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¡Unamos los pueblos!

Hoy os quisiera plantear un problema de los llamado de optimización, uno de esos problemas que puede parecer, a primera vista, más simple de lo que en realidad es.

Supongamos que tenemos cuatro pueblos cercanos que, por alguna razón, aún no están comunicados entre sí: igual ha pasado un huracán y ha destruido las carreteras que existían o, peor aún, un banco las ha expropiado y se las ha quedado sin saber qué hacer con ellas. Da igual, el caso es que queremos construir carreteras que las unan y estamos en una suposición, por lo tanto, podemos suponer que no nos sobra el dinero y queremos construir la red de carreteras con menos kilómetros, la más económica. El último dato que nos falta es que las ciudades se encuentran formando un cuadrado de lado 10 km. Así tenemos el siguiente diagrama:

En principio, el problema no parece tan difícil, ya que todas los posibles formas de unir los vértices de un cuadrado usando el menor número de carreteras (segmentos de rectas empezando y terminando en ciudades) son los que presentamos a continuación:

Y se puede comprobar que los de la primera fila suman una distancia total de 30 km, los de la segunda (usando el teorema de Pitágoras) de 20+√200 km que son algo más de 34 km. Así que parece claro que gana cualquiera de los diseños de la primera fila. Pero ¿son esas todas las posibles soluciones?

 

En principio no, porque hay otros diseños con la misma longitud que los de la primera fila y que presentan algunas ventajas sobre las anteriores, como las dos que presentamos ahora:

Si nos fijamos estos dos diseños tienen también una longitud de 30 km y la ventaja a la que nos referíamos es que la distancia más larga entre los pueblos es más corta que la distancia más larga en aquellos diseños como el que tenía forma de U: para los de forma de U la distancia más larga posible entre dos pueblos es de 30 km, mientras que en el diseño en H la distancia más larga entre dos pueblos es de 20 km.

Pero todavía lo podemos hacer mejor.  Si consideramos unir cada par de ciudades diagonalmente opuestas por sendas carreteras con un cruce (o una rotonda si tenemos un alcalde al que le gusten mucho: por aquí por el sur, el de Dos Hermanas, por ejemplo), tendremos un diseño en X:

 

La longitud total de esa red de carreteras es poco más de 28 km (de nuevo usando Pitágoras). Y parece que ya no se va a poder mejorar, pero estaremos equivocados

Entonces, ¿tenemos diseño ganador? Pues no, porque podemos modificar ligeramente los diseños en H hasta obtener algo así:

Está demostrado que la longitud mínima se alcanza cuando escogemos los puntos de cruce de las carreteras  de forma que éstas formen un ángulo de 120º en los puntos en los que se bifurcan.

 

Es fácil calcular cómo se ha de escoger el punto en el que las carreteras se bifurcan para que sea óptimo el diseño.

Si nos fijamos  el triángulo ABC es un triángulo rectángulo (el ángulo en C es de 90º) y el ángulo en B debe ser la mitad de 120º , 60º, por lo tanto, puesto que los ángulos internos de un triángulo suman 180º, tenemos que el ángulo en A (en el triángulo ABC) es de 30º. Si hacemos una  copia del triángulo ABC (pegando por el lado AC), y nos fijamos en el triángulo ABB’, éste es un triángulo equilátero (puesto que los ángulos en A, B y B’ son de 60º los 3) y por tanto BC es la mitad de AB, como AC vale 5 km, usando el teorema de Pitágoras tenemos que el lado BC mide 5/ √3 y por lo tanto,  obtenemos que la longitud total de esta red de carreteras es de 10+10√km que es algo más de 27 km y es el ganador absoluto.

Ahora es el momento en el que planteo: ¿y si en vez de cuatro ciudades son tres todas a la misma distancia? ¿Y cinco?

Si queréis ver la solución a estos problemas, se puede este vídeo maravilloso (está en inglés, pero creo que es suficientemente ilustrativo y muy recomendable), donde se da la solución para los distintos casos, pero lo más interesante es que llega a dicha solución con la única ayuda de unas pompas de jabón. Por cierto, esto me da una idea de la que hablaros otro día: de las matemáticas de las pompas de jabón. Pero eso será en otra ocasión.

