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Un poco de gimnasia mental

–¿Jugamos al fútbol, Sal?

–Espera, Ven, estoy intentando un resolver un problema de Fermi

–¿Cuál?

–El que nos propuso Mati de cuántas patas de mesas y sillas hay en nuestro cole.

–Vale, ¿te puedo ayudar y así nos vamos antes a jugar al fútbol?

–Claro –respondió el gafotas –¿Me traes la calculadora que hay en el estudio?

–Pero, bueno –Mati acababa de entrar –¿para qué necesitas una calculadora, Sal?

–¡Hola, Mati! –saludó Ven.

–Hola, Mati –añadió Sal –Para hacer unas cuentas.

–¿Qué cuentas? Si se puede saber… –indagó la pelirroja.

–Pues, la primera es 18 por 25 –dijo Sal –Porque en mi cole hay dos clases de cada curso, cada clase tiene aproximadamente 25 niños…

–Esa cuenta es muy sencilla, Sal –interrumpió Mati –Puedes hacerla en tu cuaderno o, mejor aún, mentalmente.

–Entonces, ¿para qué se han inventado las calculadoras, Mati? –protestó el pequeño que adoraba usar esa maquinita.

–Para hacer cálculos, evidentemente –respondió Mati –Pero no por ello debemos dejar de usar la calculadora que tenemos sobre los hombros.

–Pero si se hacen más rápido y más fácil con la calculadora –insistió Ven –¿por qué tengo que hacerlo con la mente?

–Porque el cálculo mental nos sirve para hacer deporte con la mente, Ven –dijo ella.

–¿Deporte con la mente? –se extrañó Sal.

–Claro –siguió Mati –Si dejásemos de caminar porque podemos ir a todos sitios en coche, nuestras piernas se atrofiarían…

–¡Sí, sí! -interrumpió Ven –¡Eso sale en Wall-E! ¡Y estaban todo gordos y no se podían mover!

–Sí, si no nos movemos nos quedamos así –dijo Mati –Y si no ejercitamos la mente, también pierde muchas de sus funciones y habilidades.

–Ya, Mati –aceptó Sal –Pero algunas cuentas no son fáciles de hacer mentalmente.

–Puede –dijo Mati –Pero se pueden aprender estrategias y trucos…

–¿Nos cuentas uno, Mati? –pidió Ven alegre.

–Os contaré varios –anunció la gafotas –Poneos el chándal en el cerebro, ¡allá vamos!

–¡Mola! –gritó el pequeño.

–Vamos a empezar con uno sencillo –les propuso –Multiplicar mentalmente por 5.

–Pues vaya –protestó el pequeño –La tabla del 5 se la sabe hasta Edu que nunca atiende en clase…

–¿Sí? –preguntó Mati –¿Cuánto es 82 por 5?

–Bueno, Mati, te has pasado… –reconoció Ven –Eso no sale en la tabla.

Mati sonrió y le guiñó un ojo a Ven.

–Te enseñaré a calcularlo muy rápido –le dijo al pequeño –Multiplicar por 5 es igual que dividir por 2 y luego multiplicar por 10. Dividir por 2, no es más que calcular la mitad, ¿cuál es la mitad de 82?

–41 –dijo Sal rápidamente.

–Ahora multiplicamos por 10 –les dijo –que como 41 no tiene decimales, se trata sólo de añadir un cero final.

–¡410! –exclamó Ven airoso.

–¿Ves, Ven? –le preguntó Mati –¿A que es muy rápido? Y sin calculadora…

–¡Toma! ¡Verás cuando se lo cuente a Lucas! –Ven estaba entusiasmado.

–¿Y si el número que tenemos que multiplicar por 5 no es par, Mati? –preguntó el gafotas –No será divisible por 2… Por ejemplo, .

–¿Cuánto es la mitad de 99, Sal? –le preguntó.

–La mitad de 100 es 50… –mascullaba Sal –98 es 2 menos, la mitad de 98 es 49… 49’5, Mati.

–Eso es –confirmó Mati –Ahora multiplicamos 49’5 por 10. Cuando hay decimales, multiplicar por 10 es correr la coma una cifra a la derecha.

–¡495! ¡Toma, toma! –gritó Ven abrazando a Gauss.

–Es verdad –dijo Sal y añadió con cara de pícaro–Pero se podía hacer más rápido.

–¿Sí? ¿Cómo? –le retó su hermano desafiante.

–Porque 99 por 5 es sumar cinco 99 veces –dijo el gafotas –Si lo sumas 100 veces te saldría 500, 5 x 100 y ahora sólo tienes que restarle un vez 5, y te sale 495.

–Ah, claro –aceptó Ven.

