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Entradas etiquetadas como ‘coordenadas polares’

Una función muy importante

–Descansa un poco, Sal. Ya te sale muy bien…

–No, no estoy seguro, Ven. Quiero hacerlo muy bien en la función del Día de Andalucía.

–¿Vais a tocar todos los de tu clase a la vez? –preguntó Ven.

–Claro –respondió el gafotas –¿Por qué?

–En ese caso te recomiendo que no soples demasiado… –le sugirió el pequeño.

–¿¿Por qué?? –preguntó Sal extrañado.

–No sé, no te sale muy bien –respondió el pequeño mirando a otro lado.

–Acabas de decir lo contrario, Ven –respondió Sal –. Mentiroso… Voy a seguir ensayando.

–No, de verdad –suplicó Ven –. Nos estás martirizando…

–Se trata de celebrar el día de nuestra comunidad autónoma, Ven –le espetó Sal con aire digno –. Me parece que no eres consciente de la importancia de esta función…

–Huy, todas las funciones son muy importantes –Mati acababa de llegar –, al menos, a los matemáticos nos apasionan.

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–Hola, Mati –la saludó el pequeño Ven muy contento — ¿Nos vamos al parque con Gauss?

La mascota comenzó a mover la cola con entusiasmo ante la propuesta de Ven.

–Hola, Mati –la saludó Sal serio — ¿Por qué te gustan tanto las funciones? ¿Las de música?

–Esas también –respondió la pelirroja –, pero me refería a las funciones matemáticas.

–¿Qué son funciones matemáticas? –preguntó el pequeño y añadió con cara de pillo –¿Cantáis sumas y multiplicaciones?

–No, no es eso –le contestó ella con un guiño –Una función matemática no es más que una regla o ley que te permite asignar a cada elemento de un primer conjunto un único elemento de otro conjunto.

–No entiendo… –aceptó Ven.

–Os lo explico con un ejemplo –propuso ella –. Una función podría ser asignar a cada  número el valor de su cuadrado. Al 1 le asignamos el 1, al 2 le asignamos el 4, al 3 le asignamos 9… y así sucesivamente.

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–¡Eh, un momento! –dijo Ven –Has asignado el mismo número al 1 y al -1. Eso no vale.

–Sí, Ven, sí vale –dijo Mati –. A dos elementos del primer conjunto se les puede asignar el mismo elemento del segundo conjunto. Piensa por ejemplo en una función que a cada palabra del castellano le asignara su primera letra. Habría muchas palabras que tendrían asignada la a, por ejemplo.

–Toma, claro –aceptó el pequeño.

–Pero en matemáticas estudiamos, principalmente, funciones entre conjuntos numéricos –continuó la pelirroja –. A las funciones se les suele llamar f, de función, y la función que hemos descrito que asigna a cada número su cuadrado se escribiría así:

 

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–Eso significa –continuó Mati –que f transforma lo que está entre paréntesis, x, en eso mismo, x, al cuadrado. Nuestro amigo Fis dice que le parece una f embarazada, con su x en la tripa.

–¡Toma! ¡Es verdad! –dijo Ven divertido.

–Pues sí, no lo había pensado nunca, pero sí –añadió Mati –. Yo siempre las veo como una especie de máquina, en las que entra un número y sale transformado.

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–¿Para qué sirven las funciones, Mati? –preguntó Sal.

–Huy, para muchísimas cosas –respondió Mati –. Por ejemplo, se pueden usar para estudiar fenómenos físicos, químicos, económicos…

–¿Nos dices otra función Mati? –pidió el pequeño.

–Pues sí, de hecho ya os he dicho algunas anteriormente –respondió ella –, aunque no la llamásemos así. Pero cuando estudiábamos las ecuaciones de las rectas, estábamos dibujando funciones.

–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! –gritó Ven.

–No entiendo, Mati –resopló el gafotas.

–Intentaré explicarlo –anunció ella –. Hay varias formas de representar una función. Una, ya la hemos visto, escribiendo f(x)=x2 . A x se le llama variable independiente de la función y, como veis, representar de esta forma una función consiste, simplemente, en escribir una expresión en la que aparece la variable, x, por ejemplo: f(x)= x2, f(x)= 3x3-1, f(x)=x/2…

–Ajá –dijo Ven muy serio, Sal miró a su hermano por encima de sus gafotas.

–Pues bien –continuó ella –, cada función de x se puede representar también como una curva en el plano. Para ello, vamos a dar algunos valores, los que queramos, a la variable x y pintamos en el plano cartesiano, los puntos de coordenadas (x, f(x)), como aprendimos cuando estudiamos las coordenadas cartesianas.

–A mí me gustan más las coordenadas polares… –interrumpió el pequeño, Sal le recriminó con la mirada y Mati siguió:

–Vamos a escribir, para ayudarnos, una tabla donde ponemos los valores que le vamos dando a x y el correspondiente valor que le asigna  f(x)= x2

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–Esto significa –prosiguió ella –que la gráfica de nuestra función, f(x)= x2, pasa por los puntos de coordenadas: (-2,4), (-1, 1), (0,0), (1,1) y (2,4). Pues bien, la gráfica de nuestra función  f(x)= x2 es la siguiente curva roja, llamada parábola.

