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¿Otra forma de multiplicar?

Anteriormente en Mati, una profesora muy particular

–¡Ea! –les dijo la pelirroja –Ya lo tenéis, leemos los números azules de izquierda a derecha y tenemos que 235 por 1591 es 373885.

–¡Toma, toma, toma! –gritó el pequeño — ¡Y decía Sal que era muy complicado para mí! ¡Cómo mola!

En el capítulo de hoy…

–Jo, no es justo –se quejó Ven –Raquel siempre dibuja a Sal más guapo que yo…

–No lo creo, Ven –dijo Mati –¡Estáis los dos guapísimos!

Gauss gruñó un poco.

–Tú también, celosón –Mati acarició a Gauss.

Estaban leyendo la última entrada de La hora de las tareas en el ordenador, para ver cómo Clara había contado lo sucedido.

–Mira, Mati –exclamó Sal de pronto –¡Belén ha dejado un comentario con otro método para multiplicar!

 

–Ah. sí –les dijo la pelirroja –Es un método para multiplicar también muy sencillo, si queréis os lo explico…

–¡¡Sí!! –dijeron los dos hermanos a la vez.

–Poneos cómodos –dijo Mati guiñando un ojo –Vamos a calcular cuánto es 1591 por 235, pero con este método. Para ello, primero vamos a descomponer los números así, en unidades, decenas, centenas y unidades de millar:

1591= 1000 + 500 + 90 + 1       y      235= 200 + 30 + 5 

–¡Vale! –gritó Ven –Eso es fácil.

–Ahora los escribimos en una tabla como ésta –siguió ella y guiñando un ojo continuó –y vamos a jugar un poco a los barquitos…

 

–Pero has puesto cuadritos de más, Mati –protestó Sal.

–Ahora veréis para qué –dijo ella –En la primera fila, la fila del 1000, vamos poniendo los resultados de multiplicar 1000 por 200, 30 y 5

–Qué fácil –interrumpió Ven –Multiplicar por 1000 es poner 3 ceros detrás.

–Pues, todo tuyo –le animó Mati y Ven rellenó la fila del 1000 –Y en la siguiente casilla, ponemos la suma de los tres productos obtenidos y la rellenamos de amarillo.

 

–¿Y ahora? –preguntó Sal.

–Tranquilo, Sal –contestó Mati –Primero vamos a pensar qué hay en la celda sombreada en amarillo.

–Vaya –intervino Ven –Pues 20000 más 30000 más 5000, Mati, lo hemos calculado así.

–Efectivamente, Ven –dijo ella –O dicho de otra forma:

(1000 x 200) + (1000 x 30) + (1000 x 5) 

–y si sacamos factor común 1000, nos queda

1000 x (200 + 30 +5) = 1000 x 235 

–Claro, Mati –dijo Sal —1000 por 235 es 235000, anda que…

–Ya, cielo –añadió ella –pero lo que quiero que veáis es que esta tabla no sólo nos dará el resultado final de 1591 por 235, sino que tendremos también muchos resultados parciales que podemos aprovechar de ella.

–Ah, claro –respondió el gafotas –¡Mola!

–Ahora –continuó Mati –Hacemos lo mismo con la fila del 500… y sumamos los 3 productos, 100000 + 15000 +2500 es 117500

–Espera, espera, Mati –pidió Ven –Ahora tenemos que 117500 es 500 por 235, ¿no?

–Efectivamente, cielo –corroboró ella.

–¡Toma, toma, toma! –gritó Ven –¡Cómo mola!

–Pero aún tenemos otro resultado parcial más –continuó Mati –Vamos a sumar estas dos casillas en amarillo, ¿qué tenemos en la casilla rosa?

–Déjame pensar –dijo Sal –Tenemos que

 235000= 235 x 1000  y 117500= 235 x 500

entonces

235000 + 117500 = 235 x (1000 + 500) = 235 x 1500 

por lo tanto, en la casilla rosa, 352500,  tenemos el resultado de 235 por 1500, ¿no, Mati?

