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¡Más fracciones!

–¿Jugamos al Hex un rato, Sal?

–No puedo, Ven, tengo que hacer la tarea de Mates.

–¿Te queda mucho?

–No, solo unas sumas de fracciones.

–¿Me enseñas a sumar fracciones? –pidió Ven a su hermano.

–Toma, calcula esto que es muy fácil.

El pequeño Ven se dispuso alegremente a realizar la suma que le había propuesto su hermano, 3/5 más 2/5…

Mati20Min_40p

–¡Hala, qué burro! Pero, ¿qué has hecho, Ven? –preguntó el gafotas exaltado.

–No me llames burro, tú –se quejó el pequeño reprimiendo un puchero –. Estoy en 3º y aún no hemos estudiado las sumas de fracciones…

–Lo siento, Ven –dijo Sal mientras le ponía un brazo por los hombros –Se me ha escapado… Te enseñaré cómo se hace, ¿quieres?

–Bueno, bueno, bueno… –Mati acababa de llegar – ¿Jugando a profesor y alumno?

–¡Hola, Mati! –saludaron los dos pequeños, Gauss ladró.

–Iba a enseñarle a Ven a sumar fracciones –añadió Sal.

Mati miró lo que había escrito Ven y dijo:

–Ah, ya veo… pero cuando los denominadores son iguales, sólo tenemos que sumar los numeradores, Ven.

–Es que en su clase aún no han explicado fracciones, Mati –se apresuró a excusarlo su hermano.

–Eso –añadió Ven.

–Ya, ya, lo sé –dijo ella –Debes pensar en las fracciones como si fueran trozos de tarta, ya verás cómo es más fácil…

–¿Trozos de tarta? –preguntó el pequeño rápidamente.

–Sí –respondió Mati –. Si dividimos una tarta en 5 trozos, 1/5 será un trozo, 2/5 serán dos trozos, 3/5 serán 3… Ahora piensa, ¿cuánto son 3/5 más 2/5?

–¡Cinco trozos! –exclamó Ven.

–Eso es –dijo Sal con una enorme sonrisa –. Serían 5/5, o lo que es lo mismo, 1, porque sería la tarta entera.

–Muy bien, chicos –añadió la pelirroja.

–Ahora lo comprendo todo –dijo Ven ceremonioso –Así que solo sumamos los números de arriba… 3/8 más 11/8 serán 14 /8… ¡Eh! Un momento, no pueden ser 14/8. Eso es más de una tarta.

–Cierto –confirmó la pelirroja y añadió guiñando un ojo–. Pero nadie dijo que solo tuviésemos una tarta. Además, fíjate, Ven, que 14 es 7 por 2 y 8 es 4 por 2, podemos, en ese caso, eliminar ese 2 en el numerador y el denominador y nos queda una fracción más elegante.

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–¡Toma! ¡Claro! –aceptó un Ven entusiasmado, pero su cara perdió de pronto el color –¿Qué pasa si no son iguales los denominadores, Mati?

–Vamos a pensarlo, ¿no? –propuso ella –Imaginemos que tenemos que sumar 3/8 + 1/6… Lo dibujamos como porciones de tarta

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–Ahora nos fijamos en la suma –les dijo –. No podemos hablar de octavos, porque el trozo resultante de sumar tiene un lado azul (el que representa los cortes en octavos) y otro en verde (que representa los cortes en sextos, en 6 partes iguales). Por la misma razón, no podemos hablar de sextos, ¿no?

–Claaaaaaaaro –murmuró Ven.

–¿Qué podemos hacer, chicos? –les preguntó Mati.

–Hacer porciones de distinto tamaño, ¿no? Más pequeñas –propuso Sal.

–Efectivamente –dijo ella –. En nuestras dos tartas iniciales, vamos a hacer nuevos cortes para dividir en fracciones de forma que al superponerlas, al sumarlas, las líneas azules y las líneas verdes coincidan. Para ello, el número de trozos debe ser el mismo en ambas tartas, ¿no?

