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La importancia de llamarse π

–Te está quedando perfecta, Ven.

–Gracias, Sal –respondió el pequeño orgullosito –Redonda, redonda, como debe ser una pizza, que por eso se llaman así: PI-ZZA.

–¿Por qué son redondas? Eso no tiene nada que ver, Ven…

–¿¿Cómo  que no?? –protestó éste —Mati nos contó que  π está en todos los círculos, ¿recuerdas?

–Así es, chicos –Mati acababa de llegar –Nuestro amigo π está escondido en todos los círculos.

–¡Te lo dije, gafotas! –dijo Ven con voz triunfante.

–Hola, Mati –saludó Sal –Pero eso no tiene nada que ver con que las pizzas se llamen pizzas, ¿verdad?

–No, no creo –respondió ésta –El secreto de la pizza se remonta a la época de los egipcios que, al descubrir, la levadura comenzaron a cocinar una torta redonda, al amasar una bola de masa. Después los griegos comían una torta redonda que llamaban maza, y los romanos unos discos también de pasta que, aunque al principio recibieron otro nombre, se acabaron llamando picea. Pero el verdadero auge de la pizza en Italia fue en Nápoles, y cuentan que fueron los panaderos napolitanos los que cambiaron el nombre de picea a pizza.

–Entonces, ¿no tiene nada que ver con el número π de tu camiseta, Mati? –preguntó Ven con pena.

–Me temo que no, cielo –dijo ésta –Pero lo que sí es cierto es que en todas las pizzas, por ser circulares, se esconde π.

–¿Dónde se esconde, Mati? –preguntó Sal.

En cualquier circunferencia, sea del tamaño que sea –empezó a decir Mati —si dividimos la longitud de ésta entre la longitud del diámetro, el resultado es π.

 

 

 

 

 

 

 

 

–¿Sea como sea la circunferencia, Mati? –preguntó Ven asombrado.

–Sea como sea –corroboró ella –Esto nos permite además, saber cuánto mide la longitud de una circunferencia si conocemos cuánto mide su diámetro.

L=  π x d

–Alucinante… –decía Sal –¿Y si solo conocemos el radio?

–Bueno, como un diámetro mide el doble de cualquier radio –contestó ella –tendremos que

 

 

 

 

 

 

 

 

–Por lo tanto –continuó la pelirroja –Si conocemos el radio de la circunferencia, r, podemos conocer también su longitud gracias a π:

L=  2π  x  r

–¡Toma, toma. toma! ¡Cómo mola! –gritó el pequeño Ven.

–Es chulísimo, Mati –dijo Sal.

–Lo es, pero aún hay más –anunció Mati misteriosa –También se esconde en el área del círculo…

–¿Dónde? –preguntó Sal inmediatamente –No sabemos calcular el área de cosas redondas…

–Voy a tratar de explicaros cómo ,con un pequeño truco –les anunció.

–¡Me encantan los trucos! –afirmó Ven.

–Para ello –empezó a decir Mati –Vamos a dividir la circunferencia en trozos iguales, usando radios, como si fuera una pizza. Cuanto más trozos hagamos, más claro se ve, pero haremos sólo 16, para que no se complique mucho el dibujo. Con más trozos, este mismo razonamiento también sirve.

–Como veis –siguió Mati –he coloreado con dos colores distintos los trozos, de forma alternada.

–Ha quedado muy mono… –dijo Ven pícaro.

–Ahora, voy a poner todos los trozos amarillos sobre una línea –siguió ella –y los rosas, boca abajo, los voy colocando en los huecos entre los amarillos.

–Como veis –les dijo –Tenemos un romboide de altura r.

–Pero los triángulos no tienen la base recta, Mati –interrumpió Sal –Las bases son un poco curvas…

–Tienes razón –aceptó ésta –Pero si en lugar de 16 porciones de nuestra pizza, hacemos muchísimas más, serían casi, casi rectos, y este razonamiento, como veréis, no dependerá del número de porciones que hayamos hecho. Por lo tanto, podemos pensar que las bases de nuestros triángulos son rectas.

–Vale –aceptó Sal.

–Ajá –dijo Ven muy convencido.

–¿Cuánto mide la base de nuestro romboide? –preguntó Mati.

Los niños se quedaron muy serios pensando, hasta que Ven aceptó:

–Ni idea.

–Fijaos que la base es igual a la suma de las bases de todos los triángulos amarillos –les dijo ella –Pero la suma de las bases de los triángulos amarillos es igual a la mitad de la longitud de la circunferencia, la otra mitad será la suma de las bases de los triángulos rosa.