 

 

Área de aprendizaje

–¿Que haces, Ven?

–Nada… miraba el masu que hicimos el sábado con Mati.

–¿Quieres que juguemos con él a medir arroz?

–No, no es eso, Sal… –respondió Ven un poco apenado –Es que… no se lo digas a nadie, pero yo no sé qué es el área. Yo sólo conozco el área de penalty y el área de portería. No entiendo qué pasa con el área de la base.

–Vamos a mirar en el diccionario, Ven –respondió Sal tratando de animar a su hermano.

Los niños se pusieron a hojear el diccionario hasta que Sal encontró área y leyó en voz alta:

–Espacio de tierra comprendido entre ciertos límites… Eso es lo del fútbol también –concluyó el gafotas.

–¿Qué buscan mis niños en el diccionario? ¿Masu? –Mati acababa de entrar.

–No, Mati, estamos buscando área –dijo el pequeño Ven –porque yo sólo conozco las del fútbol y no sé cuál es el aŕea del masu.

–Ah, entiendo –Mati sonrió – Te refieres al área de la base del masu, ¿no?

Ven afirmó fuertemente con su cabecita.

–Cuando hablábamos el sábado de áreas, me refería a la medida de la superficie de la base de nuestro masu, por ejemplo. Cuando hablamos de área de una figura plana, estamos dando una medida de la superficie que ocupa.

–Y, ¿eso cómo se mide? ¿Con un metro muy ancho?

–Más o menos, Ven –respondió la pelirroja –Se mide usando cuadraditos pequeñitos, como si pusiéramos losetas en el suelo.

–¿Losetas? –preguntó Sal mientras sus gafas resbalaban por su naricilla.

–Más o menos, ¿queréis que os explique cómo se calcula el área de las figuras planas?

–¿Es muy difícil? –preguntó Ven con preocupación mientras Gauss ponía las orejas tiesas esperando la explicación de Mati.

–No, para nada, al menos el cálculo de áreas de algunas figuras. Este cálculo es algo conocido desde la antigüedad cuando aún no se sabían muchas matemáticas –comenzó diciendo Mati –El historiador Herodoto sugiere que fueron los egipcios los primeros que se plantearon medir el áreea de los terrenos de cultivo, para poder volver a delimitar los mismos después de la inundación anual del Nilo, porque ésta, la inundación, borraba los límites de las parcelas y luego había discusiones sobre los campesinos para volver a poner límites a sus fincas.

–Vaya, rollo de Nilo…

–Pues sí, Ven, era un poco rollo tener que volver a marcar las parcelas tras cada inundación, pero a cambio, tenían tierras muy fértiles. Pero bueno, esta teoría de Herodoto puede no ser del todo cierta, puesto que parece que también los babilonios conocían el cálculo de áreas…

–¿Cómo se calcula el área, Mati? –preguntó impaciente Sal.

–Vamos a ello, chicos. Antes que nada, necesitamos fijar una unidad de área común para todos. Como tenemos nuestro cuaderno de cuadritos, elegimos como unidad de área el cuadrito de la hoja de papel.

 

–Comenzaremos calculando el área de un cuadrado. Si a nuestra unidad de área la llamamos u2, como es habitual, al lado del cuadrito le llamamos u y será la unidad de longitud. Dibujamos un cuadradro y medimos cuántos u mide el lado. Sólo habría que medir uno de ellos puesto que si es un cuadrado, los 4 lados miden lo mismo.

 

 

 

–Fijaos que nuestro cuadrado está relleno de cuadritos, como si fuera un suelo enlosado, ¿no?

–Sí –respondió el pequeño.

–Entonces, el área de nuestro cuadrado es el número de losetas o cuadritos (que son unidades de área) que necesitamos para recubrirlo.

–¡Yo los cuento, yo los cuento, por fa! –dijo Ven y se puso a contar con su dedito sobre la libreta de Mati –Son 64 baldosas.

 

 

 

–Muy bien, Ven ¡Qué rápido eres contando! –afirmó Mati provocando en Ven una sensación de superioridad.

