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Parábolas, parábolas… tú siempre buscas parábolas

–Ya está –dijo Sal y añadió señalando con su dedo –. Ahora solo pinta una línea así.

–¿Así cómo? –preguntó muy serio Ven –. Deberías ser más técnico en tus instrucciones si quieres ser ingeniero aeroespacial.

–¡Puf! Ya estamos… –resopló el gafotas –. Luego dices que soy yo el empollón…

–Es que, como nos explicó Mati –respondió el aludido –, para definir una recta necesitas o dos puntos o un punto y un vector…

–Mira, Ven –dijo de nuevo Sal –, este, este y este. Toma, 3 puntos ¿No querías 2 puntos para tu recta? Pues toma 3, pinta la recta que pasa por esos 3 puntos.

–Bueno, bueno, bueno… –Mati acababa de llegar –Eso no siempre es posible, Sal.

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–Hola, Mati –la saludó Sal sin apartar la vista de su diseño.

–Hola, Mati –dijo el pequeño –¿Cómo no vas a poder pintar la recta con 3 puntos? ¿No dijiste que necesitábamos 2? Pues con 3 mucho mejor, hombre.

–No, Ven –dijo ella –. Por 1 punto pasan infinitas rectas, por 2 puntos solo una y por 3, puede que ninguna.

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–¡Toma! –aceptó el pequeño –¡Es verdad!

–Claro, Ven –dijo Sal –. Yo ya me había dado cuenta en nuestro dibujo…

Ven miró a su hermano con el ceño fruncido, Gauss resopló.

–Pero, ¿sabes, Ven? –dijo rápidamente Mati para aliviar la tensión ambiental –. Por 3 puntos, siempre pasa una única circunferencia.

–Ya lo sé –dijo el pequeño sin perder de vista a su hermano –, nos lo contaste.

–Tienes razón –dijo la pelirroja –, qué buena memoria tienes.

–Es cierto –añadió Sal queriendo congraciarse con su hermano –, Ven tiene muy buena memoria.

–Mirad –dijo la gafotas –Como ya sabéis lo de la circunferencia y sabéis que una circunferencia no es una función, si queréis os cuento cómo calcular una función cuya gráfica pase por esos 3 puntos. Eso sí, si no tienen la misma abscisa.

–¿Cuál era la abscisa, Mati? –preguntó Ven de repente.

La abscisa es la coordenada horizontal –dijo Mati –, la que mide la distancia al eje de ordenadas, ¿recuerdas?

–Sí, sí –dijo Ven.

–¿Y por qué no pueden tener la misma abscisa, Mati? –quiso saber el gafotas.

–Porque si queremos que sea una función –respondió ella — para un valor de la x, de la abscisa, no puede tener más de un valor de la y, la ordenada.

–No entiendo –aceptó Ven.

–A ver –siguió ella –No podemos dibujar la gráfica de una función que pase por los puntos (3, 6) y (3, 8), por ejemplo. Porque la segunda coordenada del punto representa el valor de la función, y en este ejemplo, para x igual a 3, tendríamos dos posibles valores de la función, 6 y 8.

–Ah, vale –aceptó el pequeño.

–¿Y cómo será esa función, Mati? –preguntó Sal –¿Será muy rara o parecida a una recta?

–La gráfica de la función que pasa por 3 puntos que no estén alineados, –dijo esta –y que tengan distintas abscisas, será una parábola.

–¡Toma! Esa la conozco –dijo Ven –, es la curva de los tiros parabólicos de fútbol, ¿no?

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–Eso es, Ven –dijo Mati -, esa será la forma de nuestra función.

–¿Y cómo sabes que siempre se puede, Mati? –preguntó Sal curioso.

–Porque dados 3 puntos no alineados y con abscisas distintas –respondió ella –, siempre existe un polinomio de grado 2 que pasa por esos 3 puntos, y la gráfica de un polinomio de grado 2 es una parábola.

-¿Un poliqué? –preguntó Ven arrugando la carita.

–Un polinomio –dijo ella –. Una función (de x) que se escribe como suma de potencias (naturales)  de x multiplicadas por unos números, que llamamos coeficientes. Mira, te pongo unos ejemplos:

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–¿Cómo son esos grados, Mati?  –preguntó Ven con cara de pillo —¿Celsius o Fahrenheit?

–No, Ven –respondió la pelirroja –, el grado de un polinomio es el valor de la potencia más alta de x que aparece. En el polinomio f1 la potencia más grande es 4, en el polinomio f2 es y en el polinomio fla más grande es 3.

