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Archivo de marzo, 2013

Rutas y rodeos

–¡Hala! ¡Lo que faltaba! –protestó Sal –Por aquí no podremos pasar.

–¡Jo! Nunca llegaremos a casa de Lucas –añadió el pequeño compungido –. Estará triste y nervioso esperándonos.

–Grrrrrrrrrrrrrrrrr –gruñó Gauss al que los penitentes le daban un poco de mal rollo.

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–Tranquilo, chicos –dijo Mati tratando de calmar los ánimos –. Iremos por una ruta alternativa. Llamaremos a Lucas para decirle que llegaremos un poco tarde.

–Joooooooooo, estoy cansado de andar, Mati –volvió a quejarse Ven –. Me duelen los pies.

–Ánimo, Ven –respondió ella –. Llegaremos pronto.

Mati consultó en el mapa y dijo:

–Iremos por la calle de Cauchy, es un rodeo, pero no nos encontraremos más procesiones y podremos pasar.

–¿Por la calle Cauchy? –dijo Sal extrañado –Por ahí está muy lejos, Mati.

–Bueno –dijo ella –, calculo que por Cauchy tendremos que caminar unos 1000 metros. Sí, es largo, pero vosotros sois unos grandes deportistas…

–¡Hala! Dices 1000 metros para disimular, Mati –exclamó Ven muy enfadado –, pero eso es ¡un kilómetro!

–Sí, Ven, es 1 kilómetro –respondió su hermano –, pero una vez yo tuve que hacer un rodeo mucho mayor con una excursión del colegio, ¡de 3 kilómetros!

–En realidad –dijo la pelirroja mientras comenzaba a andar en dirección a la calle Cauchy –, los rodeos que debemos hacer en una ruta no se pueden comparar así, con los valores absolutos. No es riguroso.

–¿Qué quieres decir, Mati? –preguntó el gafotas echando a andar tras ella lleno de curiosidad.

–Lo que digo, Sal, es que no puedes afirmar que el rodeo que hiciste con el cole fuese mayor que el que tenemos que hacer hoy.

–¿Cómo que no, Mati? –siguió indagando Sal –¿Desde cuándo 3 kilómetros no es más largo que 1 kilómetro?

–Eso, eso, Mati –añadió el pequeño que los seguía arrastrado del pantalón por Gauss.

–No, chicos, no es eso –les contó –. Efectivamente, 3 kilómetros es más que 1 kilómetro, pero si lo que queremos es cuantificar qué rodeo fue más grande habría que conocer también cuáles eran las longitudes de las rutas directas en ambos casos, para comparar relativamente.

Los niños se quedaron muy serios, pero siguieron caminando con la gafotas porque querían saber a qué se refería su amiga.

–El camino directo a la casa de nuestro amigo Lucas –continuó ella –, si no estuviera cortada la calle con la procesión, tiene una longitud aproximada de 250 metros. Como el rodeo que estamos haciendo tiene una longitud de 1000 metros, podríamos decir que es un rodeo de dilación 4, el resultado de dividir la longitud del rodeo entre la longitud del camino directo.

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–Eso es mucho, ¿no, Mati? –preguntó Sal.

–Pues sí, es un rodeo importante –confirmó ella –.Fijaos que es 4 veces mayor, y mirado en cuestión de porcentajes, el rodeo es un 400% del recorrido directo o, si queréis mirarlo al revés, el camino directo es un 25% del rodeo. Pero si queremos compararlo con el rodeo que dio Sal en su excursión, necesitamos saber cuál era la longitud del recorrido directo…

–Creo que eran unos 1300 metros, Mati –dijo el gafotas –, al menos, eso es lo que recuerdo.

–En ese caso –siguió ella –, la dilación de aquel rodeo fue de 2, 307.

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–¿Ves, gafotas? –dijo de pronto Ven –¡Este rodeo es peorcísimo!

–Es bastante peor, sí –dijo ella –El rodeo hasta la casa de Lucas es un 173,38% del rodeo que dio Sal en su excursión o el rodeo de Sal fue un 57,67% del rodeo que tenemos que dar hoy.

–Jo, Mati –se quejó el pequeño –. No hables de porcentajes que no te entiendo.

–Te enseño, Ven –dijo ella –, es muy fácil. Si quieres saber qué tanto por ciento de 4 es 2,307, solo tienes que dividir 2,307 entre 4 y multiplicar por 100.

 

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–Ahora bien –siguió Mati –, si quieres saber qué tanto por ciento de 2,307 es 4 , solo tienes que dividir 4 entre 2,307 y multiplicar por 100.

 

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–Pues sí –aceptó Ven con una sonrisa –, es muy fácil.

–¿Sabéis? Ahora que hablamos de dilación en rutas –continuó la pelirroja –, una cosa que me llama mucho la atención es la dilación que algunas veces se obtienen al comparar rutas a pie con rutas en coche en las ciudades. Por ejemplo, en Sevilla. Supongamos que queremos ir desde el número 1 de la calle Alemanes al número 10 de la calle García Vinuesa caminando, solo tenéis que recorrer 41 metros, solo hay que cruzar la avenida de la Constitución

 

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–Sin embargo, si queréis ir en coche… –Mati hizo una pausa dramática –tendréis que recorrer ¡¡6700 metros!!

