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El hombre anumérico

Estos días ha visitado España John Allen Paulos, matemático y divulgador norteamericano cuya obra más conocida es la que da título a esta entrada. Si queréis, os dejo el enlace a la entrevista que Antonio Martínez Ron le hizo durante su visita, o la entrevista que le hizo Pampa García Molina. Las dos son muy recomendables.

 

En el citado libro, “El hombre anumérico” (y prácticamente en todos sus escritos) Paulos sostiene que lo que él llama “anumerismo” es una manifestación más de cierto analfabetismo (analfabetismo matemático) y que tiene importantes consecuencias (negativas) para nuestra sociedad. Es más, mucha gente se enorgullece de no saber matemáticas (“es que soy de letras”) para justificar que no sabe realizar las operaciones más elementales, ni extraer conclusiones válidas a partir de datos sencillos. En fin…

Naturalmente en su libro Paulos pone muchos ejemplos, pero supongo que todos nos hemos encontrado alguna vez con muchos ejemplos de anumerismo, desde el

“reparte tú la cuenta entre los dos, que eres matemático”,

(a lo que siempre me entran ganas de replicar:

“¿Por qué no me leíste tú el menú que eres de letras?”),

hasta la abuela que para que el niño no salga a la calle y sea secuestrado, lo atiborra de golosinas mientras le pone el televisor (cuando es muchísimo más probable que el niño muera de sobrepeso o atragantado con un caramelo que de resultas de un secuestro por un desconocido).

A raíz de lo anterior: el no saber usar probabilidades o usarlas incorrectamente realizando una interpretación errónea de ellas es uno de los ejemplos más típicos de anumerismo. El mismo Paulos comenta en la introducción de su libro:

“El anumerismo, o incapacidad de manejar cómodamente los conceptos fundamentales de número y azar, atormenta a demasiados ciudadanos que, por lo demás, pueden ser perfectamente instruidos. Las mismas personas que se encogen de miedo cuando se confunden términos tales como «implicar» e «inferir», reaccionan sin el menor asomo de turbación ante el más egregio de los solecismos numéricos. Me viene a la memoria un caso que viví en cierta ocasión, en una reunión, donde alguien estaba soltando una perorata monótona sobre la diferencia entre constantemente y continuamente. Más tarde, durante la misma velada, estábamos viendo las noticias en TV, y el hombre del tiempo dijo que la probabilidad de que lloviera el sábado era del 50% y también era del 50% la de que lloviera el domingo, de donde concluyó que la probabilidad de que lloviera durante el fin de semana era del 100%.”

Está claro que en este ejemplo la probabilidad de que llueva el fin de semana no era del 100% sino de …  ¿Sabe calcularla el lector?

No es difícil si se piensa al revés: ¿Cuál es la probabilidad de que no llueva en todo el fin de semana? La probabilidad de que no llueva el sábado es del 50% (o 1/2) y la probabilidad de que no llueva el domingo es también del 50%, así que la probabilidad de que no llueva ninguno de los dos días es de (1/2)(1/2)=1/4, por lo tanta la probabilidad de que lloviera el fin de semana es del 75%.

El propio Paulos tiene otro libro titulado “Un matemático lee el periódico” en el que se destacan algunos ejemplos de anumerismo en un entorno especialmente sensible como son los medios de comunicación (muchos ejemplos de ello pone también José A. Pérez en su blog). Animada por ello decidí buscar algunos datos que corroboraran que el anumerismo también asola la prensa nacional y se me ocurrió mirar noticias sobre Carlos Fabra y la lotería ya que ese tipo de noticias implica cierto uso de las probabilidades: no debería haberlo hecho, porque el resultado de mis pesquisas es aún peor de lo que podía sospechar a priori. Ay, omá

En diversos medios se comenta las veces que la he tocado la lotería a ese afortunado miembro del Partido Popular y aunque hay divergencia entre las distintas fuentes, parece ser que entre el año 2000 y el 2004 le tocó cuatro veces algún premio de la lotería de Navidad y siete veces en total por la de Navidad o el Niño entre 2000 y 2011. Parece mucha suerte, pero ¿es eso significativo? Para determinar si es significativo o no, debemos saber cuál es la probabilidad de que ocurra y aquí nos encontramos con las primeras sorpresas desagradables: en el diario Levante encontramos esta “perla”: “Según los expertos, la probabilidad de ganar el Gordo del Sorteo de la Lotería de Navidad es de una entre 16,5 millones.” ¡Digo!, ¿quién dijo miseria?