–¡¡Claro!! –exclamó Sal –Entonces la base es π x r, ¿no?

–Ajá –corroboró Mati con un guiño.

–Ya lo tenemos –anunció la pelirroja –¿Recordáis cómo se calcula el área de un romboide?

–Sí –dijo el gafotas inmediatamente –Es igual al producto de la base por la altura.

–Eso es –respondió Mati con entusiasmo –Así, el área de un círculo de radio r será π x r2

 

–¡Tomaaaaaaaaaaa! –gritó Ven –¡Este π sirve para todo!

–Qué guay, Mati –dijo Sal.

–Bueno, pues yo os he contado cuánto mide el área de vuestra pizza –añadió Mati –a cambio espero que me contéis cuáles son los ingredientes que les vais a poner…

 

Seguimos redondeando…

Anteriormente en Mati, una profesora muy particular…

En el capítulo de hoy…

–Ya está –afirmó Ven –Una circunferencia perfecta, con centro en el punto (2,1) y radio 3. Todos los puntos de esta circunferencia están a distancia 3 del punto (2,1)

–Muy bien, Ven –dijo Mati –Te ha quedado perfecta.

 

–Es que he aguantado con fuerza el compás –añadió el pequeño orgulloso.

–Entonces, Mati –preguntó el gafotas –Si queremos saber si un punto está dentro o fuera de la circunferencia, por ejemplo el (4,3), lo pintamos y miramos si está dentro, encima o fuera, ¿no?

–Sí, Sal –respondió Mati –Ésa es una forma, pero no es la única. Se puede saber sin dibujar el punto.

–¿Sin dibujar? –preguntó rápidamente Ven –Tengo que dibujar el punto para medir la distancia al centro de la circunferencia y saber si está dentro o fuera.

–No, no hace falta usar la regla –insistió la pelirroja.

–Entonces, Mati –quiso saber Sal –¿Cómo podemos saber si un punto está dentro o fuera de la circunferencia, Mati?

–O sobre la circunferencia… –añadió su hermano.

–¿Recordáis cuando hablamos de las ecuaciones de la recta? –les preguntó.

–Sí –contestó Sal –La ecuación de la recta era como una una contraseña que deben cumplir los puntos para estar sobre ella, ¿no?

–Eso es –dijo Mati –Pues de la misma manera, podemos encontrar la ecuación de la circunferencia, que será como una contraseña que nos permitirá saber si un punto está sobre la circunferencia, en el interior de ésta o fuera.

–¿Nos la enseñas? –pidió el pequeño con cara de niño buenísimo.

–Con mucho gusto –respondió la gafotas guiñando un ojo –Para ello tenemos que recordar cómo se calcula la distancia entre dos puntos en el plano, como vimos cuando estudiamos las coordenadas cartesianas. Si tenemos dos puntos en el plano, (a, b) y (c, d) calculamos su distancia, que escribiremos como d((a,b), (c,d)), usando el teorema de Pitágoras.

–Para ello dibujamos un  triángulo rectángulo en el que la distancia que queremos calcular es la hipotenusa, y para el que sabemos calcular la longitud de los dos catetos. La longitud del  cateto vertical es la diferencia entre las segundas coordenadas de los puntos, y la del horizontal  es la diferencia entre las primeras coordenadas de éstos.

–Y gracias a Pitágoras tenemos –anunció Mati muy teatrera.

–¿Y ahora, Mati? –preguntó Ven impaciente.

–Ahora vamos a escribir la ecuación de la circunferencia de centro (2, 1) y radio 3 –anunció la pelirroja –A ver, ayudadme, ¿qué le vamos a exigir a un punto (x,y) para que pueda estar sobre esta circunferencia?

–Que esté a distancia 3 del (2,1) –dijo el gafotas.

–Eso es –confirmó ella –Pero ya sabemos escribir la distancia entre (x, y) y (2,1) con una fórmula, la escribimos así.

 

 

–Ahora para que no salgan raíces cuadradas en la ecuación que a alguna gente les da mucho miedo –bromeó Mati –elevamos al cuadrado en los dos lados de la ecuación. En la izquierda desaparece la raíz cuadrada, y en la derecha, nos queda 9.

–Pero si con el método que nos enseñaste para calcular raíces cuadradas es muy fácil… –dijo Sal.

–¿Y para qué sirve la ecuación, Mati? -preguntó Ven.

–Pues para saber –dijo ella —si, como preguntaba Sal, el punto (4,3) está sobre ella.

