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Fútbol y combinatoria

12 septiembre 2012

–A ver, Ven, si son 16 equipos, cada equipo jugará 15 partidos… Porque sólo lo haremos a una vuelta, ¿no?

–Claro, pero ¿sólo 15 partidos? Eso son muy pocos, Sal. Acabaremos muy pronto.

–No, no, Ven, pero hay más partidos.

–Ah, claro… Como cada equipo juega 15 partidos y son 16 equipos, tendremos que multiplicar 15 por 16.

–Eso es –corroboró el gafotas mientras su cabecita seguía dando vueltas –creo…

–Haz tú la multiplicación, Sal, que yo todavía no he aprendido…

–A ver, si multiplicamos 16 por 30… –empezó a calcular mentalmente Sal –16 por 3 es, 16 más 16, 32, más 16, 48…Son 480…Ahora me quedo con la mitad, y son 240.

–¡Toma, 240 partidos! –grito el pequeño –Y si hacemos la liga a dos vueltas ¡serán 480!

–Huy, creo que os habéis pasado un poco… –Mati acababa de llegar y Gauss corrió enseguida a su lado.

–¡Hola, Mati! –la saludó Ven alegremente.

–¿No está bien el cálculo, Mati? –preguntó Sal muy concentrado.

–¡Hola, Sal! –dijo ella guiñando un ojo.

–Ah, sí, claro, hola, lo siento –contestó éste.

–No pasa nada, cielo –Mati le acarició el pelo –Y no, no está bien el cálculo.

–¿Por qué? –quiso saber Sal.

–A ver, queréis saber cuánto partidos se van a jugar en una liga con ¿16 equipos?

–Eso, es –afirmó Ven.

–Muy bien –siguió Mati –Una liga con 16 equipos pero sólo a una vuelta, ¿no?

–Ajá… –Ven ponía cara interesante.

–En ese caso –continuó ella –si calculáis 15 por 16, estáis contando 2 veces cada partido, es decir, no hay 240 partidos, sino 120, la mitad.

–No entiendo nada… –terminó aceptando el pequeño.

–Por ejemplo, decidme el nombre de dos equipos de vuestra liga.

Ven Power –respondió rápidamente Ven.

–Y Sal Athletic –añadió Sal un poco ruborizado.

–Muy bien –siguió la pelirroja –Ven Power jugará 15 partidos, uno de ellos con Sal Athletic, ¿no?

Los niños asintieron con la cabeza, Mati continuó.

–Entonces, el partido entre Ven Power y Sal Athletic ya lo hemos contado. Por lo tanto, cuando contemos los partidos que debe jugar Sal Athletic, serán 14, porque el que juega con Ven Power ya lo hemos contado…

–¡Toma, claro! –interrumpió el pequeño.

–Entonces, ¿cuántos son? –preguntó el gafotas intrigado.

–Pues, exactamente la mitad –dijo ella –Puesto que  estás contando cada partido 2 veces, es decir, serían 120 si fuera a una vuelta, y 240 si fuera a dos vueltas.

–Ya, ya lo veo… –Sal seguía pensativo.

–Lo que estáis tratando de calcular es el número de combinaciones o parejas de 2 elementos que se pueden hacer con 16 –les dijo — Si la liga fuera a dos vueltas, lo que queréis calcular es el número de variaciones de 2 elementos en un conjunto de 16.

Los dos niños arrugaron sus caritas y miraron fijamente a Mati.

–Cuando contamos las combinaciones –continuó la gafotas –No importa el orden en que hayamos escogido los miembros de la pareja, es decir, el partido que programamos tomando primero a  Ven Power y después a Sal Atheltic es el mismo que si hubiésemos elegido primero a Sal Atheltic y después a Ven Power, ¿no?

Los dos hermanos volvieron a cabecear afirmando.

–Pero cuando queremos contar las variaciones –les dijo –Sí importa el orden, y tendríamos dos partidos diferentes, uno sería Ven Power-Sal Atheltic, en el campo del primero por ejemplo, y el otro sería Sal Atheltic-Ven Power ¿Me explico?

–Te explicas… –dijo Sal.

–Si queréis os enseño unas fórmulas para calcular el número de combinaciones y variaciones que se pueden hacer con un número de elementos…

–¡Sí! –gritaron los dos.

–Estupendo –Mati sonrió –Pero antes de eso, os tengo que enseñar un par de cositas. Primero, qué es el factorial de un número natural

–Los números naturales son los que sirven para contar… –masculló Ven mientras su hermano lo miraba de reojo por interrumpir a Mati.

–Para calcular el factorial de un número natural –siguió ella –Multiplicamos ese número por todos los anteriores a él hasta llegar al 1. Vamos a calcular por ejemplo el factorial de 5, que se escribe así 5!…

–¡Ja! Como si estuvieras gritando ¡5! –dijo Ven divertido.

–Bueno, pero sólo ponemos el signo de cierre –añadió ella sonriendo mientras escribía en su libreta.

–¿Y el de 8? –preguntó Ven –Como tengo 8 años…

–Vamos a calcularlo… –propuso Mati.

–¡Toma! –se sorprendió el pequeño.

–Sí, los factoriales crecen muy, muy rápido –dijo Mati –Ahora os cuento qué es un número combinatorio –Mati escribió en su cuaderno:

–¿Y eso para qué sirve? –preguntó Ven.

–Pues, por ejemplo,  para saber cuántas combinaciones de 2 equipos se pueden hacer con un conjunto de 16, o lo que es lo mismo,

–¡Es verdad! –dijo Sal excitado –¡Me gusta!

–Me alegro –dijo la pelirroja –Pero no sólo sirve para contar el número de pareas posibles, si pensáis  en agrupar a los equipos en grupos de 4 como se hace en el mundial, podéis conocer cuántos grupos de 4 equipos diferentes se pueden formar con 4 equipos.

–¿Me dejas intentarlo, Mati? –preguntó el gafotas.

–¡Claro!

 

 

–¡Hala! –soltó Ven –Cuántos…

–Ajá –añaddió Mati –Esos son todas las formas posibles de agrupar 4 equipos diferentes elegidos en un grupo de 16.

–Pero Mati –preguntó Sal –¿Cómo se calculan las variaciones si la liga es a 2 vueltas?

–¡Ah, sí! Lo había olvidado –Mati escribió en su cuaderno.

–Es verdad… –Ven alucinaba –Tenías razón.

–Pues sí, chicos, la combinatoria es muy útil para organizar eventos deportivos –dijo Mati y les guiñó un ojo –Y pasa muchas más cosas, claro, otro día os hablo de combinaciones y variaciones con repetición.

–¿Con repetición? –preguntó Sal muy sorprendido.

–Sí, cuando en el conjunto inicial hay elementos repetidos…

–No pueden haber equipos repetidos, Mati –protestó Ven.

–Ya, pero imagina que tenemos en un cajón lleno de monedas, muchas de 5, muchas de 10, muchas de 20 y muchas de 50 céntimos y queremos elegir, por ejemplo, conjuntos de 4 monedas…

–¿¿Cómo se hace?? –preguntó Sal alterado.

–Ya lo he dicho –respondió Mati con sonrisa misteriosa –Os lo cuento en otro momento, ahora vamos a terminar de diseñar esa liga que estabais haciendo.