BLOGS

Entradas etiquetadas como ‘Teorema de Pitágoras’

¡Unamos los pueblos!

Hoy os quisiera plantear un problema de los llamado de optimización, uno de esos problemas que puede parecer, a primera vista, más simple de lo que en realidad es.

Supongamos que tenemos cuatro pueblos cercanos que, por alguna razón, aún no están comunicados entre sí: igual ha pasado un huracán y ha destruido las carreteras que existían o, peor aún, un banco las ha expropiado y se las ha quedado sin saber qué hacer con ellas. Da igual, el caso es que queremos construir carreteras que las unan y estamos en una suposición, por lo tanto, podemos suponer que no nos sobra el dinero y queremos construir la red de carreteras con menos kilómetros, la más económica. El último dato que nos falta es que las ciudades se encuentran formando un cuadrado de lado 10 km. Así tenemos el siguiente diagrama:

En principio, el problema no parece tan difícil, ya que todas los posibles formas de unir los vértices de un cuadrado usando el menor número de carreteras (segmentos de rectas empezando y terminando en ciudades) son los que presentamos a continuación:

Y se puede comprobar que los de la primera fila suman una distancia total de 30 km, los de la segunda (usando el teorema de Pitágoras) de 20+√200 km que son algo más de 34 km. Así que parece claro que gana cualquiera de los diseños de la primera fila. Pero ¿son esas todas las posibles soluciones?

 

En principio no, porque hay otros diseños con la misma longitud que los de la primera fila y que presentan algunas ventajas sobre las anteriores, como las dos que presentamos ahora:

Si nos fijamos estos dos diseños tienen también una longitud de 30 km y la ventaja a la que nos referíamos es que la distancia más larga entre los pueblos es más corta que la distancia más larga en aquellos diseños como el que tenía forma de U: para los de forma de U la distancia más larga posible entre dos pueblos es de 30 km, mientras que en el diseño en H la distancia más larga entre dos pueblos es de 20 km.

Pero todavía lo podemos hacer mejor.  Si consideramos unir cada par de ciudades diagonalmente opuestas por sendas carreteras con un cruce (o una rotonda si tenemos un alcalde al que le gusten mucho: por aquí por el sur, el de Dos Hermanas, por ejemplo), tendremos un diseño en X:

 

La longitud total de esa red de carreteras es poco más de 28 km (de nuevo usando Pitágoras). Y parece que ya no se va a poder mejorar, pero estaremos equivocados

Entonces, ¿tenemos diseño ganador? Pues no, porque podemos modificar ligeramente los diseños en H hasta obtener algo así:

Está demostrado que la longitud mínima se alcanza cuando escogemos los puntos de cruce de las carreteras  de forma que éstas formen un ángulo de 120º en los puntos en los que se bifurcan.

 

Es fácil calcular cómo se ha de escoger el punto en el que las carreteras se bifurcan para que sea óptimo el diseño.

Si nos fijamos  el triángulo ABC es un triángulo rectángulo (el ángulo en C es de 90º) y el ángulo en B debe ser la mitad de 120º , 60º, por lo tanto, puesto que los ángulos internos de un triángulo suman 180º, tenemos que el ángulo en A (en el triángulo ABC) es de 30º. Si hacemos una  copia del triángulo ABC (pegando por el lado AC), y nos fijamos en el triángulo ABB’, éste es un triángulo equilátero (puesto que los ángulos en A, B y B’ son de 60º los 3) y por tanto BC es la mitad de AB, como AC vale 5 km, usando el teorema de Pitágoras tenemos que el lado BC mide 5/ √3 y por lo tanto,  obtenemos que la longitud total de esta red de carreteras es de 10+10√km que es algo más de 27 km y es el ganador absoluto.

Ahora es el momento en el que planteo: ¿y si en vez de cuatro ciudades son tres todas a la misma distancia? ¿Y cinco?

Si queréis ver la solución a estos problemas, se puede este vídeo maravilloso (está en inglés, pero creo que es suficientemente ilustrativo y muy recomendable), donde se da la solución para los distintos casos, pero lo más interesante es que llega a dicha solución con la única ayuda de unas pompas de jabón. Por cierto, esto me da una idea de la que hablaros otro día: de las matemáticas de las pompas de jabón. Pero eso será en otra ocasión.