–¡Quietos, parados! –exclamó Ven –Hay números sin potencias de x en los polinomios fy  f3.

–Sí, es como si x estuviera elevada a 0 -dijo ella –por eso no aparece, por que x elevado a 0 es 1. A esos números que aparecen sin x, se les llama términos independientes, porque como no multiplican a x, no dependerán del valor de esta.

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–¿Qué tienen de especial los polinomios, Mati? –preguntó Sal.

–Huy, un montón de cosas –respondió ella –. Son las funciones más simples que hay y, entre otras cosas, se usan para dar valores aproximados de otras funciones mucho más difíciles, pero eso os lo cuento más adelante. Ahora os voy a enseñar a encontrar un polinomio de grado 2, una parábola, que pase por 3 puntos no alineados y con abscisas diferentes.

–¡Venga! –exclamó Ven con alegría.

–Decidme 3 puntos, chicos –pidió Mati.

–A ver… (1,6) –dijo el pequeño –… (2,13)...

–Y (0,3) –apuntó el gafotas.

–Muy bien –dijo ella –. Queremos un polinomio de grado 2, una parábola que pase por estos tres puntos {(0,3), (1,6), (2,13)}. El polinomio que buscamos tiene esa pinta: ax²+bx+c.

–¿Qué son esas letras, Mati? –preguntó Ven.

¿a, b y c? –preguntó Mati y añadió con voz misteriosa  –Son las incógnitas que tenemos que descubrir…

–¿Cómo las descubrimos? –preguntó el gafotas.

–Con un poco de inteligencia -dijo ella guiñando un ojo –. Vamos a ir apuntando las pistas que tenemos:

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–¡Toma! –dijo Ven –Parecemos detectives.

–A ver, Ven Holmes –dijo Mati teatrera –¿Qué sabemos de la función?

El pequeño se quedó pensativo y dijo:

–Se le ha visto pasar por (0,3).

–Hum –Mati se rascó la barbilla –Eso significa que f(0) debe valer 3, vamos a sustituir x por 0, a ver qué pasa…

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–¿Tenemos más pistas, Sal Poirot? –preguntó Mati.

–Sí, Mati Marple –dijo el gafotas–. También pasó por (1,6).

–Ajá –dijo la pelirroja, eso significa que f(1) es 6.

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–Hum, estamos cerca… –dijo Mati –¿Puede aportar algo, Gauss Colombo?

–Guau, guuuuauuuu, guaaaaau

–Dice Colombo que también pasó por (2,13) -dijo Ven divertido.

–Vaya, vaya –dijo ella –, así que f(2) es 13

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–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! –gritó Ven.

–Me encanta, Mati –dijo Sal.

–¿Os gusta? –dijo Mati –En realidad, lo que hemos hecho es resolver este sistema de ecuaciones:

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–¿También se puede resolver con el método de Gauss que nos enseñaste? –preguntó Sal.

–Efectivamente –respondió ella –, podéis elegir hacerlo como queráis.

–¿Pintamos la parábola, Mati? –pidió Ven.

–Os tengo que enseñar a dibujar funciones –dijo ella –, pero hoy la dibujamos con Google.

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–Es preciosa… –dijo el pequeño Ven.

–Entonces, si tenemos 3 puntos con abscisas diferentes -dijo Sal –, siempre tenemos una parábola.

–Si no están alineados, en cuyo caso sería una recta,  –corrigió Mati y añadió con un guiño –,una parábola chafada.

–¿Y si tenemos 4 puntos, Mati? –preguntó el gafotas.

–En ese caso, si repetimos este procedimiento –les contó –llegaremos un polinomio que pase por ellos de grado,  como máximo 3. Pero podrá ser de grado 2, y que los 4 estén sobre una parábola, o de grado 1, que estén alineados…

–¡Mola! –dijo Ven.

–A esto –continuó Mati –, a buscar polinomios que pasen por un conjunto de puntos se le llama interpolación polinómica. Otro día os explico para qué se utiliza y otras formas de hacerlo sin resolver sistemas de ecuaciones, ¿vale?

–¡Vale! –exclamó de nuevo Ven.

–¿Y con 5 puntos, Mati? –siguió indagando Sal.

–Con 5 puntos, tendríamos un sistema de 5 ecuaciones con 5 incógnitas, tantas como puntos –respondió esta –, que nos daría como función sospechosa un polinomio de grado, como máximo, 4.

