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El hombre anumérico

Estos días ha visitado España John Allen Paulos, matemático y divulgador norteamericano cuya obra más conocida es la que da título a esta entrada. Si queréis, os dejo el enlace a la entrevista que Antonio Martínez Ron le hizo durante su visita, o la entrevista que le hizo Pampa García Molina. Las dos son muy recomendables.

 

En el citado libro, “El hombre anumérico” (y prácticamente en todos sus escritos) Paulos sostiene que lo que él llama “anumerismo” es una manifestación más de cierto analfabetismo (analfabetismo matemático) y que tiene importantes consecuencias (negativas) para nuestra sociedad. Es más, mucha gente se enorgullece de no saber matemáticas (“es que soy de letras”) para justificar que no sabe realizar las operaciones más elementales, ni extraer conclusiones válidas a partir de datos sencillos. En fin…

Naturalmente en su libro Paulos pone muchos ejemplos, pero supongo que todos nos hemos encontrado alguna vez con muchos ejemplos de anumerismo, desde el

“reparte tú la cuenta entre los dos, que eres matemático”,

(a lo que siempre me entran ganas de replicar:

“¿Por qué no me leíste tú el menú que eres de letras?”),

hasta la abuela que para que el niño no salga a la calle y sea secuestrado, lo atiborra de golosinas mientras le pone el televisor (cuando es muchísimo más probable que el niño muera de sobrepeso o atragantado con un caramelo que de resultas de un secuestro por un desconocido).

A raíz de lo anterior: el no saber usar probabilidades o usarlas incorrectamente realizando una interpretación errónea de ellas es uno de los ejemplos más típicos de anumerismo. El mismo Paulos comenta en la introducción de su libro:

“El anumerismo, o incapacidad de manejar cómodamente los conceptos fundamentales de número y azar, atormenta a demasiados ciudadanos que, por lo demás, pueden ser perfectamente instruidos. Las mismas personas que se encogen de miedo cuando se confunden términos tales como «implicar» e «inferir», reaccionan sin el menor asomo de turbación ante el más egregio de los solecismos numéricos. Me viene a la memoria un caso que viví en cierta ocasión, en una reunión, donde alguien estaba soltando una perorata monótona sobre la diferencia entre constantemente y continuamente. Más tarde, durante la misma velada, estábamos viendo las noticias en TV, y el hombre del tiempo dijo que la probabilidad de que lloviera el sábado era del 50% y también era del 50% la de que lloviera el domingo, de donde concluyó que la probabilidad de que lloviera durante el fin de semana era del 100%.”

Está claro que en este ejemplo la probabilidad de que llueva el fin de semana no era del 100% sino de …  ¿Sabe calcularla el lector?

No es difícil si se piensa al revés: ¿Cuál es la probabilidad de que no llueva en todo el fin de semana? La probabilidad de que no llueva el sábado es del 50% (o 1/2) y la probabilidad de que no llueva el domingo es también del 50%, así que la probabilidad de que no llueva ninguno de los dos días es de (1/2)(1/2)=1/4, por lo tanta la probabilidad de que lloviera el fin de semana es del 75%.

El propio Paulos tiene otro libro titulado “Un matemático lee el periódico” en el que se destacan algunos ejemplos de anumerismo en un entorno especialmente sensible como son los medios de comunicación (muchos ejemplos de ello pone también José A. Pérez en su blog). Animada por ello decidí buscar algunos datos que corroboraran que el anumerismo también asola la prensa nacional y se me ocurrió mirar noticias sobre Carlos Fabra y la lotería ya que ese tipo de noticias implica cierto uso de las probabilidades: no debería haberlo hecho, porque el resultado de mis pesquisas es aún peor de lo que podía sospechar a priori. Ay, omá

En diversos medios se comenta las veces que la he tocado la lotería a ese afortunado miembro del Partido Popular y aunque hay divergencia entre las distintas fuentes, parece ser que entre el año 2000 y el 2004 le tocó cuatro veces algún premio de la lotería de Navidad y siete veces en total por la de Navidad o el Niño entre 2000 y 2011. Parece mucha suerte, pero ¿es eso significativo? Para determinar si es significativo o no, debemos saber cuál es la probabilidad de que ocurra y aquí nos encontramos con las primeras sorpresas desagradables: en el diario Levante encontramos esta “perla”: “Según los expertos, la probabilidad de ganar el Gordo del Sorteo de la Lotería de Navidad es de una entre 16,5 millones.” ¡Digo!, ¿quién dijo miseria?