 

 

Paseando por la Gran Manzana (sin Euclides de la mano)

En capítulos anteriores vimos cómo la distancia más corta entre dos puntos de la superficie terrestre no siempre es lo que parece. Así, la distancia más corta entre Sevilla y la capital de las Islas Salomón viene dada por esta curva:

 

Pero, ¿es ese un fenómeno que se da sólo porque la esfera no es plana? ¿si nos restringimos a porciones más pequeñas de la Tierra, como ciudades, que son casi un plano, podemos considerar que la línea recta es la distancia más corta entre dos puntos? Bueno, la verdad es que no del todo puesto que otras consideraciones aparecen en este caso. Así que tratemos de fijar conceptos:

Supongamos que estamos en una gran ciudad y queremos llegar de un punto a otro, ¿consideraremos la recta como el camino óptimo? Si se puede ir en línea recta sí, pero, en general la línea recta entre dos puntos en una ciudad implica atravesar edificios lo cual puede traer inconvenientes que no ha lugar considerarlos aquí. Entonces me parece que no es mala idea buscar la distancia más cortas en una ciudad “andando por las calles” (el problema de circular es ligeramente más complicado puesto que implica direcciones únicas). como paradigma de ciudad para este ejemplo se suele tomar es el de la parte central de Manhattan por estar muy bien estructurado.Así supongamos que queremos ir de un punto a otro de Manhattan (con o sin la compañía de Euclides) y que no vamos a atravesar rascacielos porque eso no está bonito, no. ¿Cuál será esa ruta?

Figura 1

En la Geometría Euclideana, que es la geometría que todos aprendemos desde nuestros primeros años de estudios, la distancia entre dos puntos se mide como la longitud del segmento que los une, o dicho de otra forma, como el módulo del vector que esos dos puntos definen. Esa forma de medir la distancia es conocida como distancia euclídea y es la que usamos cuando medimos usando un metro entre los dos extremos de lo que queremos medir. En realidad, se trata de una consecuencia del Teorema de Pitágoras. Si tenemos dos puntos en el plano de coordenadas (a,b) y (c,d) respectivamente y queremos calcular la distancia euclídea entre ellos, basta con fijarse que la longitud de los catetos del triángulo rectángulo que definen son (c-a) la de uno y (d-b) la del otro.  Entonces, por el Teorema de Pitágoras, sabemos que la distancia euclídea se mide como

Ahí todo está bien y correcto, pero esa no es la única forma de medir la distancia entre dos puntos en el plano. Existe otra distancia, conocida como Distancia de Manhattan o Distancia L1, que mediría la distancia entre los puntos de la Figura 1 como

Es decir, la suma de las longitudes de los dos catetos del triángulo rectángulo. O bien, la de cualquier ruta que una al punto (a,b)  con el punto (c,d) a través de segmentos horizontales y verticales, en otras palabras, la longitud de cualquier escalera que suba desde (a,b)  con el punto (c,d)


En verde, la distancia euclídea, y en rojo, azul y amarillo, la distancia Manhattan: todas ellas son rutas óptimas. (Imagen  sacada de aquí)

 

Pues bien, cuando se trata de diseñar rutas de recorrido mínimos en ciudades, tiene más sentido usar esta distancia que la Euclídea, por lo de no atravesar rascacielos que habíamos dicho. Es más, puesto que todas las ‘escaleras’ tienen la misma longitud, nos permite elegir entre distintas opciones, en función de semáforos, zonas de dudosas seguridad, etc…

Evidentemente, no todas las ciudades, ni siquiera Nueva York, están distribuidas como una cuadrícula, pero se considera para según qué problemas de dieños de rutas este tipo de distancia. Y también, cómo no, en el diseño de circuitos ortogonales en los que predominan la conexiones en vertical y horizontal, o en el de un plano de metro.

Otra cosa que no diríamos si pensáramos con la distancia de Manhattan es “No había nadie en 10 Km a la redonda” Porque cuando utilizamos esta expresión, estamos intrínsecamente midiendo con la distancia euclídea. Con esta distancia, la que usamos habitualmente en el día a día, los puntos que están a menos distancia de 10 Km de nosotros, son aquellos que están contenidos en un círculo alrededor nuestra de radio 10 Km.

Pero si pensáramos con la distancia de Manhattan, no sería un círculo, sino ¡un rombo!

Todos los puntos de la frontera del círculo de la izquierda están a la misma distancia euclídea del origen de coordenadas, y todos los puntos de la frontera del rombo de la izquierda están a la misma distancia L1 del origen de coordenas, como se explica en la siguiente figura:

El punto verde y el punto rojo están a la misma distancia del punto azul (nótese que el ángulo formado por el rombo y el eje en el punto verde es de 45º y, por lo tanto, la longitud de los dos catetos del triángulo rectángulo formado es la misma, está representada con a en la Figura) Y en general, cualquier punto de la frontera del rombo está a la misma distancia del origen (punto azul).