 

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–¡Mola! –dijo Ven.

–Ahora, si tenemos la ecuación  de una recta, por ejemplo , en forma implícita –continuó la pelirroja –, 2x-3y+1=0, vamos a dejar solita a la y en  la izquierda de la expresión y pasamos el resto de términos a la derecha.

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–¿Veis? –preguntó Mati.

–¿¿Qué?? –dijeron los dos hermanos a la vez.

–Tenemos que y es igual a una expresión de x –respondió ella –. Cuando esto ocurre, decimos que y es una variable dependiente de x y tenemos, por lo tanto, una función de x:

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–¿Cómo sabes que eso es una función de x? –preguntó el gafotas.

–Porque es una máquina que transforma números en otros –respondió ella guiñando un ojo.

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–¡Moooooooooooooola! –volvió a exclamar el pequeño.

–Sí, mola –corroboró Mati –. La recta de ecuación 2x -3y +1=0 es la gráfica de la función f(x)=(2x+1)/3.

–¿Todas las rectas son gráficas de una función, Mati? –preguntó el gafotas.

–Todas, menos las rectas verticales  –dijo ella –. Basta que despejéis, en la ecuación de la recta, el valor de y y lo que os salga es la función de x que estáis representando.

–¡Toma! –exclamó Ven –¡Y lo podremos hacer también con las ecuaciones de las circunferencias!

–¡No! –dijo de pronto Mati –Las circunferencias no son la gráfica de una función, sino de 2 funciones…

–Sí, hombre… –dijo Ven desconfiado.

–Piensa un poco –le retó la pelirroja –, a ver si sabes por qué. Pero ahora vamos que es la hora de la función de Sal.

 

 

 

Piratas y polares

–¿Jugamos al fútbol, Sal?

–Está lloviendo, Ven.

–¿En nuestro cuarto?

–Sabes que no nos dejan…

–Pues qué rollo de lluvia… –el pequeño frunció el ceño e hinchó sus carrillos.

–¿Qué les pasa a mis chicos? –Mati acababa de entrar en el salón.

–Que no podemos jugar a nada porque está lloviendo -protestó el gafotas. Ven seguía enfadadísimo con los mofletes hinchados.

–¡Tengo una idea! –propuso alegremente la pelirroja –Jugaremos a los piratas y así, de paso, os enseñaré para qué sirven las coordenadas polares.

–¿Polares? –preguntó Ven extrañado –Los piratas están en el Caribe, no en el Polo, Mati.

–¿Piratas en el hielo, Mati? –el gafotas también estaba muy sorprendido.

–No, no -la pelirroja rió alegremente –Las coordenadas polares no tienen nada que ver con los Polos Terrestres ¡Nada de esquimales esta tarde!

El pobre Gauss ladró con tristeza, ahora que había elegido el disfraz apropiado…

–Entonces, ¿por qué les llamas polares? –preguntó Sal.

–Porque vamos a dar unas coordenadas, ya sabéis, un nombre y un apellido, a cada punto de nuestro mapa en función de un polo (un punto especial), y no de un origen y unos ejes como hacíamos cuando vimos las coordenadas cartesianas.

–¿Sin ejes? –preguntó el pequeño.

–Sólo con un eje -contestó la gafotas.

–¡¿Cómo?! -preguntaron los dos hermanos a la vez.

 –Veréis, os voy a dibujar un mapa del tesoro -propuso Mati y comenzó a dibujar en su cuaderno.

  

–Vosotros dos estáis junto a las palmeras y aquí –Mati señaló sobre el dibujo –tenéis el tesoro. Es así como lo pintaban los piratas, ¿no?

–Sí, claro –contestó Ven –pero este mapa es un poco tonto. Yo cruzaría el lago y llego antes.

–No, Ven, no podemos cruzar el Lago Llorón porque puede haber cocodrilos y es muy peligroso.

–Pero es más corto, por ahí , Sal.

–Sí, pero no sabemos a qué distancia del lago está el tesoro, ¿no te das cuenta?

–Pues vamos hasta la torre desde el lago, Sal.

–Tampoco sabemos a qué distancia está el tesoro de la torre… –el gafotas seguía contestando inmerso en sus pensamientos.

Ven se quedó un rato mirando el mapa de Mati y pensando. No podían empezar desde la Torre, ni desde las Rocas Burlonas…

–No tenemos más remedio que empezar desde las palmeras, parece…- terminó aceptando.

–Efectivamente, chicos. La única manera de encontrar el tesoro con este mapa es partiendo de las palmeras, porque los piratas han ido dejando las marcas usando coordenadas polares en cada uno de esos puntitos ¿Os explico cómo?

–¡¡Sí!! -contestaron al unísono. Gauss se quitó el gorro de pelo que lo estaba asfixiando.

