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Archivo de la categoría ‘Ahora que los niños salieron a jugar…’

¿Tienen las matemáticas algo que decir sobre la veracidad de los papeles de Bárcenas?

A estas alturas todos sabemos de la publicación en El País de “los papeles de Bárcenas” en los que el supuesto tesorero del supuesto PP llevaba la supuesta contabilidad B del partido (aclaro: la profusión de “supuestos” en la frase anterior es para cubrirme las espaldas, que está el ambiente mu tenso…). Mucho se ha hablado sobre su veracidad o no, pero aquí quiero centrarme en una información aparecida en el diario ABC (¿hace falta que aclare que ABC siempre se ha posicionado en contra de la veracidad de esos papeles?) en los que se afirma que los papeles son falsos desde un punto de vista matemático. Efectivamente, a través de una carta al director de Miguel Lacruz (profesor de la Universidad de Sevilla) se alerta de que los números de “los papeles de Bárcenas” no cumplen la Ley de Benford y que, por tanto, no corresponden a una contabilidad real.

Así, ¿qué es la ley de Benford y qué tiene que decir sobre los papeles de Bárcenas? La ley de Benford la descubrió el astrónomo norteamericano Newcomb al final del siglo XIX; por aquel entonces, en esa era anterior a los ordenadores, se hacía un gran uso de las tablas de logaritmos para realizar cálculos y dicho astrónomo observó que las tablas correspondientes al número 1 estaban mucho más gastadas que el resto, de las que, a su vez, el 2 eran las más deterioradas. Años más tarde, en 1938, el físico Frank Benford observó el mismo fenómeno y recolectó miles de datos provenientes de muy diversas fuentes para elaborar la ley que hoy lleva su nombre. Resumiendo: si tomamos datos que abarquen diversos órdenes de magnitud (esto es: cantidades, si hablamos de euros, entre digamos 100€ y un millón) el primer dígito que más se repite es el 1, después el 2 y así hasta el 9, además, se puede determinar el porcentaje de veces que aparece cada uno y es el dado por la siguiente tabla:

Si los datos de la contabilidad de una empresa se alejan mucho de esta distribución, se puede afirmar que es muy posible que estén maquillados. Es más, se suele afirmar que en los datos maquillados la frecuencia de aparición en primer lugar de cada uno de los dígitos suelen tender a una distribución uniforme: aparecen todos más o menos el mismo número de veces. Pero para ello se han de dar una serie de factores que pueden desvirtuar lo dicho anteriormente: en primer lugar, el número de datos ha de ser suficiente, como todo en estadística, cuantos menos datos se tengan, más fácil es alejarnos de los resultados esperados. En segundo lugar, tal y como se ha dicho, los datos han de tener distintos órdenes de magnitud, esto no sólo implica que tenemos que tener asientos de cantidades que varíen entre los 100 y el millón de euros, sino que tenemos que tener un número suficiente de cada uno de ellos. Por último, existen otros muchos factores que desvirtúan los resultados, en particular una serie de pagos periódicos e idénticos mes tras mes hacen que el primer dígito de dichos pagos aparezca con mayor frecuencia.

En su blog Lacruz da algunos detalles de su “estudio” y afirma que ha recogido solo los asientos desde 2002 hasta 2008, que son relativamente pocos, así ya estamos fallando en el primero de los tres principios expuestos en el párrafo anterior. Es más, aunque hay asientos de varias órdenes de magnitud, la mayoría corresponde a solo dos órdenes: ya hemos fallado también en el segundo de los principios expuestos anteriormente.

En el blog Sintetia, en una magnífica entrada, se hace un estudio más exhaustivo, pero se observa una gran discrepancia en un dígito concreto: el 6. En este gráfico podemos ver en amarillo la distribución del primer dígito en los papeles de Bárcenas y con una marca roja el valor esperado por Benford:

Ya hemos dicho anteriormente que si los datos están maquillados deben aproximarse a la distribución uniforme.  Como vemos en el gráfico anterior, dicha distribución está muy alejada de la uniforme y muy próxima a la esperada por la ley de Benford ¿A qué obedece dicho comportamiento anómalo del dígito 6? En la misma entrada de Sintetia se da una respuesta: al cambio de pesetas a euros que hizo que muchos pagos que empezaban por 1 se convirtieran en pagos que empezaban por 6. Se puede ver un gráfico corregido cambiando todo a pesetas:

Ahora el dígito que se “sale” es el 2, pero eso queda explicado por el tercero de los principios que dijimos que desvirtuaban la ley de Benford: la existencia de pagos periódicos (nóminas encubiertas), la mayoría de los cuales, por simple principio igualitario, coinciden y dan la casualidad que empiezan por 2 expresados en pesetas. En este sentido, si miro los movimientos de mi cuenta corriente en el banco, observo que no obedece la ley de Benford ya que los dígitos 1 y 2 se repiten mucho más de lo que predice dicha ley. ¿Se puede deducir que mi cuenta es falsa? Es exigua, pero no falsa, lo que ocurre es que las dos personas que hacemos uso de ella tenemos nóminas que empiezan por 2 y varios pagos (electricidad, etc.) que empiezan por 1 y, para terminar de fastidiar las cosas, cada vez que sacamos dinero del cajero solemos sacar 120€ (reminiscencias de la peseta). En este sentido, es gracioso que en el propio blog de Lacruz se le aplica el mismo test a las cuentas oficiales del PP y salen que también son falsas (por menos).

