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Entradas etiquetadas como ‘ecuación de primer grado’

Con Gauss en el super

–Vamos, Ven –dijo Sal –. Estoy deseando llegar para prepararnos la merienda.

–Voy todo lo rápido que puedo, Sal –respondió el pequeño –, pero es que estas manzanas pesan mucho.

–No te quejes, enano –dijo el gafotas –, que yo llevo todo el queso…

–Claro, como te has comprado todo el queso del super… –protestó el pequeño — Oye, Sal, ¿te puedo hacer una pregunta?

–Dime.

–¿¿Cuánto te has gastado en queso?? –le espetó Ven un poco ofuscado.

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–No tanto… –respondió este –¿Por qué?

–Porque mamá te avisó de que no te pasaras comprando queso, ¿sabes?

–Bueno –se defendió el mayor –, mamá nos dio 20 € y nos han sobrado 4. No lo hemos gastado todo y hemos comprado también manzanas y pan.

–Ya, pero las manzanas y el pan eran más baratas –insistía Ven en su reprimenda.

–No te creas –siguió el gafotas –, en manzanas hemos gastado el doble que en pan.

–¿Y en queso? –continuó el pequeño en su indagación.

–En queso sólo el triple que en pan –dijo Sal y añadió bajando la voz —más lo que hemos gastado en manzanas.

–¿Y eso cuánto es? –preguntó Ven cada vez más impaciente.

–Huy, eso se puede calcular muy bien resolviendo un sistema de ecuaciones –intervino Mati que había estado pendiente de la conversación mientras los acompañaba de vuelta a casa.

–Ea, pues ya sabes, Ven –concluyó el gafotas –, solo tienes que resolver el sistema de ecuaciones que dice Mati.

–¿Qué ecuaciones, Mati? ..preguntó el pequeño –¿Cuál es la incógnita?

–Las, las incógnitas –dijo esta –. Son tres en este caso: lo que habéis gastado en manzanas, lo que habéis gastado en pan y lo que habéis gastado en queso.

–¿¿3 incógnitas?? –el gafotas se interesó de pronto en la conversación –Solo sabemos resolver sistemas de 2 ecuaciones con 2 incógnitas.

–Sí –confirmó Mati –, pero el mismo método de Gauss que os enseñé para sistemas de 2 ecuaciones con 2 incógnitas se puede usar para sistemas de 3 ecuaciones con 3 incógnitas.

–¿Seguro? –preguntó Sal desconfiado –¿Cómo?

–Os lo explico con vuestra compra –les dijo Mati –. Vamos a definir las incógnitas del problema.

 

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–Esto tiene pinta de ser muy difícil… –dijo Ven por lo bajini.

–Para nada, Ven –dijo ella –, ya verás. Ahora vamos a ir escribiendo las ecuaciones con los datos que me habéis dicho ¿Cuánto habéis gastado en total?

–¡16 €! –se apresuró a contestar el pequeño.

–Ajá, eso significa que la suma de las 3 incógnitas es igual a 16.

 

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–En manzanas hemos gastado el doble que en pan –añadió el gafotas.

–Muy bien –dijo la pelirroja –, vamos a expresar ese dato como otra ecuación:

 

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–Sí, pero en queso hemos gastado el triple que en pan más lo que hemos gastado en manzanas –dijo Ven con vehemencia.

–Ese dato –dijo Mati –lo expresaremos de la siguiente forma:

 

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–¿3 ecuaciones? –preguntó Ven con cara de espanto.

–Sí –le respondió Mati –. Si queremos tener un solución única, necesitamos, al menos,  tantas ecuaciones como incógnitas, como nos pasaba el otro día. Ya tenemos nuestro sistema de ecuaciones:

 

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–¿Y ahora? –preguntó impaciente el gafotas.

–Ahora –les dijo –ordenamos la escena del crimen, poniendo todas las incógnitas en el término de la izquierda:

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–¿Ahora tenemos que escribir la cajita de coeficientes, Mati?  –preguntó Sal.

–Efectivamente –confirmo esta –.Vamos a escribir la matriz de coeficientes:

 

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–Ahora –continuó Mati –la escribimos como nos gusta a los matemáticos…

 

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–¿Qué hacemos ahora, Mati? –preguntó el pequeño.

–Lo que tenemos que conseguir operando con las filas –dijo ella –es transformar en 0 los números que os marco con círculos  en la matriz:

 

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–Empezamos con el número del círculo rojo –propuso Mati –. Como es un 1 igual que el mismo número en su posición en la Fila 1, sólo tenemos que calcular Fila 2 menos la Fila 1, y sustituir la Fila 2 por la nueva fila obtenida:

 

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–Con esto, la matriz de coeficientes se transforma en la siguiente: -dijo la pelirroja.