Examinemos dicha afirmación:

Loterianacional

Lo primero es que en la misma noticia no se afirma que al señor Fabra le tocara el gordo de la Navidad, sino alguno de los premios; lo segundo, muy llamativo y ya dentro de nuestra temática es que tengan que consultar a “expertos” para determinar dicha probabilidad, y lo tercero es lo alejado que está dicha probabilidad de la real. No hace falta ser ningún “experto” para determinar que si hay 85.000 números (en la actualidad hay 100.000 números) y solo uno es el gordo, la probabilidad no es una entre 16,5 millones, sino una entre 85.000, una probabilidad que es casi 200 veces mayor que la señalada en el artículo.

Aún más, como en él se señala que en realidad lo que le ha tocado es algún premio, la probabilidad de ello es mucho más alta: en los últimos sorteos hay aproximadamente 5.000 números premiados (excluyendo reintegro que no aumenta el capital invertido) de un total de 100.000, así que las probabilidades de que te toquen si juegas solo un número son de una entre 20, (una probabilidad baja, pero casi 800.000 veces mayor que la señalada en el periódico). A esto se le añade el hecho de que si, como ha declarado Fabra, se juega varios números, la probabilidad evidentemente aumenta. Si compramos 10 números distintos, la probabilidad de que no te toque es de (19/20) ¹⁰ aproximadamente un 60% y por tanto la probabilidad de que te toque es del 40%, esto es una entre 2,5 y no de una entre 16.500.000 como afirmaban los “expertos” en el artículo

Calcular la probabilidad de que te toque al menos cuatro de cinco años o siete de once no es tan sencillo como el caso de un solo año. Primero veamos el caso de que te toque cuatro años seguidos que es más sencillo: simplemente necesitamos multiplicar la probabilidad de que te toque un año (asumamos que tenemos 10 números, que hay 100.000 bolas distintas y que se premian 5.000) esto es: 0,4 por si mismo cuatro veces (0,4)⁴=0,03, esto es: un 3% de posibilidades de que toque; igual para  que te toque siete años: (0,4)⁷=0,002: ésta ya mucho más remota del 0,2%.

El que te toque al menos siete años de once ya son unas cuentas un poco más complicadas, pero vienen a ser las mismas que las del tiempo del fin de semana que comenta Paulos en su libro y que hemos citado anteriormente ¿Se atreve el lector a calcular dicha probabilidad? Espero esos cálculos en los comentarios (cómo me está gustando mandar tareas últimamente).

¿Exime lo dicho anteriormente al señor Fabra de toda duda? Ni mucho menos, existe una posibilidad muy remota de que todo sea producto de la suerte, pero existe otra explicación mucho más lógica y con más probabilidades de haber ocurrido realmente. Pero yo no soy de malmeter…

Las autoras de este blog comenzamos esta andadura, primero desde el Pequeño Libro de Notas, con la esperanza de aportar nuestro granito de arena contra el anumerismo. También con esta misma ilusión acabamos de publicar este libro:

Hasta el infinito y mas alla, portada

 

 

 

¿Estamos enfermos?

No hace mucho leí (pero no recuerdo dónde) que una de las fórmulas más importantes de la ciencia para saber interpretar correctamente algunos hechos de la vida cotidiana es el teorema de Bayes, por desgracia también es uno de los resultados que más gente se equivoca al usarlo: debe de ser un problema general con la estadística y la probabilidad, todo el mundo se cree que sabe lo suficiente para utilizarla y, en muchos casos, eso no es cierto… En fin. Como ya hemos comentado en otras ocasiones, se cometen errores hasta en el uso de los elementos más sencillos como la media o en casos de probabilidad no demasiado complicados. El problema con el que nos enfrentamos hoy es que, por una parte, la probabilidad condicionada (de eso se trata) aparece por todas partes y, por otra, en muchos, muchos casos se interpreta de forma totalmente errónea. Ya hablamos en su día sobre las probabilidades condicionadas, pero hoy me gustaría entrar en un caso el que se suele errar (y mucho).

Tal vez lo más apropiado sea poner un ejemplo típico que se pone muchas veces para explicar este hecho: supongamos que 10.000 personas nos hacemos una prueba médica para detectar si tenemos una enfermedad muy grave: mortal de necesidad y que esta, en nuestro caso, sale positiva ¿podemos afirmar con total rotundidad que tenemos dicha enfermedad? ¿Todo ha acabado para nosotros? Todos podemos comprender que eso dependerá de la fiabilidad de la prueba realizada. Lo que a muchos se le escapa es que también depende de la rareza de la enfermedad y eso es absolutamente fundamental y varía el resultado de forma dramática. Vamos a tratar de explicarlo:

Supongamos que la enfermedad a cuya prueba nos estamos sometiendo la tiene el 0.1% de la población (uno de cada mil habitantes tiene la enfermedad). Naturalmente las pruebas tienen un cierto porcentaje de error, así supongamos que si tienes la enfermedad, la prueba la detecta correctamente en un 90% de los casos y que si no tienes la enfermedad, la prueba falla (te dice que tienes la enfermedad sin tenerla) en un 10% de los casos, esto es: acierta también en un 90% de los casos. Sigamos suponiendo que, por desgracia, el test sale positivo (asegura que tenemos la enfermedad): ¿qué probabilidad hay de que tengamos realmente la enfermedad? En este punto, la inmensa mayoría de la población dirá que un 90%, pero esto es totalmente erróneo como vamos a tratar de explicar (estimados trolls: leed hasta el final antes de decir que la que estoy totalmente equivocada soy yo, aunque soy consciente de que eso va en contra de vuestro espíritu).

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Este es un caso de lo que se conoce como probabilidad condicionada tratamos de saber qué probabilidad tenemos de haber contraído la enfermedad sabiendo que el resultado del test es positivo. En realidad, las cuentas no son muy complicadas: si el 0,1% de la población tiene la enfermedad, esto significa que aproximadamente 10 de los 10 000 que han pasado la prueba tienen la enfermedad y como el test positivo en ellos falla en un 10%, resulta que en 9 de los individuos sometidos a la prueba, el test ha dicho que tienen la enfermedad y es correcto. Pero un cierto porcentaje de los examinados (un 10%) no tienen la enfermedad y el test dice que sí la tienen. Los que no tienen la enfermedad son (aproximadamente) 9 990 y de ellos un 10% dan falso positivo: un total de 999. Así tenemos a 9+999=1 008 positivos de la prueba, pero de ellos solo 9 tienen realmente la enfermedad. En otras palabras si el test en nuestro caso ha resultado positivo, la probabilidad de que tengamos la enfermedad es de 9/1 008=  0,0089… esto es ¡¡¡¡¡menos de 1%!!!! Así que la probabilidad de que estemos enfermos no es muy grande (90%) sino muy, muy pequeña (0,9%).

Supuesta imagen de Bayes

Supuesta imagen de Bayes

Naturalmente lo dicho anteriormente se refiere a una población sometida a unas pruebas, si hemos desarrollado otros síntomas que corroboren el resultado de las pruebas sí que puede ser interesante poner en orden nuestras vidas y tratar de repetir cuánto amamos a aquellos que realmente nos importan. Igualmente, si la enfermedad no es tan rara, las probabilidades varían. Supongamos, ahora que se trata de una epidemia que afecta al 50% de la población, veremos que con la misma fiabilidad de las pruebas la cosa varía totalmente:

Ahora, 5 000 personas aproximadamente tienen la enfermedad y de ellos un 90% dan positivo en las pruebas, esto es: tenemos 4 500 enfermos que dan positivo en el test. De los 5 000 sanos, un 10% de ellos también dan positivo: 500 en total. Por lo tanto, en total 5 000 personas han dado positivo en el test (4 500 realmente enfermos y 500 que no lo están). Rehaciendo las cuentas de antes, la probabilidad de que tengamos la enfermedad es de 4 500/5 000 = 0,9, esto es: un 90%.

 

He tratado de eludir las fórmulas en esta explicación, pero sí me gustaría decir que este es un ejemplo del Teorema de Bayes, llamado así en honor del religioso presbiteriano Thomas Bayes (siglo XVIII)  del que se supone (nunca publicó sobre el tema) que fue el primero en estudiar dicho resultado.

En cualquier caso, sea cuál sea la probabilidad de tener una enfermedad chunga, mi consejo es que tratemos de sonreír todo lo posible mientras podamos, mientras nos dejen…

Más vale descartar lo bueno conocido…

Comprueben que sus cinturones están abrochados, su asiento en posición vertical y su mesita plegada porque ¡van a alucinar!

Al menos, yo alucino con este problema y espero que también os provoque turbulencias y alguna sonrisa de sorpresa 😉

Vamos a continuar con los concursos que tanta polémica crearon en nuestra entrada sobre Monty Hall y vamos a presentar un concurso parecido (de hecho es parte del mismo proceso que se llevaba a cabo en Un, dos, tres).

Estamos en un concurso. Se nos presentan un cierto número de cajas, N, y podemos abrirlas en el orden que nos plazca. Cada caja contiene una cantidad de dinero distinta de las otras (no sabemos qué cantidades hay en cada una, ni cuáles son esas cantidades). Cada vez que abrimos una caja decidimos (después de contar el dinero en ella, se entiende) si nos quedamos con ella (esa es la caja que escogemos) o si la descartamos para siempre (una vez que una caja ha sido descartada, ya no podemos volver a ella). Tratamos de diseñar una estrategia que nos garantice escoger la mejor caja (la que tiene más dinero) el mayor número de veces posible

¿A qué parece que no se va a ser posible? ¡Ja!