–Efectivamente, Sal –dijo Mati –Eso que acabas de hacer es lo que yo quería decir con la gimnasia mental.

Sal sonrió sonrojado, Ven le echó el brazo por los hombros orgulloso. Gauss resopló con pelusilla.

–Ahora –les dijo –Vamos a calcular 18 por 25. Multiplicar por 25 es lo mismo que dividir por 4 y multiplicar por 100, ¿no?

Los niños asintieron con la cabeza, Mati continuó:

Dividir por 4, es calcular 2 veces la mitad del mismo; multiplicar por 100 es simplemente añadir 2 ceros al final de nuestro número, o si tiene decimales, correr la coma hacía la derecha dos cifras, ¿verdad?

–Si calculo la mitad de 18 es 9 –dijo Sal –Y la mitad de 9 es 4’5… Entonces, 18 dividido entre 4 es 4’5, sólo falta multiplicar por 100… 4’500…corro la coma dos cifras…

–450, 450, ¡¡450!! –Ven daba vueltas tapándose la cara con la camiseta.

–¿Veis? –les dijo –Hacer deporte siempre es divertido y sano, con la mente también.

–¿Nos enseñas más trucos, Mati?

–Claro –contestó ella –De hecho, Sal nos acaba de enseñar uno.

–¿Cuál? –preguntó el pequeño.

–Pues que multiplicar por 99 es multiplicar por 100 y restar el número –dijo Mati –Y se podría extender a que multiplicar por 9 es multiplicar por 10 y restarle el número

–Y multiplicar por 999 –interrumpió Ven —es multiplicar por 1000 y restar el número…

–Eso es –confirmó Mati con una amplia sonrisa –¿Cuánto es 999 por 15?

–Eso es … –empezó a decir Ven –15 por 1000, 15000… 15000 menos 15… 100 menos 15 es 85… 1000 menos 15 serán 985… ¡14985! ¿no, Mati?

–Efectivamente, Ven –dijo Mati contenta, Sal abrazó a su hermano pequeño lleno de orgullo y satisfacción.

–¡Otro, Mati! –pidió Ven.

–A ver si se os ocurre a vosotros –les retó –una estrategia para multiplicar por 11.

Los niños se quedaron muy pensativos… Al cabo de pocos segundos, Sal dijo:

–Muy fácil: es multiplicar por 10 y luego sumarle el número.

–¡Ahá! Entonces, ¿cuánto es 76 por 11? –les preguntó.

–76 por 10 es 760 –dijo Ven –760 más 76… 760 más 40 es 800…me faltan 36.. ¡836! ¿no?

Mati asintió con la cabeza y Ven no puedo contener su emoción.

–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola!

–Mati –dijo Sal –Si multiplicar por 25 es multiplicar por 100 y dividir por 4, entonces dividir por 25 es al revés, ¿no? Dividir por 25 es multiplicar por 4 y dividir por 100.

–Exacto –dijo Mati –Multiplicar por 4 es calcular dos veces el doble y dividir por 100 es quitar dos ceros del final si hay, o uno (si sólo hay uno) y poner una coma a la izquierda de la última cifra, o una coma a la izquierda de las dos últimas cifras (si no hay nigún cero) ¿Cuánto es 42 dividido entre 25?

–Multiplicamos 42 por 4… –decía Sal –42 por 2 es 84.. 84 por 2 es 168…dividimos por 100 poniendo la coma a la izquierda de las dos últimas cifras… ¡1’68!

Mati asintió de nuevo sonriendo.

–¡Eres un máquina! –dijo Ven y le zampó un beso a su hermano mayor. Gauss no parecía disfrutar mucho de aquella exaltación del sentimiento fraternal.

–¿Veis cómo es más divertido andar con la mente que moverse en coche? –les preguntó.

–Mucho más –dijo Sal muy satisfecho.

–¿Nos enseñas más? –preguntó Ven.

–Seguiremos otro día –dijo Mati –Ahora es hora de que juguéis un poco al futbol, ya sabéis eso de Mens sana in corpore sano.

 

Dime cuántos, cuántos, cuántos…

¿Cuánto nos cuesta a cada contribuyente una hostia consagrada de las que se reparten en las iglesias? ¿Cuánto las que reparten algunos antidisturbios en las manifestaciones?

Fernando del Álamo tratando de averiguar cuántos botones hay en total en todos los aviones que vuelan actualmente…

Seguro que alguno de nosotros se hace esa pregunta, sobre todo, al final de mes, ¿no? Este tipo de preguntas sobre cálculos que parecen muy complicados de hacer por la falta de datos concretos me recuerda a la comunicación en la que Fernando del Álamo, @omalaled, nos habló de los problemas de Fermi. Tengo que reconocer que estos problemas siempre me han encantado y Fernando lo bordó, como se suele decir, en aquella comunicación, que podéis ver aquí.