 

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–¡Toma, toma, toma! –exclamó el pequeño –Es increíble.

–Pero es verdad –dijo Mati con un guiño –. No estaría mal ordenar el tráfico teniendo en cuenta la dilación de las rutas no directas.

–Mati, ¿y si cortan una calle y no se puede llegar al sitio donde queremos ir? –preguntó el gafotas.

–Huy, qué pregunta tan interesante –dijo esta –, eso nos llevaría a hablar de conectividad de grafos y ordenación del tráfico. Pero eso os lo cuento otro día porque fijaos quién os está llamando desde el balcón…

–¡¡LUCAS!! –gritaron los niños.

–¡Guau, guuauuuauu, guaaaau!

 

El comentador anumérico

Después de leer los comentarios a nuestra anterior entrada de los lunes sobre El hombre anumérico y tras comprobar desesperanzadaś que algunos no solo no son capaces de comprender el ejemplo que Paulos en su libro como muestra definitiva (y elemental) de anumerismo, sino que incluso se atreven a decir que Paulos está equivocado, se nos ocurre que tenemos que volver a escribir algo más sobre este tema que nos parece crucial.

En primer lugar, la cita que indujo a tantos al error es la siguiente:

“El anumerismo, o incapacidad de manejar cómodamente los conceptos fundamentales de número y azar, atormenta a demasiados ciudadanos que, por lo demás, pueden ser perfectamente instruidos. Las mismas personas que se encogen de miedo cuando se confunden términos tales como «implicar» e «inferir», reaccionan sin el menor asomo de turbación ante el más egregio de los solecismos numéricos. Me viene a la memoria un caso que viví en cierta ocasión, en una reunión, donde alguien estaba soltando una perorata monótona sobre la diferencia entre constantemente y continuamente. Más tarde, durante la misma velada, estábamos viendo las noticias en TV, y el hombre del tiempo dijo que la probabilidad de que lloviera el sábado era del 50% y también era del 50% la de que lloviera el domingo, de donde concluyó que la probabilidad de que lloviera durante el fin de semana era del 100%.”

Evidentemente, tal y como se plantea, el problema es equivalente a lanzar una moneda dos veces al aire (digamos que la primera vez que lanzamos la moneda identificamos “cara = no llueve el sábado”, “cruz = llueve el sábado” y la segunda vez que lanzamos la moneda realizamos las mismas identificaciones con el domingo). Por tanto, la probabilidad de que llueva el fin de semana (para ello basta con que llueva uno de los dos días) es la misma que, al tirar nuestra moneda dos veces, salga al menos una vez cruz. Puesto que todos los casos posibles son “cara-cara”, “cara-cruz”, “cruz-cara” y “cruz-cruz” en tres de los cuatro casos tenemos al menos una cruz, por tanto podemos afirmar que las posibilidades de que llueva al menos uno de los dos días del fin de semana es del 75% (y no del 100%).

Así podemos realizar las siguientes afirmaciones:

  1. La probabilidad de que llueva el fin de semana es del 75%.
  2. La probabilidad de que llueva los dos días del fin de semana es del 25%.
  3. La probabilidad de que no llueva el fin de semana es del 25%.

Uno de los problemas en el que la gente suele errar es creer que la negación (el suceso complementario) de 1) en la lista anterior es 2) y no 3) como en realidad es. Pero obsérvese que ese es un problema de comprensión semántica, lo cual nos lleva a inducir que el anumerismo está mucho más relacionado con la comprensión lectora de lo que pudiera parecer en un primer momento.

Pero, siguiendo con los comentarios recogidos, podríamos pensar en algunas características del anumerismo o del anumérico, estas características, además, nos pueden hacer ver lo importante que es este problema puesto que se relaciona con ciertas pautas o comportamientos que inciden en muchas parcelas de la sociedad.

  • En muchas ocasiones va asociada a una falta de reflexión (el problema de la lluvia el fin de semana es un problema trivial y cualquiera que reflexionara mínimamente sobre él tendría que llegar a la conclusión correcta). Esta falta de reflexión es tremendamente preocupante ya que nada nos impide pensar que no se ha de manifestar en otros campos.
  • Relacionado con el anterior podemos ver una importante grado de rigidez mental. En cierta forma, podríamos clasificar el anumérico en tres grados según su rigidez mental:  el primer grado (y menos grave, aún siendo muy grave) sería el de todo aquel que es incapaz de analizar correctamente y encontrar la solución de un problema elemental, el segundo grado es el de aquel que aún cuando se le presenta la solución es incapaz de comprenderla, pero el anumérico más peligroso (y tenemos unos cuantos ejemplos de ellos en los comentarios a la entrada a la que nos referíamos al principio de esta) es el que cree que ha encontrado la solución correcta, está totalmente equivocado y se niega a ver su error evidente: es anumérico y no lo sabe.
  • En muchas ocasiones, el anumérico está orgulloso de serlo: “las matemáticas no sirven para nada”. Afortunadamente, esta característica no se suele dar en otras disciplinas, nadie se jacta de no haber leído un libro en su vida. Bueno…, puede que alguno sí, pero todos nos hacemos una clara idea de qué tipo de persona es. El problema es que el que se jacta de ignorar hasta las cuestiones más elementales de matemáticas (o de algunas otras disciplinas científicas), de alguna forma se está encuadrando con ese mismo tipo de persona a la que posiblemente desprecia y no lo sabe.

