BLOGS

Entradas etiquetadas como ‘Raíces cuadradas’

Redonda, sí, pero no es una función

Anteriormente en Mati, una profesora muy particular…

–¡Moooooooooooooola! –volvió a exclamar el pequeño.

–Sí, mola –corroboró Mati –. La recta de ecuación 2x -3y +1=0 es la gráfica de la función f(x)=(2x+1)/3.

–¿Todas las rectas son gráficas de una función, Mati? –preguntó el gafotas.

–Todas, menos las rectas verticales  –dijo ella –. Basta que despejéis, en la ecuación de la recta, el valor de y y lo que os salga es la función de x que estáis representando.

–¡Toma! –exclamó Ven –¡Y lo podremos hacer también con las ecuaciones de las circunferencias!

–¡No! –dijo de pronto Mati –Las circunferencias no son la gráfica de una función, sino de 2 funciones…

–Sí, hombre… –dijo Ven desconfiado. –Piensa un poco –le retó la pelirroja –, a ver si sabes por qué. Pero ahora vamos que es la hora de la función de Sal.

En el capítulo de hoy…

–¿Nos lo cuentas, Mati? –pidió Ven con cara de no haber roto un plato en su vida.

–¿Qué queréis que os cuente, Ven? –dijo ella.

–Por qué dijiste que las circunferencias no son una función como las rectas.

–Ah, eso –exclamó Mati –. Con mucho gusto, caballeros. Os explicaré por qué las circunferencias no son la gráfica de una función.

Mati20Blogs_45p

Sal y Ven sacaron su cuaderno dispuestos a escuchar la explicación de Mati. Gauss no parecía demasiado interesado, la verdad.

–Como os dije la otra tarde –comenzó a decir la pelirroja –, una función es una regla o ley que te permite asignar a cada elemento de un primer conjunto un único elemento de otro conjunto.

–¿Y? –preguntó el gafotas.

–Cuando tenemos una recta, los puntos sobre el   eje horizontal, el de abscisas, os lo conté cuando explicamos coordenadas cartesianas, son elementos del primer conjunto –les dijo –, y la función, cuya gráfica está representada por dicha recta, asigna a cada punto del eje de abscisas, o mejor dicho, al valor que representa,  la segunda coordenada del único punto sobre la recta que tiene como primera coordenada dicho valor en la abscisa.

Los niños arrugaron sus caritas como pasas. Gauss ladró bajito haciéndose el interesante.

–¿Lo vemos con un ejemplo? –preguntó Mati.

–Por favor –dijo Sal.

–Vamos a dibujar en nuestros ejes coordenados la recta de ecuación y=2x + 1 –dijo Mati –, que es la gráfica de la función f(x)=2x+1. Para ello solo necesitamos dar 2 valores a x, porque por 2 puntos pasa una única recta. Para x igual a 0, y será 2 por 0 más 1, o sea 1. La recta pasa por el punto (0,1). Para x igual a 1, y será igual a 2 por 1, 2, más 1, o sea 3, la recta pasa por el punto (1, 3).

funciones2_1

–Ahora, ya veréis como a cada punto del eje de abscisas –continuó Mati –solo le corresponde un valor de la función f(x)= 2x + 1. Decidme un número.

–¡El 4! –gritó Ven.

–Para calcular el valor que nuestra función asocia al número 4 –dijo ella –o bien sustituimos x por 4 en la función, o bien, trazamos una recta vertical sobre el 4 del eje de abscisas.

funciones2_2

–Pintamos la recta vertical que pasa por el 4 –dijo Mati –que en realidad es el punto (4,0) del plano. Esta recta vertical será la recta de ecuación x=4 y vamos a ver cómo sólo corta a nuestra función, la recta verde.  en un único punto:

funciones2_3

 

–La corta en el punto (4, 9) –dijo Sal.

–Y sólo en el (4, 9) –añadió Mati –. Eso significa que f(4)=9, es decir, que la función asocia al 4 el valor 9.

–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! –exclamó Ven.

–Vamos a ver ahora qué pasa con la circunferencia –les propuso Mati –. Decidme el centro y el radio.

–El centro será el (0,0) –dijo de repente el pequeño.

–Y de radio 5 –añadió el gafotas.

–Vamos a calcular su ecuación como os enseñé –les propuso ella.

 

funciones2_4  

–La ecuación es x2 + y2= 25 –dijo Sal.

–Ahora la dibujamos en nuestros ejes coordenados –dijo ella.

funciones2_5 

–Veréis qué pasa si quisiéramos calcular la imagen del 2 –propuso Mati –en la función cuya gráfica es la circunferencia verde. Para ello, como antes, dibujamos la recta vertical sobre el 2, la recta de ecuación x=2.