Enrico Fermi

Un problema Fermi (nombrados así por Enrico Fermi, físico italo-americano, premio Nobel de física en 1938) trata de obtener una estimación mediante una serie de estimaciones razonables de algo que puede parecer incalculable.

El típico ejemplo de un problema de Fermi es ¿Cuántos afinadores de piano hay en Chicago?

Y la respuesta de Fermi más o menos venía a decir (esta estimación se hizo hace más de 50 años, hoy en día seguro que ya no es cierto):

Hay 5 millones de personas viviendo en Chicago. En promedio, viven dos personas en cada casa de Chicago. Una de cada veinte casas tiene un piano que es afinado regularmente, una vez por año. A un afinador de pianos le lleva dos horas afinar un piano, incluyendo el tiempo de viaje. Cada afinador trabaja 8 horas por día, 5 días a la semana y 50 semanas en un año. Con todas esas suposiciones se obtiene que en Chicago hay (había) unos 125 afinadores de piano.

Desde el punto de vista docente, considero que plantear problemas de Fermi puede ser muy interesante para enseñar a los niños a desarrollar diversas habilidades muy útiles, como pensamiento lógico, explorar el mundo y comprenderlo. Para algunos problemas de Fermi hacen falta conocimientos profundos de Física o Química (para muchos de ellos basta con conocer el número de Avogadro, cosa que desconocen todos los adeptos a la homeopatía, por ejemplo), pero para otros necesitamos poco más que sentido común. Voy a tratar de poner aquí algunos ejemplos.

Empezamos así con uno muy sencillo: Contando sillas y mesas ¿cuántas patas de muebles hay en un determinado colegio?

Evidentemente para resolver este sencillo problema basta con estimar el número de alumnos en el colegio (número de grupos por el número de alumnos en cada grupo) y después multiplicar por ocho.

Demasiado fácil, ¿no? Vamos a intentar resolver otro un poco más complicado: ¿En cuánto aumenta la masa de la humanidad cada año?

Para resolver este problema hemos de estimar cuál es el peso medio de un humano y tratar de averiguar cuántos humanos más hay cada año. Tenemos que tener en cuenta que hay que calcular la media de todos: hombres, mujeres, niños, así que yo creo que una buena aproximación es de 55 kilos por humano, ¿vale? La población humana crece cada año en unos 40 millones, así que el peso total de la humanidad viene a aumentar cada año en unos 2.200 millones de kilos (algo más de 2 millones de toneladas: o 2.2×10⁹ kilos, nada comparado con 5.972×10²⁴ que es la masa de la Tierra).

¿Intentamos un más difícil? Venga, va, que no decaiga:  ¿Cuántos ladrillos hay en Sevilla? (me refiero a las piezas usadas en construcción, no estoy mirando a nadie)

Para este problema es fundamental estimar cuántos ladrillos son necesarios para construir un piso medio, digamos de 90 m². Podemos estimar que un piso lo forma un rectángulo exterior de 10×9 y que el área de las paredes interiores iguala a las paredes exteriores (del piso). Si el techo está a 2.5 metros, el área de las paredes exteriores será (10+9)x2x2.5 = 95 m², por lo tanto, el área total de las paredes de un piso será de unos 190 m², podemos suponer que para un metro cuadrado se necesitan 16 ladrillos, luego un piso medio necesita unos 3.000 ladrillos. Así queda sólo por estimar cuántos pisos hay en Sevilla, que tiene una población de unos 700.000 habitantes, pero como la media por piso es aproximadamente de tres habitantes, eso nos da la cifra de 233.333 pisos que por los 3.000 ladrillos anteriores nos da un total de 700 millones de ladrillos.

En algún sentido, otro problema de Fermi sería  calcular cuántos participantes hay en una manifestación, aunque con una simple foto aérea se puede hacer un cálculo absolutamente exacto, será por eso que siempre coinciden los datos de los convocantes y los de las administraciones públicas correspondientes…

Me voy, pero os dejo propuestos unos cuantos problemas que podéis discutir en los comentarios y/o a la hora del café, como siempre os digo.

¿Cuántas palomitas de maíz caben en una habitación?

¿Cuántas maletas están volando ahora mismo en aviones en todo el mundo?

¿Cuántos coches hay en movimiento en España un día de diario cualquiera a las cuatro de la madrugada?

¿Cuántas vueltas dan las ruedas de todos los ciclistas en un Tour de Francia?

Pues eso, dime cuántos, cuántos, cuántos… 😉