va a ser posible? ¡Ja!

Para simplificar supongamos que tenemos 3 cajas: A, B y C. Abrimos la primera (la A), como no tenemos ni idea de qué cantidades hay en cada caja, en A puede estar el mayor botín o no, no tenemos ninguna información adicional, por lo tanto, si escogemos A, nuestro posibilidades de acertar con el premio máximo es de .

¿Podemos mejorar dicha estrategia?¿Podemos diseñar otra estrategia que garantice siempre más de ⅓ de posibilidades de obtener la máxima cantidad?

Os propongo una: abrimos la primera caja (la A) y contamos el dinero que hay, pero la descartamos independientemente de cuánto dinero encierre. Ahora abrimos la segunda caja (la B), si contiene más dinero que la primera, nos quedamos con la segunda, en caso contrario nos quedamos con la tercera ¿En cuántos casos hemos acertado con esta estrategia?

Realicemos un examen viendo todas las posibilidades distintas.

En cada caso, escribiremos las tres cajas ordenadas por la cantidad de dinero que tienen de mayor a menor.

El primer caso lo escribimos como (A, B,C) (esto es, la caja A tiene más dinero, después la B, después la C). Vamos a suponer que las 3 cantidades son, respectivamente, 100, 50 y 25, pero, claro, eso no lo sabe el concursante a priori, no sabe cuál es el premio máximo, ¿me explico? Pero lo pensamos así para hacer una simulación de los 6 casos posibles con 3 cajas.

Siguiendo la estrategia descrita, abrimos la A, la descartamos, abrimos la B y como tiene menos que la A, escogemos la C, que es la que menos dinero tiene: mal empezamos. Nos hemos quedado con el peor premio…

(He hecho unas figuras para cada simulación, en otro color pongo la caja que escogeríamos con esta estrategia. Si el color es verde, es que hemos ganado. Es que soy del Betis…)

Veamos, entonces, apoyándonos en las figuras, qué caja escogeríamos, en cada caso,  siguiendo nuestra estrategia.

Para (A,B,C) escogemos C y hemos perdido, es la que acabamos de analizar unas líneas más arriba.

Para (A,C,B) escogemos C, y perdemos.

 

 

Para (B,A,C), abrimos la A, la descartamos, abrimos la B que tiene más dinero y nos quedamos con ella y hemos ganado (¡por fín!).

Para (B,C,A) escogemos la B y ganamos (¡ole con ole!)

 

 

Con (C,A,B) escogemos C y ganamos, (¡toma, toma, toma!)

 

 

Y para (C,B,A) escogemos B y perdemos.

 

Como vemos, con la estrategia anterior podemos garantizar un éxito del 50% (ganamos 3 de 6), lo cual es mejor que el 33% (=1/3) que teníamos si escogemos una caja al azar. Anda, ¡mira!

Lo curioso es que esta estrategia se puede aplicar a cualquier número de cajas, por sorprendente que parezca y aunque no se conseguirá siempre un éxito del 50%, sí que podemos obtener un porcentaje sorprendentemente alto (mayor de ⅓ independientemente del número de cajas). Sí, sí, éxito con una probabilidad casi del 37%, sea cual sea el número de cajas.

Allá vamos, ¡digo!

Se puede probar que el método que nos garantiza mejor resultado es el siguiente: Si tenemos que escoger entre N cajas, abrimos unas cuantas (digamos r) y las descartamos, pero anotamos de esas r cajas cuánto dinero tenía la que más tenía. A continuación seguimos abriendo las cajas restantes y nos quedamos con la primera que tenga más dinero que el que habíamos anotado como el máximo de las r primeras.

Si ninguna tiene más dinero obviamente nos quedamos con la última. Solo queda por determinar cuánto vale r, es decir, ¿cuántas cajas tenemos que abrir y descartar inicialmente?

Hemos visto que en el caso de 3 cajas (N=3, 3 cajas) r es 1. Se puede comprobar que en el caso de N=4 (cuatro cajas) r también vale 1 (miramos la primera, la descartamos, y después vamos abriendo las restantes y nos plantamos si una tiene más dinero que la inicial, con esta técnica en el caso de 4 cajas podemos garantizar que escogeremos la mejor en un 46% de los casos).

En la siguiente tabla se muestra cuántas cajas tenemos que desestimar dependiendo del número de cajas que tengamos en total para asegurar la mayor probabilidad de éxito (se puede comprobar haciendo algunas cuentas, bastantes):

 

¿Y si son más de 9 cajas? Se puede aplicar la misma técnica, pero ¿cómo calculamos el número de cajas r que tenemos que  desestimar? Desconecten sus teléfonos móviles y agárrense…

Hay una regla más o menos sencilla: el número r de cajas a desestimar es el número entero más próximo a N/e donde e es el número de Euler que es aproximadamente igual a 2,71828182845905 (no es un número racional y por tanto tiene infinitas cifras decimales que no se repiten de forma periódica).

Sí, yo también me quedé con esa cara cuando lo leí… es normal… ¿¿El número e??

Pues sí, desechando ese número de cajas, podemos asegurar que siempre obtendremos un éxito de al menos 1/e de los casos: un 36,8%, por muy grande que sea el número de cajas. La tabla anterior añadiendo una fila con los valores obtenidos al dividir el número de cajas entre e, quedaría:

Por ejemplo, para 10000 cajas, N=10000, tendríamos 10000/e= 3678,794411714, descartamos las 3679 (éste es el número entero más próximo a 3678,794411714) primeras cajas, y nos quedamos con la primera de las restantes que supere en dinero a todas las 3879 descartadas inicialmente y … ¡Tachán! La probabilidad de éxito es del 37%…

Por Euler, ¿¿no es maravilloso y sorprendente??

Ay… una se pregunta, ¿a cuántos incompetentes tendríamos que desechar para quedarnos con alguien que sepa arreglar este país con una probabilidad de éxito tan alta? En fin…

Este problema se conoce como el Problema de la secretaria, el Problema de la dote del Sultán, del Pretendiente exigente y no sé si algún otro nombre más. Podéis conocer más si queréis aquí y aquí.