Examinemos dicha afirmación:

Loterianacional

Lo primero es que en la misma noticia no se afirma que al señor Fabra le tocara el gordo de la Navidad, sino alguno de los premios; lo segundo, muy llamativo y ya dentro de nuestra temática es que tengan que consultar a “expertos” para determinar dicha probabilidad, y lo tercero es lo alejado que está dicha probabilidad de la real. No hace falta ser ningún “experto” para determinar que si hay 85.000 números (en la actualidad hay 100.000 números) y solo uno es el gordo, la probabilidad no es una entre 16,5 millones, sino una entre 85.000, una probabilidad que es casi 200 veces mayor que la señalada en el artículo.

Aún más, como en él se señala que en realidad lo que le ha tocado es algún premio, la probabilidad de ello es mucho más alta: en los últimos sorteos hay aproximadamente 5.000 números premiados (excluyendo reintegro que no aumenta el capital invertido) de un total de 100.000, así que las probabilidades de que te toquen si juegas solo un número son de una entre 20, (una probabilidad baja, pero casi 800.000 veces mayor que la señalada en el periódico). A esto se le añade el hecho de que si, como ha declarado Fabra, se juega varios números, la probabilidad evidentemente aumenta. Si compramos 10 números distintos, la probabilidad de que no te toque es de (19/20) ¹⁰ aproximadamente un 60% y por tanto la probabilidad de que te toque es del 40%, esto es una entre 2,5 y no de una entre 16.500.000 como afirmaban los “expertos” en el artículo

Calcular la probabilidad de que te toque al menos cuatro de cinco años o siete de once no es tan sencillo como el caso de un solo año. Primero veamos el caso de que te toque cuatro años seguidos que es más sencillo: simplemente necesitamos multiplicar la probabilidad de que te toque un año (asumamos que tenemos 10 números, que hay 100.000 bolas distintas y que se premian 5.000) esto es: 0,4 por si mismo cuatro veces (0,4)⁴=0,03, esto es: un 3% de posibilidades de que toque; igual para  que te toque siete años: (0,4)⁷=0,002: ésta ya mucho más remota del 0,2%.

El que te toque al menos siete años de once ya son unas cuentas un poco más complicadas, pero vienen a ser las mismas que las del tiempo del fin de semana que comenta Paulos en su libro y que hemos citado anteriormente ¿Se atreve el lector a calcular dicha probabilidad? Espero esos cálculos en los comentarios (cómo me está gustando mandar tareas últimamente).

¿Exime lo dicho anteriormente al señor Fabra de toda duda? Ni mucho menos, existe una posibilidad muy remota de que todo sea producto de la suerte, pero existe otra explicación mucho más lógica y con más probabilidades de haber ocurrido realmente. Pero yo no soy de malmeter…

Las autoras de este blog comenzamos esta andadura, primero desde el Pequeño Libro de Notas, con la esperanza de aportar nuestro granito de arena contra el anumerismo. También con esta misma ilusión acabamos de publicar este libro:

Hasta el infinito y mas alla, portada

 

 

 

De rama en rama, pero por el camino más corto

–Ya hemos llegado –dijo Ven –. Esta es la librería Voronoi.

–El que reparte el bacalao –bromeó Sal.

–¡Toma! ¡Cómo mola el escaparate con nuestro libro! –añadió el pequeño.

–¡Guauu, guauuuu!

–Sí, está precioso –dijo Mati –, me encanta.

–Y hemos llegado rapidísimo gracias al itinerario que tú has preparado, Mati –dijo el gafotas.

Mati20Min_42p

–Bueno, es que la Teoría de Grafos es muy apañada para diseñar rutas de recorridos mínimos –respondió ella con un guiño.

–¿Nos enseñas a hacerlo, Mati? –pidió Sal.

–Con muchísimo gusto –respondió la pelirroja –. Antes de planear la ruta, he dibujado un grafo de la siguiente manera: un vértice, un punto rojo, que representa a nuestra casita. Después he puesto un vértice por cada una de las 10 librerías que queríamos visitar hoy: Celsius, Euler, Fahrenheit, Fibonacci, Gadner, Gauss, Hilbert, Könisberg, Richter y Voronoi.  A continuación, he dibujado aristas, segmentos azules, uniendo esas librerías indicando la distancia en metros de cada posible ruta  que las unía, mirad:

dijkstra_1

 

–Vamos a construir  los caminos de recorrido mínimo desde nuestra casita hasta cada una de las 10 librerías usando el algoritmo de Dijsktra –continuó Mati –El resultado de esta construcción será un árbol.

–¿Un árbol? –preguntó Ven con cara de sorpresa.