–Ajá –asintió Ven muy teatrero.

–Tenemos que cortar cada uno de los 8 trozos de la primera tarta en un número N de trozos que nos darán en total 8xN porciones –les contó – y cada uno de los 6 trozos de la segunda tarta en M trozos, y nos quedarán 6xM porciones. Pero queremos que 8xN y 6xM sean iguales. Ahora bien, 8xN es un múltiplo de 8 y 6xM es un múltiplo de 6, por lo tanto necesitamos…

–¡Un múltiplo común a 6 y 8! –exclamó Sal.

–Eso es, muy bien –confirmó Mati –. Y para hacer el menor número de cortes, buscaremos…

¡El mínimo común múltiplo! –gritó Ven con entusiasmo.

–Pero, bueno, ¡sois fantásticos! –la pelirroja estaba orgullosa, Gauss gruñó con pelusilla –Lo calculamos como os enseñé.

–Primero el máximo común denominador –propuso Sal.

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–Y ahora dividimos 8 x 6 entre el MCD (8, 6) –concluyó el pequeño –y nos queda 24.

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–Ya lo tenemos –anunció ella –Vamos a dividir cada tarta en 24 trozos. Para ello, cada trozo de la primera, lo cortamos en 3, 24/8, y cada trozo de la segunda, lo cortamos en 4, 24/6. Así tenemos que 3/8 son lo mismo que 9/24 y que 1/6 serán 4/24 y por lo tanto:

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–¡13/24! ¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! –gritó el pequeño.

–Pues ya lo sabes –concluyó la gafotas –Para sumar fracciones con distinto denominador, también nos sirve el mínimo común múltiplo del que hablamos el otro día.

–¿Me pones una suma, Mati? –pidió Ven y Mati le escribió una en su libreta: 8/15 + 5/6.

–Primero el mcm(15, 6) –dijo Sal y lo calcularon.

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–Ahora tenemos que hacer 30 trozos de cada tarta –continuó el pequeño –O sea que en la de 15 trozos, hay que dividir cada trozo en 2 trozos, y por lo tanto, si 8/15 eran 15 trozos ahora tendré 16 trozos, es decir 16 trozos, que serán 16/30. En la tarta de 6 trozos, tengo que dividir cada uno de ellos en 5 trozos, por lo tanto, si 5/6 eran 5 trozos de esa tarta ahora tendré 5 por 5, 25 trozos de la nueva… 25/30. Y ahora 25 más 16… 41…¡41/30!

 

–Perfecto, Ven –le felicitó Mati–Ya sabes cómo sumar fracciones con distinto denominador –A continuación resumió todo el método en la libreta para que los chicos lo repasaran con ella.

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–Pero, Mati –preguntó el gafotas –¿No es más rápido hacer la división que indica la fracción y luego sumar lo que nos sale?

–Bueno –dijo esta –, no siempre es más rápido, puesto que tienes que hacer la división y además, en la mayoría de los casos, no tendrás el resultado exacto. Por ejemplo, vamos a calcular 10/3 + 17/9. Si lo hacemos con el método que propones:

dibujo_8–Pero si lo hacemos sumando las fracciones –continuó Mati –, que son los valores exactos de los números que queremos sumar:

 

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–Como veis, el resultado es diferente –les dijo y añadió con sonrisa traviesa–. Es preferible tratar las fracciones como lo que son, fracciones, no tratar de ver sus intimidades que se pueden alterar los resultados y mis chicos son muy precisos en sus cálculos, ¿no?

–Totalmente –afirmó Ven con rotundidad.

–No lo había pensado –añadió el gafotas –. Prefiero hacerlo con fracciones, sí.

–Bueno, Sal –dijo de pronto el pequeño –, termina tu tarea, yo jugaré mientras con Mati al Hex, ¿vale?

El ‘más menor’ de los múltiplos y el ‘más mayor’ de los divisores

–No se puede, Sal –dijo Ven.

–Espera, Ven, yo creo que sí –respondió el gafotas.