Supongo que la educación debería combatir dichas características, pero mucho me temo que gran parte de la enseñanza de las matemáticas se centran más en que el alumno aprenda de forma automática a realizar ciertos cálculos sin reflexión sobre ellos. Muy significativo e interesante me parece el nombre del blog de mi amigo Pedro Ramos: Más ideas, menos cuentas. En dicho blog se plantea, cómo se deberían enseñar diversos conceptos matemáticos, qué tipo de ejercicios y actividades se podrían realizar en el aula para que el alumno aprenda a pensar de forma autónoma. En la escuela, según mi punto de vista, tanto las matemáticas como la lengua deben centrarse en aprender a razonar y saber expresar dichos razonamientos de forma correcta (lo cual no excluye la adquisición de otro tipo de conocimientos). El inglés debe ser un puente fundamental para comunicarse y adquirir conocimientos, para abrirse nuevos horizontes. Después tenemos otras asignaturas fundamentales que te ayudan a ver la realidad que nos rodea como la geografía, la historia, la tan denostada y necesaria educación para la ciudadanía, lo que se llama actualmente conocimiento del medio o como los que te desarrollan la sensibilidad artística. En este esquema y por su carácter dogmático, la religión debería estar totalmente excluida de la escuela, si una familia quiere educar a sus hijos dentro de cualquier religión, es muy libre de hacerlo, pero dentro del ámbito familiar y sin que la sociedad deba inmiscuirse en ello.

Como coda, quisiera aclarar cómo fijan los porcentajes de lluvia los meteorólogos (teniendo en cuenta que, si lo explicamos con detalle, ello daría para al menos una entrada). Aunque las leyes matemáticas que rigen la meteorología son bastante bien conocidas (sabiendo las condiciones actuales sería teóricamente posible conocer qué ocurrirá en un futuro), presentan el problema de no ser en absoluto simples y muy sensibles ante los datos iniciales: pequeñas variaciones en las mediciones de las condiciones actuales pueden hacer que las predicciones cambien drásticamente. Como esas pequeñas variaciones son inevitables (por errores de los instrumentos, por falta de precisión en las lecturas, etc.), lo que hacen los meteorólogos es correr sus modelos varias veces con pequeñas variaciones de las condiciones iniciales. Así si corren 100 veces su modelo y de ellas en un 50% sale lluvia el sábado y en un 50% no, pueden afirmar que la probabilidad de lluvia es de un 50%. Si el sistema de un meteorólogo está bien calibrado y recogemos a lo largo del tiempo cuántas veces ha llovido y cuántas no para cuando hizo una predicción del 50%, deberíamos de obtener que en un 50% de dichas ocasiones hubo lluvia y en el otro 50% no.

Para terminar, hablando de  lluvia y falacias asociadas a errores lógicos, os recomiendo, si os apetece, que leáis nuestra última mateaventura, publicada el pasado sábado en nuestro blog Mati y sus mateaventuras, en la que hemos querido hacer una pequeña incursión en el mundo de la Lógica, siempre necesaria y, a veces, no suficiente.

Que  no os llueva mucho esta semana.

Un año muy particular

Pues sí, como se suele decir aunque suene a frase de persona mayor, cómo pasa el tiempo…

Hoy hace un año que nos asomamos, con aquel 1…2…3…π…probando, probando…  por esta ventana con mucha ilusión y muchas ganas de transmitiros nuestra pasión por las Matemáticas.

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Espero que os hayamos contagiado algo y que hayáis aprendido un poquito, por pequeñito que sea.

Hoy estamos de fiesta y solo pasamos por aquí para deciros GRACIAS, MUCHÍSIMAS GRACIAS  a todos los que con vuestro cariño nos llenáis de energía e ilusión para seguir en esta tarea de divulgación de las Matemáticas.

Nos seguiremos viendo por aquí, ¿cómo no?

Y, como sabéis, ya podéis disfrutar de nuestras aventuras en papel en nuestro libro “Hasta el infinito y más allá”

 

 

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De nuevo, muchas gracias por todo y seguid disfrutando de la vida en general, y de las Matemáticas en particular.

¡Un beso muuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuy gordo!  ¡M u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u a k!

Mati

 

 

Hamilton y el viajante

–Nos paramos a tomar algo, ¿chicos? –preguntó Mati a los chicos.

–Huy, pues sí –dijo el gafotas –. Estoy un poco cansado.

–Yo quiero un zumo de naranja, sí –añadió el pequeño Ven.

–¡Guauuuu!