 

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–Le toca el turno –anunció ella –al número en el círculo verde. Como es -1 y en la Fila 1 en esa columna tenemos un 1, bastará con sumar la Fila 3 con la Fila 1, y sustituir la Fila 3 por la nueva fila obtenida.

 

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–Sustituimos en la matriz de coeficientes –continuó Mati –la Fila 3 por la nueva fila obtenida

 

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–¡Eh, el número del círculo amarillo ha cambiado! –exclamó Ven.

–Efectivamente –dijo Mati –si hubiese cambiado a 0 ya habríamos acabado. Pero no, aún no es 0. Tenemos que seguir currando. Pero antes que nada, fijaos que todos los coeficientes de la Fila 3 son pares, todos son divisibles por 2.

–Ajá –dijeron los dos hermanos al unísono.

Cuando toda una fila es divisible por un número -dijo Mati —podemos dividir la fila por ese número en cuestión y así trabajaremos con números más pequeños.

–¡Mola! -dijo Ven, Sal lo miró muy serio.

–Si dividimos la Fila 3 por 2, nos quedará:

 

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–Otra vez ha cambiado el número del círculo amarillo, Mati –advirtió el pequeño.

–Sí, pero sigue sin ser 0 –respondió Mati –. Para conseguir que el -1 en el círculo amarillo sea 0, ahora usamos la Fila 2, porque si usamos la Fila 1 podríamos perder el 0 del círculo verde que acabamos de conseguir.

–Ajá –repitió Ven, Sal esta vez no lo miró.

–Tenemos que multiplicar el número de la Fila 2 correspondiente a la columna de nuestro círculo amarillo, el -3 en nuestro ejemplo, por un número para que el resultado sea 1 y al sumarlo a la Fila 3, nuestro -1 se convierta en un 0.

–Eso es imposible –dijo Ven.

–¿Por qué? –preguntó ella.

–Ningún número multiplicado por -3 da como resultado 1 –dijo el pequeño.

–Eso no es verdad –intervino el gafotas –Si multiplicas -1/3 por -3, el resultado es 1.

–Ajá –dijo de nuevo Ven rascándose la barbilla. Gauss resopló,

–Muy bien, chicos –continuó Mati –. Multiplicaremos la Fila 2 por -1/3 y lo sumaremos a la Fila 3, el resultado será la nueva Fila 3 de la matriz de coeficientes.

 

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–Ahora tenemos la matriz:

 

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–Mati –dijo Sal —¿podemos multiplicar la última fila por 3 para quitar los denominadores?

–Podemos –confirmó ella.

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–Pero ahora –dijo Ven excitado —¡se puede dividir la Fila 3 por 4!

–Ajá –dijo Mati cómica –, podemos.

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–Ya no podemos hacer nada más –se lamentó Ven.

–Bueno –dijo Mati –, vamos a escribir el sistema de ecuaciones asociado a esta matriz y ya veréis que fácil es resolverlo:

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–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! –gritó el pequeñajo –Ya sabemos que z vale 10 –Ven hizo un pausa –¿¿Te has gastado 10 € en queso??

–No es tanto, Ven –se defendió el gafotas –, es un queso francés y estaba en oferta.

–¿Cuánto hemos gastado en pan, chicos? –preguntó Mati tratando de desviar la conversación –Podéis calcularlo muy fácilmente con la segunda ecuación, sustituyendo z por 10.

Los niños se pusieron a calcular lo que Mati había propuesto.

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–Hemos gastado 2 € en pan, Mati –anunció Ven.

–Y como en total hemos gastado 16 € –añadió su hermano –, hemos gastado 4 € en manzanas.

–¡Muy bien, chicos! –exclamó Mati con alegría –. Ya os dije que el método de Gauss también servía para 3 ecuaciones, y para 4, para 5…

–¡¡Gaussito es el mejor!! –gritó Ven tomando a su mascota en brazos.

–Lo es –apostilló el gafotas –, pero vamos ya a casa que quiero mi bocata de queso.

Un problema muy particular

La luna rielaba en el lago en una cálida madrugada a la orilla del Como, en esa norteña Italia tan alejada de algunos tópicos,  comenzaban a oírse los cantos de las primeras cigarras, mientras tanto, una joven pareja se abrazaba ajena a todo y a todos, consumando su amor, sus anhelos…

Creo que me acabo de despistar por completo, si no recuerdo mal esto era un blog de matemáticas, así que tengo que cambiar el tercio completamente: bueno pues aquí va un clásico problema de ecuaciones, puede que alguno de vosotros lo conozca, pero me parece muy representativo del razonar matemático, de intentar extraer el máximo de conclusiones a partir de los datos disponibles. Aquí va:

“En cierto momento, una madre es 21 años mayor que el niño y dentro de 6 años, ella será 5 veces mayor que él. La pregunta es: ¿Dónde está el padre?”

Naturalmente la respuesta a la anterior pregunta dependerá de quién lea el problema y oscilará entre “cualquiera sabe: estará en el bar con los amigotes mientras la mujer se ocupa de todo” al más razonable de “ni idea”.