–Claro –dijo el gafotas –, porque si están alineados, será un polinomio de grado 1, una recta…

–¿Qué forma tiene un polinomio de grado 4, Mati? –preguntó el pequeño.

–Vamos a mirar uno en Google –les propuso.

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–¡Me gustan los polinomios! –gritó Ven.

–Como dice un amigo mío, –dijo Mati con una sonrisa — a mí también, pero solo hasta cierto grado.

 

Redonda, sí, pero no es una función

Anteriormente en Mati, una profesora muy particular…

–¡Moooooooooooooola! –volvió a exclamar el pequeño.

–Sí, mola –corroboró Mati –. La recta de ecuación 2x -3y +1=0 es la gráfica de la función f(x)=(2x+1)/3.

–¿Todas las rectas son gráficas de una función, Mati? –preguntó el gafotas.

–Todas, menos las rectas verticales  –dijo ella –. Basta que despejéis, en la ecuación de la recta, el valor de y y lo que os salga es la función de x que estáis representando.

–¡Toma! –exclamó Ven –¡Y lo podremos hacer también con las ecuaciones de las circunferencias!

–¡No! –dijo de pronto Mati –Las circunferencias no son la gráfica de una función, sino de 2 funciones…

–Sí, hombre… –dijo Ven desconfiado. –Piensa un poco –le retó la pelirroja –, a ver si sabes por qué. Pero ahora vamos que es la hora de la función de Sal.

En el capítulo de hoy…

–¿Nos lo cuentas, Mati? –pidió Ven con cara de no haber roto un plato en su vida.

–¿Qué queréis que os cuente, Ven? –dijo ella.

–Por qué dijiste que las circunferencias no son una función como las rectas.

–Ah, eso –exclamó Mati –. Con mucho gusto, caballeros. Os explicaré por qué las circunferencias no son la gráfica de una función.

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Sal y Ven sacaron su cuaderno dispuestos a escuchar la explicación de Mati. Gauss no parecía demasiado interesado, la verdad.

–Como os dije la otra tarde –comenzó a decir la pelirroja –, una función es una regla o ley que te permite asignar a cada elemento de un primer conjunto un único elemento de otro conjunto.

–¿Y? –preguntó el gafotas.

–Cuando tenemos una recta, los puntos sobre el   eje horizontal, el de abscisas, os lo conté cuando explicamos coordenadas cartesianas, son elementos del primer conjunto –les dijo –, y la función, cuya gráfica está representada por dicha recta, asigna a cada punto del eje de abscisas, o mejor dicho, al valor que representa,  la segunda coordenada del único punto sobre la recta que tiene como primera coordenada dicho valor en la abscisa.

Los niños arrugaron sus caritas como pasas. Gauss ladró bajito haciéndose el interesante.

–¿Lo vemos con un ejemplo? –preguntó Mati.

–Por favor –dijo Sal.

–Vamos a dibujar en nuestros ejes coordenados la recta de ecuación y=2x + 1 –dijo Mati –, que es la gráfica de la función f(x)=2x+1. Para ello solo necesitamos dar 2 valores a x, porque por 2 puntos pasa una única recta. Para x igual a 0, y será 2 por 0 más 1, o sea 1. La recta pasa por el punto (0,1). Para x igual a 1, y será igual a 2 por 1, 2, más 1, o sea 3, la recta pasa por el punto (1, 3).

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–Ahora, ya veréis como a cada punto del eje de abscisas –continuó Mati –solo le corresponde un valor de la función f(x)= 2x + 1. Decidme un número.

–¡El 4! –gritó Ven.

–Para calcular el valor que nuestra función asocia al número 4 –dijo ella –o bien sustituimos x por 4 en la función, o bien, trazamos una recta vertical sobre el 4 del eje de abscisas.

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–Pintamos la recta vertical que pasa por el 4 –dijo Mati –que en realidad es el punto (4,0) del plano. Esta recta vertical será la recta de ecuación x=4 y vamos a ver cómo sólo corta a nuestra función, la recta verde.  en un único punto:

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–La corta en el punto (4, 9) –dijo Sal.

–Y sólo en el (4, 9) –añadió Mati –. Eso significa que f(4)=9, es decir, que la función asocia al 4 el valor 9.

–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! –exclamó Ven.

–Vamos a ver ahora qué pasa con la circunferencia –les propuso Mati –. Decidme el centro y el radio.