Nuestros amigos salieron de paseo para ver su nuevo libro en las librerías. Para optimizar el recorrido, Mati les ha enseñado a diseñar el árbol de recorridos mínimos que conecta su casa con cada una de las librerías que querían visitar. Ahora necesitan un rato de descanso…

 

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–Mati –dijo de pronto Sal –, el árbol que nos has dibujado con el algoritmo de Dijkstra está muy bien,

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pero para ir de la librería Richter a la librería Euler, tenemos que pasar de nuevo por nuestra casa, ¿no se puede diseñar un camino que desde casita vaya a todas las librerías sin tener que pasar otra vez por casa y que sea lo más corto posible? 

–¡Toma! –dijo el pequeño –De la librería Hilbert a la librería Celsius, también hay que volver a pasar por la librería Fahrenheit

–Es cierto –dijo Sal –, lo que necesitamos es un recorrido que empezando y terminando en casa, pase por todas las librerías, sin repetir ninguna, y que sea lo más corto posible. 

–Bueno, bueno, bueno –dijo Mati con car de sorprendida –, lo que acabas de plantear es un problema muy famoso conocido como el Problema del viajante

–Querrás decir del viajero… –interrumpió el gafotas.

–No, del viajante –continuó ella –. Un viajero es una persona que viaja o que relata un viaje. Un viajante, aunque puede ser también alguien que viaja, es un vendedor comercial que hace viajes para negociar sus ventas o sus compras.

–Ah, vale –asintió Sal.

–Pues bien –siguió ella –, en el Problema del viajante se plantea cómo diseñar un recorrido que empiece y termine en el mismo sitio, la oficina del viajante por ejemplo o su hotel en una determinada ciudad, y que pase por todos los puntos que necesita visitar sin repetir ninguno y con la menor longitud posible.

–¿Cómo se resuelve, Mati? –preguntó el pequeño Ven.

–Siento deciros –anunció Mati con voz de drama –que es un problema tremendamente complicado de resolver.

–¿Porque somos pequeños? –siguió indagando Ven.

–No, no –dijo ella –porque es un problema que a partir de, por ejemplo,  25 puntos, 25 puntos que visitar en el recorrido, no se puede resolver ni con el ordenador más potente del mundo.

–¡Tomaaaaaaaaaaaaaa! –se extrañó Ven.

–¿Por qué, Mati? –quiso saber Sal.

–Porque la cantidad de caminos posibles que habría que comparar –dijo ella –es inabordable incluso para una máquina. Es lo que se conoce como un problema NP-duro, pero de esos problemas os hablaré cuando seáis un poco mayores.

–¿Y qué hacen entonces? –preguntó el pequeño apenado.

–Existen estrategias para dar buenas aproximaciones al camino más corto en esas condiciones –respondió la pelirroja –, pero no existe ningún método para calcular el mejor. En cualquier caso, esas estrategias sí son un poco complicadas para vosotros.

–Mati –preguntó Sal saliendo de una ensoñación que lo había mantenido ausente unos segundos –, ¿y si no queremos que sea el más corto posible? Quiero decir, ¿se puede diseñar un recorrido que empiece y termine en nuestra casa y que pase por todas las librerías sin repetir ninguna?

–Vaya –bromeó ella –, esta tarde va de problemas difíciles.

Los niños se quedaron mirando a Mati extrañados, ella siempre sabe resolver cualquier cosa. Gauss bostezó.

–Sí, chicos –continuó –. Lo que Sal plantea ahora es encontrar en este  grafo

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lo que se conoce como un circuito  hamiltoniano, en honor a Hamilton. 

–¡Toma! ¡Claro! –exclamó Ven –El de la Fórmula 1…

–¡Jajajajajajajajaja! –Mati no pudo reprimir la risa –No, este circuito no tiene nada que ver con Lewis Hamilton, sino con William Rowan Hamilton, al que seguro que nuestro amigo Fis conoce muy bien porque le gusta la mecánica cuántica.

–¿Qué es un circuito hamiltoniano, Mati? –preguntó Sal curioso.

–Un circuito o ciclo hamiltoniano en un grafo –dijo ella –es un camino formado por aristas   (los segmentos azules de nuestro grafo) adyacentes que empieza y termina en un vértice (punto rojo) y pasa por todos los demás vértices (los demás puntos rojos de nuestro grafo) sin repetir ninguno.

–¿Cómo se hace, Mati? –preguntó Sal –¿Por qué ‘dices que es un problema difícil?

–Pues porque el problema de saber si existe o no  un ciclo hamiltoniano en un grafo –dijo ella –es un problema que tampoco pueden resolver ni los ordenadores más potentes para grafos con más de, por ejemplo, 50 vértices. Este es un problema NP-completo.

–Pues vaya –dijo Ven con penita.

–Y en nuestro grafo, ¿podemos dibujar un ciclo hamiltoniano? –preguntó Sal.

–Bueno –dijo ella –, en este grafo seguro que vosotros podéis intentar encontrarlo, si existe, hay muy pocos vértices…

Los niños se pusieron a mirar el grafo, al cabo de unos minutos el pequeño Ven gritó:

–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! ¡Sí se puede dibujar un circuito de Hamilton! ¡Mira, Mati!

