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¡Más fracciones!

–¿Jugamos al Hex un rato, Sal?

–No puedo, Ven, tengo que hacer la tarea de Mates.

–¿Te queda mucho?

–No, solo unas sumas de fracciones.

–¿Me enseñas a sumar fracciones? –pidió Ven a su hermano.

–Toma, calcula esto que es muy fácil.

El pequeño Ven se dispuso alegremente a realizar la suma que le había propuesto su hermano, 3/5 más 2/5…

Mati20Min_40p

–¡Hala, qué burro! Pero, ¿qué has hecho, Ven? –preguntó el gafotas exaltado.

–No me llames burro, tú –se quejó el pequeño reprimiendo un puchero –. Estoy en 3º y aún no hemos estudiado las sumas de fracciones…

–Lo siento, Ven –dijo Sal mientras le ponía un brazo por los hombros –Se me ha escapado… Te enseñaré cómo se hace, ¿quieres?

–Bueno, bueno, bueno… –Mati acababa de llegar – ¿Jugando a profesor y alumno?

–¡Hola, Mati! –saludaron los dos pequeños, Gauss ladró.

–Iba a enseñarle a Ven a sumar fracciones –añadió Sal.

Mati miró lo que había escrito Ven y dijo:

–Ah, ya veo… pero cuando los denominadores son iguales, sólo tenemos que sumar los numeradores, Ven.

–Es que en su clase aún no han explicado fracciones, Mati –se apresuró a excusarlo su hermano.

–Eso –añadió Ven.

–Ya, ya, lo sé –dijo ella –Debes pensar en las fracciones como si fueran trozos de tarta, ya verás cómo es más fácil…

–¿Trozos de tarta? –preguntó el pequeño rápidamente.

–Sí –respondió Mati –. Si dividimos una tarta en 5 trozos, 1/5 será un trozo, 2/5 serán dos trozos, 3/5 serán 3… Ahora piensa, ¿cuánto son 3/5 más 2/5?

–¡Cinco trozos! –exclamó Ven.

–Eso es –dijo Sal con una enorme sonrisa –. Serían 5/5, o lo que es lo mismo, 1, porque sería la tarta entera.

–Muy bien, chicos –añadió la pelirroja.

–Ahora lo comprendo todo –dijo Ven ceremonioso –Así que solo sumamos los números de arriba… 3/8 más 11/8 serán 14 /8… ¡Eh! Un momento, no pueden ser 14/8. Eso es más de una tarta.

–Cierto –confirmó la pelirroja y añadió guiñando un ojo–. Pero nadie dijo que solo tuviésemos una tarta. Además, fíjate, Ven, que 14 es 7 por 2 y 8 es 4 por 2, podemos, en ese caso, eliminar ese 2 en el numerador y el denominador y nos queda una fracción más elegante.

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–¡Toma! ¡Claro! –aceptó un Ven entusiasmado, pero su cara perdió de pronto el color –¿Qué pasa si no son iguales los denominadores, Mati?

–Vamos a pensarlo, ¿no? –propuso ella –Imaginemos que tenemos que sumar 3/8 + 1/6… Lo dibujamos como porciones de tarta

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–Ahora nos fijamos en la suma –les dijo –. No podemos hablar de octavos, porque el trozo resultante de sumar tiene un lado azul (el que representa los cortes en octavos) y otro en verde (que representa los cortes en sextos, en 6 partes iguales). Por la misma razón, no podemos hablar de sextos, ¿no?

–Claaaaaaaaro –murmuró Ven.

–¿Qué podemos hacer, chicos? –les preguntó Mati.

–Hacer porciones de distinto tamaño, ¿no? Más pequeñas –propuso Sal.

–Efectivamente –dijo ella –. En nuestras dos tartas iniciales, vamos a hacer nuevos cortes para dividir en fracciones de forma que al superponerlas, al sumarlas, las líneas azules y las líneas verdes coincidan. Para ello, el número de trozos debe ser el mismo en ambas tartas, ¿no?

–Ajá –asintió Ven muy teatrero.