Lo curioso es lo que hace un matemático si recibe dicho problema; dirá: “veamos qué conclusiones podemos extraer a partir de los datos disponibles, llamemos X a la edad de la madre e Y a la del niño. Evidentemente por la  primera afirmación sabemos que X=Y+21 y de la segunda extraemos que X+6=5(Y+6). Si sustituimos la X obtenida en la primera igualdad en la segunda ecuación obtenemos: Y+21+6=5(Y+6) o lo que es igual: 21+6-30=5Y-Y, resolviendo nos queda Y=-3/4”.

Llegados a este punto la primera tentación es decir que los datos estaban equivocados que la edad del hijo no puede ser negativa, que no puede tener -3/4 años, pero si lo pensamos un poco igual descubrimos alguna pista de dónde estaba el padre de la criatura en ese preciso instante.

La solución (muy fácil a esta altura: que nadie se dé demasiado mérito) en los comentarios.

Por cierto, se me olvidaba: ¡FELICES FIESTAS A TODOS! ¡¡¡¡Muuuuuuuuuuuuak!!!!

Fractal de Sierpinsky

PS: evidentemente este no es un problema original nuestro, sino que constituye todo un clásico, así que no hemos podido averiguar su autor, si alguien conoce algo cierto al respecto, sus comentarios también serán bien recibidos.

Seguimos pendientes de las rectas…

Anteriormente en Mati, una profesora muy particular…

 

–¡Toma, toma, toma! ¡CÓMO MOLA! –a Ven se le salían los ojos de las órbitas.

–¡Me encanta, Mati! –Sal estaba también entusiasmado.

–Pues aún hay más…–respondió ella con tono de misterio –pero ésas la dejaremos pendientes… Ahora vamos a dar un paseo por la playa

En el capítulo de hoy…

–Mira, Sal, el tobogán, ¿nos tiramos? –preguntó Ven animado –Parece muy emocionante, mira cuánta pendiente tiene…

–No, no tiene tanta pendiente, Ven, es casi como el del parque de nuestra casa. No seas exagerado…

–Que no, Sal, que este tiene más pendiente –insistió el pequeño.

–¿Cómo lo puedes saber? –preguntó su hermano mirando por encima de sus gafotas.

–Espera, que me tiro y te lo digo –dijo Ven y salió corriendo al tobogán.

Mati, Sal y Gauss se quedaron esperando la opinión del experto que volvió en pocos minutos sonriente.

–Me he quemado el culete, estaba muy caliente –dijo éste –Pero tiene la misma pendiente, he sentido las mismas cosquillitas en la barriga.

–Bueno, bueno –intervino la pelirroja sonriendo –Es una escala de medida bastante original, pero si queréis os cuento cómo se puede medir exactamente una pendiente.

–¡Sí, Mati! –dijeron los dos hermanos a la vez, Gauss se tumbó panza arriba para tomar el sol.

–La pendiente del tobogán, es la pendiente de la recta que lo representa –comenzó a hablar Mati.

–¡Toma, rectas! ¡Mola! –interrumpió Ven.

–Sí, para eso también sirve conocer las rectas –dijo Mati y continuó guiñando un ojo–Ya veis que son muy interesantes… Pues bien, vamos a usar para explicarlo una recta y lo hacemos con un dibujo, ¿vale?

Mati sacó su cuaderno y dibujó una recta que pasaba por los puntos A y B  de coordenadas (1,1) y (4,3), respectivamente.

–Ésta es la recta de antes, ¿verdad, Mati? –preguntó Sal.

–¡Ajá! Voy a usar la misma porque vamos a ver nuevas ecuaciones de la recta –dijo Mati –Cuando queremos calcular la pendiente de una recta, lo que estamos tratando de medir es el ángulo que forma con el suelo, como cuando medimos la pendiente del tobogán. Nuestro suelo es el eje de las x, donde medimos la primera coordenada.

–Pero fijaos que este ángulo, esta elevación es la misma que si el suelo estuviese a la altura del punto A –continuó la gafotas.

–¡Toma, toma, toma! ¡Claro! –gritó Ven sobresaltando a Gauss en su baño solar.

–¿Cómo medimos el ángulo, Mati? –preguntó Sal.

–En realidad, cuando hablamos de la pendiente de una recta no medimos el ángulo como tal, sino una cantidad propia del ángulo, que es la tangente de dicho ángulo –respondió ella.

–¿Qué es la tangente? –quiso saber Sal.

–Bueno, es una característica que nos permite identificar a un ángulo sin saber cuánto mide –comenzó a decir Mati –pero nos ayuda a determinar su inclinación. Para ello, vamos a medir la distancia en vertical entre los dos puntos A y B, y la distancia en horizontal entre los 2. Fijaos, tenemos un triángulo rectángulo, como en el Teorema de Pitágoras, ¿os acordáis? –les preguntó la pelirroja.