–Pero, bueno –Mati estaba muy satisfecha –¡Qué chicos tan listos!

–Yo hago la tercera fila –dijo inmediatamente Ven.

–Entonces –añadió el pequeño —21150 es 90 por 235, ¿a que sí?

–Sí, y ahora, de nuevo –siguió ella –sumamos estas dos casillas amarillas, a ver qué tenemos en la rosa…

 

–Pues –comenzó a decir el gafotas –a ver…

352500 = 235 x 1500  y  21150 =235 x 90

por lo tanto

352500 + 21150 = (235 x 1500) + (235 x 90)= 235 x 1590

y entonces

373650= 235 x 1590

–¡Eso es! –Mati no pudo disimular su alegría, Gauss protestó un poco.

–Mati –preguntó Ven –¿y si sumamos estas dos casillas que yo he coloreado de amarillo? Sale 138650

 

–En ese caso tenemos que

117500 + 21150 = (235 x500) + (235 x 90) = 235 x 590 = 138650

–¡Toma, toma! –Ven estaba alucinando.

–Sólo queda la fila del 1 –dijo el gafotas –La más fácil…

–No me digas nada, Mati –suplicó Ven –Ahora sumamos 373650 más 235, ¿no?

–Efectivamente –dijo ella –y coloreamos de rosa el resultado como antes:

 

–¡Toma, toma, toma!Ha salido lo mismo que con el otro método –gritó Ven –¡1591 por 235 es 373885!

–Claro, Ven –dijo ella –El resultado no puede depender del método elegido. Pero este método además, tiene la ventaja como hemos visto, de proporcionar resultados parciales. A ver si adivináis que obtenemos al sumar las casillas de la primera columna, la del 200

 

–¿1591 por 200? –preguntó Sal.

–Efectivamente, guapo –respondió ella –¿Y si sumamos en las dos siguientes?

–¡Yo, yo! –pidió Ven –La rosa, 47730, es 1591 por 30 y la azul, 7955, es 1591 por 5.

–Muy bien, Ven –dijo Mati orgullosa –¿y si sumamos las casillas en amarillo en la siguiente figura?

Los niños se quedaron unos segundos pensando hasta que finalmente Sal gritó:

–¡1090 por 205!

–¡Bravo! –dijo Mati –Muy bien, chicos.

–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! –gritaba Ven.

Gauss miraba la escena con pelusilla. Mati propuso:

–¿Nos vamos de paseo con Gauss?

–¡¡Sí!! –dijeron los niños al unísono.

–Si vemos a nuestros amigos en el parque –añadió Ven –les contaré este juego de multiplicar.

 

PS: El algoritmo presentado en esta entrada se puede encontrar aquí.

Multiplicando, multiplicando…

–¿Te queda mucho, Sal?

–Sólo una multiplicación, Ven.

–¿Te puedo ayudar?

–No, gracias. Éstas no sabes hacerlas aún.

–Enséñame tú.

–Eres muy pequeño, Ven –respondió el gafotas –Ya te las enseñarán en el cole.

–Andaaaaaaa –insistía el pequeño –Enséñameee, Saaaaal…

–¿Qué es lo que quiere aprender este caballero? –preguntó Mati que acababa de llegar.

–¡Hola, Mati! –saludó Ven con alegría pensando que ella sí que le enseñaría.

–Hola, Mati –saludó Sal sin levantar la cabeza de su cuaderno –Ven quiere hacer multiplicaciones de varias cifras y aún no se lo han enseñado en el cole.

 

–Bueno, bueno… –comenzó a decir la pelirroja –Igual yo le puedo enseñar un pequeño truco para hacerlo…

–¿Con la calculadora? –preguntó Ven mirando de reojo.

–No, no, sin calculadora –dijo ésta –Con la mente, lápiz y papel. A ver,  ¿qué multiplicación es la que queremos hacer?