–No, Ven –interrumpió ella y añadió con un guiño –. No lo dibujes, vamos a dejar a nuestros amigos lectores que lo intenten. Nosotros tenemos que seguir nuestro paseo.

 

 

El hombre anumérico

Estos días ha visitado España John Allen Paulos, matemático y divulgador norteamericano cuya obra más conocida es la que da título a esta entrada. Si queréis, os dejo el enlace a la entrevista que Antonio Martínez Ron le hizo durante su visita, o la entrevista que le hizo Pampa García Molina. Las dos son muy recomendables.

 

En el citado libro, “El hombre anumérico” (y prácticamente en todos sus escritos) Paulos sostiene que lo que él llama “anumerismo” es una manifestación más de cierto analfabetismo (analfabetismo matemático) y que tiene importantes consecuencias (negativas) para nuestra sociedad. Es más, mucha gente se enorgullece de no saber matemáticas (“es que soy de letras”) para justificar que no sabe realizar las operaciones más elementales, ni extraer conclusiones válidas a partir de datos sencillos. En fin…

Naturalmente en su libro Paulos pone muchos ejemplos, pero supongo que todos nos hemos encontrado alguna vez con muchos ejemplos de anumerismo, desde el

“reparte tú la cuenta entre los dos, que eres matemático”,

(a lo que siempre me entran ganas de replicar:

“¿Por qué no me leíste tú el menú que eres de letras?”),

hasta la abuela que para que el niño no salga a la calle y sea secuestrado, lo atiborra de golosinas mientras le pone el televisor (cuando es muchísimo más probable que el niño muera de sobrepeso o atragantado con un caramelo que de resultas de un secuestro por un desconocido).

A raíz de lo anterior: el no saber usar probabilidades o usarlas incorrectamente realizando una interpretación errónea de ellas es uno de los ejemplos más típicos de anumerismo. El mismo Paulos comenta en la introducción de su libro:

“El anumerismo, o incapacidad de manejar cómodamente los conceptos fundamentales de número y azar, atormenta a demasiados ciudadanos que, por lo demás, pueden ser perfectamente instruidos. Las mismas personas que se encogen de miedo cuando se confunden términos tales como «implicar» e «inferir», reaccionan sin el menor asomo de turbación ante el más egregio de los solecismos numéricos. Me viene a la memoria un caso que viví en cierta ocasión, en una reunión, donde alguien estaba soltando una perorata monótona sobre la diferencia entre constantemente y continuamente. Más tarde, durante la misma velada, estábamos viendo las noticias en TV, y el hombre del tiempo dijo que la probabilidad de que lloviera el sábado era del 50% y también era del 50% la de que lloviera el domingo, de donde concluyó que la probabilidad de que lloviera durante el fin de semana era del 100%.”

Está claro que en este ejemplo la probabilidad de que llueva el fin de semana no era del 100% sino de …  ¿Sabe calcularla el lector?

No es difícil si se piensa al revés: ¿Cuál es la probabilidad de que no llueva en todo el fin de semana? La probabilidad de que no llueva el sábado es del 50% (o 1/2) y la probabilidad de que no llueva el domingo es también del 50%, así que la probabilidad de que no llueva ninguno de los dos días es de (1/2)(1/2)=1/4, por lo tanta la probabilidad de que lloviera el fin de semana es del 75%.

El propio Paulos tiene otro libro titulado “Un matemático lee el periódico” en el que se destacan algunos ejemplos de anumerismo en un entorno especialmente sensible como son los medios de comunicación (muchos ejemplos de ello pone también José A. Pérez en su blog). Animada por ello decidí buscar algunos datos que corroboraran que el anumerismo también asola la prensa nacional y se me ocurrió mirar noticias sobre Carlos Fabra y la lotería ya que ese tipo de noticias implica cierto uso de las probabilidades: no debería haberlo hecho, porque el resultado de mis pesquisas es aún peor de lo que podía sospechar a priori. Ay, omá

En diversos medios se comenta las veces que la he tocado la lotería a ese afortunado miembro del Partido Popular y aunque hay divergencia entre las distintas fuentes, parece ser que entre el año 2000 y el 2004 le tocó cuatro veces algún premio de la lotería de Navidad y siete veces en total por la de Navidad o el Niño entre 2000 y 2011. Parece mucha suerte, pero ¿es eso significativo? Para determinar si es significativo o no, debemos saber cuál es la probabilidad de que ocurra y aquí nos encontramos con las primeras sorpresas desagradables: en el diario Levante encontramos esta “perla”: “Según los expertos, la probabilidad de ganar el Gordo del Sorteo de la Lotería de Navidad es de una entre 16,5 millones.” ¡Digo!, ¿quién dijo miseria?

Examinemos dicha afirmación:

Loterianacional

Lo primero es que en la misma noticia no se afirma que al señor Fabra le tocara el gordo de la Navidad, sino alguno de los premios; lo segundo, muy llamativo y ya dentro de nuestra temática es que tengan que consultar a “expertos” para determinar dicha probabilidad, y lo tercero es lo alejado que está dicha probabilidad de la real. No hace falta ser ningún “experto” para determinar que si hay 85.000 números (en la actualidad hay 100.000 números) y solo uno es el gordo, la probabilidad no es una entre 16,5 millones, sino una entre 85.000, una probabilidad que es casi 200 veces mayor que la señalada en el artículo.

