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Con Gauss en el super

–Vamos, Ven –dijo Sal –. Estoy deseando llegar para prepararnos la merienda.

–Voy todo lo rápido que puedo, Sal –respondió el pequeño –, pero es que estas manzanas pesan mucho.

–No te quejes, enano –dijo el gafotas –, que yo llevo todo el queso…

–Claro, como te has comprado todo el queso del super… –protestó el pequeño — Oye, Sal, ¿te puedo hacer una pregunta?

–Dime.

–¿¿Cuánto te has gastado en queso?? –le espetó Ven un poco ofuscado.

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–No tanto… –respondió este –¿Por qué?

–Porque mamá te avisó de que no te pasaras comprando queso, ¿sabes?

–Bueno –se defendió el mayor –, mamá nos dio 20 € y nos han sobrado 4. No lo hemos gastado todo y hemos comprado también manzanas y pan.

–Ya, pero las manzanas y el pan eran más baratas –insistía Ven en su reprimenda.

–No te creas –siguió el gafotas –, en manzanas hemos gastado el doble que en pan.

–¿Y en queso? –continuó el pequeño en su indagación.

–En queso sólo el triple que en pan –dijo Sal y añadió bajando la voz —más lo que hemos gastado en manzanas.

–¿Y eso cuánto es? –preguntó Ven cada vez más impaciente.

–Huy, eso se puede calcular muy bien resolviendo un sistema de ecuaciones –intervino Mati que había estado pendiente de la conversación mientras los acompañaba de vuelta a casa.

–Ea, pues ya sabes, Ven –concluyó el gafotas –, solo tienes que resolver el sistema de ecuaciones que dice Mati.

–¿Qué ecuaciones, Mati? ..preguntó el pequeño –¿Cuál es la incógnita?

–Las, las incógnitas –dijo esta –. Son tres en este caso: lo que habéis gastado en manzanas, lo que habéis gastado en pan y lo que habéis gastado en queso.

–¿¿3 incógnitas?? –el gafotas se interesó de pronto en la conversación –Solo sabemos resolver sistemas de 2 ecuaciones con 2 incógnitas.

–Sí –confirmó Mati –, pero el mismo método de Gauss que os enseñé para sistemas de 2 ecuaciones con 2 incógnitas se puede usar para sistemas de 3 ecuaciones con 3 incógnitas.

–¿Seguro? –preguntó Sal desconfiado –¿Cómo?

–Os lo explico con vuestra compra –les dijo Mati –. Vamos a definir las incógnitas del problema.

 

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–Esto tiene pinta de ser muy difícil… –dijo Ven por lo bajini.

–Para nada, Ven –dijo ella –, ya verás. Ahora vamos a ir escribiendo las ecuaciones con los datos que me habéis dicho ¿Cuánto habéis gastado en total?

–¡16 €! –se apresuró a contestar el pequeño.

–Ajá, eso significa que la suma de las 3 incógnitas es igual a 16.

 

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–En manzanas hemos gastado el doble que en pan –añadió el gafotas.

–Muy bien –dijo la pelirroja –, vamos a expresar ese dato como otra ecuación:

 

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–Sí, pero en queso hemos gastado el triple que en pan más lo que hemos gastado en manzanas –dijo Ven con vehemencia.

–Ese dato –dijo Mati –lo expresaremos de la siguiente forma:

 

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–¿3 ecuaciones? –preguntó Ven con cara de espanto.

–Sí –le respondió Mati –. Si queremos tener un solución única, necesitamos, al menos,  tantas ecuaciones como incógnitas, como nos pasaba el otro día. Ya tenemos nuestro sistema de ecuaciones:

 

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–¿Y ahora? –preguntó impaciente el gafotas.

–Ahora –les dijo –ordenamos la escena del crimen, poniendo todas las incógnitas en el término de la izquierda:

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–¿Ahora tenemos que escribir la cajita de coeficientes, Mati?  –preguntó Sal.

–Efectivamente –confirmo esta –.Vamos a escribir la matriz de coeficientes:

 

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–Ahora –continuó Mati –la escribimos como nos gusta a los matemáticos…

 

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–¿Qué hacemos ahora, Mati? –preguntó el pequeño.