Entonces ¿qué podemos concluir desde un punto de vista matemático? En primer lugar, que los datos no siguen una distribución uniforme tal y como ocurriría con unos datos inventados, en segundo lugar que se ajustan bastante a los predichos por la ley de Benford salvo cierta cantidad de datos periódicos y constantes que existen por la propia naturaleza del tipo de contabilidad de la que estamos tratando ¿Podemos entonces afirmar que los papeles son ciertos? Tampoco, lo que hemos dicho es que no contradicen necesariamente la ley de Benford.

No, no tenemos nada que decir aquí, dejemos que actúe la Fiscalía Anticorrupción…

Habrá que esperar ahora a ver los papeles del  vicepresidente de la CEOE… No podemos quejarnos, que nos tienen bastante entretenidos, ¿verdad?

Esto no es falso

No es fácil ponerse a escribir sobre la belleza de las  Matemáticas tras un fin de semana como el que hemos vivido y que nos ha dejado a la mayoría de nosotros  con un sabor amargo en la boca y, en mi caso, hundida en la más absoluta de las desesperanzas contemplando que en este barco no hay nadie decente al cargo.

¿Su afirmación también, señor presidente? Porque si su afirmación es falsa significa que lo que nos han contado es verdad, ¿no? Nos meteríamos de lleno en una interesante paradoja lógica aderezada de corrupción y delitos, ¿no le parece?

Se ha escrito mucho ya sobre el tema y por gente más docta que yo en materias de política y corrupción, así que voy a seguir con mi plan inicial, hablar de un hombre que nos dejó como legado en sus papeles grandes resultados en muchas áreas de la Ciencia, y no listados de números manchados de ilegalidades y corrupción. Esto que voy a contar no es falso, para variar.

En la entrada del pasado lunes nos hicimos eco de una noticia matemática que se había abierto un pequeño hueco en los medios de comunicación.   Bien es verdad que fue antes de saber para quienes eran los sobres, los payasos y los confetis… Ay, madre… Sigo. Parte de nuestra entrada era una crítica al poco rigor con el que se había presentado tal noticia, pero, al margen de Carl Cowen y Eva Gallardo (quien por cierto se licenció y doctoró en la Universidad de Sevilla, como apuntaba mi profesor durante la carrera, Ramón Piedra, en los comentarios) otro nombre propio destacaba en todas las noticias: el de John von Neumann que había propuesto el problema hace ochenta años. Von Neumann fue una de esas mentes brillantes que, aún rodeado de otras mentes brillantísimas, conseguía destacar por encima de ellas: nacido en Budapest a principios del siglo XX en el seno de una acaudalada familia judía, fue un niño prodigio.

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Sus padres tomaron una serie de decisiones respecto a su educación que podrían suscitar un debate, pero que yo, particularmente, como madre comparto plenamente. Por una parte consideraron que era importante que el pequeño Janos (su nombre original en húngaro) asistiera al curso que le correspondía por su edad, para que se relacionara con otros niños, pero, también contrataron profesores para que potenciara los conocimientos para los que tenía mayor actitud, particularmente las matemáticas. Trataron de satisfacer su curiosidad sin alterar su infancia, sin apartarlo como a un bicho raro. Así, a los quince años comenzó sus estudios de cálculo bajo la supervisión de Gábor Szegő. Éste, maravillado ante las capacidades de su alumno, llegó a llorar en la primera clase que le impartió.

En 1930, después de haber  impartido clase en Berlín le fue ofrecida una de las cinco primeras cátedras en Princeton (Einstein fue otro de ellos) y permaneció en dicha universidad hasta su muerte. Aunque ya antes en su Hungría natal y en Alemania había destacado por su gran versatilidad, puede que fuera a partir de dicha época en la que sus aportaciones fueran más importantes y en numerosos campos: análisis matemático, geometría, teoría de la medida, lógica y fundamentos, dinámica de fluidos, estadística dentro de las matemáticas; mecánica cuántica y física nuclear en física. Además de ello, se considera el creador de la teoría de juegos y unos de los fundadores de las ciencias de la computación (aunque su mente solía ser más rápida que los ordenadores de su época que él ayudo a diseñar). Hizo algunas incursiones en otras disciplinas, en las que dejó su sello: por ejemplo, el premio Nobel de economía Samuelson afirmó que después de que von Neumann se  hubiese dedicado brevemente  a su disciplina, la economía no volvió a ser la misma.

Siendo judío, fue de los primeros que comprendió el peligro que Hitler representaba y se involucró desde muy pronto en el desarrollo de las armas nucleares, participando en el Proyecto Manhattan y, posteriormente en el diseño de la bomba de hidrógeno. Eso no estuvo muy bonito, la verdad, y posiblemente lo pagó… No falta quien afirme que  fue su participación en el desarrollo de armas nucleares y su exposición a radiaciones lo que le condujo a una muerte relativamente temprana, ya que contrajo un cáncer que pudo con él a los 53 años.

VonNeuman1 Al margen de todo lo anterior, también se ha destacado su fuerte personalidad: siempre muy atildado, enfundado en un traje completo incluso en el calor del desierto en Los Álamos y disfrutando de la comida, la bebida y la conversación (le encantaban los juegos de palabras y podía realizar algunos muy elaborados tanto en húngaro, como alemán e inglés) en las fiestas de su casa que llegaron a ser famosas en Princeton. Nunca tuvo problemas en concentrarse y prefería trabajar en el salón de su casa con la televisión encendida o en su despacho con música a todo volumen (para incordio de sus vecinos en el trabajo, Einstein entre otros).