Aún más, como en él se señala que en realidad lo que le ha tocado es algún premio, la probabilidad de ello es mucho más alta: en los últimos sorteos hay aproximadamente 5.000 números premiados (excluyendo reintegro que no aumenta el capital invertido) de un total de 100.000, así que las probabilidades de que te toquen si juegas solo un número son de una entre 20, (una probabilidad baja, pero casi 800.000 veces mayor que la señalada en el periódico). A esto se le añade el hecho de que si, como ha declarado Fabra, se juega varios números, la probabilidad evidentemente aumenta. Si compramos 10 números distintos, la probabilidad de que no te toque es de (19/20) ¹⁰ aproximadamente un 60% y por tanto la probabilidad de que te toque es del 40%, esto es una entre 2,5 y no de una entre 16.500.000 como afirmaban los “expertos” en el artículo

Calcular la probabilidad de que te toque al menos cuatro de cinco años o siete de once no es tan sencillo como el caso de un solo año. Primero veamos el caso de que te toque cuatro años seguidos que es más sencillo: simplemente necesitamos multiplicar la probabilidad de que te toque un año (asumamos que tenemos 10 números, que hay 100.000 bolas distintas y que se premian 5.000) esto es: 0,4 por si mismo cuatro veces (0,4)⁴=0,03, esto es: un 3% de posibilidades de que toque; igual para  que te toque siete años: (0,4)⁷=0,002: ésta ya mucho más remota del 0,2%.

El que te toque al menos siete años de once ya son unas cuentas un poco más complicadas, pero vienen a ser las mismas que las del tiempo del fin de semana que comenta Paulos en su libro y que hemos citado anteriormente ¿Se atreve el lector a calcular dicha probabilidad? Espero esos cálculos en los comentarios (cómo me está gustando mandar tareas últimamente).

¿Exime lo dicho anteriormente al señor Fabra de toda duda? Ni mucho menos, existe una posibilidad muy remota de que todo sea producto de la suerte, pero existe otra explicación mucho más lógica y con más probabilidades de haber ocurrido realmente. Pero yo no soy de malmeter…

Las autoras de este blog comenzamos esta andadura, primero desde el Pequeño Libro de Notas, con la esperanza de aportar nuestro granito de arena contra el anumerismo. También con esta misma ilusión acabamos de publicar este libro:

Hasta el infinito y mas alla, portada

 

 

 

De rama en rama, pero por el camino más corto

–Ya hemos llegado –dijo Ven –. Esta es la librería Voronoi.

–El que reparte el bacalao –bromeó Sal.

–¡Toma! ¡Cómo mola el escaparate con nuestro libro! –añadió el pequeño.

–¡Guauu, guauuuu!

–Sí, está precioso –dijo Mati –, me encanta.

–Y hemos llegado rapidísimo gracias al itinerario que tú has preparado, Mati –dijo el gafotas.

Mati20Min_42p

–Bueno, es que la Teoría de Grafos es muy apañada para diseñar rutas de recorridos mínimos –respondió ella con un guiño.

–¿Nos enseñas a hacerlo, Mati? –pidió Sal.

–Con muchísimo gusto –respondió la pelirroja –. Antes de planear la ruta, he dibujado un grafo de la siguiente manera: un vértice, un punto rojo, que representa a nuestra casita. Después he puesto un vértice por cada una de las 10 librerías que queríamos visitar hoy: Celsius, Euler, Fahrenheit, Fibonacci, Gadner, Gauss, Hilbert, Könisberg, Richter y Voronoi.  A continuación, he dibujado aristas, segmentos azules, uniendo esas librerías indicando la distancia en metros de cada posible ruta  que las unía, mirad:

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–Vamos a construir  los caminos de recorrido mínimo desde nuestra casita hasta cada una de las 10 librerías usando el algoritmo de Dijsktra –continuó Mati –El resultado de esta construcción será un árbol.

–¿Un árbol? –preguntó Ven con cara de sorpresa.

–Sí, un árbol –confirmó ella –Es decir, nos quedaremos solo con algunas de las aristas azules de este grafo que acabamos de dibujar de forma que todas las librerías  aparecen conectadas con esas aristas y se puede ir de uno a cualquier otro paseando por ellas. Además, no se forman ciclos de aristas, es decir, no hay ningún recorrido circular como el que aparece marcado con trazo rojo en la siguiente imagen.

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–¿Y cómo sabemos qué aristas se quedan y qué aristas se van?–preguntó el gafotas.

–Eso es lo que  os voy a explicar ahora mismo –anunció Mati con una sonrisa –Para ello, vamos a hacer una tabla que nos ayude, como esta:

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–En la primera columna  –continuó ella –ponemos el nombre de las librerías que queremos visitar. En la columna central, escribimos la longitud del camino más corto  desde casa a la librería correspondiente encontrado  hasta ese momento, y en la última columna el nombre de la última librería de ese camino que hemos visitado antes de llegar a la librería de esa fila.