–Lo que tenemos que conseguir operando con las filas –dijo ella –es transformar en 0 los números que os marco con círculos  en la matriz:

 

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–Empezamos con el número del círculo rojo –propuso Mati –. Como es un 1 igual que el mismo número en su posición en la Fila 1, sólo tenemos que calcular Fila 2 menos la Fila 1, y sustituir la Fila 2 por la nueva fila obtenida:

 

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–Con esto, la matriz de coeficientes se transforma en la siguiente: -dijo la pelirroja.

 

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–Le toca el turno –anunció ella –al número en el círculo verde. Como es -1 y en la Fila 1 en esa columna tenemos un 1, bastará con sumar la Fila 3 con la Fila 1, y sustituir la Fila 3 por la nueva fila obtenida.

 

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–Sustituimos en la matriz de coeficientes –continuó Mati –la Fila 3 por la nueva fila obtenida

 

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–¡Eh, el número del círculo amarillo ha cambiado! –exclamó Ven.

–Efectivamente –dijo Mati –si hubiese cambiado a 0 ya habríamos acabado. Pero no, aún no es 0. Tenemos que seguir currando. Pero antes que nada, fijaos que todos los coeficientes de la Fila 3 son pares, todos son divisibles por 2.

–Ajá –dijeron los dos hermanos al unísono.

Cuando toda una fila es divisible por un número -dijo Mati —podemos dividir la fila por ese número en cuestión y así trabajaremos con números más pequeños.

–¡Mola! -dijo Ven, Sal lo miró muy serio.

–Si dividimos la Fila 3 por 2, nos quedará:

 

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–Otra vez ha cambiado el número del círculo amarillo, Mati –advirtió el pequeño.

–Sí, pero sigue sin ser 0 –respondió Mati –. Para conseguir que el -1 en el círculo amarillo sea 0, ahora usamos la Fila 2, porque si usamos la Fila 1 podríamos perder el 0 del círculo verde que acabamos de conseguir.

–Ajá –repitió Ven, Sal esta vez no lo miró.

–Tenemos que multiplicar el número de la Fila 2 correspondiente a la columna de nuestro círculo amarillo, el -3 en nuestro ejemplo, por un número para que el resultado sea 1 y al sumarlo a la Fila 3, nuestro -1 se convierta en un 0.

–Eso es imposible –dijo Ven.

–¿Por qué? –preguntó ella.

–Ningún número multiplicado por -3 da como resultado 1 –dijo el pequeño.

–Eso no es verdad –intervino el gafotas –Si multiplicas -1/3 por -3, el resultado es 1.

–Ajá –dijo de nuevo Ven rascándose la barbilla. Gauss resopló,

–Muy bien, chicos –continuó Mati –. Multiplicaremos la Fila 2 por -1/3 y lo sumaremos a la Fila 3, el resultado será la nueva Fila 3 de la matriz de coeficientes.

 

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–Ahora tenemos la matriz:

 

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–Mati –dijo Sal —¿podemos multiplicar la última fila por 3 para quitar los denominadores?

–Podemos –confirmó ella.

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–Pero ahora –dijo Ven excitado —¡se puede dividir la Fila 3 por 4!

–Ajá –dijo Mati cómica –, podemos.

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–Ya no podemos hacer nada más –se lamentó Ven.

–Bueno –dijo Mati –, vamos a escribir el sistema de ecuaciones asociado a esta matriz y ya veréis que fácil es resolverlo:

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–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! –gritó el pequeñajo –Ya sabemos que z vale 10 –Ven hizo un pausa –¿¿Te has gastado 10 € en queso??

–No es tanto, Ven –se defendió el gafotas –, es un queso francés y estaba en oferta.

–¿Cuánto hemos gastado en pan, chicos? –preguntó Mati tratando de desviar la conversación –Podéis calcularlo muy fácilmente con la segunda ecuación, sustituyendo z por 10.

Los niños se pusieron a calcular lo que Mati había propuesto.

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–Hemos gastado 2 € en pan, Mati –anunció Ven.

–Y como en total hemos gastado 16 € –añadió su hermano –, hemos gastado 4 € en manzanas.

–¡Muy bien, chicos! –exclamó Mati con alegría –. Ya os dije que el método de Gauss también servía para 3 ecuaciones, y para 4, para 5…

–¡¡Gaussito es el mejor!! –gritó Ven tomando a su mascota en brazos.

–Lo es –apostilló el gafotas –, pero vamos ya a casa que quiero mi bocata de queso.

Cuántas ecuaciones, ¡por Gauss!