 

funciones2_6

–¡Toma, toma, toma! ¡Es verdad! –gritó Ven –¡Es verdad!

–¿Y por qué pasa eso? –quiso saber el gafotas.

–Pues verás  –empezó diciendo ella –, si despejamos y en la ecuación de la circunferencia nos queda:

 

funciones2_7

–Pero, Mati –dijo Sal –, has conseguido despejar y en la ecuación, entonces ¡es una función!

–No –respondió esta –, porque no da un único valor para cada x

–¡Anda que no! –dijo Ven.

–Pues no –dijo Mati respondona –¿Cuánto vale la raíz cuadrada de 4?

–¡2! –dijo Sal con entusiasmo.

–O -2 –añadió la pelirroja –Porque -2 al cuadrado también es 4.

–Ah, claro –reconoció el gafotas.

–Si en la ecuación de la circunferencia –continuó ella –sustituimos x por 4, ¿qué ocurre?

 

funciones2_8

 

–¡Tooooooooooooomaaaaaaaaaaa! –gritó Ven.

–Por eso –dijo Mati –, cuando aparece la raíz cuadrada ponemos delante +√9, -√9 o, incluso ±√9, si queremos indicar que consideramos los 2 posibles valores de la raíz cuadrada.

–Ajá –asintió el gafotas, mientras su hermano seguía mirando el dibujo de la circunferencia de centro (0,0) y radio 5 que habían dibujado en el cuaderno.

–¡Qué pena! –dijo –Tan redondita y no es una función…

Esas raíces tan… cuadradas

Anteriormente en Mati, una profesora muy particular… 

 

En el capítulo de hoy…

 

–¿Has terminado tus deberes, Sal?

–Casi. Me falta muy, muy poco.

–¡Bien! Ahora podemos ir a jugar al parque.

–No, voy a esperar a Mati que está a punto de llegar. Quiero que me enseñe a hacer raíces cuadradas.

–Jo, pero eso debe ser muy complicado, gafotas…

–¿Qué es lo que debe ser muy complicado para estos dos niños tan listos? –Mati acababa  de entrar.

–¡Hola, Mati! –saludó Sal efusivamente.

–Hola, Mati, –saludó el pequeño Ven — Calcular raíces cuadradas. Yo sólo estoy en segundo…

 

–Bueno, pero te voy a enseñar un método para hacerlo en el que sólo se necesita saber sumar, multiplicar y dividir. Y como Sal está en 5º y ya sabe hacerlo…

El gafotas sonrió orgulloso.

–¿Sólo con eso? –preguntó Sal.

–Sólo con eso, caballeros –afirmó Mati –¿Queréis que os lo cuente?

–¡Sí! –respondieron al unísono los dos hermanos.

–A ver, decidme un número… –dijo la pelirroja.

–Pero, Mati, ¿qué significa la raíz cuadrada? –preguntó Ven arrugando mucho la naricilla.

–La raíz cuadrada de un número es otro número de forma que si éste lo multiplicamos por sí mismo, nos sale el primero –respondió ella.

Ante la cara de desconcierto del pequeño Ven, Mati continuó:

–Por ejemplo, la raíz cuadrada de 4 es 2, porque 2 x 2 es 4, ¿me explico?

–Entiendo… –dijo Ven pensativo  –O sea que la raíz cuadrada de 9 es 3, porque 3 x 3 es 9, ¿no es así?

–Efectivamente, muy bien, Ven.

–¿Nos podemos ir ya al parque?

–No, Ven –protestó su hermano — Ésas son las fáciles –y dirigiéndose a Mati dijo –Quiero calcular la raíz cuadrada de … de 247.

–Toma… –se asombró el pequeño.

–Muy bien –dijo Mati– Decidme un número que creáis que podría ser la raíz cuadrada de 247.

Sal se puso a pensar, Ven puso la mano en el hombro de su hermano mostrando apoyo moral.

–Bueno… –pensaba el gafotas —10 x 10 son 100…es muy poco…20 x 20 son 400 eso es mucho …15 x 15 es… 15  x 10 que son 150 más 15 x 5 que son 5 x 5 x 375… O sea, 225… Es poco, también…

–Sí, pero está cerca de 247 –dijo Mati– Empecemos con 15, por ejemplo. podemos empezar con cualquier número que multiplicado por sí mismo dé menos que 247.

Mati tomó su libreta.

–Ahora nos preguntamos, ¿es 15 la raíz cuadrada de 247? Si no sabemos cuánto es 15 x 15, para comprobar si 15 es la raíz cuadrada de 247, dividimos 247 entre 15. Si no sale 15, es que no es su raíz cuadrada.