–Sí, un árbol –confirmó ella –Es decir, nos quedaremos solo con algunas de las aristas azules de este grafo que acabamos de dibujar de forma que todas las librerías  aparecen conectadas con esas aristas y se puede ir de uno a cualquier otro paseando por ellas. Además, no se forman ciclos de aristas, es decir, no hay ningún recorrido circular como el que aparece marcado con trazo rojo en la siguiente imagen.

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–¿Y cómo sabemos qué aristas se quedan y qué aristas se van?–preguntó el gafotas.

–Eso es lo que  os voy a explicar ahora mismo –anunció Mati con una sonrisa –Para ello, vamos a hacer una tabla que nos ayude, como esta:

tabla_1

 

–En la primera columna  –continuó ella –ponemos el nombre de las librerías que queremos visitar. En la columna central, escribimos la longitud del camino más corto  desde casa a la librería correspondiente encontrado  hasta ese momento, y en la última columna el nombre de la última librería de ese camino que hemos visitado antes de llegar a la librería de esa fila.

Los niños asintieron con la cabeza y permanecieron muy atentos, Gauss se dedicó a mirar a las perritas que pasaban…

–Comenzamos desde el vértice que representa a nuestra casa –siguió la pelirroja –, ¿a cuántas librerías podemos llegar directamente desde Casita?

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–A 5 –dijo Sal –: a la librerías Gauss, Euler, Voronoi, Fibonacci y Fahrenheit.

–Efectivamente –confirmó Mati –, vamos a pintar esas librerías de amarillo:

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–Ahora miramos la distancia desde casa a cada una de esas 5 librerías –siguió ella –y la escribimos en la tabla, a las librerías que no están conectadas con nuestra casa le asignamos la distancia infinito, porque aún no podemos llegar a ellas. En esta primera tabla, la en la columna de la derecha solo puede estar nuestra casa porque salimos de allí.

tabla_2

 

–Nos fijamos ahora en la librería más cercana de las 5 conectadas a casa –les propuso Mati.

–Hay 2 –dijo Ven rápidamente –, Gauss y Fahrenheit.

–Tendremos que elegir una de ellas –dijo Mati, ¿cuál?

–¡¡Gauss!! –respondieron los niños al unísono.

–¡Guauuuuu, guauuuuu, guaauuuu! –dijo… bueno, ya sabéis quién.

–Muy bien, elegimos la librería Gauss. Pintamos de verde el vértice correspondiente y la arista que la une con nuestra casa.–continuó Mati –. Y ahora desde esta librería, podremos llegar a otras nuevas.

–¡Sí! –exclamó el pequeño — A Euler y a Könisberg.

–Las pintamos de amarillo –concluyó Mati.

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–A continuación, actualizamos la tabla –les dijo –. Desde la librería Gauss podemos llegar a Euler, Fahrenheit, Richter y Könisberg. Calcularemos el recorrido de los 4 caminos que, pasando por la librería Gauss, van de casa a cada una de estas 4 librerías, y para cada una de ellas nos quedamos con el que pasa por Gauss solo si es menor que el que ya está en la tabla. Para la librería Euler, el camino que pasa por Gauss mide 180 (arista entre Casita-Gauss) más 230 (arista Gauss-Euler), esto es, 410. Lo descartamos porque en la tabla anterior Euler está a 330 de casa. Para la librería Fahrenheit, el camino que pasa por Gauss mide 180 (arista entre Casita-Gauss) más 314 (arista Gauss-Fahrenheit), esto es, 494. Lo descartamos porque en la tabla anterior Fahrenheit está a 180 de casa.  Para la librería Richter, el camino que pasa por Gauss mide 180 (arista entre Casita-Gauss) más 198 (arista Gauss-Richter), esto es, 378. Este sí lo cambiamos  porque en la tabla anterior Richter estaba distancia infinita de casa. Y por último, para la librería Könisberg, el camino que pasa por Gauss mide 180 (arista entre Casita-Gauss) más 275 (arista Gauss-Könisberg), esto es, 455. Este también  lo cambiamos  porque en la tabla anterior Könisberg estaba distancia infinita de casa. Solo tenemos que actualizar Richter y Könisberg:

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–Qué chulo, Mati… –Sal estaba embobado.

–Lo es –dijo ella –. Ahora miramos, de nuevo, la columna central y buscamos a quién corresponde el número más pequeño…

–¡Fahrenheit! –gritó Ven — ¡El de los termómetros de Estados Unidos!

–¡Vamos para allá! –exclamó Mati –¡Fahrenheit en verde!

