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Hoy toca pensar (y mañana también)

Parte del valor de las Matemáticas (de la disciplina, no de las afortunadas que nos dedicamos a la misma),  al margen de su utilidad y aplicación a otras disciplinas, radica en la capacidad que tienen para hacernos pensar. Pero hacernos pensar bien, en el sentido de que hemos de ordenar nuestro pensamiento y determinar las pautas adecuadas que nos permitan resolver el problema con el que nos enfrentamos. Me gustaría poner tres ejemplos de problemas muy conocidos que comparten un espíritu común. Del primero daré la solución, aunque propondré variantes de las que no adelantaré la suya, pero de los otros dos solo daré alguna pista. Una aclaración: son problemas para todas las edades, podemos decir que de 9 a 99 años.

¿Estamos listos? Puesto que decimos que tenemos que ser ordenados, empezaremos por el primero:

Supongamos que tenemos un tablero de ajedrez y varios juegos de dominó tal que sus piezas cubren dos casillas del tablero; es evidente que con 32 piezas de dominó se puede cubrir todo el tablero, pero una pregunta clásica es la siguiente: si eliminamos dos casillas que ocupan alguna de las esquinas diagonalmente opuestas del tablero: ¿podemos cubrir las casillas restantes con piezas de dominó de tal forma que cada pieza cubra dos casillas y que no se superpongan?

La respuesta no es excesivamente complicada si encontramos la clave para resolver el problema: cada ficha de dominó ocupa dos casillas de ajedrez, y como dichas casillas son contiguas han de ser forzosamente de distinto color: una casilla negra y otra blanca, por tanto con las fichas de dominó cubriremos siempre el mismo número de casillas blancas que negras; pero dos casillas diagonalmente opuestas siempre tienen el mismo color, por lo tanto en nuestro tablero “mutilado” tendremos más casillas de un color que de otro y será imposible de cubrir con fichas de dominó.

Ahora supongamos que eliminamos dos casillas de distinto color: ¿se puede siempre cubrir el tablero con fichas de dominó? ¿existen casos en los que sí y otros en los que no? Espero vuestras soluciones en los comentarios.

Para los otros dos problemas no voy a dar la solución, aunque daré alguna pista al final:

Supongamos que tenemos un cubo dividido en 27 cubitos como en la figura:

cubo de rubik

 

Si una hormiga comienza a horadar un túnel comenzando por una de las caras de uno de los cubitos de alguna esquina y pasando de un cubito a otro a través de una pared común (no a través de un lado, ni de un vértice), ¿podrá nuestra hormiga terminar en el cubito central después de haber pasado por todos los demás cubitos y sin repetir ninguno?

El último puede que sea el más difícil, pero si habéis resuelto los anteriores tenemos un buen entrenamiento que nos permitirá atacarlo con la actitud adecuada:

El esquema que exponemos a continuación representa a 13 ciudades y a las carreteras que las unen:

hamilton

La pregunta en este caso es: ¿podemos realizar un recorrido empezando y terminando en alguna de las ciudades y pasando por todas las demás ciudades y sin repetir ninguna? (El camino empieza y termina en la misma ciudad).

Espero que os gusten los problemas propuestos y que dejéis vuestras soluciones en los comentarios, pero…, un momento: se me olvidaba que había prometido alguna pista. No quiero ser muy explícita, pero digamos que para solucionar el problema de cubrir con fichas de dominó el tablero de ajedrez sin dos esquinas opuestas ha venido muy bien que las casillas del tablero sean blancas y negras y con una disposición muy específica.

Venga, va, deja de pensar en la estupidez que haya dicho alguno de nuestros ministros este fin de semana y trata de resolver estos retos.

Espero que mis alumnos de Matemática Discreta sepan resolverlos todos sin ningún esfuerzo… 😉

10 comentarios

  1. Dice ser masquedieta.com

    ¡¡¡Fantástico!!!Me ha encantado!! Gracias por activarnos la mente, es importante!!

    04 Marzo 2013 | 10:35

  2. Dice ser manuel

    Cada vez que me preguntas
    que cómo dónde y cuándo
    yo siempre te respondo
    con las piernas temblando

    He perdido al ajedrez de mil maneras
    e importa poco donde las piezas ponga
    aunque me queden todas ellas
    y a mi adversario tres
    al final gana él
    para mí siempre es esa misma milonga.

    Lo del cubo, sí, creo que sí,
    que se podría hacer
    pero en las carreteras me perdí
    en una hasta pinché
    y en otra me salí,
    no veo más solución
    que darme por vencido
    e implorar tu perdón
    que espero agradecido
    de todo corazón.

    ¡No me vayas a suspender!.

    04 Marzo 2013 | 10:49

  3. Dice ser manuel

    A ver si algún “peque” me puede echar una mano con lo de las carreteras, que estoy más desorientado que una cabra en un garaje.

    04 Marzo 2013 | 11:49

  4. Dice ser Domingo

    Lo del ajedrez y el quitar una casilla de cada color sigo pensandolo, aunque de momento parece que da igual cuales dos quites, siempre existe una solución.

    En cuanto al de los cubitos, yo diría que no tiene solución… He probado varios caminos y nada de nada. Si no recuerdo mal, en algúna clase de álgebra en la universidad nos explicaron sobre los grafos Hamiltonianos y la teoría que hay detras…

    En cualquier caso, el de las ciudades y las carreteras es bien sencillo y veo que se pueden recorrer perfectamente todas las ciudades sin repetir carretera con distintas rutas…

    04 Marzo 2013 | 13:00

  5. Dice ser tbsteb

    “En cualquier caso, el de las ciudades y las carreteras es bien sencillo y veo que se pueden recorrer perfectamente todas las ciudades sin repetir carretera con distintas rutas…”
    Hay que empezar y terminar en la misma ciudad.
    Yo diría que es imposible.

    04 Marzo 2013 | 14:11

  6. Dice ser Domingo

    Tienes razón, ¡no lo había leído bien! En este caso me uno a tbsteb en la imposibilidad del asunto.

    04 Marzo 2013 | 14:51

  7. Dice ser manuel

    @Domingo, Si se puede terminar en una distinta no hay problema…, seguramente habrá alguna “insidiosa” forma de lograr terminar en la misma…(¡aquí hay algo, seguro, siempre pasa igual!…). Tenía que haber estudiado más matemáticas…¡son la herramienta infalible para todo lo demás!.

    04 Marzo 2013 | 15:17

  8. Dice ser Pako Rerte

    En el problema de las fichas de dominó sobre el tablero sin las esquinas, la solución no es posible. Y si quitamos 2 casillas, depende de cuales quitemos para encontrar una solución viable.

    El problema del cubo supongo que sí será viable, ya que si no la “serpiente mágica” no tendría solución:
    http://www.miniinthebox.com/es/3x3x3-desafio-para-la-mente-magica-iq-serpiente-cubo_p221905.html ( es el primer enlace que encontré 😉 )

    Y el de los caminos, tal como están distribuidos creo que no es posible.

    Si queréis romperos la cabeza, aquí tenéis mas jueguecitos:

    http://www.oei.es/oim/revistaoim/numero20/Lacoloracionenlasmatematicas.PDF

    04 Marzo 2013 | 15:37

  9. Dice ser Antonio T.

    No tengo claro que “empezando y terminando en alguna de las ciudades ” diga 100% que se debe empezar y terminar en la misma.

    04 Marzo 2013 | 16:54

  10. mati-una-profesora-muy-particular

    El próximo lunes publicaremos las solucion 🙂

    05 Marzo 2013 | 21:04

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