Para simplificar supongamos que tenemos 3 cajas: A, B y C. Abrimos la primera (la A), como no tenemos ni idea de qué cantidades hay en cada caja, en A puede estar el mayor botín o no, no tenemos ninguna información adicional, por lo tanto, si escogemos A, nuestro posibilidades de acertar con el premio máximo es de .

¿Podemos mejorar dicha estrategia?¿Podemos diseñar otra estrategia que garantice siempre más de ⅓ de posibilidades de obtener la máxima cantidad?

Os propongo una: abrimos la primera caja (la A) y contamos el dinero que hay, pero la descartamos independientemente de cuánto dinero encierre. Ahora abrimos la segunda caja (la B), si contiene más dinero que la primera, nos quedamos con la segunda, en caso contrario nos quedamos con la tercera ¿En cuántos casos hemos acertado con esta estrategia?

Realicemos un examen viendo todas las posibilidades distintas.

En cada caso, escribiremos las tres cajas ordenadas por la cantidad de dinero que tienen de mayor a menor.

El primer caso lo escribimos como (A, B,C) (esto es, la caja A tiene más dinero, después la B, después la C). Vamos a suponer que las 3 cantidades son, respectivamente, 100, 50 y 25, pero, claro, eso no lo sabe el concursante a priori, no sabe cuál es el premio máximo, ¿me explico? Pero lo pensamos así para hacer una simulación de los 6 casos posibles con 3 cajas.

Siguiendo la estrategia descrita, abrimos la A, la descartamos, abrimos la B y como tiene menos que la A, escogemos la C, que es la que menos dinero tiene: mal empezamos. Nos hemos quedado con el peor premio…

(He hecho unas figuras para cada simulación, en otro color pongo la caja que escogeríamos con esta estrategia. Si el color es verde, es que hemos ganado. Es que soy del Betis…)

Veamos, entonces, apoyándonos en las figuras, qué caja escogeríamos, en cada caso,  siguiendo nuestra estrategia.

Para (A,B,C) escogemos C y hemos perdido, es la que acabamos de analizar unas líneas más arriba.

Para (A,C,B) escogemos C, y perdemos.

 

 

Para (B,A,C), abrimos la A, la descartamos, abrimos la B que tiene más dinero y nos quedamos con ella y hemos ganado (¡por fín!).

Para (B,C,A) escogemos la B y ganamos (¡ole con ole!)

 

 

Con (C,A,B) escogemos C y ganamos, (¡toma, toma, toma!)

 

 

Y para (C,B,A) escogemos B y perdemos.

 

Como vemos, con la estrategia anterior podemos garantizar un éxito del 50% (ganamos 3 de 6), lo cual es mejor que el 33% (=1/3) que teníamos si escogemos una caja al azar. Anda, ¡mira!

Lo curioso es que esta estrategia se puede aplicar a cualquier número de cajas, por sorprendente que parezca y aunque no se conseguirá siempre un éxito del 50%, sí que podemos obtener un porcentaje sorprendentemente alto (mayor de ⅓ independientemente del número de cajas). Sí, sí, éxito con una probabilidad casi del 37%, sea cual sea el número de cajas.

Allá vamos, ¡digo!

Se puede probar que el método que nos garantiza mejor resultado es el siguiente: Si tenemos que escoger entre N cajas, abrimos unas cuantas (digamos r) y las descartamos, pero anotamos de esas r cajas cuánto dinero tenía la que más tenía. A continuación seguimos abriendo las cajas restantes y nos quedamos con la primera que tenga más dinero que el que habíamos anotado como el máximo de las r primeras.

Si ninguna tiene más dinero obviamente nos quedamos con la última. Solo queda por determinar cuánto vale r, es decir, ¿cuántas cajas tenemos que abrir y descartar inicialmente?

Hemos visto que en el caso de 3 cajas (N=3, 3 cajas) r es 1. Se puede comprobar que en el caso de N=4 (cuatro cajas) r también vale 1 (miramos la primera, la descartamos, y después vamos abriendo las restantes y nos plantamos si una tiene más dinero que la inicial, con esta técnica en el caso de 4 cajas podemos garantizar que escogeremos la mejor en un 46% de los casos).

En la siguiente tabla se muestra cuántas cajas tenemos que desestimar dependiendo del número de cajas que tengamos en total para asegurar la mayor probabilidad de éxito (se puede comprobar haciendo algunas cuentas, bastantes):

 

¿Y si son más de 9 cajas? Se puede aplicar la misma técnica, pero ¿cómo calculamos el número de cajas r que tenemos que  desestimar? Desconecten sus teléfonos móviles y agárrense…

Hay una regla más o menos sencilla: el número r de cajas a desestimar es el número entero más próximo a N/e donde e es el número de Euler que es aproximadamente igual a 2,71828182845905 (no es un número racional y por tanto tiene infinitas cifras decimales que no se repiten de forma periódica).