–Que es exactamente… –Sal seguía mirando absorto el dibujo –…el resultado de 8 x 8…¿Verdad, Mati?

–Efectivamente, Sal –corroboró ésta –Y así es siempre, el área de un cuadrado se calcula multiplicando la longitud de sus lados.

 

–¿Siempre, siempre? –preguntó Ven.

–Siempre, siempre –contestó Mati.

–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! Y no te tienes que saber las tablas de multiplicar, ¡basta con contar losetas!

–¿Pero qué dices, Ven? ¿Y si son miles, miles y miles de losestas? –intervino Sal.

–Toma, es verdad…

–En es caso –dijo Mati –usamos las multiplicaciones, o una calculadora. No os preocupéis.

–¿Y si los lados no son iguales, Mati? –preguntó Sal.

–¿Si tenemos un rectángulo? Vamos a contarlo a ver qué pasa… –dijo la gafotas mientras cogía de nuevo su cuaderno y dibujaba un rectángulo.

–¡Yo cuento! –volvió a pedir el pequeño y se puso a puntear cuadritos con su dedito.

 

 

–Es verdad, Mati, otra vez nos ha salido lado por lado –el gafotas no pudo reprimir una sonrisa.

–Vamos a darle un nombre a esos lados para distinguirlos –propuso la pelirroja –A uno de ellos, por ejemplo, al horizontal, le llamamos base; al vertical, le llamaremos altura. Con esos nombres ya podemos afirmar que el área de un rectángulo es el producto de su base por su altura.

 

 

 

–¡Qué fácil, Mati! –Ven estaba alucinando.

–Vamos a ver ahora el área de un triángulo –propuso ella.

–¿Rectángulo, isósceles o escaleno? –preguntó Sal.

–Bueno, no es importante, pero vamos a elegir uno escaleno que son más desiguales.

–¿Puedo contar las losetas otra vez yo? –preguntó Ven con carita de bueno.

–Claro, ¿verdad, Sal? –respondió Mati. Sal asintió con su cabecita.

 

–Ahora no se puede… –la carita de Ven perdió su brillo de repente.

–Es cierto, ahora hay trocitos de losetas, Mati. Ven tiene razón.

–Vamos a encerrar ese triángulo dentro de un rectángulo, a ver si nos ayuda –dijo Mati –Pintamos de verde la zona del rectángulo que no es parte de nuestro triángulo.

 

–Partimos nuestro triángulo en 2 usando esta rayita roja vertical y nos fijamos en que: el triángulo amarillo y el verde a la derecha de la línea roja son iguales y los dos triangulitos, el amarillo y el verde, a la derecha de la línea roja, también son iguales, ¿no?

–Sí… ¿y?

–Pues eso, Ven, significa que el área verde, la suma de los 2 triángulos verdes, es igual que el área de nuestro triángulo original.

–Ya lo veo… –dijo Sal –La suma de esas áreas es el área del rectángulo, o sea, base por altura.

–Eso es, Sal –continuó la gafotas –Y como el rectángulo contiene a dos triángulos como el nuestro amarillo, el área de nuestro triángulo es la mitad de la del rectángulo.

 

 

–¡Toma, toma, toma! –Ven achuchó a Gauss con la emoción. Éste se dejó querer –¡Ahora el círculo!

–Oh, despacio, Ven –dijo Mati sonriendo –Vamos a segur un poco con figuras de lados rectos, ya vendrán las curvas…

–Mejor, así no nos mareamos –contestó Sal guiñando un ojo a su hermano que sonrió sin entender muy bien el chiste, francamente.

–Vale –terminó aceptando Ven.

–Vamos a ver cómo se calcula el área de otros paralelogramos –propuso Mati.

–¿El qué? –la cara de Ven se arrugó enterita.

–Un paralelogramo es una figura plana de 4 lados, con la propiedad de que esos lados son paralelos 2 a 2..

–¿Qué significa paralelo, Mati?

–Dos lados son paralelos, Ven, si por mucho que lo estirásemos, nunca se encontrarían.

–Entonces, si son paralelos, tiene que ser un cuadrado o un rectángulo.