–Pero nunca serán igual de altas –insistió el pequeño — ¿No ves que los cubos de números son más pequeños que los cubos de letras?

–Que eso no impoooooorta… –contestó el gafotas.

–¡Anda que no! –siguió Ven con la regla en la mano –¡Mira! Los de letras miden 9 centímetros y los de números solo miden 6 centímetros de lado.

–Pero, bueno… –Mati acababa de llegar –¿Qué pasa aquí? Cuánto jaleo…

–Hola, Mati –la saludó Sal –. Vamos a construir dos torres gemelas con los cubos, una de letras y otra de números, para demostrar que las mates son tan importantes como las letras –el gafotas guiñó un ojo.

–Pero es imposible, porque los cubos de letras son más grandes que los de números –añadió su hermano con retintín.

Mati20Min_39p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

–Hola, Ven –saludó la pelirroja –No, ¿por qué dices que es imposible?

–Porque los de letras miden 9 centímetros y los de número 6 –contestó el pequeño cada vez más enfadado.

–Vamos a pensar un poco –propuso ella –Si hacemos una torre con 8 cubos de letras, ¿cuánto medirá?

–72 centímetros… –dijo Ven con cansancio.

–Eso es, Ven –dijo Mati –9 por 8, es decir, un múltiplo de 9, ¿no?

–Pues claro –contestó Ven mirando a Mati por el rabillo del ojo.

–Y si hacemos una torre con 10 cubos de números, ¿cuánto medirá? –siguió preguntando ella.

–60… –respondió Ven.

–Ajá, un múltiplo de 6, ¿no? –les preguntó.

–Sí  –respondió el gafotas con interés.

–Luego el problema que tenemos que resolver es encontrar un número que sea, a la vez,  múltiplo de 9 y múltiplo de 6 –les dijo –. Un múltiplo común a 9 y 6.

–Ya lo tengo –gritó el gafotas –Basta poner 6 cubos de letras y 9 cubos de números, y medirán 54 centímetros las dos torres ¡Guay!

–Muy bien, Sal –dijo Mati mientras Ven dudaba entre enfurruñarse por haber perdido la disputa y alegrarse porque el problema tenía solución –Ahora os pregunto, ¿se pueden hacer dos torres gemelas más pequeñas que esas con cubos de 6 y 9 centímetros de lado?

Los niños se quedaron muy serios, Gauss ladró para disimular y empezó a perseguir a una mosca imaginaria. Él es así.

–Ni i-d-e-a –acabó admitiendo Ven.

–Se trataría de encontrar el menor múltiplo que tienen en común 6 y 9, ¿no? –dijo Mati –Lo que se suele llamar mínimo común múltiplo de 6 y 9, y que se escribe así: mcm (6,9).

–¿Y eso cómo se hace, Mati? –preguntó enseguida Sal impaciente.

–Hay otras formas de hacerlo –les contó –, pero a mí me resulta más fácil calcularlo usando el máximo común divisor, ¿os acordáis?

–Sí, sí –dijo Sal –. Nos lo contaste. Se hacía con el algoritmo de Euclides, ¿no?

–Efectivamente, cielo –dijo Mati –Pues bien, el mínimo común múltiplo de 2 números se puede calcular dividiendo el producto de esos dos números entre el máximo común divisor de estos.

mcm_1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

–Vamos a calcular el mcm(6,9) –les propuso –.Para ello vamos a calcular primero MCD(6,9) usando el algoritmo de Euclides.

–¡Vale! –dijeron los dos hermanos a la vez.

mcm_2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

–Ea, pues ya lo tenemos –les dijo la gafotas.

mcm_3

 

 

 

 

–¡Claaaaaro! –exclamó Sal –Basta con poner 2 cubos de letras y 3 de números, ¡era muy fácil!

–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! –gritó Ven.

–¿Veis? Era posible –dijo Mati guiñando un ojo –Os voy a proponer ahora aun acertijo. Imaginaos que vuestros padres os dan paga cada semana, cada 7 días; vuestros abuelos os dan paga cada 14 días y yo os doy una paga cada 35 días…

–Ojalá –dijo Ven con una sonrisa pícara.