–¡Ahora pillamos a Celsius y a Hilbert! –añadió el gafotas –¡Que se vuelvan amarillos!

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–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! –dijo Ven.

–Actualicemos nuestra tabla –sugirió ella –Desde Fahrenheit se puede llegar a Richter, Celsius, Hilbert y Fibonacci. Estudiemos esos caminos: Para la librería Richter, el camino que pasa por Fahrenheit mide 180 (arista entre Casita-Fahrenheit) más 267 (arista Fahrenheit-Richter), esto es, 447.   Lo descartamos  porque en la tabla anterior Richter estaba a distancia 378 de casa. Para la librería Celsius, el camino que pasa por Fahrenheit mide 180 (arista entre Casita-Fahrenheit) más 255 (arista Fahrenheit-Celsius), esto es, 435.   Este sí lo cambiamos  porque en la tabla anterior Celsius estaba distancia infinita de casa. Para la librería Hilbert, el camino que pasa por Fahrenheit mide 180 (arista entre Casita-Fahrenheit) más 230(arista Fahrenheit-Hilbert), esto es, 410.   Este también lo cambiamos  porque en la tabla anterior Hilbert estaba distancia infinita de casa. Para la librería Fibonacci, el camino que pasa por Fahrenheit mide 180 (arista entre Casita-Fahrenheit) más 450 (arista Fahrenheit-Fibonacci), esto es, 630.   Lo descartamos  porque en la tabla anterior Fibonacci  estaba a distancia 345 de casa. Solo cambiamos entonces Celsius y Hilbert:

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–Como veis –dijo Mati –, estoy marcando en amarillo las librería que ya están en verde, porque esas ya están en nuestro árbol ¿Adónde vamos?

–¡A Voronoi! -gritaron los niños.

–Sí –dijo Mati –Desde Casita, como dice en la tabla. Pintamos de verde Voronoi y la arista que lo une con Casita.

–Y a Gadner de amarillo –añadió el gafotas –porque lo hemos pillado.

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–¡Esto marcha! –dijo la gafotas –Vamos a actualizar la tabla –Desde Voronoi se puede llegar a Euler, Gadner y Fibonacci, veamos esas rutas. Para la librería Euler, el camino que pasa por Voronoi mide 190 (arista entre Casita-Voronoi) más 317 (arista Voronoi-Euler), esto es, 507.   Lo descartamos  porque en la tabla anterior Euler estaba a distancia 330 de casa. Para la librería Gadner, el camino que pasa por Voronoi mide 190 (arista entre Casita-Voronoi) más 170 (arista Voronoi-Gadner), esto es, 360.   Este lo cambiamos  porque en la tabla anterior Gadner estaba a distancia infinita de casa. Para la librería Fibonacci, el camino que pasa por Voronoi mide 190 (arista entre Casita-Voronoi) más 299 (arista Voronoi-Fibonacci), esto es, 489.   Lo descartamos  porque en la tabla anterior Fibonacci estaba a distancia 345 de casa. Solo cambiamos Gadner.

 

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–¿Hacia dónde vamos, caballeros? –preguntó Mati.

–Hacia Euler –dijo el gafotas.

–El de los puentes de Könisberg –añadió Ven.

–Eso es –dijo ella –, vamos a Euler desde Casita según nuestra tabla. Pintamos de verde Euler y la arista Casita-Euler.

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–Si miramos ahora las rutas que llegan a Gadner y a Könisberg pasando por Euler –continuó ella –, miden 745 y 630, respectivamente. son peores que las de la tabla que tenemos, así que no cambiamos nada. Y ahora, ¿adónde vamos?

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–¡A Fibonacci! –dijo Sal.

–¡El de los conejos! –añadió su hermano.

–¡Allá vamos! –dijo Mati –¡A Fibonacci, desde Casita!

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–Las rutas que llegan a Hilbert y a Gadner desde Casita pasando por Fibonacci –dijo Mati –, miden respectivamente, 595 y 655. Son peores que las de la tabla, tampoco cambiamos nada ahora.

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–¡Nos vamos a Gadner! –gritó Sal.

–El bromista… –dijo Ven.

–Muy bien –dijo ella —A Gadner desde Voronoi.

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–Desde Gadner –dijo Mati –no podemos llegar a ninguna librería en amarillo, así que no tenemos que cambiar la tabla.

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–¿Siguiente? –preguntó Mati teatrera.

–¡Richter! –dijo el gafotas.

–¡El de los terremotos! –añadió su hermano.

–¡A Richter desde Gauss! –puntualizó la pelirroja.