–¿Por qué tenemos que hacer lo que tu digas, Sal?

–No, eso no es cierto, Ven,  y lo sabes. Antes nos hemos subido en la atracción que tú has elegido.

–Pues ahora quiero probar aquí –insistió Ven –. Soy el mejor lanzador del mundo.

–Estás siendo presumido, Ven –replicó Sal –. Se lo diré a mamá…

–Lo que pasa, Sal, es que no quieres reconocer que soy mejor lanzador … –insistió el pequeño cada vez más enfadado.

–El dinero es de los 2, Ven –contestó el aludido — y en estas casetas de tiro casi nunca se gana…

–¡Ja!–dijo Ven con cara de enfadadísimo.

–Vaya, qué risa tan poco convincente… –dijo Mati interviniendo en la cumbre.

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–Es que Sal no quiere que compitamos en esta caseta –se apresuró a contarle Ven.

–Es que nos queda poco dinero, Mati –se defendió el gafotas –, y en estas casetas es muy difícil conseguir premio.

–¡JA! –insistió Ven.

–Bueno, eso y que Ven es un poco presumido y se cree un gran lanzador…

–Huy, no os lo vais a creer –dijo Mati muy teatrera tratando de relajar el ambiente–, me acabáis de recordar un romance sobre un lanzador un poco presumido, ¿os lo cuento?

Los niños asintieron con la cabeza. Gauss resopló, estas discusiones le agotaban. Mati les recitó el romance:

Rafael Rodríguez Vidal. Enjambre matemático.

 

–Ni i-de-a –dijo Ven enfurruñado –¿Qué es un duro, Mati?

–Ah, tienes razón –le contestó la pelirroja –. Un duro eran 5 pesetas.

Sal se quedó pensando un buen rato al cabo del cual admitió:

–No me sale.

–Os enseñaré a hacerlo usando ecuaciones -les anunció.

–¡Ecuaciones! –exclamó Sal –Me encantan.  Ya nos enseñaste ecuaciones.

–Efectivamente –confirmó ella –. Pero en aquella ocasión solo teníamos una letra sospechosa, la x, y en este misterio –añadió bajando la voz imprimiendo misterio a la escena –hay dos sospechosas, la x y la y.

–¡Toma! –dijo el pequeño –¡Mola!

–¿Dos letras sospechosas? –preguntó el gafotas.

–Sí, la x representará el número de aciertos del tirador y la y representará el número de fallos del mismo –dijo Mati –. Tenemos que descubrir quién es x y quién es y.

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–Como tenemos 2 sospechosas –continuó ella –, a las ecuaciones que vamos a tratar de resolver las llamamos ecuaciones con 2 incógnitas. 

–¿Qué ecuación tenemos que resolver, Mati? –preguntó Sal ansioso.

–Ecuaciones, Sal –respondió Mati –, para tener un único valor del acertijo, necesitamos tener, al menos, 2 ecuaciones, tantas como incógnitas.

–¿Qué pasa si solo tenemos una ecuación con 2 incógnitas? –preguntó el pequeño.

–En ese caso –respondió ella –, la ecuación tendrá infinitas soluciones.

–Sí, claro… –dijo Ven con sorna.

–Te lo voy a demostrar –anunció la pelirroja –. Vamos a ver una primera ecuación que deben verificar x e y, ¿cuánto debe valer la suma de x más y?

Los niños se quedaron pensativos hasta que el gafotas exclamó:

–¡16! Porque hizo 16 lanzamientos en total.

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–Eso es –confirmó Mati –. Pues mira, Ven, si solo tenemos esa ecuación, tenemos varios  resultado distintos.

Mati empezó a escribir todas las posibles soluciones de la ecuación planteada:

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–¡Eh! –interrumpió el gafotas –Esas soluciones no valen. Si acierta 16 y no falla ninguna, el feriante tendrá que pagarle 16 duros, y el romance dice que quedaron en paz.

–Efectivamente –confirmó Mati –, es por lo que necesitamos imponer la segunda condición, la de quedar en paz, para obtener otra ecuación y conseguir que la solución sea única: como por cada acierto le daban 5 pesetas, y por cada fallo él pagaba 3, si al final quedaron en paz fue porque 5 por x (el número de aciertos) era igual que 3 por y (el número de fallos). Ya tenemos la otra ecuación:

 

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–Pues ya está –anunció Mati –, ya tenemos nuestro sistemas de 2 ecuaciones lineales con  2 incógnitas.