–Tenemos que cortar cada uno de los 8 trozos de la primera tarta en un número N de trozos que nos darán en total 8xN porciones –les contó – y cada uno de los 6 trozos de la segunda tarta en M trozos, y nos quedarán 6xM porciones. Pero queremos que 8xN y 6xM sean iguales. Ahora bien, 8xN es un múltiplo de 8 y 6xM es un múltiplo de 6, por lo tanto necesitamos…

–¡Un múltiplo común a 6 y 8! –exclamó Sal.

–Eso es, muy bien –confirmó Mati –. Y para hacer el menor número de cortes, buscaremos…

¡El mínimo común múltiplo! –gritó Ven con entusiasmo.

–Pero, bueno, ¡sois fantásticos! –la pelirroja estaba orgullosa, Gauss gruñó con pelusilla –Lo calculamos como os enseñé.

–Primero el máximo común denominador –propuso Sal.

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–Y ahora dividimos 8 x 6 entre el MCD (8, 6) –concluyó el pequeño –y nos queda 24.

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–Ya lo tenemos –anunció ella –Vamos a dividir cada tarta en 24 trozos. Para ello, cada trozo de la primera, lo cortamos en 3, 24/8, y cada trozo de la segunda, lo cortamos en 4, 24/6. Así tenemos que 3/8 son lo mismo que 9/24 y que 1/6 serán 4/24 y por lo tanto:

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–¡13/24! ¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! –gritó el pequeño.

–Pues ya lo sabes –concluyó la gafotas –Para sumar fracciones con distinto denominador, también nos sirve el mínimo común múltiplo del que hablamos el otro día.

–¿Me pones una suma, Mati? –pidió Ven y Mati le escribió una en su libreta: 8/15 + 5/6.

–Primero el mcm(15, 6) –dijo Sal y lo calcularon.

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–Ahora tenemos que hacer 30 trozos de cada tarta –continuó el pequeño –O sea que en la de 15 trozos, hay que dividir cada trozo en 2 trozos, y por lo tanto, si 8/15 eran 15 trozos ahora tendré 16 trozos, es decir 16 trozos, que serán 16/30. En la tarta de 6 trozos, tengo que dividir cada uno de ellos en 5 trozos, por lo tanto, si 5/6 eran 5 trozos de esa tarta ahora tendré 5 por 5, 25 trozos de la nueva… 25/30. Y ahora 25 más 16… 41…¡41/30!

 

–Perfecto, Ven –le felicitó Mati–Ya sabes cómo sumar fracciones con distinto denominador –A continuación resumió todo el método en la libreta para que los chicos lo repasaran con ella.

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–Pero, Mati –preguntó el gafotas –¿No es más rápido hacer la división que indica la fracción y luego sumar lo que nos sale?

–Bueno –dijo esta –, no siempre es más rápido, puesto que tienes que hacer la división y además, en la mayoría de los casos, no tendrás el resultado exacto. Por ejemplo, vamos a calcular 10/3 + 17/9. Si lo hacemos con el método que propones:

dibujo_8–Pero si lo hacemos sumando las fracciones –continuó Mati –, que son los valores exactos de los números que queremos sumar:

 

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–Como veis, el resultado es diferente –les dijo y añadió con sonrisa traviesa–. Es preferible tratar las fracciones como lo que son, fracciones, no tratar de ver sus intimidades que se pueden alterar los resultados y mis chicos son muy precisos en sus cálculos, ¿no?

–Totalmente –afirmó Ven con rotundidad.

–No lo había pensado –añadió el gafotas –. Prefiero hacerlo con fracciones, sí.

–Bueno, Sal –dijo de pronto el pequeño –, termina tu tarea, yo jugaré mientras con Mati al Hex, ¿vale?

Una de camellos

–¡Hala! Sí que debe ser incómodo venir desde tan lejos encima de un camello, ¿no?

–Bueno, Ven… En realidad no vienen de tan lejos, no creas…

–¡Anda que no, Sal! ¡Vienen de Oriente!

–Esto… –el gafotas dudó un rato –No sé cómo decirte esto, Ven, pero…

–¿Os cuento un acertijo sobre camellos? –interrumpió rápidamente Mati.

–Siempre que no nos jorobes mucho… –contestó Ven con cara de pícaro.

–Vale, Mati, ya veo –dijo Sal guiñando el ojo a su amiga.