Sí, yo también me quedé con esa cara cuando lo leí… es normal… ¿¿El número e??

Pues sí, desechando ese número de cajas, podemos asegurar que siempre obtendremos un éxito de al menos 1/e de los casos: un 36,8%, por muy grande que sea el número de cajas. La tabla anterior añadiendo una fila con los valores obtenidos al dividir el número de cajas entre e, quedaría:

Por ejemplo, para 10000 cajas, N=10000, tendríamos 10000/e= 3678,794411714, descartamos las 3679 (éste es el número entero más próximo a 3678,794411714) primeras cajas, y nos quedamos con la primera de las restantes que supere en dinero a todas las 3879 descartadas inicialmente y … ¡Tachán! La probabilidad de éxito es del 37%…

Por Euler, ¿¿no es maravilloso y sorprendente??

Ay… una se pregunta, ¿a cuántos incompetentes tendríamos que desechar para quedarnos con alguien que sepa arreglar este país con una probabilidad de éxito tan alta? En fin…

Este problema se conoce como el Problema de la secretaria, el Problema de la dote del Sultán, del Pretendiente exigente y no sé si algún otro nombre más. Podéis conocer más si queréis aquí y aquí.

 

¿Quién es Monty Hall? Un, dos , tres… responda otra vez

Puede que algunos de vosotros se pregunten quién es el tal Monty Hall que le da título a esta entrada; ese secreto lo voy a desvelar muy pronto.  Monty Hall es, entre otras cosas, un presentador de la televisión norteamericana que se hizo muy famoso con el programa Let’s make a deal, un programa con una dinámica muy similar a la de la fase de la subasta en nuestro popular Un, dos, tres… responda otra vez que contribuyó a la colonización de Torrevieja (Alicante).  A los de cierta edad no hace falta que les explique en qué consistía la fase de la subasta de Un, dos, tres y a los más jóvenes se lo explicaré en su debido tiempo: un poco más adelante. Ahora bien: ¿qué tiene que ver Monty Hall con un blog de matemáticas? Pues mucho más de lo que algunos pueden llegar a creer porque el nombre de  Hall aparece en casi todos los blogs de matemáticas tarde o temprano y eso que ese personaje nunca ha hecho matemáticas, ni nos consta ninguna aportación suya a dicha rama del saber. Sin embargo,  su nombre va asociado a una de las paradojas más llamativas de la probabilidad.

La probabilidad es una rama de las matemáticas con profundas relaciones con la estadística y la combinatoria y que siempre, desde sus comienzos con Pascal y Fermat a mediados del siglo XVII, ha estado muy ligada con la teoría de juegos. Los casos más simples de probabilidad son, realmente eso, simples. Por ejemplo, todo el mundo sabe que la probabilidad de obtener cara al tirar una moneda bien compensada es de ½ y que la probabilidad de que salgan dos veces caras si tiras la moneda dos veces es de ¼… Bueno, esto último no es del todo cierto. Me explico: esa probabilidad sí es ¼, pero no todo el mundo lo sabe: el 60% de los diputados británicos fallaron en dicha pregunta cuando le fue formulada.  No obstante existen casos que son relamente sorprendentes, uno de ellos es el conocido como problema de Monty Hall.

La idea del concurso consiste en lo siguiente: tenemos tres puertas cerradas, detrás una de las puertas hay un buen regalo (digamos un coche o el apartamento en Torrevieja) y en las otras dos hay muy malos regalos (una cabra en el programa norteamericano, una calabaza en el español), al concursante se le pide que escoja una de las tres puertas. Una vez escogida, el presentador (Monty Hall), que sabe dónde está el coche, abre una de las otras dos puertas, siempre una en la que no está el coche, con lo cual quedan dos puertas cerradas: la escogida inicialmente y una de las dos no escogidas. en ese momento se le da al concursante la opción de cambiarse ¿debería hacerlo?

Me gustaría que antes de seguir leyendo, el lector trate de llegar a una conclusión por si mismo.

¿Ya?

Seguimos. Intuitivamente se piensa que como son tres puertas, la probabilidad de que esté en cada una de ellas es ⅓, así que el cambiarse o no es indiferente, pero este razonamiento no es del todo correcto por cómo se ha llevado a cabo todo. Tratamos de explicarnos:

1) El concursante escoge una puerta (digamos la 1), la probabilidad de que el coche esté tras esa puerta es efectivamente ⅓, por lo tanto cuando el concursante escoge esa puerta, su probabilidad de ganar es de ⅓. La probabilidad de que el coche no esté tras esa puerta es de ⅔.