–No, Sal , hay otros paralelogramos: los rombos y los romboides. En el caso del rombo, los 4 lados miden lo mismo.

–Yo sé cómo dice rombo en japonés –interrumpió Ven –Bishi. Me lo explicó papá con una marca de coches que tiene 3 bishis.

–Hala, Ven, eso no lo sabía yo –dijo Mati –Gracias.

–De nada –respondió Ven orgulloso.

 

–¿Por qué les llamas rectángulo al cuadrado también, Mati? –preguntó Sal.

–En realidad, el cuadrado es un rectángulo con los lados iguales, y se llaman así, rectángulos, porque sus lados se cortan entre sí formando un ángulo recto...

–¡Como la esquina de una portería! –Dijo Ven ufano

–Eso es –confirmó Mati.

 

 

–Mientras que ni en el romboide ni en el rombo, los ángulos son rectos ¿Cuánto mide el área de este romboide? –propuso la pelirroja después de dibujar uno en su cuaderno.

–Otra vez hay trocitos de losetas… –dijo el pequeño serio.

–Ya veréis… –empezó diciendo Mati –Fijaos en el dibujo en que el triangulito T1 es exactamente igual que el triangulito T2

–Cierto… –puntualizó el gafotas.

–Recortamos el triángulo T1 y lo pegamos junto a T2, ¿que nos queda?

–¡Un rectángulo! –gritó Ven.

–En ese caso, es pan comido para mis chicos –dijo Mati guiñando un ojo.

–Pero qué divertido es calcular áreas, Mati –dijo Ven –Siento haber dicho que lo del Nilo era un rollo.

–¡Jajajaja! –Mati se rió –una cosa no quita la otra, Ven.

–¿Y el área del rombo es lado por lado, Mati?

–Eso es, Sal –respondió Mati.

–Pues ahora que hemos acabado con las figuras de 4 lados, vamos a ver las de 5, ¿vale? –pidió Ven con alegría.

–¿Quién dice que hemos terminado con las figuras de 4 lados, chico impaciente? –Mati alborotó el cabello de Ven – ¿Qué pasa si los lados de la figura no son paralelos de 2 en 2?

–¿Qué pasa? –preguntó inmediatamente Sal.

–Pues que no tenemos paralelogramos, y en ese caso, cuando, por ejemplo,  2 de los lados del cuadrilátero, de la figura de 4 lados, son paralelos y los otros 2 no, se les llaman trapecios.

–Como en el circo… -dijo Ven.

–Y como unos músculos de la espalda –añadió Sal.

–¡Toma, trapecio es una palabra polisémica! –A Ven le encantan las palabras polisémicas.

–Cierto, como área –Mati sonrió – Vamos a quedarnos con los trapecios que son cuadriláteros y vamos a calcular su área, ¿os parece?

–¡¡Sí!! –contestaron al unísono.

–Los trapecios, como los triángulos, se pueden clasificar en rectángulos (si uno de sus ángulos es recto), isósceles (si tienen 2 lados con la misma longitud) o escalenos (si los 4 lados tienen longituedes distintas).

 

–Como los triangulós –apostilló Ven.

–Eso ya lo ha dicho, Mati –dijo su hermano.

–Huy, es verdad –Ven se ruborizó –Lo siento.

–No pasa nada, cielo –dijo ella – Ahora, a ver cómo calculamos su área.

 

 

–Antes que nada, vamos a recortar los triangulitos laterales, y los llamamos T1 y T2, a la base de T1 le llamamos b1 y a la base de T2 le llamamos b2. Llamamos h a la altura del rectángulo que nos queda al cortar los triángulitos. Por útlimo, como los 2 lados paralelos no miden lo mismo, al más largo le llamamos base mayor y al más corto, base menor. Tenemos un cuadrado, en el centro y dos triángulos pegados. Sabemos calcular el área de los 3, sólo hay que sumar, ¿no?

–Es verdad, y ya está –Ven se sentía satisfecho y feliz.

–Pero vamos a toquetear un poco esas cuentas, a ver si conseguimos una fórmula como la de base por altura del rectángulo –propuso Mati.