–El centro será el (0,0) –dijo de repente el pequeño.

–Y de radio 5 –añadió el gafotas.

–Vamos a calcular su ecuación como os enseñé –les propuso ella.

 

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–La ecuación es x2 + y2= 25 –dijo Sal.

–Ahora la dibujamos en nuestros ejes coordenados –dijo ella.

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–Veréis qué pasa si quisiéramos calcular la imagen del 2 –propuso Mati –en la función cuya gráfica es la circunferencia verde. Para ello, como antes, dibujamos la recta vertical sobre el 2, la recta de ecuación x=2.

 

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–¡Toma, toma, toma! ¡Es verdad! –gritó Ven –¡Es verdad!

–¿Y por qué pasa eso? –quiso saber el gafotas.

–Pues verás  –empezó diciendo ella –, si despejamos y en la ecuación de la circunferencia nos queda:

 

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–Pero, Mati –dijo Sal –, has conseguido despejar y en la ecuación, entonces ¡es una función!

–No –respondió esta –, porque no da un único valor para cada x

–¡Anda que no! –dijo Ven.

–Pues no –dijo Mati respondona –¿Cuánto vale la raíz cuadrada de 4?

–¡2! –dijo Sal con entusiasmo.

–O -2 –añadió la pelirroja –Porque -2 al cuadrado también es 4.

–Ah, claro –reconoció el gafotas.

–Si en la ecuación de la circunferencia –continuó ella –sustituimos x por 4, ¿qué ocurre?

 

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–¡Tooooooooooooomaaaaaaaaaaa! –gritó Ven.

–Por eso –dijo Mati –, cuando aparece la raíz cuadrada ponemos delante +√9, -√9 o, incluso ±√9, si queremos indicar que consideramos los 2 posibles valores de la raíz cuadrada.

–Ajá –asintió el gafotas, mientras su hermano seguía mirando el dibujo de la circunferencia de centro (0,0) y radio 5 que habían dibujado en el cuaderno.

–¡Qué pena! –dijo –Tan redondita y no es una función…

Una función muy importante

–Descansa un poco, Sal. Ya te sale muy bien…

–No, no estoy seguro, Ven. Quiero hacerlo muy bien en la función del Día de Andalucía.

–¿Vais a tocar todos los de tu clase a la vez? –preguntó Ven.

–Claro –respondió el gafotas –¿Por qué?

–En ese caso te recomiendo que no soples demasiado… –le sugirió el pequeño.

–¿¿Por qué?? –preguntó Sal extrañado.

–No sé, no te sale muy bien –respondió el pequeño mirando a otro lado.

–Acabas de decir lo contrario, Ven –respondió Sal –. Mentiroso… Voy a seguir ensayando.

–No, de verdad –suplicó Ven –. Nos estás martirizando…

–Se trata de celebrar el día de nuestra comunidad autónoma, Ven –le espetó Sal con aire digno –. Me parece que no eres consciente de la importancia de esta función…

–Huy, todas las funciones son muy importantes –Mati acababa de llegar –, al menos, a los matemáticos nos apasionan.

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–Hola, Mati –la saludó el pequeño Ven muy contento — ¿Nos vamos al parque con Gauss?

La mascota comenzó a mover la cola con entusiasmo ante la propuesta de Ven.

–Hola, Mati –la saludó Sal serio — ¿Por qué te gustan tanto las funciones? ¿Las de música?

–Esas también –respondió la pelirroja –, pero me refería a las funciones matemáticas.

–¿Qué son funciones matemáticas? –preguntó el pequeño y añadió con cara de pillo –¿Cantáis sumas y multiplicaciones?

–No, no es eso –le contestó ella con un guiño –Una función matemática no es más que una regla o ley que te permite asignar a cada elemento de un primer conjunto un único elemento de otro conjunto.

–No entiendo… –aceptó Ven.

–Os lo explico con un ejemplo –propuso ella –. Una función podría ser asignar a cada  número el valor de su cuadrado. Al 1 le asignamos el 1, al 2 le asignamos el 4, al 3 le asignamos 9… y así sucesivamente.

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–¡Eh, un momento! –dijo Ven –Has asignado el mismo número al 1 y al -1. Eso no vale.

–Sí, Ven, sí vale –dijo Mati –. A dos elementos del primer conjunto se les puede asignar el mismo elemento del segundo conjunto. Piensa por ejemplo en una función que a cada palabra del castellano le asignara su primera letra. Habría muchas palabras que tendrían asignada la a, por ejemplo.