2) Al abrir el presentador una de las dos puertas restantes (una que siempre está no premiada), la probabilidad anterior no cambia ya que siempre al menos una de las dos puertas no escogidas no contiene al coche y el presentador tiene siempre la opción de escoger una puerta no premiada.

3) Si el coche no estaba en la puerta escogida inicialmente (recordemos que la probabilidad de que ello fuera así, tal y como dijimos en el punto 1, es de ⅔) , forzosamente ha de estar en la puerta no escogida que se ha quedado cerrada, por lo tanto, la probabilidad de que el coche esté en esta puerta es de ⅔.

Resumiendo: la probabilidad de ganar el coche si no se cambia de puerta es de ⅓, mientras que la probabilidad de ganar si se cambia de puerta es de ⅔: justo el doble.

Por si algún lector aun no está convencido, piénsese que en vez de tres puertas hay un millón, el concursante escoge una de las puertas y, por tanto, la probabilidad de acertar es de 1/1.000.000 y la probabilidad de que el coche esté en alguna de las otras puertas es de 999.999/1.000.000, pero si el presentador abre de esas 999.999 todas menos una, sabemos que el coche no está en ninguna de las abiertas, luego como la probabilidad de estar en la primera es 1/1.000.000, la probabilidad de estar en la única de las restantes que permanece cerrada es ese 999.999/1.000.000, luego evidentemente se ha de cambiar ¿no?

Ea, pues ya tenéis tema de conversación para el café de esta mañana, porque a algunos cuesta convencerlos 😉

P.S.: Qué angustia me daban siempre las cacho gafas que llevaban las azafatas del Un, dos, tres… Me pasaba todo el programa arrugando la nariz para que no se me cayesen las mías…

 

 

 

Más o menos probable…

–¡Cara! ¡Saco yo!

–¡No vale! ¡Ha rebotado en Gauss! –Ven estaba un poco mosqueado.

–¿Otra vez? ¿Y eso qué más da, Ven?

–Se repite. Ah, se siente…

–¡Cara! ¡Saco yo! –gritó Sal de nuevo.

–No, no vale –respondió Ven, mientras Gauss resoplaba con cansancio.

–Y ahora, ¿qué pasa? –protestó el gafotas.

–No me fío de esa moneda, la has cogido de tu hucha…

–Vamos, Ven –bufó Sal –No tengo ninguna moneda falsa en mi hucha…

–¿Cómo lo sabes? –inquirió el pequeño –¿Los has comprobado como nos enseñó Mati?

–No, no lo he comprobado, Ven –respondió Sal aburrido –Pero son todas verdaderas, como las tuyas…

–¿Qué les pasa a estos chicos? –Mati acababa de llegar.

–Hola, Mati –la saludó Sal.

–Hola, Sal me quiere hacer trampa con la moneda –dijo el pequeño.

–Pesado… –bufó Sal.

–¿Por qué crees que Sal te quiere hacer trampas, Ven?

–Porque ha traído una moneda que siempre sale cara… –contestó éste.

–Eso no es verdad, Ven –se defendió Sal –Ha sido casualidad.

–Vamos a ver –intentó mediar Mati –¿Queréis que os cuente algo sobre lanzamientos de monedas y probabilidad?

–¡Sí! –contestaron los dos a la vez. Gauss resopló aliviado. Mati sacó su libreta.

–Vamos a aprender primero cómo se calcula la probabilidad de que salga cara en la moneda usando la regla de Laplace –comenzó a contarles la pelirroja.

 

–En el caso del lanzamiento de una moneda y calcular la probabilidad de obtener cara –siguió –el número de casos favorables es 1, que salga cara, y el número de casos posibles  es 2, cara y cruz.

 

–Y sale 1/2 –dijo Ven –La mitad, eso ya lo sabíamos, Mati, el 50% de posibilidades…

–Sí, lo sé –afirmó ella –Con las monedas es muy fácil, pero sirve para todo. Por ejemplo, si lanzamos un dado, ¿cuál es la probabilidad de obtener una potencia de 2?

–Yo lo hago en la libreta, Mati –se apresuró a decir Sal

–Sí, pero ¿por qué no calculas la probabilidad de que Sal saque cuatro caras seguidas? –pidió Ven a la pelirroja.

–Vale, vamos a hacer un diagrama con todas los posibles resultados del lanzamiento de una moneda 4 veces –les dijo.

–Si empezamos en el punto azul y caminamos sobre las aristas azules, tenemos todos los resultados, ¿no?