–¿Cómo? –insistió el pequeño.

–Sustituyendo en la ecuación x por 4 e  y por 3, y comprobando si obtenemos 9. Si no sale 9, el punto (4,3) no está sobre la circunferencia.

–No, no está, sale 8 –dijo Ven.

–Muy bien –dijo Mati –Y sin mirar el dibujo, ¿sabéis si está dentro o fuera de la circunferencia?

Los niños se quedaron pensando un rato, al cabo del cual Sal dijo:

–Creo que está dentro, Mati. Porque la distancia de (4,3) a (2,1) será la raíz cuadrada de 8, que debe ser menor que 3, que es la raíz de 9, y eso significará que (4,3) está más cerca de (2,1) que los puntos que están sobre la circunferencia, por lo tanto, está dentro.

–Muy bien, Sal –dijo Mati –Todos los puntos  (x,y) que al sustituir en la ecuación den un resultado menor que 9 estarán dentro de la circunferencia, los que den mayor que 9, estarán fuera.

–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! –dijo Ven.

–¡Me encanta las ecuaciones! –dijo Sal –Las de las rectas, las de la circunferencia, y las de los sospechosos… 

Un asunto redondo

–¿Eso es Marte, Ven?

–¿Qué pasa, Sal? Está casi perfecto…

–¿Perfecto? Marte es una esfera

–No, no lo es, me lo dijo Mr. Green. Se parece más a una elipse.

–Ya, pero es casi redondo, dibuja un círculo, por Gauss…

La mascota gruñó un poco, pero con cierto orgullo, le gustaba llevar el nombre del Príncipe de las Matemáticas.

–Eso he hecho, un círculo, Sal –Ven empezaba a enfadarse.

–¿Un círculo? Eso más que un círculo ¡parece una patata!

–¿¿Una patata?? –la carita de Ven se iba encendiendo cada vez más.

–Bueno, bueno, bueno… –Mati acababa de llegar –¿Estáis preparando alguna comida con patatas?

–Hola Mati –la saludó Sal –No, estamos haciendo un mural con Marte y el Curiosity para el colegio, queremos contarles a todos lo que nos contó Mr. Green, y Ven ha hecho un círculo que parece una patata.

El pequeño Ven arrugó su carita completamente, maś enfadado que nadie en el mundo. Gauss se puso junto a él y frunció el ceño también.

–Hombre, Sal, una patata, una patata… no es –dijo la pelirroja –Pero si queréis, os enseño a dibujar círculos, o mejor dicho, circunferencias.

–¿No es lo mismo, Mati? –preguntó Ven desfrunciendo un poco el ceño.

–No, la circunferencia es la línea curva y cerrada, con la propiedad de que todos los puntos sobre ella están a la misma distancia del centro –contestó ella –El círculo está formado por todos los puntos encerrados por la circunferencia que tienen la propiedad de que están a una distancia del centro de la circunferencia menor o igual que el radio.

–¿Qué radio, Mati? –preguntó Ven muy serio.

–Una circunferencia, es una curva cerrada en la que todos los puntos de la misma están a la misma distancia de un punto determinado, que llamamos centro. Pues bien, el radio de la circunferencia es esa distancia, la de cualquier punto de la circunferencia al centro.

–Ah, ya.. –acepto el pequeño.

–Además del radio –siguió Mati –hay otros elementos en la circunferencia, y en el círculo, que tienen nombre propio. Por ejemplo, el diámetro.

–¿Qué es el diámetro, Mati? –preguntó el gafotas.

–Un diámetro de una circunferencia es un segmento uniendo dos puntos de ésta que pasa por el centro.

–¿Y si el segmento no pasa por el centro, Mati? –preguntó Sal.

–En ese caso, a ese segmento se le llama cuerda –dijo ésta.

–Bueno, Mati –intervino Ven impaciente –¿Nos enseñas a dibujar círculos o circunferencias?

–Claro, Ven –respondió ella — ¿Cómo quieres que sea? ¿Qué circunferencia quieres dibujar?

–¿Cómo? Una –dijo el pequeño.

–Pero hay muchas formas de definir una circunferencia –continuó Mati –Por ejemplo, podemos definir una circunferencia diciendo cuál es su centro y su radio. Para ello, solo hay que elegir en qué punto colocamos el centro y abrimos el compás tanto como nos indica el radio.

–O bien –siguió ella –Podemos definir una circunferencia eligiendo el centro y un punto que esté sobre la circunferencia.