Estoy segura, porque soy optimista, que dentro de un siglo el legado de von Neumann  seguirá vigente, mientras que la basura de Bárcenas y sus amigotes quedará sepultada y olvidada por el lodo del tiempo, por muy única, transparente, limpia que algunas quieran verla

 

 

 

 

Resuelto uno de los “no Problemas del Milenio”

Esta semana pasada, afortunadamente,  una noticia matemática ha aparecido tímidamente entre tanto paro, recortes y corrupción. ¿Afortunadamente? Pues sí, porque es curioso observar  como cada vez que aparece una noticia científica, casi invariablemente se da la circunstancia de que es una buena noticia, al contrario de lo que ocurre con la política, la economía, etc.  Y también invariablemente, la noticia, al igual que la ciencia en España en general, está mal tratada: puede que una cosa sea un reflejo de la otra…

En realidad la noticia es simple: dos matemáticos han resuelto un importante problema, un problema que llevaba ochenta años abierto y que había neumannsido planteado por John Von Neumann. Von Neumann fue uno de esos personajes ante el que cualquiera se siente pequeño: realizó contribuciones importantísimas en física, economía y fundamentales en computación y muchas ramas de las matemáticas. Pues bien, él planteó el siguiente problema (copio aquí la metáfora planteada por los dos matemáticos que han resuelto el problema): supongamos una pelota, es sabido que si movemos la pelota y la dejamos donde estaba inicialmente, básicamente el resultado que obtenemos es el mismo que si rotamos la pelota sobre un eje dado (como el movimiento de rotación de la Tierra): no importa todo lo que moviéramos la pelota, todo lo que hagamos con ella, que si al final la colocamos en el mismo sitio, siempre podremos encontrar un eje de la pelota tal que hacer un giro sobre dicho eje es equivalente a todos los movimientos que acabemos de hacer con la pelota. Este resultado era conocido por Von Neumann y él se preguntó si se podía generalizar a unos entes matemáticos muy utilizados en matemáticas y físicas conocidos como los Espacios de Hilbert (complejos): esa es la cuestión planteada por Von Neumann y es el problema que acaba de ser demostrado por Carl Cowen (Indiana University-Purdue University Indianapolis U.S.A.) y Eva Gallardo (Universidad Complutense de Madrid) y que se ha presentado por primera vez en público por ellos en el congreso bianual que celebra la Sociedad Española de Matemáticas, la RSME que se acaba de celebrar la semana pasada en Santiago de Compostela.  En un lenguaje más formal el problema sería: “¿Es cierto que todo operador lineal y continuo (los movimientos que le demos a la pelota) en un espacio de Hilbert complejo de dimensión mayor que 1 (la pelota) deja invariante algún subespacio cerrado no trivial (el eje de giro al que nos referíamos que siempre deja invariantes, en su misma posición, a los polos)?”.

Naturalmente, la noticia tiene tres aspectos destacables: 1) se ha resuelto un problema importante  y potencialmente aplicable. 2) Entre los dos autores hay una española y 3) se ha presentado por primera vez a la comunidad científica internacional en España. El problema es que la prensa ha confundido completamente algunos de los hechos que acabamos de presentar. Veamos:

Primero vi la noticia en Público donde la noticia aparece con este titular totalmente falso:

Captura de pantalla de 2013-01-27 13:58:51

 

Es curioso reseñar que la noticia ha sido editada porque la redacción original era un auténtico desastre, pero aún así el titular permanece y como se puede ver se insiste que se ha conseguido la solución en un congreso matemático en Santiago: falso, la solución se ha obtenido después de mucho trabajo en EE.UU. y en España, en Santiago lo que se ha hecho es presentar el trabajo.

Después vi la noticia en la web de la Cadena Ser:

Captura de pantalla de 2013-01-27 14:04:40

 

Pues no, no es uno de los “Problemas del Milenio”. Para quien no lo sepa (el redactor de la noticia entre otros), los “Problemas del Milenio” es una lista de siete problemas propuestos por el Instituto Clay y que sostienen que son problemas abiertos de gran trascendencia en matemáticas y que tienen un premio de un millón de dolares cada uno (solo uno de ellos ha sido resuelto: la conjetura de Poincaré por Perelman, quien no tuvo a bien recoger su premio, él es así… ). Uno de los miembros de dicho instituto, Dick Lipton, afirmó que el problema recientemente resuelto se hubiera merecido ser uno de los “Problemas del Milenio”; puede que sí, pero no era.

Aquí, por ser fieles a la verdad hemos de decir que la Cadena Ser ha modificado la noticia en su web y que ahora aparece de esta forma:

Captura de pantalla de 2013-01-27 14:12:24

 

Amarillismo, pero visto lo visto: aceptable.

El resto de la prensa: nada mucho mejor: o ignoran la noticia o la presentan mal. Mención especial para ABC que coge la idea de los “Problemas del Milenio” y se cree que tal título se le dedica a los problemas de todo el milenio, aunque según el Instituto Clay son los algunos de los problemas más importantes con los que se enfrentaban los matemáticos alrededor del año 2000 (el cambio de milenio):

Captura de pantalla de 2013-01-27 14:14:34 Impagable.