–A ver… –dijo Ven señalando con su dedo sobre el diagrama —Cara, cruz, cruz, cruz… Y por aquí, cruz, cara, cara, cara...

–Si, Ven –interrumpió su hermano –Están  todas.

–Ahora bien, en cada tirada, la probabilidad de obtener cara o cruz es siempre 1/2, ¿no? –continuó ella –Lo escribimos sobre las ramas.

 

–Bueno, chicos, ¿cuántos casos posibles hay? –preguntó Mati –Sólo tenéis que contar la columna de la derecha, cada una corresponde a un resultado posible.

–¡16! –dijo Ven con entusiasmo.

–¿Y caso favorables para obtener 4 caras? –siguió preguntando la pelirroja.

Los niños estuvieron mirando el cuaderno…

–Sólo uno, Mati –señaló Sal — Sólo cuando sale cara, cara, cara, cara.

–Entonces la probabilidad de obtener 4 caras es… –Mati dejaba la pregunta en el aire.

–¡1/16! –dijeron los 2 hermanos a la vez.

–Efectivamente, chicos –corroboró Mati –Y si os fijáis, 1/16 es el resultado de multiplicar las probabilidades que nos vamos encontrando por el camino hasta llegar al cuarto lanzamiento…

–Es verdad –dijo Sal con alegría.

–Pero Mati –intervino Ven –Cuando sean 20 tiradas, nos va a salir un diagrama, ¡enorme!

–Tienes razón, pero no hace falta hacer el diagrama –aceptó Mati –Se trata de calcular la probabilidad de una intersección de sucesos independientes, porque el resultado de cada lanzamiento es independiente del anterior. Un suceso es que la primera salga cara, otro que la segunda salga cara, el tercero que salga cara en la tercera y el cuarto, que la cuarta tirada dé cara. Cada uno de estos sucesos, tiene probabilidad 1/2, como hemos dicho, ¿verdad? Eso significa que en cada tirada de las 4, la probabilidad de que salga cara es 1/2 o sea, de un 50%.

–Ahora bien, la probabilidad de que las cuatro veces nos salga cara es la probabilidad de la intersección, y eso se calcula sabiendo que, como son independientes,  la probabilidad de la intersección es igual al producto de las probabilidades.

–¿Ves, Mati? –dijo Ven con vehemencia –Es casi imposible que pase, y ha pasado

–Tú lo has dicho, Ven –dijo ella –casi imposible, pero no imposible.

–¡Que mi moneda es buena, de verdad! –se quejó Sal.

–A ver, Ven –dijo la pelirroja –Si hacemos otra vez el sorteo, ¿tú que pedirías, cara o cruz?

El pequeño se quedó un rato pensando, al cabo del cual contestó:

Cruz.

–¿¿Cruz?? –preguntó Sal sorprendido –¿No decías que en mi moneda sólo sale cara?

–Ya… -dijo Ven mirando al suelo –Pero en realidad, creo que  tu moneda es auténtica y como ya han salido 4 caras… toca cruz.

–Huy, creo que Ven ha caído en la falacia del jugador… –dijo Mati con voz misteriosa.

–¿La qué? –preguntó Sal con los ojos de par en par.

–Una falacia es una mentira o engaño –empezó a explicarles –La falacia del jugador, o falacia de Montecarlo, es la falsa creencia de que lo sucedido anteriormente en un experimento aleatorio, al azar, afectará al resultado de los experimentos siguientes.

–No entiendo nada de nada… –confesó Ven.

–Es lo que tú acabas de hacer, Ven –continuó ella –Crees que el hecho de que hayan salido ya 4 veces caras, afectará al 5º lanzamiento y no es verdad. La probabilidad de obtener cruz en el 5º lanzamiento es, de nuevo, 1/2, como siempre.

–Claro… Qué tontería…

–Bueno, Ven, esa tontería como tú la llamas, engaña a mucha gente que piensa que si sale varias 4 veces seguida cara, lo lógico es apostar a cruz por que ya toca. Y no, están confundiendo la probabilidad de obtener 5 caras seguidas con la probabilidad de obtener cara en el 5º lanzamiento.

–¡Toma, toma, toma! ¡Es verdad! –el pequeño estaba alucinando.

–Cuando lo lógico sería lo contrario –siguió la pelirroja.

–¿Lo contrario? ¿Por qué, Mati? Si cara y cruz tienen la misma probabilidad –el gafotas estaba muy intrigado.

–Ya, pero si sale muchas veces seguida cara –siguió ésta –lo que parece indicar es que la monedad no está bien compensada y que, por lo tanto, tiene más probabilidad de salir cara.

–Cierto… -se quedó pensando Sal –Si la moneda es buena, no importa lo que ha pasado antes.