 –Vamos a eliminar los dibujitos del mapa y vamos a quedarnos sólo con la información que necesitamos para encontrar el tesoro –dijo Mati y dibujó en su cuaderno.

 

–Para encontrar el punto 1, el mapa nos indica una dirección (en dirección a las Rocas Burlonas) y una distancia (201 pasos), ¿no?

–¿Todos los piratas tienen el mismo número de pie? –preguntó Ven angustiado.

–No, pero eso hacía más emocionante la búsqueda –respondió Mati y continuó – Como os decía, para saber dónde está el punto 1 del mapa necesitamos 2 datos, la distancia y la dirección. Esos dos datos son lo que llamaremos coordenadas polares, el nombre y el apellido que identificará a cada punto del mapa.

–Entiendo, Mati –dijo Sal –el nombre es 201 pasos y el apellido es hacia las Rocas Burlonas, ¿no?

–Exacto, Sal –contestó ella –Sólo que en lugar de decir hacia las Rocas Burlonas, indicaremos el ángulo que forma esa dirección con la línea horizontal que sale de las palmeras.

 

–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola, Mati! –parecía que a Ven se le estaba pasando el enfado. Gauss seguía serio.

–¿Ves, Ven? Se pueden hacer cosas divertidas cuando llueve -contestó Mati sonriendo -Pues esta forma que tenían los piratas para señalar dónde habían escondidos sus tesoros, los matemáticos lo llamamos Sistema de Coordenadas Polares y es diferente al que os conté hace poco, el Sistema de Coordenadas Cartesianas, que se parecía al juego de los barquitos, ¿recordáis?

–Claro, Mati –contestó el gafotas.

–Para el sistema de coordenadas polares necesitamos un punto especial, al que llamamos polo u origen

–Eso es igual que en el sistema cartesiano –puntualizó Ven.

–Efectivamente, pero sólo un eje, lo llamaremos eje polar, y será una semirrecta que sale del polo, por ejemplo, horizontal y hacia la derecha.

 

–Vamos a ver cómo funciona este sistema de coordenadas. Ven, pinta un punto en algún sitio y llámalo A –el pequeño se apresuró a dibujar el punto  –Para calcular las coordenadas polares de A necesitamos saber a qué distancia está del polo y qué ángulo forma con el eje polar  el segmento que une al punto A con el polo.

–¡Yo!  Yo lo mido con la regla –dijo Ven.

–Espera, te traigo mi transportador de ángulos para medir el ángulo –dijo Sal.

 Los niños se pusieron mano a la obra y calcularon las dos medidas que les había pedido la pelirroja.

–9 centímetros y 30 grados –dijo el gafotas.

–Muy bien, chicos, eso significa que las coordenadas polares de A son (9, 30)

 –¡Qué chulo, Mati! –el pequeño estaba radiante.

–Me encanta –dijo Sal.

–Me alegro, chicos. Ahora lo haremos al revés. Imaginaos que queremos saber dónde está el punto (4, 50) en nuestro mapa. Vamos a encontrarlo.

–¡Venga! –gritó Ven.

–Miramos la primera coordenada, 4. Eso significa que está a distancia 4 del polo, o sea, si pintamos una circunferencia de radio 4 alrededor del polo, será un punto de esa circunferencia.

 

–Como la segunda coordenada es 50 sabemos que el segmento que une al polo con el punto que estamos buscando forma un ángulo de 50º con el eje polar. Entonces, usando nuestra regla medidora de ángulos, dibujamos una semirrecta formando un ángulo de 50º con el eje.

–Ya está. El punto de coordenadas (4,50) es el punto donde se cortan la circunferencia y la recta.

  

–¡Toma, toma, toma! ¡Es chulísimo! –el pequeño Ven estaba entusiasmado.

–Entonces, los piratas, en realidad, usaban las coordenadas polares en cada punto,¿no?

–Eso es.  Retomemos el mapa del tesoro sólo con puntos.

–Para llegar al punto 1 usamos como polo las palmeras y vamos al (201, hacia Rocas Burlonas), para llegar al punto 2 usamos como polo el punto 1 y nos movemos a (94, vieja torre); para llegar al tesoro usamos las polares desde el punto 2 y vamos a (63, cañones abandonados).

–¡Y el tesoro es nuestro! –Ven abrazaba al acalorado Gauss.

–¿Y tiene algo que ver con la Estrella Polar? –preguntó el gafotas.

–En cierto sentido, sí, puesto que es la que señala el eje de rotación de la Tierra y nos ayuda a ubicarnos –contestó la pelirroja –Las coordenadas polares son muy útiles en navegación y también en robótica, para programar las rutas de los robots indicando la dirección de movimiento y la distancia que debe recorrer en esa dirección.

–Wow… –Ven seguía entusiasmado.

–Bueno, bueno, creo que me merezco una merienda, ¿no? –dijo Mati guiñando un ojo.

–Sí, es hora de merendar –asintió Ven.

Nuestros cuatro amigos salieron hacia la cocina con Gauss a la cabeza.