–¡¡Sí, sí!! ¡¡Con los catetos!!

–Eso es, Ven. Pues la tangente del ángulo que queremos se calcula dividiendo entre sí la longitud de los catetos –continuó Mati –Dividimos el cateto que no toca al ángulo por el cateto que si la toca.

–Que en nuestro caso particular sería…

–Pero, Mati –dijo Sal pensativo –Los catetos miden lo mismo que las coordenadas del vector AB, ¿no?

–Efectivamente, cielo –Mati se sorprendió alegremente –Si conocemos el vector de la recta, la pendiente de ésta se calcula dividiendo la segunda coordenada del vector por la primera coordenada del mismo. Nos ha salido positiva porque el ángulo que forma es menor que 90º, agudo. Eso significa que la recta va subiendo cuando nos movemos hacia la derecha. –siguió Mati –Pero cuando el ángulo es obtuso, mayor de 90º, la pendiente será negativa y la recta irá bajando cuando nos movemos la derecha también.

–¡Toma, toma, toma! ¡La del tobogán es negativa porque cuando vamos hacia adelante, el tobogán va bajando!–como siempre Ven estaba estusiasmado.

–¡Exacto! Pues aún hay más –siguió nuestra amiga matemática –Conociendo un punto de la recta, por ejemplo A y la pendiente, m, podemos calcular otra ecuación de la recta: la ecuación punto-pendiente.

–¡Hala, qué suertudas las rectas! –dijo Ven –Tiene un montón de ecuaciones…

–Pues no se vayan todavía, aún hay más –dijo cómicamente Mati –Vamos a dejar sola a la y en el miembro de la derecha…

–¡Otra! –dijo Sal con sorpresa.

–A esta nueva ecuación de la recta, en la que se expresa el valor de la coordenada y de un punto en función de x, se le llama ecuación explícita de la recta.

–Ésa ya la vimos, ¿no, Mati? –preguntó Ven.

–No, no. La que vimos fue la ecuación implícita. Pero ya veréis, hacemos lo mismo con la ecuación implícta de la recta, es decir, dejamos a la y sola en el primer miembro… –Mati continuó con voz de misterio.

–¡Toma! ¡Sale lo mismo! –se asombró el pequeño.

–Claro, pero aún hay más… –continuó Mati –¿Qué número multiplica a la x?

–¡2/3! -dijo Sal –¡La pendiente!

–¡Eso es! –corroboró ella — Por lo tanto, podíamos conocer la pendiente simplemente despejando la y en la ecuación implícita y saber si la recta se inclina hacia arriba o hacia abajo. Si tenemos la ecuación explícita de una recta, la pendiente de la misma es el número que multiplica a la x, es decir, el coeficiente de x en la ecuación explícita.

–Pues a nuestra mascota… –dijo Ven mirando a Gauss todo despatarrado en la arena –No le va lo de las pendientes, prefiere estar tumbado…

¿Estás de broma?¡La bola no entró!

–¡Punto mío!

–¿Qué dices, Ven? ¡Ha dado en la línea! ¡Eso es dentro!

–¿¿Dentro?? De eso nada, Sal, ha dado fuera de la línea.

–Ha dado sobre la línea –dijo Sal muy seguro, tranquilo y convencido.

Gauss miraba fijamente la línea tratando de posicionarse en aquella discusión. Pero no lo tenía tampoco muy claro. Al fin y al cabo, adoraba a sus dos dueños y no le gustaba tomar partido. Mati se dejaba querer por el sol y la brisa marina pensando en teoremas y conjeturas.

–Que sí, que ha dado sobre la línea, ¿lo ves? –dijo Sal sin perder los nervios.

–No, Sal, ¡ésa es una marca antigua! –Ven estaba cada vez más rojo y nervioso. Se le empezaba a rizar el pelo, no se sabe muy bien por qué.

–Huy, qué acalorados estáis, chicos –Mati salió de su ensoñación matemática–¿Qué os pasa?

–Nada, Mati –dijo Sal –Sólo que Ven está tratando de hacer trampas…

–Nada de eso, Mati –interrumpió el pequeño muy excitado –Ha dado fuera de la línea,  ¡punto mío!

–Que no, Ven, pesado, que ha dado sobre la línea –insistió el gafotas.

–¿¿Estás de broma?? ¡La bola no entró! –Ven estaba cada vez más enfadado, casi tira la raqueta al suelo, pero no lo hizo  porque era un regalo de sus abuelos y no quería romperla.

–Entiendo… –añadió la pelirroja tratando de buscar una salida a aquella situación –Todo depende de decidir si el punto donde la bola tocó el suelo estaba sobre una línea o no…

Mati se quedó cómicamente pensando, los niños la miraban esperando, cada uno por su lado, que le diera la razón. Gauss miraba al mar…

–En Matemáticas es mucho más fácil saberlo, ¿sabéis? –comenzó a decir Mati –Se trata simplemente de usar una ecuación.