En fin: esto es lo que hay y supongo que todo lo demás es lo que nos merecemos.

“Gráfica” es nombre de mujer

Mati20Min_38pPues sí, como ya nos descubrieron Mati y sus amigos el miércoles pasado, gracias  a la nueva edición de 20minutos para México, este blog tendrá nuevos amigos, o así al menos lo esperamos, al otro lado del Atlántico. Les damos a todos ellos un cálido abrazo de bienvenida y les invitamos a compartir el gusto por las Matemáticas en este rincón de la red. Como dice mi santo cuando da una charla en aquel país, si en algún momento utilizo la expresión ‘coger’ en alguno de mis artículos, en realidad quise decir ‘agarrar’. Bueno, y también cuando digo charla, quiero decir plática, que es como le llaman por allá.

Son muchos los lazos personales y profesionales que me unen a México, es por ello por lo que me hace especialmente feliz poder asomarme por allí también desde esta ventana. No es éste el sitio para hablar de los motivos personales, esto es un blog de Matemáticas, pero déjenme que les cuente que tengo un montón de familiares en este maravilloso país. México  los acogió con calor cuando la madre patria no los quería por sus ideas políticas… Ya saben de qué hablo.

Víctor Neumann-Lara

Víctor Neumann-Lara

A nivel profesional, tengo la suerte de trabajar en una disciplina que tiene un gran auge en ese país, la Teoría de Grafos, gracias, entre otras razones al empuje de un gran matemático, Víctor Neumann-Lara, que supo intuir la importancia que esta disciplina iba a tener en el desarrollo de la Informática y apostó fuerte por ella, impartiendo cursos, organizando coloquios y preparando a investigadores en el área. Ops, perdón… Víctor Neumann no los llamaba  grafos, sino  gráficas. Y así le llaman todos los investigadores mexicanos del área que he tenido el placer de conocer y/o el honor de trabajar con ellos ¿Por qué? Pues lo pregunté una vez a un colega mexicano y me contó que Víctor decía que eran unos objetos de una belleza tal que debían tener un nombre femenino. Y, oye, me gustó, pero reconozco que no he conseguido ningún avance en mi intento de que la comunidad española los llame así 😉 Posiblemente, porque usamos la palabra gráfica para referirnos a la representación de funciones o de datos estadísticos.

Pero además de su labor como matemático, Víctor era un apasionado del lenguaje, amaba las palabras, afirmaba necesitar leer poesía cada día. escribió y publicó poesía… le gustaba vivir, amaba la vida y lo demostraba.

Como dijo de él otro gran amigo mexicano, Javier Bracho, conocido como Roli,

“Él se hizo solo, vivió y enseñó con la convicción de que la vida es más importante que la ciencia; de hecho, ésta se da sólo cuando hay vida y él era un amante de la vida, disfrutaba todo intensamente y de cualquier cosa sacaba algo humano, profundo, filosófico.”

Este amante de la vida murió durante una plática en el XIX Coloquio de Teoría de las Gráficas, Combinatoria, y sus Aplicaciones, que él organizaba cada año,  mientras se disponía a cambiar una transparencia (acetato) cayó desplomado, frente a una comunidad científica que lo adoraba, el 26 de Febrero de 2004. Desde 2005 dicho coloquio lleva oficialmente su nombre como reconocimiento a su ingente aportación en el área.

No quiero terminar con tristeza esta entrada, es por eso que os recomiendo que echéis un vistazo a estos vídeos maravillosos que Tito Eliatron nos trajo en su blog hace un tiempo, en el que miembros del Instituto de Matemáticas de la Universidad Autónoma de México nos explican qué hace hoy en día un matemático. Y como podréis ver, el espíritu de Neumann sigue en el aire, si escucháis en ese vídeo a Roli (Javier Bracho) o a Luis Montejano diciendo frases como ésta:

 

 

Yo te doy el Sol y la Luna

Todo blog que hable de matemáticas que se precie tiene que tratar tarde o temprano la paradoja de Banach-Tarski. Por favor: no se marchen después de oír eso de “la paradoja de Banach-Tarski”, lo que sigue os puede parecer curioso y absolutamente contraintuitivo, pero está demostrado y por tanto se sabe que es cierto.

Un puzzle que es un clásico y del que existen muchas variantes es el Tangram; en dicho juego, un cuadrado está dividido en varias piezas y dichas piezas podemos recomponerlas hasta formar otras figuras.

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Evidentemente en el Tangram las piezas tienen una forma muy simple, pero lo que Banach y Tarski probaron en 1926 fue que se puede hacer un Tangram muy, muy especial a partir del cubo. Efectivamente, podemos dividir el cubo macizo en cinco subconjuntos o piezas de tal forma que podemos mover dichas piezas y podemos formar ¡dos cubos macizos con exactamente el mismo volumen que el cubo inicial! Repito: podemos dividir un cubo en cinco trozos y recomponer esos trozos (no deformamos los trozos: seguirán con la misma forma original sin cambiar de forma, ni de tamaño en todo el proceso) hasta obtener dos cubos idénticos al original.