–Y del romboide –añadió el pequeño.

Mati, en otra hoja de sus cuaderno, empezó a escribir y a componer, descomponer, sacar factor común… Finalmente obtuvo lo que buscaba.

–Ya tenemos, entonces, la fórmula para el cálculo del área de un trapecio. Es la suma de las bases por su altura, dividido por 2.

–¡TOMA! ¡Cómo mola!

–Sí, Ven, mola mucho –dijo Sal con una gran sonrisa.

–Venga, ya, Mati, ahora los de 5 lados –pidió Ven emocionado.

–Pero, bueno… ¿y nos olvidamos de los pobres trapezoides? –dijo ella dramatizando cómicamente.

–Y esos ¿quién son? –resopló Ven.

–Los trapezoides son cuadriáteros donde ninguno de sus lados es paralelo a otro. Imagina un trapecio elástico y gira una de sus bases para que no sea paralela a la otra.

–Ya, ya lo veo –dijo Sal –¡A por el trapezoide!

–Huy, creo que Gauss necesita salir un poco a tomar el aire –respondió Mati –Tiene cara de estar mareado con tanta geometría. Lo dejamos para otro día, chicos.

 

 

 

Mind the map

 

Hoy vamos a hablar del metro, pero no de tarifazos ni de noticias que nos ponen mal cuerpo, vamos a intentar abstraernos durante unos minutos de la realidad.

Hoy, y ahora que los niños salieron a jugar, vamos a hablar de planos de metro, concretamente del plano del metro de Londres, y de cómo un desconocido  ingeniero consiguió revolucionar parte de los conceptos de diseño en el siglo XX.

 

¿Que qué tiene que ver esto con Matemáticas?

 

Pues, mucho. Es el ejemplo que algunos de los que enseñamos Teoría de Grafos usamos para mostrar a nuestros estudiantes la importancia de la representación, el dibujo, de un grafo.

 

¿Qué es un grafo?

 

De forma coloquial y sencilla, un grafo es un conjunto de elementos, a los que llamaremos vértices, que se relacionan entre ellos por parejas, no necesariamente todos, definiendo lo que llamamos aristas del grafo.

Podemos pensar, por ejemplo que queremos diseñar un circuito con 4 componentes, todas unidos con todas, por parejas. A las componentes, que harán el papel de vértices del grafo, las llamamos en una alarde de originalidad {1, 2, 3, 4}. En ese caso, las conexiones que tenemos que dibujar, que harán el papel de aristas, serán {(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}. Al grafo así definido se le conoce como K4.

Vamos a dibujar el circuito. Una posible representación sería ésta.

Está bonita, sí. Pero es que… no queremos que las conexiones se corten entre ellas. Pensamos un poco más el posible diseño del circuito y nos damos cuenta de que si lo pintamos, por ejemplo, como en la siguiente figura, no hay cruce entre las conexiones.

¡Bingo!

Bueno, este circuito ha sido muy fácil y hemos resuelto el problema del cruce de las conexiones sin despeinarnos. Vamos a poner una componente más, una ná más. Tenemos que dibujar 5 vértices, las 5 componentes, {1, 2, 3, 4, 5} y unir cada una de ellas con las otras 4.

Muy mono, sí. Pero, ¿lo podemos dibujar sin cruces?

  Les dejo unos minutos para que lo intenten.

 

 

 

No, no se agobien, no es posible. De hecho es uno de los teoremas más famosos de la Teoría de Grafos, el Teorema de Kuratowski.

 

Hasta aquí espero haberles convencidos de la importancia del dibujo de un grafo como aplicación, por ejemplo, en el diseño de circuito.

 

¿Qué tiene todo esto que ver con el mapa del metro de Londres?

 

Los primeros mapas del metro de Londres eran geográficos, básicamente, consistían en dibujar sobre un plano de la ciudad los recorridos de las distintas líneas.

Mapa del metro de Londres en 1908

Fue Harry Beck, ingeniero electrónico (para que no digan que sólo hablo de matemáticos) empleado en el metro de Londres, el primero que se percató de que al usuario no le interesaba conocer el recorrido del metro bajo tierra, sino simplemente, conocer la posición relativa de las líneas y estaciones para realizar los trasbordos que necesitase.