–Veréis –empezó a contarles ella –Hace mucho, muchísimo años, en un país muy lejano, un noble anciano estaba a punto de morir…

–Pobre… –interrumpió el pequeño.

–Era un anciano muy, muy mayor –continuó ella –Justo antes de morir le dijo a sus 3 hijos:

Hijos míos, lo único que os dejo de herencia son mis 17 camellos a los que he cuidado con el máximo cariño y que tanto me han ayudado en esta vida. Sólo os pediré algo, que el mayor de vosotros, que tiene muchos hijos se quede con la mitad; el mediano que está esperando un hijo se quede con la tercera parte, y tú, el más joven, con la novena parte de la herencia.

El hijo pequeño, que era el más hábil con los cálculos protestó:

Pero, padre…

Déjalo descansar –le pidió el hermano mediano —Haremos lo que nos pide, ha sido un buen padre.

-¿No os dais cuenta de que es imposible dividir la herencia como nos pide? –insistió el pequeño, pero el padre ya había muerto.

–¡Toma! ¡Es verdad! –exclamó Ven –17 no se puede dividir por 2, porque no es par, ni por 3 porque sus cifras suman 8 que no es múltiplo de 3, ni por 9 porque la suma de sus cifras tampoco es múltiplo de 9… ¡vaya tela!

–Muy bien, Ven –dijo Mati –.Veo que recuerdas lo que os conté sobre divisibilidad.

–Espero que la solución no sea partir uno de los camellitos a trocitos, ¿verdad, Mati? –preguntó Sal un poco angustiado.

–No, no fue esa la solución, sigo:

Pasados unos días tras la muerte del padre, se hallaban los 3 hermanos tomando un té a la sombra de un árbol cuando vieron acercarse en un camello a una sabia del lugar, a la que todos reconocían enseguida por su larga melena de color rojo…

–¡¡Eras tú, Mati!! –gritó el pequeño.

–No, yo aún no había nacido –dijo ella guiñando un ojo y continuó:

Después de que le hubieron contado la historia, aquella sabia, de nombre Matim, les dijo lo siguiente:

–Os regalo mi camello, yo puedo apañarme sin él. Así tendréis 18 camellos, que es un número divisible por 2, por 3 y por 9.

Los 3 hermanos aceptaron el regalo de Matim y con este nuevo animal decidieron darle la mitad, 9 camellos,  al mayor, un tercio, 6 camellos, al mediano y la novena parte, 2 camellos, al hermano pequeño.

–Para, para, Mati –pidió el gafotas –. 9 + 6 + 2 son 17 camellos, ¡sobra uno!  ¿Qué hicieron con él?

–Se lo devolvieron a Matim y le dieron las gracias por la ayuda –respondió la pelirroja.

–¿Cómo es posible, Mati? –preguntó Sal –¿Cómo pudo sobrar un camello?

–Muy simple, Sal –dijo esta –Con ese reparto, el de un medio, más un tercio más un noveno, siempre sobrará.

–¿Por qué? –preguntó rápidamente el pequeño.

–Pues porque esas fracciones –siguió ella –no suman 1

–¿Cuánto suman esas fracciones, Mati? –preguntó el gafotas.

–Vamos a multiplicar la primera de ellas por 9, numerador y denominador para que no cambie; la segunda por 6 y la tercera por 2 y las sumamos:

 

–¿Veis? -les dijo –Nos queda 17 partido por 18 y eso no es 1. El noble anciano no sabía demasiadas matemáticas…

–Ya, ya veo –dijo Sal.

–A mí me da pena el hijo pequeño –añadió Ven –. Solo se quedó con 2 camellos…

–Creo que no –dijo Mati –, me contaron que quedó fascinado por la inteligencia de Matim y que tuvieron 3 camellos…

–¡Toma, toma, toma! ¡Como los reyes! –interrumpió Ven.

–Sí, pero Matim y su esposo –continuó la gafotas –los usaron para regalar matemáticas a los niños de las aldeas de la zona, pasando pueblo por pueblo con sus camellos.

–Qué bonito es el amor… –exclamó Ven con un suspiro.

–Y las matemáticas –añadió Sal con un guiño.

¡El tuyo es más grande!

–Es la hora de la merienda chicos…

–¡Empanada! –dijo el pequeño Ven entusiasmado –¡Gracias, Mati!