Si os damos las 3 pagas hoy por primera vez –les dijo —¿cuándo volveremos a daros los 3 la paga a la vez?

Los niños se quedaron pensando muy serios,  hasta que Sal dijo:

–¿Hay que calcular el mínimo común múltiplo de 7, 14 y 35?

–¡Muy bien! –dijo Mati.

–¿Y cómo calculamos el mínimo común múltiplo de 3 números? –preguntó Ven.

–Pues agrupando, convenientemente, por parejas –respondió Mati –, así:

mcm_8

 

 

 

 

 

 

 

 

–Calculamos primero mcm(7,14) –les dijo.

mcm_9

 

 

 

 

 

–Nos sale 14 –continuó la pelirroja –. Ahora tendríamos que calcular mcm(14, 35) 

 

mcm_10

 

 

 

 

–¡Es 70! –dijo Sal de pronto.

–Así que no volverán a coincidir las 3 pagas hasta dentro de 70 días –concluyó Mati.

–¡Hala, qué morro! –se quejó el pequeño.

–Pero si era todo ficticio, Ven… –se burló el gafotas.

–Con este método para calcular el mínimo común múltiplo –les contó Mati —evitamos tener que factorizar en primos, que puede ser muy complicado. Pensad, por ejemplo, que si queremos descomponer en factores primos el número 7663, el primer factor primo que  tiene es 79, y para llegar hasta él hemos tenido que probar con muchos primos antes…

–Jo, pues sí que es difícil factorizar… –se quejó Ven.

–Venga, el último acertijo –les dijo Mati —Ahora tenemos 25 bolitas rojas, 15 bolitas azules y 45 bolitas verdes. Queremos hacer collares exactamente iguales sin que sobren bolitas, ¿cuántos collares como máximo puedo hacer?

Los niños se volvieron  aquedar muy serios. Finalmente Ven preguntó:

–¿Hay que hacer el mcm(25, 15, 45)?

–No, no –dijo Mati –Si queremos que todos los collares sean iguales, todos tienen que tener el mismo número de bolitas rojas, ¿no?

Los niños asintieron con la cabeza. Gauss también.

–Por lo tanto –siguió la pelirroja –,  tenemos que dividir el número de bolas rojas entre el número de collares y, si no queremos que sobren bolas rojas, el número de collares debe ser un divisor del número de bolas rojas, de 25, ¿verdad?

Sal y Ven volvieron a asentir. Gauss también, es muy novelero.

–Lo mismo ocurre con las bolas azules –continuó ella –por lo que el número de collares debe ser divisor de 15.

–Y también divisor de 45… –apostilló Sal –por las bolitas verdes.

–Eso es –dijo Mati –El número de collares debe ser un divisor común de 25, 15 y 45, y como queremos hacer el mayor número de colares posibles, será el MCD(25, 15, 45). Hacemos primero el MCD(45, 25)

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–Y por último, el MCD(15,5)

mcm_7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

–Ya tenéis, les dijo que el MCD(25, 15, 45) es 5 –continuó Mati –Así que podréis hacer como máximo 5 collares iguales.

–¡Claro! –exclamó Sal –Cada collar tendrá 5 bolitas rojas, 3 bolitas azules y 9 bolitas verdes.

–¡Qué chulo, Mati! –dijo Ven.

–¿Os gusta? –preguntó ella sonriendo –Pues el próximo día os enseñaré a sumar fracciones usando lo que aprendimos hoy.

–¡¡Guauuu!! –dijo Gauss que siempre tiene que ser el que diga la última palabra…

¡El tuyo es más grande!

–Es la hora de la merienda chicos…

–¡Empanada! –dijo el pequeño Ven entusiasmado –¡Gracias, Mati!

–¡Me encanta la empanada! –Sal se relamía de gusto.

Mati ofreció un trozo a cada uno de los niños ante la atenta mirada de Gauss. Los niños miraban con recelo la porción de su hermano.