–¿Puedo hacer yo la división, Mati? –preguntó Sal.

–¡Claro!

Sal se puso a trabajar en la libreta.

–¿Cuántos decimales saco?

–Nos conformaremos con 3.

–De todas formas, ya sé que todos los demás serán 6... -añadió Sal.

 

 

–Ahora hacemos lo siguiente: como nuestro primer candidato, 15, no era la raíz cuadrada de 247, nos fijamos en el resultado de dividir 247 entre 15, que es 16’466. Hacemos las media entre el primer candidato y el resultado de esta división, y tendremos el segundo candidato a ser la raíz cuadrada de 247 : 15’733.

 

 

–¿Y ahora, Mati? –preguntó Sal impaciente.

–Vamos a hacer lo mismo. Dividimos 247 entre el segundo candidato, 15’733,  para ver si es su raíz cuadrada, si no nos sale el segundo candidato, hacemos la media entre él y el resultado de la división para obtener el tercer candidato. Lo vamos a escribir en una tabla para que se vea más claro el proceso.

 

 

–Y ahora, Mati, dividimos 247 entre el tercer candidato, que es 15’716, a ver si nos sale lo mismo, ¿no? –preguntó el gafotas.

–Eso es –respondió ella.

 

 

–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! ¡Ya nos ha salido! –el pequeño Ven no supo disimular su emoción.

–La raíz cuadrada de 247 es 15’716 –dijo Sal con voz de presentador de televisión.

–Sí, señor. Si queréis obtener más cifras decimales, basta con obtener más decimales desde el principio de este proceso.

–¡Qué fácil, Mati! –Sal estaba entusiamado.

–Sí, este método permite fácil y rápidamente calcular la raíz cuadrada de un número y es más fácil de recordar que el que me contaron a mí cuando iba al cole –respondió la pelirroja.

–¿Cómo era? –quiso saber Sal.

–Al final, no iremos al parque… -se quejó su hermano.

–Veréis hacíamos un dibujo como éste. Separábamos las cifras de 2 en 2, empezando por la derecha y nos fijábamos en las 2 que se quedaban más a la izquierda. En este caso sólo una, el 2. Ahora pensamos qué número al cuadrado, es decir, multiplicado por sí mismo, da 2 o menos de 2, que es la cifra que estamos mirando.

 

–¡El 1! –dijo Sal inmediatamente.

–Muy bien, Sal. Ése lo ponemos ya arriba en naranja, porque es definitivo. Ahora restamos 1, a 2 y bajamos las dos cifras siguientes. tenemos el 147. Separamos la cifra de la derecha, el 7, y nos fijamos en 14.

 

–En otro nivel, que marcamos con otra línea, multiplicamos 2 por el número que está arriba ya definitivo, el que hemos puesto en color naranja. En nuestro caso, 2 x 1, que es 2. Tenemos que conseguir un número A de forma que 2A x A, sea menor que 147. Probamos con A igual a 7, que es el número que hemos separado, 14, dividido por 2, que hemos obtenido de 2 x 1.

 

–No, vale, Mati –dijo Ven –Sale 189.

–Probemos con A igual a 6

–Tampoco vale –protestó el pequeño — Sale 156.

–A ver con A igual a 5

 

–¡Toma, éste sí! –contestó ven con alegría –Es 125, menor que 147.

–Muy bien, Ven. Subimos el 5 arriba, lo ponemos en naranja, porque es definitivo. Restamos 125 de 147 y para poder calcular decimales, como no nos quedan más números, bajamos dos ceros y repetimos el proceso –continuó Mati — Separamos el 0 de la derecha de 2200, nos quedan 220. Multiplicamos 2 por la cifra naranja, 15, nos da 30 y necesitamos un número A de forma que 30A  x A sea menor que 2200. probamos con 220 dividido entre 30, o sea , 7, y sí, sale. Subimos el 7 arriba, en naranja.

 

 

 

–Es un poco lío, Mati… –se quejó Ven.

–Sí, el primero era más fácil –corroboró Sal.

–Efectivamente –dijo ella –y todavía sólo hemos sacado un decimal, si queremos 3, como antes, tendremos que seguir añadiendo ceros de 2 en 2.

–Pues yo me quedaré con el primero para calcular las distancias con el teorema de Pitágoras –concluyó Sal.

–¿Y si hablamos de esto en el parque? –preguntó Ven con una sonrisa pícara.

–Yo creo que sí –respondió la gafotas –Este perrito necesita un poco de aire fresco…

 

A lo mejor Gauss no estaba tan equivocado con los de sus raíces cuadradas, mirad si no cómo son los árboles que rodean la facultad de Matemáticas de la Universidad de Sevilla… 😉

Foto de Zifra