Ahora vamos a ver, que  dependiendo de la distancia elegida, el punto más cercano a uno dado puede ser distinto, lo que sería de utilidad conocer a la hora de diseñar rutas de longitud mínima, por ejemplo, para empresas de distribución, mensajería…

Si usamos la euclídea (la usual) el punto rojo está más cerca del origen (en azul) mientras que si usamos la de Manhattan el origen esá más cerca del punto verde. 

 

 Eso sí, puede que la distancia Manhattan sea más práctica y refleje mejor la realidad en el diseño y optimización de rutas de distribución, pero mi experiencia como madre me permite asegurar que cuando somos niños es la distancia eulcídea la que ‘traemos’ instalada: “De aquí para acá, mío, de aquí para allá, tuyo”.

Pues bien, ahora que ya conocemos la distancia Manhattan, os formulo una pregunta. Si tenemos dos puntos sobre el plano, P y Q, los puntos que están a la mitad de camino entre P y Q, a la misma distancia de ambos, definen una recta que conocemos, como mediatriz. ¿Y si usamos la distancia L1,? ¿Qué aspecto tiene la mediatriz entre P y Q?

PS: Cuando explico esta distancia a mis estudiantes no puedo resistir la tentación de llamarla Distancia del Ensanche, y es que Barcelona es mi debilidad (aunque Nueva York no está nada, pero nada mal).



Esas raíces tan… cuadradas

Anteriormente en Mati, una profesora muy particular… 

 

En el capítulo de hoy…

 

–¿Has terminado tus deberes, Sal?

–Casi. Me falta muy, muy poco.

–¡Bien! Ahora podemos ir a jugar al parque.

–No, voy a esperar a Mati que está a punto de llegar. Quiero que me enseñe a hacer raíces cuadradas.

–Jo, pero eso debe ser muy complicado, gafotas…

–¿Qué es lo que debe ser muy complicado para estos dos niños tan listos? –Mati acababa  de entrar.

–¡Hola, Mati! –saludó Sal efusivamente.

–Hola, Mati, –saludó el pequeño Ven — Calcular raíces cuadradas. Yo sólo estoy en segundo…

 

–Bueno, pero te voy a enseñar un método para hacerlo en el que sólo se necesita saber sumar, multiplicar y dividir. Y como Sal está en 5º y ya sabe hacerlo…

El gafotas sonrió orgulloso.

–¿Sólo con eso? –preguntó Sal.

–Sólo con eso, caballeros –afirmó Mati –¿Queréis que os lo cuente?

–¡Sí! –respondieron al unísono los dos hermanos.

–A ver, decidme un número… –dijo la pelirroja.

–Pero, Mati, ¿qué significa la raíz cuadrada? –preguntó Ven arrugando mucho la naricilla.

–La raíz cuadrada de un número es otro número de forma que si éste lo multiplicamos por sí mismo, nos sale el primero –respondió ella.

Ante la cara de desconcierto del pequeño Ven, Mati continuó:

–Por ejemplo, la raíz cuadrada de 4 es 2, porque 2 x 2 es 4, ¿me explico?

–Entiendo… –dijo Ven pensativo  –O sea que la raíz cuadrada de 9 es 3, porque 3 x 3 es 9, ¿no es así?

–Efectivamente, muy bien, Ven.

–¿Nos podemos ir ya al parque?

–No, Ven –protestó su hermano — Ésas son las fáciles –y dirigiéndose a Mati dijo –Quiero calcular la raíz cuadrada de … de 247.

–Toma… –se asombró el pequeño.

–Muy bien –dijo Mati– Decidme un número que creáis que podría ser la raíz cuadrada de 247.

Sal se puso a pensar, Ven puso la mano en el hombro de su hermano mostrando apoyo moral.

–Bueno… –pensaba el gafotas —10 x 10 son 100…es muy poco…20 x 20 son 400 eso es mucho …15 x 15 es… 15  x 10 que son 150 más 15 x 5 que son 5 x 5 x 375… O sea, 225… Es poco, también…

–Sí, pero está cerca de 247 –dijo Mati– Empecemos con 15, por ejemplo. podemos empezar con cualquier número que multiplicado por sí mismo dé menos que 247.

Mati tomó su libreta.

–Ahora nos preguntamos, ¿es 15 la raíz cuadrada de 247? Si no sabemos cuánto es 15 x 15, para comprobar si 15 es la raíz cuadrada de 247, dividimos 247 entre 15. Si no sale 15, es que no es su raíz cuadrada.

–¿Puedo hacer yo la división, Mati? –preguntó Sal.

–¡Claro!