Los niños asintieron con la cabeza y permanecieron muy atentos, Gauss se dedicó a mirar a las perritas que pasaban…

–Comenzamos desde el vértice que representa a nuestra casa –siguió la pelirroja –, ¿a cuántas librerías podemos llegar directamente desde Casita?

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–A 5 –dijo Sal –: a la librerías Gauss, Euler, Voronoi, Fibonacci y Fahrenheit.

–Efectivamente –confirmó Mati –, vamos a pintar esas librerías de amarillo:

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–Ahora miramos la distancia desde casa a cada una de esas 5 librerías –siguió ella –y la escribimos en la tabla, a las librerías que no están conectadas con nuestra casa le asignamos la distancia infinito, porque aún no podemos llegar a ellas. En esta primera tabla, la en la columna de la derecha solo puede estar nuestra casa porque salimos de allí.

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–Nos fijamos ahora en la librería más cercana de las 5 conectadas a casa –les propuso Mati.

–Hay 2 –dijo Ven rápidamente –, Gauss y Fahrenheit.

–Tendremos que elegir una de ellas –dijo Mati, ¿cuál?

–¡¡Gauss!! –respondieron los niños al unísono.

–¡Guauuuuu, guauuuuu, guaauuuu! –dijo… bueno, ya sabéis quién.

–Muy bien, elegimos la librería Gauss. Pintamos de verde el vértice correspondiente y la arista que la une con nuestra casa.–continuó Mati –. Y ahora desde esta librería, podremos llegar a otras nuevas.

–¡Sí! –exclamó el pequeño — A Euler y a Könisberg.

–Las pintamos de amarillo –concluyó Mati.

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–A continuación, actualizamos la tabla –les dijo –. Desde la librería Gauss podemos llegar a Euler, Fahrenheit, Richter y Könisberg. Calcularemos el recorrido de los 4 caminos que, pasando por la librería Gauss, van de casa a cada una de estas 4 librerías, y para cada una de ellas nos quedamos con el que pasa por Gauss solo si es menor que el que ya está en la tabla. Para la librería Euler, el camino que pasa por Gauss mide 180 (arista entre Casita-Gauss) más 230 (arista Gauss-Euler), esto es, 410. Lo descartamos porque en la tabla anterior Euler está a 330 de casa. Para la librería Fahrenheit, el camino que pasa por Gauss mide 180 (arista entre Casita-Gauss) más 314 (arista Gauss-Fahrenheit), esto es, 494. Lo descartamos porque en la tabla anterior Fahrenheit está a 180 de casa.  Para la librería Richter, el camino que pasa por Gauss mide 180 (arista entre Casita-Gauss) más 198 (arista Gauss-Richter), esto es, 378. Este sí lo cambiamos  porque en la tabla anterior Richter estaba distancia infinita de casa. Y por último, para la librería Könisberg, el camino que pasa por Gauss mide 180 (arista entre Casita-Gauss) más 275 (arista Gauss-Könisberg), esto es, 455. Este también  lo cambiamos  porque en la tabla anterior Könisberg estaba distancia infinita de casa. Solo tenemos que actualizar Richter y Könisberg:

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–Qué chulo, Mati… –Sal estaba embobado.

–Lo es –dijo ella –. Ahora miramos, de nuevo, la columna central y buscamos a quién corresponde el número más pequeño…

–¡Fahrenheit! –gritó Ven — ¡El de los termómetros de Estados Unidos!

–¡Vamos para allá! –exclamó Mati –¡Fahrenheit en verde!

–¡Ahora pillamos a Celsius y a Hilbert! –añadió el gafotas –¡Que se vuelvan amarillos!

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–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! –dijo Ven.

–Actualicemos nuestra tabla –sugirió ella –Desde Fahrenheit se puede llegar a Richter, Celsius, Hilbert y Fibonacci. Estudiemos esos caminos: Para la librería Richter, el camino que pasa por Fahrenheit mide 180 (arista entre Casita-Fahrenheit) más 267 (arista Fahrenheit-Richter), esto es, 447.   Lo descartamos  porque en la tabla anterior Richter estaba a distancia 378 de casa. Para la librería Celsius, el camino que pasa por Fahrenheit mide 180 (arista entre Casita-Fahrenheit) más 255 (arista Fahrenheit-Celsius), esto es, 435.   Este sí lo cambiamos  porque en la tabla anterior Celsius estaba distancia infinita de casa. Para la librería Hilbert, el camino que pasa por Fahrenheit mide 180 (arista entre Casita-Fahrenheit) más 230(arista Fahrenheit-Hilbert), esto es, 410.   Este también lo cambiamos  porque en la tabla anterior Hilbert estaba distancia infinita de casa. Para la librería Fibonacci, el camino que pasa por Fahrenheit mide 180 (arista entre Casita-Fahrenheit) más 450 (arista Fahrenheit-Fibonacci), esto es, 630.   Lo descartamos  porque en la tabla anterior Fibonacci  estaba a distancia 345 de casa. Solo cambiamos entonces Celsius y Hilbert:

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–Como veis –dijo Mati –, estoy marcando en amarillo las librería que ya están en verde, porque esas ya están en nuestro árbol ¿Adónde vamos?