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–¿Lineales? –preguntó Ven extrañado.

–Sí, lineales –le explicó Mati –porque las incógnitas no aparecen elevadas a ninguna potencia.

–Y ahora, ¿qué hacemos, Mati? –preguntó el gafotas –¿A quién desenmascaramos primero? ¿A la x o a la y?

–Veréis –anunció la pelirroja –, aunque existen distintos métodos para resolver este tipo de sistemas de ecuaciones, os voy a enseñar el método de Gauss para resolverlas.  

–¡Sí! –gritó el pequeño abrazando a su mascota con riesgo de asfixia –¡Tu método, Gaussito bonito! ¡Tú método!

–Ven, no seas burro –le pidió su hermano –. Vas a despachurrar a Gauss.

Ven lo depositó de nuevo en el suelo, Gauss fingió un desmayo. Él es así. Una vez recuperada la mascota, Mati continuó:

–Para ello, antes que nada, vamos a ordenar un poco la escena del crimen –les dijo guiñando un ojo –. Llevamos a las incógnitas con sus compañeros al término de la izquierda, y los números que no llevan incógnita al término de la derecha.  En nuestro ejemplo, solo tenemos que llevarnos las 3y al término de la derecha en la segunda ecuación, nos la llevamos pero cambiando su signo, pasan como -3y:

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–Ahora vamos a construir una cajita especial –les anunció Mati –que llamaremos matriz del sistema. Como son 2 ecuaciones, será una caja con 2 filas (horizontales) y 3 columnas (verticales); una columna para la x, otra para la y y otra para el número que se ha quedado en el término de la derecha, al que llamamos término independiente porque no depende de las incógnitas, ya que no las acompaña.

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–Qué caja tan mona –dijo Ven pícaro.

–En realidad, los matemáticos –dijo Mati –no dibujamos la cajita así, sino usando dos paréntesis grandotes, así :

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–¿Y ahora? –preguntó Sal ansioso.

–Ahora vamos a tratar de conseguir que en la segunda fila, en la columna de la x, aparezca un 0 –les dijo –. Así tendremos en la segunda ecuación, una ecuación con una sola incógnita que es muy fácil de resolver como os enseñé.

–Ya –dijo Ven –, pero eso es hacer un poco de trampa, ¿no, Mati?

–¡Jajajajajaja! –se rio ella –No, tranquilo, lo haremos muy legalmente. Para ello tenemos que buscar un número, que llamaremos N, de forma que al multiplicar el coeficiente de x en la fila 1 (1 en nuestro ejemplo) obtengamos el coeficiente de x en la segunda fila (5) pero con el signo cambiado; o sea, N es el número que multiplicado por 1 nos da -5.

–Muy fácil –dijo Sal –. N es -5.

–Efectivamente -dijo Mati –. Ahora multiplicamos la fila 1 por -5 y se la sumamos  a la fila 2. El resultado será la nueva fila 2 de nuestra matriz.

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–Veamos cómo queda nuestra nueva matriz del sistema –les dijo.

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–Escribimos el sistema de ecuaciones asociados a esta nueva matriz –continuó la gafotas.

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–Ahora fijaos en la segunda ecuación –les pidió.

–¡Toma! –dijo Ven -Esa es muy fácil, solo hay que pasar -8 al término de la derecha pero dividiendo, porque estaba protegiendo a la y multiplicándola.

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–¡Toma, toma, toma!  ¡Cómo mola! –gritó el pequeño –¡Falló 10 veces, así que acertó 6 y ganó 30 pesetas!

–Bueno –añadió Sal –, en realidad no ganó nada, porque como falló 10 también tuvo que pagar 30 al feriante…

–Ya, ya –respondió Ven –, no seas aguafiestas…

–¿Sabéis? –interrumpió Mati de repente –De repente me apetece subir a la noria, ¿alguien me acompaña?

–¡Yo, yo! –gritó Ven y salió corriendo hacia la noria olvidando la disputa original. Sal y Mati se miraron, sonrieron y le siguieron. Gauss se quedó embobado mirando una perrita piloto que colgaba del puesto.

(*) El romance de esta entrada es de Rafael Rodríguez Vidal en Enjambre matemático.