–Ah, ya sé –interrumpió Sal –Pinchas en el centro y abres el compás hasta el punto que quieres que esté en la circunferencia.

–Eso es, sí –afirmó ella.

–¿Y si quieres que la circunferencia pase por 2 puntos? –preguntó Ven.

–En ese caso, depende –dijo Mati –Si esos dos puntos son los extremos de un diámetro de la circunferencia buscada, hay una única circunferencia con esa propiedad. Para ello, calculamos el punto medio del segmento que une los dos puntos, y ése será el centro. Para el radio, basta con pinchar sobre el centro y abrir hasta cualquiera de los 2 puntos iniciales.

–¡Mola! –exclamó Ven.

–¿Y si los 2 puntos no son extremos de un diámetro, Mati? –preguntó Sal.

–En ese caso –respondió ella –Hay infinitas circunferencias que pasan por esos dos puntos.

–¡¡Sí, claro!! –dijo Ven –¡Qué bruta!

–¡Jajajajajajajajajajaja! –la pelirroja no pudo reprimir una carcajada –Que sí, chico de poca fe, pero te lo voy a demostrar –y añadió guiñando un ojo –Me gusta que desconfíes de lo que no te demuestran.

–¡Venga, demuéstralo! –pidió Ven con una sonrisa de oreja a oreja.

–Dibuja dos puntos en la libreta –le pidió Mati y Ven los dibujó –Ahora dibujaremos la mediatriz entre esos 2 puntos.

–¿¿Cómo?? –preguntó Sal.

–Muy fácil –anunció la pelirroja –Para calcular la mediatriz entre los puntos A y B, primero pinchamos en A y hacemos un círculo grandote; después pinchamos con esa misma apertura en B y hacemos otro círculo; estos dos círculos, se cortan en 2 puntos. Basta con unir esos dos puntos y tendremos la mediatriz AB, y de paso, el punto medio entre A y B, que será donde a mediatriz corte al segmento AB.

 

–¿Y? –preguntó el gafotas.

Cualquier punto sobre la mediatriz AB está a la misma distancia de A que de B –les dijo –Si pincho con el compás en cualquier punto de la mediatriz y abro, por ejemplo, hasta A, puedo dibujar un círculo que pasará por A y por B.

 

 

–¡Ajá! –aceptó el pequeño.

–Pues bien, Ven –siguió ella –Puedes hacerlo en cualquier punto de la mediatriz, ¡y son infinitos!

–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! –gritó Ven entusiasmado.

–Claaaaro… –añadió Sal con los ojos abiertos de par en par.

–¿Y si tenéis 3 puntos? ¿Cuántas circunferencias pensáis que podáis encontrar pasando por los 3? –preguntó Mati a los niños.

–¡¡Infinitísimas!! –gritó Ven levantando los brazos.

–¿Infinitas? –dijo Sal mirando a su hermano por encima de sus gafas.

–No, menos –dijo Mati.

–¿Infinito menos 100? –dijo Ven con sonrisa pícara.

–Infinito menos 100 es infinito, Ven –dijo el gafotas.

–Ya lo sé –respondió éste.

–Pues no, la respuesta es … –dijo Mati e hizo una pausa dramática –Sólo una.

–Mati… –dijo Ven con cara de desconfiado –Eso tendrás que demostrarlo.

–Con mucho gusto –dijo ella mientras hacía una graciosa reverencia –Dibuja 3 puntos en el papel, A, B y C.

Los niños dibujaron los 3 puntos como les pidió Mati, ella les dijo:

–Ahora pintad las mediatrices AB, BC y AC.

Los niños las pintaron con su regla y compás.

–¿Veis que las tres se cortan en un punto? –les preguntó.

–¡Ajá! –dijo Ven.

–Pues ése es el único punto que está a la misma distancia de los 3 a la vez –les dijo –Por lo tanto, es el centro de la única circunferencia que pasa por los 3 puntos.

 

–¡Tomaaaaaaaaaa! –dijo Ven.

–Es verdad –aceptó Sal.

–Además –continuó Mati –Si pintéis el triángulo ABC, ese punto se llama circuncentro del triángulo ABC, por ser el centro de la circunferencia que rodea al triángulo.

–¡Qué guay! –exclamó Ven.

–Oye, Ven, por cierto –añadió Sal –¿Por qué no usas el compás para dibujar Marte?

–Ya te he dicho que no es esférico, Sal, ¡es  elipsoidal! –protestó Ven.

–Ya,  pero parece más una esfera que una patata…