Se le ocurrió entonces, en 1931, que en realidad, más que un diseño geográfico, lo que resultaría útil sería un diseño topológico, con menos curvas y direcciones en las líneas, y, de broma, hizo su primer diseño basado en los utilizados en circuitos eléctricos. Aún un poco reticentes, lanzaron la idea de Beck entre los usuarios y fue aceptada con entusiasmo por los pasajeros del metro.

Mapa de Beck de 1933

Y hasta hoy, esa idea topológica del mapa de Beck, es la más utilizada en el mundo para este tipo de planos. Esto es, sin tener en cuenta la situación  geográfica de las estaciones en el mapa de la ciudad, salvo su posición respecto al Támesis, en el caso del mapa del metro de Londres.  Incluso hasta en nuestro metro de Sevilla, aunque aquí, sinceramente, aún podríamos permitirnos el geográfico.

 

Plano del metro de Sevilla

Volviendo al de Londres y a la pregunta de que qué tiene que ver el plano de un metro con las Matemáticas, en general, o con la Teoría de Grafos, en particular, pues, eso, que es otro ejemplo más, como el del diseño de circuitos sin cruces,  de la importancia del dibujo de un grafo. Puesto que podemos entender las estaciones como vértices y las líneas como aristas.

De hecho, Beck, a lo largo de su trayectoria, introdujo diversos cambios a su diseño original en pos de conseguir mayor claridad en el plano.

En 1936, entre otros cambios, eliminó curvas y sólo permitió ángulos de 45º y 90º.

Mapa de Beck de 1936

En 1940, le pidieron, entre otros detalles, que incorporase ángulos de 60º también, idea que se desechó posteriormente por enturbiar la claridad del plano.

Mapa de Beck de 1941

Se puede consultar aquí la evolución de los mapas de del metro de Londres y observar qué tipo de modificaciones iban apareciendo siempre para mejorar la usabilidad de los mismos, hasta llegar a la versión actual en la que, como no puede ser de otra manera, se referencia a Harry Beck como creador del diseño. Diseño que habida cuenta de la cantidad de merchandising que ha generado (camisetas, tazas, etc.) debe haber sido uno de los más rentables del siglo pasado, supongo.

Pues todo esto para decidir cómo dibujar las líneas de metro y las distintas estaciones. Pero hay otro problema a la hora de diseñar mapas que es el de poner etiquetas con los nombres, por ejemplo, de las estaciones. Tienen que ser pequeños para que las dimensiones del mapa completo no sean desmesuradas pero lo suficientemente grandes para que el usuario las pueda leer. De este tipo de problemas, del de etiquetado de mapas también se ocupan investigadores matemáticos e informáticos, pero eso se escapa de este café que estamos compartiendo hablando de Beck.

Mapa actual del metro de Tokio

De lo que no hay duda es de que la idea original de Harry Beck, aparte de su utilidad práctica, es también un hermoso ejemplo de arte.

Este mapa, de 2003, está en el London Transport Museum

Yo me bajo en ésta. Hasta la próxima.

 

Un sevillano en la Luna


Fuente: NASA

 

Hace unos días ha sido noticia el hallazgo de los motores del Apolo XI en el fondo del océano Atlántico. Hace más de 40 años de aquella misión épica y romántica, al menos para mí, que permitía al hombre alcanzar la Luna, esa Luna tan presente en nuestros sueños, nuestras canciones y tantas veces ofrecidas en promesas de amor eterno… 

Jabir iibn Aflah

 

 

El descubrimiento de los motores a más de 4 kilómetros de profundidad ha sido posible gracias a sofisticadas y modernas técnicas de sónar y no he podido evitar pensar, en plan abuela Cebolleta, ¡Ah!, cómo hemos cambiado... Y al volver la vista atrás, aparte de ver la senda que nunca se ha de pisar, como decía el gran poeta sevillano, me ha venido a la mente el nombre de otro paisano, Abu Muhammad Jabir ibn Aflah (también conocido como Geber tras latinizar su nombre) astrónomo y matemático sevillano del siglo XII, que se ha merecido dejar su nombre en nuestro idolatrado satélite, concretamente a un cráter lunar. Ése es nuestro sevillano en la Luna al que hace referencia el título de esta entrada.