Julio es un buen mes para una revolución…

La libertad guiando al pueblo en Julio de 1830

Había una vez un gobierno absolutista que gobernaba sólo para los más ricos y para el clero;  un rey Borbón que insultaba constantemente a los demócratas de su país; leyes que indemnizaban a los ricos por sus pérdidas pero que iban condenando al pueblo a perder lo que habían conseguido: libertad, igualdad…ya saben…

Cuentan que un consejo de ministros, presidido por el Borbón, aprobó en julio una serie de decretos que afianzaban la crueldad del gobierno… Cuentan que el pueblo se cansó, encolerizó viendo como unos pocos, muy pocos comparados con ellos, intentaban abolir y suprimir todo su bienestar social… Cuentan que aquel mes de julio hubo una gran revolución…

Efectivamente, hablo de la Revolución de Julio. Fue en Francia y fue en 1830. Eran otros tiempos…

La libertad, ese ruiseñor con voz de gigante, despierta a los que duermen más profundamente… ¿Cómo es posible pensar hoy en algo, excepto en luchar por ella? Quienes no pueden amar a la humanidad todavía pueden, sin embargo, ser grandes como tiranos. Pero ¿cómo puede uno ser indiferente?

Ludwig Boerne, 14 de febrero de 1831

¿Que por qué me acuerdo hoy de esto? Pues está claro, porque entre los revolucionarios de aquel mes de Julio tan lejano estaba Évariste Galois, matemático francés que a pesar de su corta vida, murió a los 20 años, dejó tras de sí una contribución fundamental en varias ramas de las Matemáticas: la Teoría de Galois ¿Qué otra cosa si no me iba a recordar una revolución en pleno mes de julio?

Aunque no se conocen con exactitud los detalles que rodean la muerte de Galois, parece que no murió por su carácter rebelde, antieclesiástico y antimonárquico. No. Eso le sirvió para ser expulsado de la École Normale Supérieure y para pasar unos mesesitos a la sombra. Galois murió en un duelo, todo muy romántico como corresponde a un buen matemático, al que asistió una mañana de mayo de 1832, sabiendo que iba a morir, puesto que, según parece, enfrente estaría un oficial, republicano como él, con fama de ser un gran tirador. Pobre Évariste… ¿Fue un duelo por amor? Tampoco se puede afirmar con rotundidad porque aquella noche, consciente de que era su última noche, Galois escribió tres cartas. En una de ellas, a dos amigos suyos:

París, 29 de mayo de 1832

Mis buenos amigos,

He sido provocado por dos patriotas. … Me ha sido imposible rehusarme. Les pido perdón por no haberles advertido a ninguno de ustedes. Pero mis adversarios me hicieron prometer por mi honor el no prevenir a ningún patriota. Su tarea es muy simple: demostrar que me he batido a pesar de mí es decir, después de haber agotado todos los medios que cabían, y decir si soy capaz de mentir, mentir, incluso por las cosas más triviales.

Guarden mi recuerdo, ya que la suerte no me ha dado suficiente vida para que la patria sepa mi nombre.

Muero, su amigo,

E. GALOIS

Esto podría inducir a pensar que fueron motivos simplemente políticos los que llevaron al joven matemático francés aquella mañana al estanque cercano a la Rue de la Glacière a encontrar la muerte. Pero en otra de las cartas que escribió, ésta a sus compañeros republicanos, el joven Galois decía:

París, 29 de mayo de 1832

Ruego a los patriotas, amigos míos no me reprochen por morir de otra manera que por el país. Muero víctima de una infame coqueta y dos incautos. Es dentro de una calumnia insignificante que se extingue mi vida.

¡Oh! ¡Por qué morir por tan poca cosa, morir por algo tan despreciable!

Pongo al cielo por testigo de que fue constreñido y forzado que cedí a una provocación que traté de evitar por todos los medios.

Me arrepiento de haber dicho una verdad odiosa a hombres tan poco capaces de escucharla con serenidad.

Pero al final dije la verdad. Llevo a la tumba una conciencia libre de mentira, libre de sangre patriota.

Me hubiera gustado dar mi vida por el bien público.

Perdón para aquellos que me mataron, son de buena fe.

E. Galois

Esa infame coqueta, según se ha podido descubrir a partir de unas cartas encontradas a Galois, pudo ser Stéphanie-Félicie Poterin du Motel, hija del médico que regentaba la pensión en la que se alojaba nuestro protagonista. Hay quien  señala que ella tenía novio y que fue su novio el oficial que acabó con la vida de Évariste…¿quién sabe? No es pequeña la controversia alrededor de la muerte de este matemático rebelde y romántico.