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–Tendremos que calcular ahora las rutas que llegan a Könisberg y a Celsius (en amarillo) pasando por Richter –propuso Mati –. Para Könisberg esa ruta mide 603, los 378 de Casita a Richter en nuestro árbol verde más los 225 de Richter a Könisberg; para Celsius, tendemos 658. Los dos son peores que los de la tabla, no cambiamos nada.

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–¡Nos vamos a Hilbert desde Fahrenheit! –anunció el gafotas.

–¡Toma! –dijo Ven –¡A ver si nos lleva a su hotel infinito!

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–Tampoco tenemos que cambiar la tabla –dijo Mati –porque Celsius está más cerca de Casita si vamos por Fahrenheit.

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–¡Vamos que nos vamos! –exclamó el pequeño –¡A Celsius desde Fahrenheit!

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–Pues ya está -dijo el gafotas –porque Könisberg está más lejos por Celsius, así que a Könisberg por Gauss como dice la tabla, ¿no, Mati?

–Perfecto –dijo Mati orgullosa de sus exploradores.

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-Ya lo tenéis –anunció la pelirroja –Si nos quedamos solo con las aristas verdes, tenemos el árbol que nos proporciona los recorridos de longitud mínima desde casa hasta cualquiera de las librerías que venden nuestro libro.

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–¡Toma, toma, toma!¡Mola infinito! –dijo Ven.

–¡Y más allá! –añadió su hermano.

–¡Guauuuuuuuuuu! –dijo Gauss poniendo una nota discordante…

 

 

Érase una vez… las Matemáticas

Hoy es un día muy especial para las dos autoras de este blog, porque hoy, después de casi 2 años de mateaventuras, casi 2 años después de que nuestra pelirroja nos asegurara que El 1 nunca fue un soldado, llega a las librerías, editado por Espasa, el primer libro de Mati con el título Hasta el infinito y más allá.

Hasta el infinito y mas alla, portada

 

 

En este libro hemos recogido algunas de las mateaventuras  publicadas en el Pequeño Libro de Notas y otras inéditas en un paseo hasta el infinito que termina en el Museo Guggenheim. Como decía un amigo mío el otro día en Twitter, si  es hasta el infinito, tiene que terminar en Bilbao 😉

Los contenidos del  libro no son los que podemos encontrar en los programas de Primaria y Secundaria en nuestro país, no pretende insistir en los mismos conceptos que se estudian en nuestros colegios y/o institutos, sino, más bien, servir de complemento y estímulo, además de ser utilizado como herramienta de apoyo por parte de profesores y educadores e, incluso, presentar retos dentro del ámbito familiar.

 

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Para ello, Mati pretende mostrar algunas de las muchas caras amables de las Matemáticas a través de conceptos que van desde el nombre de los distintos conjuntos de números que manejamos habitualmente hasta temas de investigación en el área de la Geometría Computacional o la Teoría de Grafos. También trata de aportar su granito de arena en la lucha contra el anumerismo intentando desterrar algunas de las falacias asimiladas en la sociedad sobre juegos y sorteos, señalando algunos errores que, a veces, encontramos en la prensa sobre escalas,  o sugiriendo cómo sorprender a todos con un poco de magia, por ejemplo. Todo ello en un lenguaje sencillo y asequible para todos aquellos que sientan curiosidad por esta disciplina y quieran quitarse el sambenito de haber sido siempre muy malo para las mates.

Hasta el infinito y más allá no solo es para los niños, ni mucho menos. Casi todas las historias que vienen en el libro, pueden compartirse con niños a partir de 7 u 8 años. Y subrayo lo de compartirse porque esa es la idea de todo el proyecto, que los padres, tíos, adultos en general, puedan tener una acceso rápido a algún concepto, acertijo o curiosidad matemática, que no conoce o que no recuerda, de forma sencilla (estamos todos mu estresaos) y compartirla con su hijo, sobrino, o con quien sea. A solas, un niño puede leerlo a partir de 9 años.

Eso sí, no hace falta pedir un niño prestado para poder disfrutar de las aventuras de nuestros protagonistas, también puede ser una lectura amena para adultos donde descubrir, como ya he dicho antes, curiosidades, anécdotas… todas relacionadas con Matemáticas y enterarse, por ejemplo, de qué pasó aquella noche en el casino de Montecarlo…

Y además, como dijo Ven cuando lo tuvo en sus manos, es tan pequeñito y tan bonito que entran ganas de leerlo…

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Pues sí, solo 128 páginas bastarán para viajar de la mano de nuestros amigos hasta el infinito. Pero no más allá, porque más allá no hay nada, por mucho que lo dijera Buzz 😉