–Creo que el trozo de Ven es más grande, ¿no? –dijo finalmente Sal sin levantar mucho la voz.

–Eso no se dice, Sal –respondió el pequeño –Mamá dice que no es educado mirar los trozos de los demás… –y añadió  –Pero que sepas que el tuyo es más grande que el mío.

–Bueno, Ven, si quieres podemos medir el ángulo de cada trozo con mi regla de ángulos…

–No vale, porque no son iguales de gordos los dos trozos, Sal…

 

–Parece que tenemos que resolver un problema de comparación de fracciones, ¿no, chicos? –intervino Mati.
–¿De fracciones? –preguntó Ven -No, de porciones de empanada.
–Eso es –confirmó Mati –Pero a lfin y al cabo, las porciones de empanadas son fracciones de empanada ¿Sabéis cómo podemos saber si dos fracciones son iguales?

–Claro, Mati –dio Sal rápidamente –Si tienen el mismo número arriba y abajo.

–No, no siempre cielo –contestó ella –Hay fracciones que pueden tener distintos los números de arriba, numeradores y los de abajo, denominadores y ser la misma fracción. Por ejemplo, mirad este ejemplo.

–¡Toma! Es verdad… –se sorprendió Ven.

–Ah, claro –dijo el gafotas –Para saber si dos fracciones son iguales sólo tenemos que hacer la división y comprobar los resultados, ¿no, Mati?

–Ése sería un método –dijo ella –Pero no siempre obtenemos el resto igual a cero tan rápido. Es decir, que hay fracciones que representan a números con muchos decimales, incluso con infinitos números decimales,  y para poder compararlas y afirmar si son o no iguales, tendríamos que conocerlos todos…

–No entiendo nada… -reconoció el pequeño.

–Vamos a verlo con un ejemplo –propuso la pelirroja, vamos a comparar 65/29 y 222/99, por ejemplo. Vamos a dividir a ver qué pasa…

 

–¿Qué os parece¿ ¿Son iguales o no?

–Por ahora sí…

–Exacto, Ven –confirmó la gafotas –Tenemos que seguir dividiendo…

 

–¡Vaya! –dijo Sal –Pues no, no lo son…

–Pero Mati, si tienen infinitos números decimales, ¡no las podemos comparar nunca! –dramatizó Ven.

–Sí, sí las podemos comparar –respondió ésta –Porque no hace falta hacer la división. Para comparar dos fracciones y saber si representan al mismo número, basta con multiplicar en cruz. Os pondré otro ejemplo 7/5 y 21/15.

 

–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! –gritó el pequeño.

–Vaya –se sorprendió Sal –No sabía que dos fracciones podían ser tan diferentes y valer lo mismo.

–Pues sí –siguió Mati –De hecho, pueden haber infinitas fracciones que representen al mismo número, que valgan lo mismo

–Pues, vaya rollo –bromeó Ven –No te puedes fiar de las apariencias…

–Eso nunca, Ven –dijo ella con voz misteriosa –Somos científicos, ¿recuerdas? Tenemos que asegurarnos bien antes de afirmar nada –Mati le guiñó un ojo.

–Ya –continuó Sal –Sería más fácil si sólo hubiera una fracción para cada valor…

–Pues sí –corroboró Mati –Sería más fácil si sólo tuviésemos que comparar fracciones irreducibles.

–¿Irreduccibles? –preguntaron los dos hermanos a la vez.

–Sí –dijo la gafotas — Fracciones en las que el numerador y el denominador son primos, y eso ya sabéis comprobar cuándo ocurre. Pues bien, dos fracciones irreducibles son iguales sólo si el numerador y el denominador son iguales, como decía Sal al principio.

–¡Toma! –dijo el pequeño –Las irreducibles molan más.

–Pero Mati –preguntó Sal con la mirada perdida en sus pensamientos –¿De verdad que una fracción puede tener infinitos decimales?

–Huy, sí –dijo ésta –Pero de una forma especial… Os lo contaré el próximo día, ¿cómo está la empanada?