–¡Toma! Nosotros ya sabemos ecuaciones, Mati –dijo el pequeño con alegría –Nos enseñaste el otro día.

–Es cierto, Ven –respondió Mati –pero las ecuaciones de las que os hablo, son un poco diferentes, aunque también muy sencillas.

–¿Por qué son diferentes, Mati? –preguntó inmediatamente Sal.

–Porque, por ejemplo, en estas ecuaciones, no hay una sola letra misteriosa, o incógnita, la x –dijo Mati –sino que aparece con una de sus mejores amigas, la y, que también va de incógnita.

–Hum, interesante… –añadió Ven –Así que tenemos dos sospechosas…

–Sí y no –contestó ella.

–¿Sí y no? –Sal estaba cada vez más intrigado y entregado.

–Veréis en realidad de lo que se trata es de saber si un punto está o no sobre la línea o recta, que a los matemáticos  nos gusta llamar rectas a las líneas rectas, porque hay otras líneas que son curvas –Mati hizo una pequeña pausa y continuó –Para ello lo que solemos hacer es dar una ecuación de la recta, que es, podríamos decir, como una contraseña que deben cumplir los puntos para estar sobre ella.

–¿No hay sospechosos entonces, Mati?

–No exactamente, Ven –continuó la gafotas –No se trata de desenmascarar a x y la y para conocer su valor como hicimos con las ecuaciones del otro día, sino comprobar si el punto que elijamos cumple la ecuación (la contraseña) para estar en esa recta.

Los niños seguían mirando a Mati con los ojos brillantes con las raquetas en ristre, esperando que ella continuara contándoles aquella historia de contraseñas para pertenecer al club de la recta.  Gauss se echó a dormir aprovechando que no tenía que ir a buscar las bolas cuando éstas salían despedidas.

–Os lo explico con un ejemplo –propuso Mati mientras sacaba su libreta del bolso de la playa –A ver si así os resulta más fácil

–¡Sí, por favor! –dijo

–Lo primero que necesitamos es un sistema de coordenadas, por ejemplo, cartesianas.

–¿Por qué pones números negativos, Mati? –preguntó Ven.

–Son números enteros, ¿recuerdas? –dijo ella –Para indicar que estamos a la izquierda o por debajo del origen. Los positivos nos indican que estamos a la derecha o arriba del mismo. Y con este sistema de referencia, sabemos las coordenadas de los puntos como cuando jugábamos a los barquitos.

–¡Mola! Como estamos en la playa… –Ven se iba olvidando poco a poco de la polémica bola…

–Voy a dibujar una recta –continuó Mati.

–Para poder conseguir la ecuación de esta recta, es decir, la contraseña para que un punto esté sobre ella, necesito obtener algunos datos de la misma. Para ello vamos a usar, por ejemplo,  a dos miembros de ella, dos puntos que pertenecen a este club. Necesitamos las coordenadas de 2 puntos sobre ella…

–Éste y éste –dijo Sal a la vez que señalaba 2 puntos sobre el cuaderno de Mati.

–El (1,1), le llamaremos A…y el (4,3), le llamaremos B –añadió Mati.

–Muy bien. Ahora –dijo la pelirroja –Voy a darle un nombre y un apellido, unas coordenadas, a la flechita que va desde A hasta B.  A esa flecha le llamaré vector AB.

–¿Cómo se saben las coordenadas de una flecha, Mati? –preguntó Sal intrigado.

–Las coordenadas de una flecha o vector serán las siguientes: la primera coordenada nos indica cuánto nos movemos hacia la derecha, si es positiva, o hacia la izquierda, si es negativa; la segunda coordenada nos dirá cuántos pasos damos hacia arriba, si es positiva, o hacia abajo, si es negativa.

Los niños se pusieron a contar los pasos que indicaban el vector AB de su dibujo.

–Tres pasos a la derecha… –mascullaba Ven –y dos hacia arriba…¡(3,2), Mati!

–También se pueden calcular las coordenadas del vector AB restando a las coordenadas de B las coordenadas de A –les contó Mati.

–¿Cómo se restan coordenadas, Mati? –quiso saber Sal.

–Ah, claro. La primera con la primera y la segunda con la segunda –respondió ésta.

–Muy, muy bien, chicos –la pelirroja estaba orgullosa de sus amiguitos — Y claro,  las coordenadas del punto B es igual a la suma de las coordenadas de A y del vector AB.

–¡Toma, toma, toma! ¡Es verdad! –el pequeño ya estaba alucinando.

–¿Qué pasa si sumamos al punto A dos veces el vector AB? –preguntó ella.

Los niños se quedaron pensando y mirando al dibujo, hasta que, finalmente, Sal dijo:

–Que andaríamos 6 pasos a la derecha y 4 hacia arriba y llegaríamos… a este punto –señaló el gafotas sobre el dibujo –Al de coordenadas (7, 5).