–Eso es, Sal, en ese caso decimos que son experimentos independientes –confirmó la gafotas –El resultado de un experimento no depende del anterior.

–¿Y hay experimento dependientes? –preguntó Sal de nuevo.

–Sí, naturalmente –dijo Mati –Por ejemplo, si tenemos 5 bolas rojas y 3 bolas verdes en una bolsa, ¿cuál es la probabilidad de meter la mano y sin mirar sacar una bola roja?

Los niños se quedaron pensando.

–5/8 –dijo Sal

–Muy bien –sonrió Mati — La dejamos fuera ¿Y la probabilidad de que la segunda sea roja?

Sal y Ven montaron de nuevo su gabinete de resolución de problemas.

–Un momento, Mati –preguntó el pequeño –La primera que sacamos fue roja, ¿no?

–Me alegro de que me hagas esa pregunta –respondió Mati haciéndose la interesante –Eso significa que el resultado del segundo experimento depende del primero, ¿no? Son experimentos dependientes.

–¡Claro! –la carita de Sal brillaba con alegría –¿Cómo se calcula entonces, Mati?

–Vamos a verlo en el cuaderno –propuso Mati –Lo que queremos conocer es la probabilidad de que en la segunda extracción (ya hay una bola fuera) saquemos una bola roja. A esa probabilidad que queremos calcular la llamaremos P(2ªR). Para calcular P(2ªR) vamos a necesitar calcular otras probabilidades antes. Por ejemplo, la probabilidad de que la 2ª bola sea roja condicionada al hecho de que la primera que salió fuese roja, lo llamamos P(2ªR | 1ªR)

 

–De la misma manera, necesitaremos conocer la probabilidad de que la segunda bola sea roja condicionada al hecho contrario, es decir, al hecho de que la primera no fuese roja.

 

–Por último, necesitaremos usar la probabilidad de que la 1ª bola extraída fuese roja y la del suceso contrario, la de que la 1ª bola no fuese roja.

 

–Con todo esto, ya podemos calcular la probabilidad de que la segunda vez, extraigamos una bola roja, o sea, P(2ªR), usando esta fórmula

 

 

–Ya sólo –dijo Mati –necesitamos calcular esos 4 términos para conseguir lo que queremos ¿Me ayudáis?

–¡Sí! –dijeron los niños al unísono.

–Empezamos por la probabilidad de que la 2ª bola sea roja sabiendo que ya sacamos una y que fue roja –les dijo.

–A ver… –comenzó hablando Sal –casos posibles son 7 porque ya hay una bola menos…y casos favorables, serán 4 porque había 5 bolas rojas pero ya sacamos 1.

 

 

–¡Muy bien! ..les animó Mati –Ahora la otra condicionada, la probabilidad de que la segunda sea roja sabiendo que la primera que sacamos no lo era.

–Me toca –dijo Ven animado –Caso posibles son 7, claro, y casos favorables… 5, las 5 bolas rojas.

–Pero bueno…-Mati sonreía orgullosa –Lo que queda ya lo tenéis muy fácil

Los niños terminaron de calcular los términos que le faltaban

 

–¡Perfecto! –dijo la pelirroja –Ya lo tenemos todo

–¡Toma, toma, toma! –el pequeño Ven estaba alucinando.

–Me encanta, Mati –añadió el gafotas.

–Me alegro –dijo ella –El cálculo de probabilidades es muy entretenido y sencillo. Con esto y con un poco de observación, una familia española, los Pelayo,  ganaron mucho dinero. Pero a vosotros todavía no os interesa el dinero, ¿verdad?

–No, ¡nos interesa el fútbol! –dijo Ven.

–Bueno, y las matemáticas –añadió Sal con una sonrisa.

—Volviendo al asunto del fútbol –empezó a decir Mati –si queréis, por ejemplo, elegir campo en el fútbol y no estáis seguros de que la moneda esté equilibrada, os enseñaré a hacer un sorteo justo.

—¿Cómo? —preguntó casi gritando Sal sonriendo esperando la respuesta de Mati.

—Muy fácil, haciendo el sorteo a dos tiradas –propuso ella –La moneda será lanzada dos veces, y los jugadores elegirán sólo entre dos posibilidades: (cara, cruz) y (cruz,cara). Si las dos veces la moneda saca lo mismo, es decir (cara, cara) o (cruz, cruz), repetimos los dos lanzamientos. Pero los dos sucesos (cara, cruz) y (cruz, cara) tienen la misma probabilidad de salir. Nadie puede enfadarse.

 

–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! –gritó Ven –Vamos, Gauss, vamos a repetir el sorteo… ¿Dónde está Gauss?

–Creo que se quedó frito escuchando la explicación…