En la siguiente imagen se señala el cráter que lleva el nombre de Jabir ibn Aflah (Geber). Los puntos rojos indican los  alunizajes de las distintas misiones Apolo. (Pinchando sobre ella se puede ver más grande).

 

Un sevillano en la Luna

Aunque hay poca información sobre la vida de Jabir, parece claro  que fue sevillano, puesto que se le nombra como al-Ishbili (el sevillano) en los manuscritos que recogen sus tratados sobre astronomía, y es mencionado como Ibn Aflah de Sevilla por el filosófo y médico Maimónides en su Guía de Perplejos, obra magna de este ilustre cordobés,  quien además fue el que llevó la obra de nuestro amigo Jabir hasta Egipto.

El universo según Ptolomeo

Posiblemente, la mayor contribución de Ibn Aflah es su tratado Correción del Almagesto, en el que corrige los tratados de Ptolomeo, descartando, por ejemplo,  que Venus y Mercurio estuvieran entre el Sol y la Luna como éste afirmaba dentro de su visión geocéntrica del universo. 

 

Parece indudable la influencia de nuestro matemático sevillano sobre los astrónomos de siglos venideros, gracias, posiblemente, a que su obra fue traducida al latín y, como toda buena historia que se precie, también tiene sus cotilleos. Las malas lenguas dicen que gran parte de la trigonometría esférica que Regiomontano (siglo XV) presenta en su obra De triangulis, fue tomada prestada del trabajo de Jabir, sin que éste fuera mencionado en ningún momento. Ya ven, el copiar y pegar sin citar ya venía de antiguo. Bueno, no fueron malas lenguas precisamente las que señalaban al matemático alemán como usurpador de los conocimientos trigonométricos del sevillano, sino que fue el matemático italiano Gerolamo Cardano el que pilló al copión y así lo señaló. Eso sí, hubo que esperar hasta el siglo XVI. Nos cabe el consuelo de que aunque Regiomontano se muriera sin ser pillado, tampoco a Ibn Aflah le hizo daño porque llevaba más años muerto.

Torquetum

 

Pero además de su corrección, demasiado teórica según algunos, a los trabajos de Ptolomeo, Jabir Ibn Aflah  es conocido como el creador de uno de los primeros instrumentos de la astronomía: el torquetum. El torquetum se utilizaba para realizar medidas usando tres tipos de coordenadas astronómicas: las coordenadas altacimutales (posición respecto al horizonte), las coordenadas ecuatoriales y las coordenadas eclípticas.

No voy a entrar en detalles para explicar qué representan cada una de estas coordenadas hoy, lo dejamos para otro día a la hora de las tareas, seguro que a Sal y Ven les apetece aprenderlas, pero sí quería resaltar el hecho de que el torquetum diseñado por Ibn Aflah podía considerarse como una innovadora (en el siglo XII) computadora analógica, puesto que permitía no sólo realizar mediciones en las coordenadas anteriormente citadas, sino también transformar unas en otras sin necesidad de cálculos. Y aparte de todo, es tan bonito… ¿no?

 

Hay ejemplos en el arte en los que este maravilloso instrumento está presente. por ejemplo, en el cuadro conocido como Los embajadores de Hans Holbein el Joven expuesto en la National Gallery de Londres. Está cerca del señor que está a la derecha del cuadro, Georges de Selve, obispo de Lavaur, justo detrás del codo que tan graciosamente apoya.

Los embajadores de Hans Holbein el Joven

Pero además de corregir a Ptolomeo, de inspirar a Regiomontano, ¿y si resulta que nuestro Jabir fue el verdadero diseñador del alminar que luego sería nuestra Giralda?¿Eh? ¿Y si lo que quería Ibn Aflah era ubicar en ella un observatorio astronómico? Ésta es la hipótesis que la profesora Alicia M. Canto sugiere en “Los viajes del caballero inglés John Breval a España y Portugal“.

