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El teorema más importante del siglo XX

teorema.

(Del lat. theorēma, y este del gr. θεώρημα).

1. m. Proposición demostrable lógicamente partiendo de axiomas o de otros teoremas ya demostrados, mediante reglas de inferencia aceptadas.

DICCIONARIO DE LA LENGUA ESPAÑOLA – Vigésima segunda edición

 

Ésta es la definición de teorema que encontramos en el Diccionario de la Lengua Española de la R.A.E. Si queremos tratar de explicarlo de una forma más llana y asequible para todos los públicos, podríamos decir que un teorema es un resultado matemático, una afirmación,  de un hecho relevante que se ha demostrado basándose en otros teoremas (anteriormente demostrados) o también en axiomas, que son declaraciones aceptadas por todos.

Estoy segura que todos los que están leyendo esta entrada conocen más de un teorema. Por ejemplo, el famoso teorema de Pitágoras gracias al cual, por ejemplo, podemos calcular la distancia entre 2 puntos en un plano, sin más que conocer sus coordenadas, como ya vimos por aquí hace no mucho tiempo. A lo largo de la historia muchos matemáticos han dedicado sus esfuerzos a demostrar teoremas consiguiendo con ello el avance de las Matemáticas, y como consecuencia, sirviendo de soporte a otras Ciencias,  permitiendo y contribuyendo al avance de nuestra civilización.

Ahora bien, ¿se puede uno plantear hacer una clasificación de teoremas en función de su importancia? ¿Cómo se mide la importancia de un teorema? Parece razonable aceptar que una medida de la importancia de un resultado matemático es la cantidad de veces que éste ha sido utilizado. Pero aunque razonable, es una medida que es imposible determinar, ¿cómo saber cuántas veces se ha utilizado el teorema de Pitágoras desde su prueba hasta nuestros días? No, no se puede calcular.

¿Y si nos restringimos al siglo XX? En el siglo pasado y gracias a las publicaciones científicas, tenemos mejor catalogados los trabajos de matemáticas y de cualquier otra ciencia que fueron publicados. Es por esta razón por lo que la comunidad científica acepta como medida del impacto de un trabajo de investigación el número de veces que éste ha sido citado en otros trabajos. Existen bases da datos que pueden ser consultados por los investigadores para conocer el impacto, es decir, el número de veces que su trabajo o cualquier trabajo, ha sido citado por otros. Si queremos hacer una analogía con redes sociales, en algún sentido y con muchas comillas, es como medir la importancia de un tweet en Twitter por la cantidad de veces que ha sido retuiteado, o en Facebook, por la cantidad de veces que ha sido compartido en los muros de otros.

Henri Poincaré

Alguien podría pensar que en lugar de mirar estos indicadores numéricos, se podrían clasificar los resultados matemáticos acudiendo a la voz de expertos en Matemáticas que los evaluasen en función de criterios tales como dificultad, trascendencia… Pero debido a la diversificación de las Matemáticas, sobre todo en el siglo pasado, no existe ningún matemático que pueda ejercer esta  tarea porque ninguno conoce toda la Matemática, parece ser que fue Poincaré el último matemático que conocía y entendía toda la matemática de su época.

Así las cosas, no nos queda otra opción razonable, si queremos identificar el teorema más importante del siglo XX, que atender al  número de veces que éste ha sido citado en otros trabajos.

Cuando planteas la pregunta “¿cuál es el teorema más importante del siglo XX?” son muchos los que nombran al Último Teorema de Fermat o el Teorema de los 4 Colores, por ejemplo, puesto que han sido éstos dos teoremas, sobre todo el primero, que, independientemente de la importancia del resultado, han sido bastante mediáticos. Sin embargo, ninguno de los 2 ha sido el teorema más importante del siglo pasado si atendemos como medida el número de veces que ha sido citado. Posiblemente debido al hecho de que se demostraron cuando el siglo estaba bastante avanzado: el último teorema de Fermat se demostró en 1995 y el teorema de los 4 colores en 1976.

 

Kazimierz Kuratowski

El teorema del siglo XX que más veces ha sido citado es el Teorema de Kuratowski. Este teorema sirve para caracterizar qué grafos son planos. Ya hablamos en esta misma sección de grafos planos y de este teorema, cuando hablamos del diseño del mapa del metro de Londres. Un grafo es plano si se puede dibujar sin que las líneas que unen a los puntos se corten entre ellas. Si tenemos, por ejemplo, el siguiente grafo, ¿es plano?

Efectivamente, lo es, porque se puede dibujar sin cruces entre las líneas como podemos ver en la figura siguiente:

Pero no siempre es tan inmediato decidir si el grafo es plano o no, porque, por ejemplo, puede tener muchos vértices y muchas conexiones. Lo que asegura el teorema de Kuratowski es que los grafos planos son aquellos que no contienen ni al grafo K5 ni al grafo K 3,3, que son los que aparecen en la figura siguiente.

El hecho de que este teorema haya sido tan citado desde su publicación en 1930 se debe también a la aplicabilidad de la Teoría de Grafos en general y del estudio de la planaridad de los mismos en particular, no sólo al diseño de circuitos como ya comenté anteriormente, sino también en multitud de problemas relacionados con la Informática Gráfica.

Pues bien, el teorema más citado del siglo XX lleva el nombre del matemático polaco Kazimierz Kuratowski por cuestión de días. Dos matemáticos norteamericanos, Orrin Frink y Paul A Smith, demostraron el mismo resultado, independientemente y casi a la vez, pero como el de Kuratowski ya estaba publicado, el trabajo de Frink y Smith nunca se publicó. Se quedaron a las puertas de dejar su nombre al teorema más importante del siglo XX.