–235 por 1591 –dijo Sal.

–Veréis –les dijo –Vamos a escribirlo en una tabla como en el juego de los barquitos. Ponemos arriba, en horizontal,  por ejemplo, el 1591, lo escribimos de izquierda a derecha. Y en vertical, de abajo a arriba, el otro, el 235.

–Ahora vamos a dividir los cuadraditos de la tabla –les dijo –pintando estas líneas diagonales con el lápiz…

–Pues como en los barquitos –continuó Mati –Vamos rellenando los cuadraditos con el resultado de multiplicar los 2 cuadraditos correspondientes: 5 por 1 es 5, ponemos 05, para rellenar las dos mitades del cuadradito… 5 por 5 es 25, ponemos el 2 en la parte de abajo y el 5 arriba… 5 por 9 es 45, el 4 en la parte de abajo y el 5 arriba… y otra vez, 5 por 1 es 5…

–¿Puedo hacer yo el 3, Mati? Me sé la tabla del 3 –pidió el pequeño.

–Por favor… –dijo Mati y le dio el bolígrafo en una graciosa reverencia.

–A ver… 3 por 1 es 3, pongo 03, el 0 abajo… –decía Ven –3 por 5 es 15, el 1 abajo y el 5 arriba… 3 por 9 es 27, 2 abajo y 7 arriba…y 3 por 1 es 03…

 

–¡Me toca! –dijo Sal y su hermano le dio el boli –2 por 1 es 02… 2 por 5 es 10, el 1 abajo y el 0 arriba… 2 por 9 es 18, un 1 abajo y un 8 arriba… y otra vez 02…

–¡Muy bien! –les dijo la gafotas –Ahora vamos a numerar las diagonales que hicimos a lápiz, empezando desde arriba, desde la más a la derecha:

–¿Y ahora qué? –preguntó el pequeño ansioso.

–Ahora vamos a sumar todos los números de color rosa que están por encima de cada diagonal, siguiendo el orden que indican los números –les dijo –Encima de la diagonal 1, tenemos solo 5, lo ponemos…

–Ahora sobre la línea 2… –empezó a decir Mati.

–¡8! –gritó Ven –5 más 0 y más 3 es ¡8!

–Eso es –confirmó Mati.

–¡Yo hago la 3! –pidió Sal — 5 más 4, es 9; más 7 es 16; más 0, nada, más 2..18 ¿lo pongo, Mati?

–No, ahora –le respondió –cuando nos sale un número de 2 cifras, ponemos sólo las de las unidades, 8 en este caso, y le regalamos las decenas a la siguiente diagonal, ¿vale?

–¡Me pido la línea 4! –exclamó Ven –¿Sumo también el 1 que le ha regalado la línea 3?

–Claro –dijo Mati –por eso lo hemos escrito en rosa.

–¡Vale! –Ven frunció el ceñó estuvo un rato mascullando y finalmente — ¡23! ¿Le regalo el 2 a la siguiente?

–Eso es –Mati sonrió satisfecha.

–Venga, ¿hacemos la 5? –les preguntó.

–La hago yo –dijo Sal –¡7!

–¡Yo termino! –pidió Ven — ¡Las dos que faltan!

–¡Qué morro! –se quejó el gafotas.

–Pero si la última es 0…

 

–¡Ea! –les dijo la pelirroja –Ya lo tenéis, leemos los números azules de izquierda a derecha y tenemos que 235 por 1591 es 373885.

–¡Toma, toma, toma! –gritó el pequeño — ¡Y decía Sal que era muy complicado para mí! ¡Cómo mola!

–Bueno, es cierto –aceptó el gafotas y añadió con burla –que con este método lo puede hacer un pequeñajo como tú…

Ven arrugó su carita y Sal añadió con una sonrisa

–Un pequeñajo tan listo como tú,  quería decir…

Ven abrazó a su hermano sonriendo y Gauss…bueno, ya sabéis que a Gauss no le gusta demasiado quedarse al margen de estos eventos de amor desenfrenado…

 

¡Con sólo 5 tablas!