Sal se puso a trabajar en la libreta.

–¿Cuántos decimales saco?

–Nos conformaremos con 3.

–De todas formas, ya sé que todos los demás serán 6... -añadió Sal.

 

 

–Ahora hacemos lo siguiente: como nuestro primer candidato, 15, no era la raíz cuadrada de 247, nos fijamos en el resultado de dividir 247 entre 15, que es 16’466. Hacemos las media entre el primer candidato y el resultado de esta división, y tendremos el segundo candidato a ser la raíz cuadrada de 247 : 15’733.

 

 

–¿Y ahora, Mati? –preguntó Sal impaciente.

–Vamos a hacer lo mismo. Dividimos 247 entre el segundo candidato, 15’733,  para ver si es su raíz cuadrada, si no nos sale el segundo candidato, hacemos la media entre él y el resultado de la división para obtener el tercer candidato. Lo vamos a escribir en una tabla para que se vea más claro el proceso.

 

 

–Y ahora, Mati, dividimos 247 entre el tercer candidato, que es 15’716, a ver si nos sale lo mismo, ¿no? –preguntó el gafotas.

–Eso es –respondió ella.

 

 

–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! ¡Ya nos ha salido! –el pequeño Ven no supo disimular su emoción.

–La raíz cuadrada de 247 es 15’716 –dijo Sal con voz de presentador de televisión.

–Sí, señor. Si queréis obtener más cifras decimales, basta con obtener más decimales desde el principio de este proceso.

–¡Qué fácil, Mati! –Sal estaba entusiamado.

–Sí, este método permite fácil y rápidamente calcular la raíz cuadrada de un número y es más fácil de recordar que el que me contaron a mí cuando iba al cole –respondió la pelirroja.

–¿Cómo era? –quiso saber Sal.

–Al final, no iremos al parque… -se quejó su hermano.

–Veréis hacíamos un dibujo como éste. Separábamos las cifras de 2 en 2, empezando por la derecha y nos fijábamos en las 2 que se quedaban más a la izquierda. En este caso sólo una, el 2. Ahora pensamos qué número al cuadrado, es decir, multiplicado por sí mismo, da 2 o menos de 2, que es la cifra que estamos mirando.

 

–¡El 1! –dijo Sal inmediatamente.

–Muy bien, Sal. Ése lo ponemos ya arriba en naranja, porque es definitivo. Ahora restamos 1, a 2 y bajamos las dos cifras siguientes. tenemos el 147. Separamos la cifra de la derecha, el 7, y nos fijamos en 14.

 

–En otro nivel, que marcamos con otra línea, multiplicamos 2 por el número que está arriba ya definitivo, el que hemos puesto en color naranja. En nuestro caso, 2 x 1, que es 2. Tenemos que conseguir un número A de forma que 2A x A, sea menor que 147. Probamos con A igual a 7, que es el número que hemos separado, 14, dividido por 2, que hemos obtenido de 2 x 1.

 

–No, vale, Mati –dijo Ven –Sale 189.

–Probemos con A igual a 6

–Tampoco vale –protestó el pequeño — Sale 156.

–A ver con A igual a 5

 

–¡Toma, éste sí! –contestó ven con alegría –Es 125, menor que 147.

–Muy bien, Ven. Subimos el 5 arriba, lo ponemos en naranja, porque es definitivo. Restamos 125 de 147 y para poder calcular decimales, como no nos quedan más números, bajamos dos ceros y repetimos el proceso –continuó Mati — Separamos el 0 de la derecha de 2200, nos quedan 220. Multiplicamos 2 por la cifra naranja, 15, nos da 30 y necesitamos un número A de forma que 30A  x A sea menor que 2200. probamos con 220 dividido entre 30, o sea , 7, y sí, sale. Subimos el 7 arriba, en naranja.

 

 

 

–Es un poco lío, Mati… –se quejó Ven.

–Sí, el primero era más fácil –corroboró Sal.

–Efectivamente –dijo ella –y todavía sólo hemos sacado un decimal, si queremos 3, como antes, tendremos que seguir añadiendo ceros de 2 en 2.

–Pues yo me quedaré con el primero para calcular las distancias con el teorema de Pitágoras –concluyó Sal.

–¿Y si hablamos de esto en el parque? –preguntó Ven con una sonrisa pícara.

–Yo creo que sí –respondió la gafotas –Este perrito necesita un poco de aire fresco…

 

A lo mejor Gauss no estaba tan equivocado con los de sus raíces cuadradas, mirad si no cómo son los árboles que rodean la facultad de Matemáticas de la Universidad de Sevilla… 😉

Foto de Zifra