–¿No es el mismo resultado que si hacemos esta cuenta? –cuestionó Mati a los niños.

–¿Cómo se multiplica 2 por (3,2)? –preguntó el gafotas — ¿A la primera coordenada? ¿O a la segunda?

–A las dos –respondió la gafotas.

–¡TOMAAAAAAAAAAAAA! –gritó Ven entusiasmado –Sale (7,5)

–Claro –continuó Mati sonriendo –Todos los puntos de esa recta se pueden conseguir sumando a A el vector AB un número de veces o restándolo.

–¿Cómo que restándolo?

–A ver, ¿hacéis este cálculo? –les pidió

Los niños se pusieron manos a la obra.

–¿Cómo se hace 1-6, Mati? –preguntó el pequeño.

–Andando 6 pasos a la izquierda en la regleta, ¿no te acuerdas? Y 1-4 se calcula dando 4 pasos a la izquierda del 1 también en la regleta.

–Huy, es verdad… –se disculpó Ven –A ver qué nos sale… (-5, -3)… ¡Toma! ¡Es verdad! ¡También está sobre la recta! –el pequeño Ven disfrutaba cada descubrimiento.

–Bueno, pues ya sabemos que para que un punto esté sobre la recta, debe cumplir esa contraseña o condición: que debe ser igual que el punto A más el vector AB multiplicado por un número. O sea que la ecuación que debe cumplir un punto (x,y) para pertenecer a esta recta es la siguiente

–Y eso, ¿cómo se usa, Mati? –preguntó sal muy serio.

–Vamos a ver, decidme un punto sospechoso de pertenecer a la recta…

Los niños miraron el dibujo.

–El (7,5) –propuso Ven McEnroe.

–Muy bien –dijo Mati –tomamos x como 7 e y como 5 y susitituimos en la ecuación. (7,5) pertenecerá a la recta si k nos da el mismo valor en las dos ecuaciones.

–Efectivamente, (7,5) cumple la ecuación, para el valor de k igual a 2. Es un miembro de la recta –concluyó Mati.

–¡Toma, toma, toma! –el pequeño saltaba de alegría.

–Ahora el (10, 9) –propuso Sal animado.

–Vamos a ver si (10, 9) se sabe la contraseña…

–¡Ja! ¡Te pillamos (10,9)! Tú no eres del club de la recta… –Ven estaba disfrutando con aquello.

–Es alucinante, Mati…–Sal miraba al cuaderno y se ajustaba las gafas.

–Las Matemáticas siempre lo son –respondió ella con un guiño –Pero hay otras formas de detectar a los miembros de una recta. Os las enseñaré. Vamos a dejar sola a k en las dos ecuaciones como ya sabemos, deshaciendo en orden inverso todas las operaciones que la ocultan…

–Cuando igualamos las dos ecuaciones porque las dos valen lo mismo, k,  tenemos una nueva ecuación de la recta, que se llama ecuación continua.

–Así, cada vez que tengamos dos puntos de una recta podemos calcular suu ecuación continua sin más que hacer esto

–¡Qué chulo! –exclamó Sal — ¿¡Cómo la usamos para saber si, por ejemplo, el (1,0) pertenece al club?

–Muy fácil –dijo Mati –Cambiamos x por 1 e y por 0 y vemos qué pasa.

–Ajá, no eres de nuestro club, forastero… –dijo Ven cuando descubrieron que el (1,0) no pertenecía a la recta.

–¿Os gusta, chicos? –continuó la pelirroja –Pues aún podemos escribir la ecuación de la recta de otra forma.

–¡Venga! –la animó Sal.

–Usando nuestras técnicas de desenmascaramiento vamos a tratar de llevar todo al primer miembro de la ecuación, ya veréis…

–Ya tenemos otra ecuación de la recta –dijo Mati –La ecuación implícita.

–Prueba con el (4,2), Mati –pidió Ven ansioso.

–¡¡Yo! ¡Yo lo hago! –intervino Sal –Cambio x por 4…cambio y por 2

 

–¡Otro! Hemos pillado a otro que no está  –Ven lo pasaba en grande.

–Pues además de decirnos si un punto pertenece o no a una recta, con esta ecuaciones podemos calcular todos los puntos sobre ella que queramos –dijo Mati.

–¿¿Cómo?? –preguntaron los dos niños a la vez.

–Elegid un valor para la x –les propuso.

–¡10! –gritó Ven.

–Estupendo –contestó la pelirroja –ponemos 10 en lugar de x y vamos a ver cuánto vale y

–¡Toma, toma, toma! ¡CÓMO MOLA! –a Ven se le salían los ojos de las órbitas.

–¡Me encanta, Mati! –Sal estaba también entusiasmado.

