Puede que algunos de vosotros se pregunten quién es el tal Monty Hall que le da título a esta entrada; ese secreto lo voy a desvelar muy pronto.  Monty Hall es, entre otras cosas, un presentador de la televisión norteamericana que se hizo muy famoso con el programa Let’s make a deal, un programa con una dinámica muy similar a la de la fase de la subasta en nuestro popular Un, dos, tres… responda otra vez que contribuyó a la colonización de Torrevieja (Alicante).  A los de cierta edad no hace falta que les explique en qué consistía la fase de la subasta de Un, dos, tres y a los más jóvenes se lo explicaré en su debido tiempo: un poco más adelante. Ahora bien: ¿qué tiene que ver Monty Hall con un blog de matemáticas? Pues mucho más de lo que algunos pueden llegar a creer porque el nombre de  Hall aparece en casi todos los blogs de matemáticas tarde o temprano y eso que ese personaje nunca ha hecho matemáticas, ni nos consta ninguna aportación suya a dicha rama del saber. Sin embargo,  su nombre va asociado a una de las paradojas más llamativas de la probabilidad.

La probabilidad es una rama de las matemáticas con profundas relaciones con la estadística y la combinatoria y que siempre, desde sus comienzos con Pascal y Fermat a mediados del siglo XVII, ha estado muy ligada con la teoría de juegos. Los casos más simples de probabilidad son, realmente eso, simples. Por ejemplo, todo el mundo sabe que la probabilidad de obtener cara al tirar una moneda bien compensada es de ½ y que la probabilidad de que salgan dos veces caras si tiras la moneda dos veces es de ¼… Bueno, esto último no es del todo cierto. Me explico: esa probabilidad sí es ¼, pero no todo el mundo lo sabe: el 60% de los diputados británicos fallaron en dicha pregunta cuando le fue formulada.  No obstante existen casos que son relamente sorprendentes, uno de ellos es el conocido como problema de Monty Hall.

La idea del concurso consiste en lo siguiente: tenemos tres puertas cerradas, detrás una de las puertas hay un buen regalo (digamos un coche o el apartamento en Torrevieja) y en las otras dos hay muy malos regalos (una cabra en el programa norteamericano, una calabaza en el español), al concursante se le pide que escoja una de las tres puertas. Una vez escogida, el presentador (Monty Hall), que sabe dónde está el coche, abre una de las otras dos puertas, siempre una en la que no está el coche, con lo cual quedan dos puertas cerradas: la escogida inicialmente y una de las dos no escogidas. en ese momento se le da al concursante la opción de cambiarse ¿debería hacerlo?

Me gustaría que antes de seguir leyendo, el lector trate de llegar a una conclusión por si mismo.

¿Ya?

Seguimos. Intuitivamente se piensa que como son tres puertas, la probabilidad de que esté en cada una de ellas es ⅓, así que el cambiarse o no es indiferente, pero este razonamiento no es del todo correcto por cómo se ha llevado a cabo todo. Tratamos de explicarnos:

1) El concursante escoge una puerta (digamos la 1), la probabilidad de que el coche esté tras esa puerta es efectivamente ⅓, por lo tanto cuando el concursante escoge esa puerta, su probabilidad de ganar es de ⅓. La probabilidad de que el coche no esté tras esa puerta es de ⅔.

2) Al abrir el presentador una de las dos puertas restantes (una que siempre está no premiada), la probabilidad anterior no cambia ya que siempre al menos una de las dos puertas no escogidas no contiene al coche y el presentador tiene siempre la opción de escoger una puerta no premiada.

3) Si el coche no estaba en la puerta escogida inicialmente (recordemos que la probabilidad de que ello fuera así, tal y como dijimos en el punto 1, es de ⅔) , forzosamente ha de estar en la puerta no escogida que se ha quedado cerrada, por lo tanto, la probabilidad de que el coche esté en esta puerta es de ⅔.

Resumiendo: la probabilidad de ganar el coche si no se cambia de puerta es de ⅓, mientras que la probabilidad de ganar si se cambia de puerta es de ⅔: justo el doble.

Por si algún lector aun no está convencido, piénsese que en vez de tres puertas hay un millón, el concursante escoge una de las puertas y, por tanto, la probabilidad de acertar es de 1/1.000.000 y la probabilidad de que el coche esté en alguna de las otras puertas es de 999.999/1.000.000, pero si el presentador abre de esas 999.999 todas menos una, sabemos que el coche no está en ninguna de las abiertas, luego como la probabilidad de estar en la primera es 1/1.000.000, la probabilidad de estar en la única de las restantes que permanece cerrada es ese 999.999/1.000.000, luego evidentemente se ha de cambiar ¿no?

Ea, pues ya tenéis tema de conversación para el café de esta mañana, porque a algunos cuesta convencerlos 😉

P.S.: Qué angustia me daban siempre las cacho gafas que llevaban las azafatas del Un, dos, tres… Me pasaba todo el programa arrugando la nariz para que no se me cayesen las mías…