El problema está que si alguien no se cree el resultado, tendrá que leerse la demostración (que no es sencilla) y ver que es correcta para convencerse, ya que los conjuntos (las piezas del tangram), no se pueden ni describir ni ver de manera simple, digamos que son subconjuntos de puntos muy extraños del cubo inicial (aún hay más ya que se demuestra que existen dichos conjuntos, pero no se construyen explícitamente). Pero a mi lo que me encanta es una variante de esta paradoja que nos dice no que podemos construir no dos cubos idénticos al original sino que partiendo de una esfera de cualquier tamaño, podemos dividirla en trozos y reagrupar dichos trozos hasta conseguir otra esfera de otro tamaño cualquiera; esto es: podemos tomar una esfera del tamaño de un guisante, dividirla en trozos y recomponer dichos trozos hasta conseguir una esfera del tamaño de la Luna o del Sol.

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Así podemos decir: “tú dame un guisante y yo te daré la Luna y el Sol”.

xlarge_duplashrinkerAlgo curioso es que esta paradoja ha hecho su aparición en una de las series de dibujos animados en los que las matemáticas están más presentes: Futurama. Efectivamente en dicha serie se muestra un duplicador-reductor de Banach-Tarski, por desgracia, dicho duplicador no se puede construir realmente ya que las divisiones de la esfera son tan enrevesadas que parecerían más un conjunto muy disperso de puntos, además, es necesario usar puntos matemáticos, esto es: objetos de dimensión cero, cosa que en nuestro mundo físico es imposible.

 

 

Podemos encontrar una explicación más detallada de esta paradoja en esta entrada del blog Tio Petrus, o aún mas detallada en la Wikipedia en inglés donde aparece incluso un esbozo de la demostración.

 

¿Está usted de broma, Sr. Feynman?

Entre los lectores de este blog sé que se encuentra algún físico, por ello me produce cierto temor acercarme a su terreno, aunque sea tangencialmente pero es que hoy me gustaría hablar sobre algo relacionado con Richard Feynman. Sé que hablar de Feynman en un blog puede resultar complicado ya que se han contando ya miles de anécdotas sobre él (en este mismo blog se contó algo sobre su controvertida actuación en la Comisión Rogers); pero para quien no lo recuerde, Feynman fue un físico americano, premio Nobel de su disciplina que poseía una marcada personalidad. La lectura de su libro “¿Está usted de broma, Sr. Feynman?” es una actividad ciertamente relajante y estimulante.

Mi pregunta a mis amigos físicos es: ¿sabéis dónde está el punto de Feynman?

No, no los busquéis en nada relacionado con la electrodinámica cuántica, ni en sus diagramas, ni siquiera se llama así ningún punto de la Luna o Marte:

 

El punto de Feynman está en el número π, más concretamente, es el conjunto de seis decimales de π que comienza a partir del decimal 762. Y, de hecho, el que se le llame a dicho conjunto de decimales por su nombre, refleja, de alguna manera, la personalidad de dicho físico, su carácter bromista y sus ánimos de disfrutar con curiosidades y cosas que llamaran la atención. Y es que el decimal 762 de π es 9 y el 763 también 9 y el 764 y así hasta el 767 son todos 9. Antes de dicho decimal, ningún dígito se repite seis veces (ni siquiera cinco o cuatro veces). Feynman, conociendo dicha curiosidad, decía que le gustaría memorizar los decimales de π hasta dicho punto y para poder terminar de recitarlos diciendo “…nueve, nueve, nueve, nueve, nueve, nueve, y así en adelante“. Sugiriendo que π es racional… Él era así, los físicos tienen estas cosas 🙂

Efectivamente, los números reales se pueden dividir en dos grandes grupos en función de su representación decimal: los que a partir de cierto decimal se repite un conjunto de decimales de forma periódica e indefinida (los racionales) y los que no (los irracionales). Los racionales se llaman así porque siempre se pueden expresar como una fracción de dos números enteros (racional viene de ración o fracción), mientras que eso es imposible con los irracionales. Ejemplos notables de irracionales son la raíz cuadrada de muchos números (como 2, 3, 5, 6, etc.) y otros números notables de las matemáticas como e (el número de Euler), la razón aúrea y π.  Así que, efectivamente, Feynman lo que pretendía era gastar una broma sugiriendo la racionalidad de  π. (Mati describió en esta mateaventura los distintos conjuntos numéricos que forman los números reales)

Los que me conocen saben que los físicos no me caen mal y que incluso llego a tener cierta amistad con alguno de ellos, pero sí que he de decir que la broma de Feynman tiene un fallo fundamental en el que es difícil que caiga un matemático (por ser físico se lo vamos a perdonar): en la representación decimal de un número que hemos acordado ningún número acaba en una sucesión infinita de nueves. Por ejemplo, el número 0.9999999… se suele representar de otra forma, es más conocido como 1. Para convencerse de que son el mismo número, basta con hacer 1-0.9999999…=0 y pasando 0.9999999… al otro lado de la igualdad obtenemos que 1=0.9999999… (Mati también explicó esta igualdad al principio de esta mateaventura)

Si alguien quiere conocer más curiosidades sobre los decimales de π o el propio punto de Feynman, puede consultar la correspondiente entrada de la Wikipedia o esta nota del blog Gaussianos.