–¡Me encanta la empanada! –Sal se relamía de gusto.

Mati ofreció un trozo a cada uno de los niños ante la atenta mirada de Gauss. Los niños miraban con recelo la porción de su hermano.

–Creo que el trozo de Ven es más grande, ¿no? –dijo finalmente Sal sin levantar mucho la voz.

–Eso no se dice, Sal –respondió el pequeño –Mamá dice que no es educado mirar los trozos de los demás… –y añadió  –Pero que sepas que el tuyo es más grande que el mío.

–Bueno, Ven, si quieres podemos medir el ángulo de cada trozo con mi regla de ángulos…

–No vale, porque no son iguales de gordos los dos trozos, Sal…

 

–Parece que tenemos que resolver un problema de comparación de fracciones, ¿no, chicos? –intervino Mati.
–¿De fracciones? –preguntó Ven -No, de porciones de empanada.
–Eso es –confirmó Mati –Pero a lfin y al cabo, las porciones de empanadas son fracciones de empanada ¿Sabéis cómo podemos saber si dos fracciones son iguales?

–Claro, Mati –dio Sal rápidamente –Si tienen el mismo número arriba y abajo.

–No, no siempre cielo –contestó ella –Hay fracciones que pueden tener distintos los números de arriba, numeradores y los de abajo, denominadores y ser la misma fracción. Por ejemplo, mirad este ejemplo.

–¡Toma! Es verdad… –se sorprendió Ven.

–Ah, claro –dijo el gafotas –Para saber si dos fracciones son iguales sólo tenemos que hacer la división y comprobar los resultados, ¿no, Mati?

–Ése sería un método –dijo ella –Pero no siempre obtenemos el resto igual a cero tan rápido. Es decir, que hay fracciones que representan a números con muchos decimales, incluso con infinitos números decimales,  y para poder compararlas y afirmar si son o no iguales, tendríamos que conocerlos todos…

–No entiendo nada… -reconoció el pequeño.

–Vamos a verlo con un ejemplo –propuso la pelirroja, vamos a comparar 65/29 y 222/99, por ejemplo. Vamos a dividir a ver qué pasa…

 

–¿Qué os parece¿ ¿Son iguales o no?

–Por ahora sí…

–Exacto, Ven –confirmó la gafotas –Tenemos que seguir dividiendo…

 

–¡Vaya! –dijo Sal –Pues no, no lo son…

–Pero Mati, si tienen infinitos números decimales, ¡no las podemos comparar nunca! –dramatizó Ven.

–Sí, sí las podemos comparar –respondió ésta –Porque no hace falta hacer la división. Para comparar dos fracciones y saber si representan al mismo número, basta con multiplicar en cruz. Os pondré otro ejemplo 7/5 y 21/15.

 

–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! –gritó el pequeño.

–Vaya –se sorprendió Sal –No sabía que dos fracciones podían ser tan diferentes y valer lo mismo.

–Pues sí –siguió Mati –De hecho, pueden haber infinitas fracciones que representen al mismo número, que valgan lo mismo

–Pues, vaya rollo –bromeó Ven –No te puedes fiar de las apariencias…

–Eso nunca, Ven –dijo ella con voz misteriosa –Somos científicos, ¿recuerdas? Tenemos que asegurarnos bien antes de afirmar nada –Mati le guiñó un ojo.

–Ya –continuó Sal –Sería más fácil si sólo hubiera una fracción para cada valor…

–Pues sí –corroboró Mati –Sería más fácil si sólo tuviésemos que comparar fracciones irreducibles.

–¿Irreduccibles? –preguntaron los dos hermanos a la vez.

–Sí –dijo la gafotas — Fracciones en las que el numerador y el denominador son primos, y eso ya sabéis comprobar cuándo ocurre. Pues bien, dos fracciones irreducibles son iguales sólo si el numerador y el denominador son iguales, como decía Sal al principio.

–¡Toma! –dijo el pequeño –Las irreducibles molan más.

–Pero Mati –preguntó Sal con la mirada perdida en sus pensamientos –¿De verdad que una fracción puede tener infinitos decimales?

–Huy, sí –dijo ésta –Pero de una forma especial… Os lo contaré el próximo día, ¿cómo está la empanada?