(Basado en un hecho real)

–¿Cuánto es 6 por 7, Ven? –preguntó Sal.

–Espera, voy a buscar las conchitas –respondió el pequeño.

Ven dibujó 7 círculos en la arena y puso 6 conchas en cada uno de ellos bajo la atenta mirada de Gauss o, al menos, eso parecía, porque con las gafas tan modernas que llevaba la mascota uno no podía estar muy seguro de hacia dónde estaba mirando. Mati seguía ensimismada en la lectura de un libro sobre una sociedad literaria y un pastel de piel de patata.

–38, 39, 40… –Ven contaba despacio para no equivocarse.

–Pero bueno, Sal –la pelirroja volvió de su viaje por Guernsey –¿aún no te sabes las tablas de multiplicar? ¿Se te han olvidado con el calor?

–Pero, Mati –respondió el gafotas –yo tengo un método con el que no hace falta saber la tabla del 6 para nada…

–Ya, ya lo he oído –respondió ésta –Basta con pedirle a Ven que lo calcule con conchitas, ¿no?

Sal se rio a carcajadas haciendo temblar sus gafotas sobre la nariz, Ven se enfadó porque había perdido la cuenta…

–No, no es ése Mati –acabó diciendo Sal muerto de la risa –Es otro, de verdad.

–¿Sí? –preguntó Mati mirando con fingida desconfianza a su amiguito.

–Sí, de verdad –respondió éste –Con mi método sólo hace falta saber las tablas del 1 al 5.

–¿Sólo 5 tablas? –preguntó Ven que había olvidado las conchitas por un momento.

–Sí –corroboró su hermano –Si te sabes las tablas del 1 al 5, sabes las tablas del 1 al 10.

–¿¿Cómo?? –preguntó el pequeño mirando a su hermano con absoluta devoción.

–A ver, Ven. dime una multiplicación de números más grandes que 5.

–¡8 por 4! –dijo inmediatamente Ven.

–Ven, eso es 4 por 8, y está en la tabla del 4 –dijo Sal.

–Efectivamente –confirmó Mati –8 por 4 es lo mismo que 4 por 8, gracias a la propiedad conmutativa del producto.

–Y porque el orden de los factores no altera el producto, ¿no, Mati? –preguntó el gafotas.

–Esa es otra forma de expresar la propiedad conmutativa, sí –dijo ella.

–¡8 por 7! –dijo el pequeño de nuevo.

–Muy bien –dijo Sal –Ahora elegimos al mayor de los 2, el 8, y lo escribimos como (10 -2).

 

 

–Ahora tienes que multiplicar 7 por 10 –continuó el gafotas –pero eso es muy fácil, sólo tienes que ponerle un 0 detrás al 7; después 7 por 2, que también te lo sabes, porque te sabes la tabla del 2 y restarlos.

 

–¿Puedo hacer yo la resta con llevadas como nos enseñó Mati? –preguntó Ven excitado.

–Claro, Ven –respondió el gafotas.

El pequeño se puso manos a la obra…

 

–¡56! –dijo Ven con una sonrisa de oreja a oreja –¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! ¡Sal eres el más mejor!

–¡Muy bien! –dijo Mati sorprendida –Es una buena aplicación de la propiedad distributiva del producto respecto a la suma.

–¿Cómo, Mati? –preguntó Sal sorprendido.

Mati escribió en su libreta y les explicó:

–Si tienes que multiplicar una suma por un número, puedes sumar primero y multiplicar después, o multiplicar el número por cada uno de los sumandos y después sumar los resultado.

–Ah, ahora lo entiendo, Mati –dijo el gafotas –Eso si lo sabía, lo que no sabía era el nombre.

–¿Y ahora qué hacemos con las conchitas? –preguntó Ven –¿Jugamos a las triangulaciones?