Pongamos las cartas boca arriba

Hoy es el último día del año, así que seguramente a muchos les tocará cena familiar, repaso de tópicos y discusión de en qué cadena se ven las campanadas. Para esos momentos, no están mal cierto arsenal de chistes o pasatiempos y me gustaría proponer uno que puede hacer pasar buenos ratos, porque su solución parece imposible y, sin embargo, es bien simple:

Ingredientes: una baraja de cartas (da igual española o francesa, incluso da igual el que no esté completa: digamos que al menos 30 cartas estaría bien) y gente con ganas de aceptar un reto.

Preparación: se cogen diez cartas del mazo (da igual que se vean, da igual que todos sepan cuales son: se pueden escoger las diez primeras, por ejemplo) y se les da la vuelta de tal forma que todas las cartas del mazo estén mirando hacia la mesa y esas diez hacia el techo. Ahora se meten esas diez cartas en el mazo de tal forma que sigan estando al revés que las otras y a continuación podemos cortar y mezclar las cartas tanto como queramos. Al final del proceso tendremos una baraja con la mayoría de las cartas mirando hacia la mesa y diez cartas perdidas entre todas que están mirando hacia arriba.

El reto: miramos fijamente al cuñado más odiado, a ese que se cree tan listo y le proponemos que con los ojos vendados sea capaz de realizar la siguiente operación: dividir el mazo original en dos mazos de cartas, digamos que mazo A y mazo B  y conseguir que tanto el mazo A como el mazo B tengan el mismo número de cartas boca arriba.

Si nuestro cuñado no es capaz de cumplir el reto, nosotros podemos decir que lo vamos a cumplir no solo con los ojos cerrados, sino sin tocar las cartas y dándole instrucciones a ese niño de cinco años que hay en todas estas reuniones, para que sea el niño el que complete el reto y así el escarnio sobre el odiado cuñado sea más completo.

En este vídeo explico qué es lo que hay que hacer, así puedes pensar un rato para tratar de encontrar la solución y no la desvelo directamente aquí; pero lo que sí dejaré sin responder es la razón por la que siempre funciona: son matemáticas muy elementales y me gustaría que pensarás en ellas y que des la explicación en los comentarios.

¡Ah! Se me olvidaba lo más importante:

 

Un problema muy particular

La luna rielaba en el lago en una cálida madrugada a la orilla del Como, en esa norteña Italia tan alejada de algunos tópicos,  comenzaban a oírse los cantos de las primeras cigarras, mientras tanto, una joven pareja se abrazaba ajena a todo y a todos, consumando su amor, sus anhelos…

Creo que me acabo de despistar por completo, si no recuerdo mal esto era un blog de matemáticas, así que tengo que cambiar el tercio completamente: bueno pues aquí va un clásico problema de ecuaciones, puede que alguno de vosotros lo conozca, pero me parece muy representativo del razonar matemático, de intentar extraer el máximo de conclusiones a partir de los datos disponibles. Aquí va:

“En cierto momento, una madre es 21 años mayor que el niño y dentro de 6 años, ella será 5 veces mayor que él. La pregunta es: ¿Dónde está el padre?”

Naturalmente la respuesta a la anterior pregunta dependerá de quién lea el problema y oscilará entre “cualquiera sabe: estará en el bar con los amigotes mientras la mujer se ocupa de todo” al más razonable de “ni idea”.

Lo curioso es lo que hace un matemático si recibe dicho problema; dirá: “veamos qué conclusiones podemos extraer a partir de los datos disponibles, llamemos X a la edad de la madre e Y a la del niño. Evidentemente por la  primera afirmación sabemos que X=Y+21 y de la segunda extraemos que X+6=5(Y+6). Si sustituimos la X obtenida en la primera igualdad en la segunda ecuación obtenemos: Y+21+6=5(Y+6) o lo que es igual: 21+6-30=5Y-Y, resolviendo nos queda Y=-3/4”.

Llegados a este punto la primera tentación es decir que los datos estaban equivocados que la edad del hijo no puede ser negativa, que no puede tener -3/4 años, pero si lo pensamos un poco igual descubrimos alguna pista de dónde estaba el padre de la criatura en ese preciso instante.

La solución (muy fácil a esta altura: que nadie se dé demasiado mérito) en los comentarios.

Por cierto, se me olvidaba: ¡FELICES FIESTAS A TODOS! ¡¡¡¡Muuuuuuuuuuuuak!!!!

Fractal de Sierpinsky

PS: evidentemente este no es un problema original nuestro, sino que constituye todo un clásico, así que no hemos podido averiguar su autor, si alguien conoce algo cierto al respecto, sus comentarios también serán bien recibidos.

¿Qué tienen en común Francisco Santos y Benoit Mandelbrot?

 

Conjunto de Mandelbrot

En una primera aproximación se deduce fácilmente que los dos son matemáticos. Pero matemáticos hay muchos, afortunadamente, claro. Si uno analiza con más detenimiento la carrera de estos dos científicos, descubrirá que mientras Mandelbrot es asociado, principalmente, a unas estructuras matemáticas y maravillosas, conocidas como fractales, el nombre de Francisco Santos aparece muchas veces ligado a unas estructuras más rígidas y menos fotogénicas  conocidas como politopos.

Politopo

Ahora bien, como se dice en mi pueblo, con lo guapo no se come (que se lo pregunten a Naomi Campbell…) y aunque los politopos no sean tan espectaculares visualmente como los fractales, lo que no se les puede negar es que son mu apañaos.

¿Para qué puede servir estudiar politopos? Pues, por ejemplo, para poder acotar el tiempo máximo que necesitaríamos para resolver un problema de Programación Lineal usando el método del Simplex.