Esto último es sólo, como se ha dicho, una hipótesis. Pero sería maravilloso que fuera verdad, para terminar de rematar la historia de este matemático sevillano que se quedó en la Luna.

El Giraldillo y la Luna, de Carlos Salguero

 

Japón, mira que está lejos Japón…

Hace unos días me preguntaba una periodista por qué en nuestro país el nivel de matemáticas de nuestros estudiantes era tan bajo comparado con el de otros países. Con la siguiente pregunta me sugería casi la respuesta: ¿no sería que los maestros y profesores de matemáticas no saben hacerlo bien?

No me pude reprimir. Me hace mucha gracia el hecho de que cuando la selección nacional de fútbol gana una competición todos nos sintamos campeones del mundo y que cuando falla el sistema educativo los únicos responsables sean los profesores.

¿Qué hay de la responsabilidad en este asunto del resto de la sociedad? Y no sólo de las familias de nuestros estudiantes, sino de todos los que formamos parte de ella. Porque no es difícil, maldita la gracia que me hace, que algunos padres afirmen, enfrente de sus hijos, que las matemáticas son difíciles, odiosas e ¡inútiles! Pero también es verdad que ningún niño puede intuir de la información que le rodea algo mejor de las ciencias, en general o de las matemáticas, en particular. Sin embargo, sí que quisieran, por poner un ejemplo, jugar como Messi (que el chiquillo juega pa chillarle, todo hay que decirlo), cuando, posiblemente, llegar a hacerlo así sea mucho más difícil y complicado que resolver una integral por partes.Y no, no  sólo quieren ser como el jugador argentino, tienen ejemplos más cercanos y asequibles. Me contó  un compañero, profesor de secundaria,  que cierto día uno de sus alumnos le argumentaba que no necesitaba saber dividir polinomios porque su primo, albañil, no sabía hacerlo y tenía un coche mejor que el de él, el de mi compañero digo. Con esta tela, ¿qué traje se puede hacer uno?  No sé cuál sería la solución de un problema tan serio, qué más quisiera yo…

En ese momento, volé hacia Japón y me llevé a la periodista de la mano. Hace unos años, paseando por Kioto con Jin Akiyama, observaba cómo grupos de adolescentes se acercaban a él y entre grititos y tímidas risitas, les ofrecían sus cuadernos y libros para que Akiyama sensei se los firmara. Para mí fue alucinante, porque Jin no es futbolista, no ha estado nunca en ninguna casa de ésas que te echan por no sé qué razones, no ha tenido ningún idilio, que yo sepa, con ningún torero. No. Jin es matemático y desde 1991 tiene un programa en una de las cadenas de televisión más importantes de Japón sobre ¿qué? Sí, sobre matemáticas y es uno de los hombres más famosos del país del sol naciente sólo por eso. Además de eso, es profesor en la Universidad e investigador, hecho por el que yo le conozco.

Una de las autoras de este blog con Jin Akiyama en Alcalá de Henares, en 2011

Pero no sólo tiene su programa de divulgación de matemáticas en la NHK, también hace radio, aparece como personaje invitado en series de televisión, en algún manga…¡hasta  juegos para la Nintendo DS!

  

Parte del secreto de este éxito en divulgación es sin duda que Jin, aparte de matemático, es un artista, un verdadero showman. No comparte nada, en cuanto a personalidad se refiere, con los matemáticos que, posiblemente, más gente conoce como  John Nash (de Una mente maravillosa) o Grigori Perelman (que rechazó un millón de dólares de premio). Estos dos son dos ejemplos, a mi parecer de la imagen que tiene gran parte de la sociedad de los matemáticos. Y, lamentablemente, ninguno de los dos son populares por sus maravillosas aportaciones a las matemáticas sino por su carácter, digamos, especial.

Pero…

¿Se imaginan un fenómeno parecido en nuestro país? ¿Un programa de divulgación matemática en horario de máxima audiencia? ¿Adolescentes persiguiendo a un profesor de matemáticas para pedirle un autógrafo?

Japón, pero mira que está lejos Japón…