–Pues aún hay más…–respondió ella con tono de misterio –pero ésas la dejaremos pendientes... Ahora vamos a dar un paseo por la playa.

–¡Vale! –dijo Ven –Pero que sepáis que la bola no entró…

 

Esa letra tan sospechosa…la x

–Me parece que…va a ser la señorita Amapola…

–Ven, no digas tus sospechas en voz alta…

–¿Voy bien, Sal?

–No se puede hablar, Ven, concéntrate en el juego.

–Es que ya sé quién y con qué, creo, vamos, porque el candelabro…

–Te recuerdo que tienes que resolver las 3 incógnitas.

–Ya, ya lo sé, ¡me encantan las incógnitas!

–¡Y a mí! –Mati acababa de llegar.

–¡Hola, Mati! –saludaron los dos niños con alegría.

–¡Hola guapos! Cuando os escuché pensé que estabais resolviendo ecuaciones –dijo la pelirroja guiñando un ojo.

 

 

–No, no, estamos jugando al Cluedo –respondió Ven –Yo soy el profesor Mola –concluyó con una sonrisa de pícaro.

–El profesor Mora, Ven –le corrigió su hermano.

–No, el profesor Mola, que mola más –el pequeño cerró los ojillos y sonrió apretando los dientes mostrando la última baja de su dentadura.

–¿Qué son ecuaciones, Mati? –preguntó Sal que no había dejado de pensar en aquella palabra que ella había dicho.

–Una ecuación es, más o menos, como un Cluedo matemático… –comenzó diciendo la gafotas.

–¿Con sospechosos? –preguntó Ven con los ojos como platos.

–Bueno, las más sencillitas, con sospechosa, la x –dijo Mati.

–¿La x? ¿La letra x? ¿O hay un número especial como π que se llama x? –la cabecita de Sal comenzaba a dar vueltas.

–¿Queréis que os enseñe a resolver unas ecuaciones de las más sencillas? Es casi como jugar a los detectives –propueso ella.

–¡Sí! –respondieron los niños provocando un sobresalto al pobre Gauss que estaba mirando el tablero del juego con cara de detective sagaz.

–Os voy a proponer un caso que tendréis que resolver como buenos detectives. Tendréis que desenmascarar a la x para ver quién se esconde bajo esa máscara –añadió Mati hablando lentamente con voz misteriosa.

–Tranquila, pequeña, estás frente a los 2 mejores detectives del mundo… –respondió  Ven haciéndose el interesante.

–Comencemos, señora, ¿qué sabe del caso? –continuó Sal en su papel de sabueso.

–Pues sé que la sospechosa fue vista primero multiplicada por un 4 –comenzó Mati con voz de miedo e indefensión –Más tarde se le sumó un 3

–Hum, qué mal huele este asunto… –interrumpió Ven.

–Un testigo me dijo que todos juntos eran iguales que un 39 –terminó de decir ella.

–¿Algo más, señora? –preguntó Sal mirando por encima de sus gafotas.

–No, señor detective, es todo lo que sé ¿Podrán resolver el caso?

–Ni idea… –respondió Ven desmoralizado.

–Podemos ir probando… –empezó Sal –Esa x,  ¿es un número natural o puede ser negativo? ¿Podría ir con decimales?

–¿Cuáles eran los naturales? –preguntó Ven –Los que sirven para contar, ¿no?

–Eso es, Ven –respondió Mati –Veo que recuerdas el cuento con las ovejitas y los conjuntos numéricos –continuó sonriendo — Sí, Sal puede ser negativo y puede tener decimales. Por lo tanto, probando, puede que no acabaras nunca… Se puede hacer más rápido, ¿queréis que os enseñe?

–¡Sí! –la respuesta de los niños estaba clara.

–Pues bien, vamos escribir en nuestra libreta todos los datos que tenemos. Sabemos que iba multiplicada por 4, que se le sumó un 3 y que todos así eran un 39. Escribamos todo esto. Como tenemos que escribir la letra x, para no confundirnos con el signo de multiplicar, éste, el signo de multiplicar lo escribimos como un puntito.

 

–Esto que hemos escrito es una ecuación. Una ecuación lineal con una incógnita. La llamamos lineal porque las incógnitas, en este caso, sólo una, la x, aparece sin estar elevada a ninguna potencia. Porque en otras ecuaciones, las incógnitas pueden aparecer aún más enmascaradas elevadas a otras potencias:2, 3… –les explicó Mati –Para desenmascarar a la x, que es nuestra incógnita, vamos a deshacer todo lo que ella hizo, en orden inverso,  hasta conseguir llegar hasta 39. Para ello, como lo último que hizo fue sumarse un 3, vamos a deshacerlo restando, que es la operación inversa de la suma. Pero, ¡ojo!, tenemos que restar lo mismo en los 2 lados del signo igual. Vamos a llamar primer miembro a lo que aparece a la izquierda del signo igual y segundo miembro al  que aparece a la derecha. Como los dos miembros son iguales, vamos a ir haciendo las mismas operaciones en los 2 hasta que consigamos dejar sola a la x y así poder descubrir quién es, ¿vale? si no hacemos lo mismo en los dos miembros estaremos destruyendo pistas de la escena.