Ea, ya estamos, ¿qué es Programación Lineal, hija? ¿Cuál es el método del Simplex? 

En pocas palabras, la Programación Lineal se preocupa de cómo gestionar de la forma óptima una cantidad limitada de recursos para obtener de ellos al mayor rendimiento o minimizar los efectos adversos.

La Programación Lineal se usa para asignar recursos, planificar producción o carteras de inversión, organizar horarios, formular estrategias de mercado, o militares, etc. La versatilidad e impacto económico de la programación lineal en el mundo industrial de hoy es verdaderamente increíble.

 

Eugene Lawler

 

Sí, de esto sabe poco nuestro gobierno…

Fue el matemático ruso Leonid Kantoróvich, alrededor de 1939, el pionero en estudios de esta disciplina, estudios que le sirvieron para conseguir el Premio Nobel de Economía en 1975 (y es que como a los matemáticos no nos pueden dar el Nobel, tenemos que conseguirlo por otras vías, como también ha pasado con el último Nobel en la misma categoría…), aunque eso sí, tuvieron mucho cuidado en no ventilar los avances obtenido durante la Segunda Guerra Mundial, para evitar el uso por parte del enemigo de éstos en pro de optimizar sus recursos bélicos. Pero… ¡YA ESTÁN PUBLICADOS, DE GUINDOS!

Pues bien, unos años más tarde, un colega estadounidense, George Dantzig, que trabajaba para el ejército estadounidense, publicó el método Simplex para la resolución eficiente de problemas de Programación Lineal. Durante mucho tiempo ha sido el único método conocido para abordar grandes problemas de este tipo. De hecho, en el año 2000, en la revista Computing in Science and Engineering, en un sección dedicada a Lo mejor del siglo XX,  se publicó una lista con un  Top 10  de algoritmos de dicho siglo; es decir, los algoritmos más influyentes en el desarrollo de la ciencia y la ingeniería en ese período,  en la que el Método del Simplex de Dantzig aparece en segundo lugar (están en orden cronológico).

¿Qué tiene que ver todo esto con un politopo? En pocas palabras, la pega del método del simplex está en que no se puede, a priori, decidir cuánto tardará como máximo en encontrar la solución óptima. Podemos pensar que las soluciones posibles (con los recursos y limitaciones que tenemos) están representadas por lo vértices del politopo. El método empieza en uno de ellos, elegido arbitrariamente y se va moviendo por las aristas, visitando uno a uno los vértices del politopo hasta llegar al que representa a la solución óptima, ¿me explico? Pues bien, para saber cuál será  tiempo máximo necesario para llegar a la solución óptima, la mejor, del problema, habría que conocer cuál es la máxima distancia posible entre dos vértices del politopo, si medimos la distancia contando el número de aristas del poiltopo que tenemos que recorrer para llegar de uno a otro. Esto, esa máxima distancia posible, se conoce como diámetro.

En 1957, Warren M. Hirsch escribió una carta al mismo Dantzig en el que conjeturaba (es decir, afirmaba sin que lo hubiese demostrado) que ese diámetro estaba acotado, no podía ser mayor, que el número de restricciones  del problema menos la dimensión del politopo. No vamos a entrar en mucho más detalles sobre este particular para no espantar al lector menos familiarizado con estos temas (os recomiendo esta entrada de Gaussianos para saber más) , pero lo sorprendente de esta historia, es que esta conjetura de Hirsch estuvo más de 50 años sin ser demostrada o refutada, a pesar del esfuerzo y dedicación de muchos matemáticos de reconocido prestigio sin saber que:

The answer, my friend, is blowing in the wind

Bob Dylan

 

Efectivamente, Francisco Santos Leal (Paco para sus amigos, muchos) es profesor de la Universidad de Cantabria y volaba desde Bilbao camino de Paris leyendo On the Exact Maximum Complexity of Minkowski Sums of Convex Polyhedra (de Fogel et al.) cuando se le ocurrió cómo construir el contraejemplo que desmontaría la famosa conjetura de Hirsch. Afortunadamente, anotó las ideas en un cuaderno que llevaba y no en el margen de la citada revista porque la dejó olvidada en el avión y se hubiese repetido la historia de Fermat…

En Mayo de 2010, la noticia de que Paco había refutado la conjetura de Hirsch no solo nos llenó de orgullo y satisfacción a todos sus colegas y amigos, sino que fue recogida en numerosos medios de comunicación que se lanzaron a conseguir una entrevista con Paco. De entre todo lo publicado alrededor de este hecho, me resulta especialmente emotivo este artículo publicado en Lastampa el pasado 27 de Abril de 2011, en el que el profesor Bernd Sturmfels reconoce honestamente que Paco resolvió con brillantez el problema que él abandonó después de un año por encontrarlo demasiado complicado.

Ahora sí, volviendo al título de esta entrada, ¿por qué me dio esta mañana por relacionar a Francisco Santos con Benoit Mandelbrot?

Pues porque la semana pasada se conoció la noticia de que nuestro profesor e investigador cántabro, igual que el papá de la Geometría Fractal, acaba de ser galardonado con el Premio Humboldt de Investigación por su labor docente y científica. La importancia y relevancia de este premio, entre otras cosas, queda patente en el hecho de que entre sus galardonados anteriormente, podemos encontrar casi 50 premios Nobel… ¿Quién sabe? ¿No?