Pero había una tercera carta que es la responsable de que hoy estemos hablando de Évariste Galois, la carta que escribió a Will-Auguste Chevalier, pidiéndole que mostrase sus trabajos a Gauss y Jacobi, los únicos matemáticos que según Galois podrían entenderlos, una carta testamento que daría lugar a la Teoría de Galois.

Vamos a intentar explicar algo de este trabajo.

Resolver ecuaciones ha sido y es fundamental para todas las ciencias o tecnologías. Todos los estudiantes se enfrentan a las ecuaciones de primer grado y, posteriormente, a las de segundo grado. Y todos han de saber que las soluciones de la ecuación (de segundo grado) se expresan en la fórmula:

¿Y si en vez de una ecuación de segundo grado tratamos de resolver una ecuación de tercer, de cuarto grado? Pues desde el siglo XVI se conocen soluciones a este tipo de ecuaciones (naturalmente necesitan, en su expresión raíces cúbicas o cuartas).

Aquí una pequeña digresión: en un libro muy recomendable A history of pi de Petr Beckmann (ignoro si existe traducción al castellano) se cuenta que cincuenta años antes de que el italiano Cardano publicara la solución a la ecuación de cuarto grado en 1545, un español Pablo (o Paolo) Valmes había encontrado dicha solución y por ello fue condenado a morir en la hoguera por el Inquisidor General Tomás de Torquemada ya que:

Es el deseo de Dios que esa solución sea inaccesible al entendimiento humano.

Bien es verdad que dicha historia no ha podido ser corroborada por otros investigadores, por lo que la dejaremos sólo en una curiosa (y representativa) leyenda. Volvamos a las ecuaciones, que me despisto y me enfado…

Como ya se ha dicho, se sabía cómo resolver las ecuaciones hasta grado cuarto desde el siglo XVI, pero las de grado cinco o superior se resistían. Hasta  1824, en este año,  Abel demostró que existen ecuaciones de grado mayor o igual a cinco que no se podían resolver mediante una fórmula que envolviera a los coeficientes de la ecuación ligados por operaciones algebraicas como suma, producto, división o raíces (de cualquier grado), lo que técnicamente se conoce resolver una ecuación por radicales. Sin embargo, otras ecuaciones sí que podían ser resueltas por ese método. Aquí es donde aparece la teoría de Galois que consigue, entre otras cosas, determinar exactamente qué ecuaciones pueden ser resueltas por radicales.

Dentro de la teoría de ecuaciones, he investigado bajo qué condiciones las ecuaciones son resolubles por radicales: esto me ha da dado la ocasión de profundizar esta teoría y de describir todas las transformaciones sobre una ecuación, aún si no es soluble por radicales. 

Carta de E. Galois a su amigo Chevalier

Se refiere a otros radicales, no a los jóvenes que como él se revelaban contra la autoridad ante la injusticia…

Pero  la teoría de Galois también puede ser utilizada para determinar qué construcciones pueden ser llevadas a cabo con regla y compás: un problema de geometría que se remonta a la Grecia clásica. Por ejemplo, con la teoría de Galois se puede probar que el problema de la trisección del ángulo (dividir un ángulo cualquiera en tres ángulos iguales) no puede resolverse usando sólo regla y compás.

De mis tiempos de estudiante en la facultad de Matemáticas recuerdo el comentario jocoso, y con mucha mala leche, de “menos mal que lo mataron, si no, no aprobaríamos nunca la teoría de grupos” Evidentemente, entonces y ahora, lamento la muerte de este  ilustre matemático que con 20 años ya fue capaz de elaborar toda una teoría con tanta trascendencia en las Matemáticas, la Física, la Informática… Pero también en estos días, no puedo evitar añorar el espíritu revolucionario y la valentía  de aquel estudiante que participó activamente en la revolución de su pueblo contra un gobierno de unos pocos que les oprimía y que cuando estaba a punto de morir, tras el citado duelo, dijo a su hermano Alfred:

No llores, necesito de todo mi coraje para morir a los veinte años.

En fin… como también escribió Évariste la noche antes de morir:

Después de esto habrá, espero, gentes que encontrarán provechoso descifrar todo este lío.

Él hablaba de ecuaciones…