 

–¡Vale! ¡Qué emoción! –Ven estaba excitado, Sal miraba sin pestañear, Gauss seguía mirando el tablero del Cluedo. Es un perro un poco raro…

–Si restamos 3 en ambos miembros, llegamos a la conclusión de que 4 multiplicado por x es igual que 36 –siguió la pelirroja.

–Se te olvidó poner el punto entre 4 y x –dijo Ven,

–Sí, pero en realidad, en Matemáticas solemos hacerlo. Si no escribes ningún signo se entiende que estás multiplicando, y en realidad, expresa mejor lo que queremos decir. Es decir, decimos 4x y pensamos en eso, en que tenemos 4 veces a la x.

–Me gusta –dijo Sal –¿Y ahora?

–Ahora, como la x se ha escondido multiplicándose por 4, la sacamos de su escondite con la operación inversa a la multiplicación –siguió Mati –¿Qué es lo inverso de multiplicar?

–¡Dividir! –dijeron los hermanos al unísono.

–Efectivamente, chicos. Dividimos los dos miembros por 4 para desenmascarar a la sospechosa…

–¿Por qué tachas los 4s, Mati? –preguntó el gafotas.

–Porque multiplicar y dividir un número, en este caso la x, por el mismo número, es como multiplicar por 1, o sea, no hacer nada.

–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! –gritó Ven excitado –Sabía que había sido el 9… A mí no se me engaña tan fácilmente…

–No mientas, Ven… –respondió su hermano –Me gusta mucho, Mati ¿nos propones otro caso?

–¡Claro! Nuestra siguiente sospechosa fue un día vista multiplicada por 7 y a ese producto le restaron 4. Al día siguiente, vieron que primero se multiplicó por 4 y después se sumó 5. Ahora viene lo interesante, los dos días llegó  al mismo resultado –les contó Mati con voz muy misteriosa.

–Y, dígame, señora, ¿cuál era ese resultado? –preguntó Sal Holmes.

–Nadie lo recuerda –dijo Mati bajando la voz hasta el susurro.

–Entonces no podremos ayudarla, señora –añadió Ven Watson.

–¿Están seguro de ello mis sabuesos? –preguntó Mati.

–Absolutamente –confirmó el pequeño Watson.

–Si me permiten ayudarles… –Mati guiñó un ojo.

–Por favor… –dijo Sal haciendo una pequeña reverencia cómica.

–Vamos a escribir lo que sabemos en nuestra libreta de detectives.

 

–Pero, ahora, la x está en los 2 miembros de la ecuación –dijo Sal angustiado.

–Efectivamente, Sal. Tenemos 7x en el primer miembro y 4x en el segundo. Vamos a llevarlas todas al primero quitándolas del segundo. como el segundo tiene 4x, restamos 4x en los dos, siempre en los 2 para no destruir pistas.

 

 

7x menos 4x son 3x y ya tenemos una ecuación como la de antes –dijo sonriendo la pelirroja.

–Déjanos a nosotros, Mati, por favor –pidió Sal.

–Toda vuestra, chicos –respondió ella.

–Suma  4 en los dos miembros, Sal –dijo Ven a su hermano excitado –Para delatarla.

 

—¡Ahora divide por 3, para dejarla sola! –gritó Ven.

 

 

–¡Toma, toma, toma! –Ven estaba excitado. Sal no podía dejar de sonreír. Sí, Gauss seguía mirando el tablero del Cluedo. Él es así.

–Pero, bueno… Sois los mejores detectives del mundo –dijo Mati sonriendo orgullosa –¿Os atrevéis a resolver ésta?

Los dos niños se pusieron manos a la obra mientras Gauss…bueno, ya sabéis dónde seguís nuestra mascota.

–Huy, ¿ahora qué hacemos Sal? –preguntó el pequeño preocupado.

–Pues..yo creo que si la x se ha dividido por 4, para delatarla hay que hacer lo contrario de dividir… –pensaba Sal en voz alta — es decir, multiplicar por 4 ambos miembros.

Ven buscó la confirmación en la mirada de Mati que asintió con un guiño y una sonrisa.

 

–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo molan las ecuaciones! –Ven saltaba sobre sus pies.

–Mucho. Es como jugar al Cluedo –en la cara de Sal lucía una enorme sonrisa.

–Me alegro mucho de que os gusten –añadió Mati –Otro día os explicaré otras ecuaciones si os apetece.

–¡Claro que nos apetece! –respondió Sal.

–Venga, ¿jugamos una partida al Cluedo, chicos?

–Vale, pero vamos a fastidiar a Gauss que parece que está a punto de resolver el caso anterior…