Hoy tenemos motivo para sentirnos orgullosos, pero orgullosos de verdad, porque mientras nuestro Ministro de Educación se preocupa de impregnar la educación de nuestros hijos con religión y otras opciones políticas e ideológicas, desde la Universidad Libre de Berlín, uno de los más destacados investigadores a nivel mundial, Günter M. Ziegler, dice públicamente que la Fundación Humboldt trae a a Berlín, desde España, a una estrella de la Geometría que  acelerará la investigación en la Universidad Libre.

Enhorabuena, Paco, y ¡gracias! Y quién sabe… también uno de los galardonados este año con el Nobel de Física, Serge Haroche, tuvo su Premio Humboldt en 1992 y la Física también te gusta 😉

P.S.1:  Por cierto, si lo que ha llevado a Paco Santos a las portadas de los medios ha sido su refutación de la conjetura de Hirsch, dejadme que presuma de que yo también fui refutada por el Dr. Santos. Sí, tengo el honor de llevar en mi tesis doctoral un contraejemplo que se le ocurrió hace algunos años, 15, durante un congreso en Barcelona,  al día siguiente de la cena del congreso, por cierto. Fue un banquete el que nos ofrecieron tan espectacular como delicioso, pero excesivo. Como consecuencia, nadie pudo dormir aquella noche, tratando de hacer la digestión. Los había que paseaban por los pasillos, otros leían, matemáticas y/o ficción, otros veían la tele…pero nuestro desvelado de Santander encontró un contraejemplo que aparecería en mi tesis Geometría Computacional en Superficies y posteriormente en nuestro libro.

P.S.2: Cuando, hace un año,  le dije que escribiría sobre él en mi blog personal, me pidió que os rogara que cada vez que volarais en Air France, miraseis en los bolsillos de los asientos por si encontráis un ejemplar del volumen 42 de Discrete and Computational Geometry, porque aunque no esté descrito el contraejemplo en el margen, le gustaría tenerla de recuerdo.

 

 

Un mono delante de un ordenador

No, no estoy pensando en ningún miembro de nuestro iluminado gobierno, malpensados…

Voy a proponeros un problema de esos que cuanto más se piensan más posibilidades tenemos de que nos hiervan los sesos como decía Antonio Machado en su incomparable Juan de Mairena.

Necesitamos dos elementos para nuestro problema: los números naturales y el teclado de un ordenador. Asumo que todos sabemos qué es el teclado de un ordenador, así que voy a dedicar unas cuantas palabras a los números naturales.  Los números naturales, como es sabido, es un conjunto infinito y son el 1, 2, 3, … y así sucesivamente. Se pueden definir de la siguiente forma: el 1 es un número natural y si un número es natural, ese número más 1 también lo es. En esta mateaventura de Mati se presentan algunos de los conjuntos numéricos, entre ellos, los naturales.

Una de las propiedades fundamentales de los números naturales es que todo  conjunto formado números naturales tiene un elemento que es el más pequeño de todos ellos, el que se conoce como primer elemento del conjunto. Así, el primer elemento de los pares es el 2 y el primer elemento de los números agraciados con el gordo de la lotería de Navidad es el 523.

Ahora, con la ayuda del teclado de un ordenador vamos a definir un conjunto constituido por números naturales de la siguiente forma:

Supongamos que ponemos a un mono delante de un ordenador y que nuestro primate pulsa 1000 veces al azar en el teclado de ordenador ¿cuántas combinaciones distintas podemos obtener?

 

La verdad es que es un número ingente: mi teclado tiene 105 teclas, por lo tanto la respuesta es 105¹⁰⁰⁰ (105 elevado a mil), que viene a ser un 1 seguido de 2000 ceros.  Pero lo que nos importa hoy es que, aunque muy grande, evidentemente es un número finito. Una de dichas combinaciones es un 1 y después 999 veces a la barra espaciadora y esta es una forma de describir el número natural 1. Otra de las combinaciones puede ser teclear primero la letra U, después la N, después la O y 997 veces a la barra espaciadora y el resultado será otra descripción válida (en castellano) del número 1.

 

Por tanto, es evidente que entre todas las combinaciones de 1000 pulsaciones, algunas de dichas combinaciones describen números naturales en castellano.  Sin embargo, por fuerza, el conjunto de los números naturales que puede ser descrito en castellano con menos de 1000 pulsaciones es finito y, como el conjunto de los naturales es infinito, existen infinitos naturales que no pueden ser descritos en castellano con menos de 1000 pulsaciones. Así consideremos el conjunto de los números naturales que no pueden ser descritos en castellanos con menos de 1000 pulsaciones en el teclado de un ordenador, ese conjunto, como todo subconjunto de los naturales, tiene un primer elemento y, por tanto, ese número será:

“El menor número natural que no puede ser descrito en castellano con menos de 1000 pulsaciones en el teclado de un ordenador”

Lo curioso (y paradójico) es que ese número no puede ser descrito con menos de 1000 pulsaciones, pero lo acabamos de describir con menos de 1000 pulsaciones…

Por Gauss, ¿¿¿no os hierven los sesos???

No voy a desvelar el porqué de esta paradoja, sino que podéis añadir vuestra opinión en los comentarios y la semana que viene aclararemos qué es lo que está ocurriendo.