–Toma, claro –aceptó el pequeño.

–Pero en matemáticas estudiamos, principalmente, funciones entre conjuntos numéricos –continuó la pelirroja –. A las funciones se les suele llamar f, de función, y la función que hemos descrito que asigna a cada número su cuadrado se escribiría así:

 

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–Eso significa –continuó Mati –que f transforma lo que está entre paréntesis, x, en eso mismo, x, al cuadrado. Nuestro amigo Fis dice que le parece una f embarazada, con su x en la tripa.

–¡Toma! ¡Es verdad! –dijo Ven divertido.

–Pues sí, no lo había pensado nunca, pero sí –añadió Mati –. Yo siempre las veo como una especie de máquina, en las que entra un número y sale transformado.

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–¿Para qué sirven las funciones, Mati? –preguntó Sal.

–Huy, para muchísimas cosas –respondió Mati –. Por ejemplo, se pueden usar para estudiar fenómenos físicos, químicos, económicos…

–¿Nos dices otra función Mati? –pidió el pequeño.

–Pues sí, de hecho ya os he dicho algunas anteriormente –respondió ella –, aunque no la llamásemos así. Pero cuando estudiábamos las ecuaciones de las rectas, estábamos dibujando funciones.

–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! –gritó Ven.

–No entiendo, Mati –resopló el gafotas.

–Intentaré explicarlo –anunció ella –. Hay varias formas de representar una función. Una, ya la hemos visto, escribiendo f(x)=x2 . A x se le llama variable independiente de la función y, como veis, representar de esta forma una función consiste, simplemente, en escribir una expresión en la que aparece la variable, x, por ejemplo: f(x)= x2, f(x)= 3x3-1, f(x)=x/2…

–Ajá –dijo Ven muy serio, Sal miró a su hermano por encima de sus gafotas.

–Pues bien –continuó ella –, cada función de x se puede representar también como una curva en el plano. Para ello, vamos a dar algunos valores, los que queramos, a la variable x y pintamos en el plano cartesiano, los puntos de coordenadas (x, f(x)), como aprendimos cuando estudiamos las coordenadas cartesianas.

–A mí me gustan más las coordenadas polares… –interrumpió el pequeño, Sal le recriminó con la mirada y Mati siguió:

–Vamos a escribir, para ayudarnos, una tabla donde ponemos los valores que le vamos dando a x y el correspondiente valor que le asigna  f(x)= x2

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–Esto significa –prosiguió ella –que la gráfica de nuestra función, f(x)= x2, pasa por los puntos de coordenadas: (-2,4), (-1, 1), (0,0), (1,1) y (2,4). Pues bien, la gráfica de nuestra función  f(x)= x2 es la siguiente curva roja, llamada parábola.

 

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–¡Mola! –dijo Ven.

–Ahora, si tenemos la ecuación  de una recta, por ejemplo , en forma implícita –continuó la pelirroja –, 2x-3y+1=0, vamos a dejar solita a la y en  la izquierda de la expresión y pasamos el resto de términos a la derecha.

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–¿Veis? –preguntó Mati.

–¿¿Qué?? –dijeron los dos hermanos a la vez.

–Tenemos que y es igual a una expresión de x –respondió ella –. Cuando esto ocurre, decimos que y es una variable dependiente de x y tenemos, por lo tanto, una función de x:

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–¿Cómo sabes que eso es una función de x? –preguntó el gafotas.

–Porque es una máquina que transforma números en otros –respondió ella guiñando un ojo.

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–¡Moooooooooooooola! –volvió a exclamar el pequeño.

–Sí, mola –corroboró Mati –. La recta de ecuación 2x -3y +1=0 es la gráfica de la función f(x)=(2x+1)/3.

–¿Todas las rectas son gráficas de una función, Mati? –preguntó el gafotas.

–Todas, menos las rectas verticales  –dijo ella –. Basta que despejéis, en la ecuación de la recta, el valor de y y lo que os salga es la función de x que estáis representando.

–¡Toma! –exclamó Ven –¡Y lo podremos hacer también con las ecuaciones de las circunferencias!

–¡No! –dijo de pronto Mati –Las circunferencias no son la gráfica de una función, sino de 2 funciones…

–Sí, hombre… –dijo Ven desconfiado.

–Piensa un poco –le retó la pelirroja –, a ver si sabes por qué. Pero ahora vamos que es la hora de la función de Sal.