–¡A Voronoi! -gritaron los niños.

–Sí –dijo Mati –Desde Casita, como dice en la tabla. Pintamos de verde Voronoi y la arista que lo une con Casita.

–Y a Gadner de amarillo –añadió el gafotas –porque lo hemos pillado.

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–¡Esto marcha! –dijo la gafotas –Vamos a actualizar la tabla –Desde Voronoi se puede llegar a Euler, Gadner y Fibonacci, veamos esas rutas. Para la librería Euler, el camino que pasa por Voronoi mide 190 (arista entre Casita-Voronoi) más 317 (arista Voronoi-Euler), esto es, 507.   Lo descartamos  porque en la tabla anterior Euler estaba a distancia 330 de casa. Para la librería Gadner, el camino que pasa por Voronoi mide 190 (arista entre Casita-Voronoi) más 170 (arista Voronoi-Gadner), esto es, 360.   Este lo cambiamos  porque en la tabla anterior Gadner estaba a distancia infinita de casa. Para la librería Fibonacci, el camino que pasa por Voronoi mide 190 (arista entre Casita-Voronoi) más 299 (arista Voronoi-Fibonacci), esto es, 489.   Lo descartamos  porque en la tabla anterior Fibonacci estaba a distancia 345 de casa. Solo cambiamos Gadner.

 

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–¿Hacia dónde vamos, caballeros? –preguntó Mati.

–Hacia Euler –dijo el gafotas.

–El de los puentes de Könisberg –añadió Ven.

–Eso es –dijo ella –, vamos a Euler desde Casita según nuestra tabla. Pintamos de verde Euler y la arista Casita-Euler.

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–Si miramos ahora las rutas que llegan a Gadner y a Könisberg pasando por Euler –continuó ella –, miden 745 y 630, respectivamente. son peores que las de la tabla que tenemos, así que no cambiamos nada. Y ahora, ¿adónde vamos?

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–¡A Fibonacci! –dijo Sal.

–¡El de los conejos! –añadió su hermano.

–¡Allá vamos! –dijo Mati –¡A Fibonacci, desde Casita!

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–Las rutas que llegan a Hilbert y a Gadner desde Casita pasando por Fibonacci –dijo Mati –, miden respectivamente, 595 y 655. Son peores que las de la tabla, tampoco cambiamos nada ahora.

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–¡Nos vamos a Gadner! –gritó Sal.

–El bromista… –dijo Ven.

–Muy bien –dijo ella —A Gadner desde Voronoi.

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–Desde Gadner –dijo Mati –no podemos llegar a ninguna librería en amarillo, así que no tenemos que cambiar la tabla.

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–¿Siguiente? –preguntó Mati teatrera.

–¡Richter! –dijo el gafotas.

–¡El de los terremotos! –añadió su hermano.

–¡A Richter desde Gauss! –puntualizó la pelirroja.

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–Tendremos que calcular ahora las rutas que llegan a Könisberg y a Celsius (en amarillo) pasando por Richter –propuso Mati –. Para Könisberg esa ruta mide 603, los 378 de Casita a Richter en nuestro árbol verde más los 225 de Richter a Könisberg; para Celsius, tendemos 658. Los dos son peores que los de la tabla, no cambiamos nada.

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–¡Nos vamos a Hilbert desde Fahrenheit! –anunció el gafotas.

–¡Toma! –dijo Ven –¡A ver si nos lleva a su hotel infinito!

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–Tampoco tenemos que cambiar la tabla –dijo Mati –porque Celsius está más cerca de Casita si vamos por Fahrenheit.

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–¡Vamos que nos vamos! –exclamó el pequeño –¡A Celsius desde Fahrenheit!

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–Pues ya está -dijo el gafotas –porque Könisberg está más lejos por Celsius, así que a Könisberg por Gauss como dice la tabla, ¿no, Mati?

–Perfecto –dijo Mati orgullosa de sus exploradores.

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-Ya lo tenéis –anunció la pelirroja –Si nos quedamos solo con las aristas verdes, tenemos el árbol que nos proporciona los recorridos de longitud mínima desde casa hasta cualquiera de las librerías que venden nuestro libro.

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–¡Toma, toma, toma!¡Mola infinito! –dijo Ven.

–¡Y más allá! –añadió su hermano.

–¡Guauuuuuuuuuu! –dijo Gauss poniendo una nota discordante…

 

 

Érase una vez… las Matemáticas

Hoy es un día muy especial para las dos autoras de este blog, porque hoy, después de casi 2 años de mateaventuras, casi 2 años después de que nuestra pelirroja nos asegurara que El 1 nunca fue un soldado, llega a las librerías, editado por Espasa, el primer libro de Mati con el título Hasta el infinito y más allá.

Hasta el infinito y mas alla, portada

 

 

En este libro hemos recogido algunas de las mateaventuras  publicadas en el Pequeño Libro de Notas y otras inéditas en un paseo hasta el infinito que termina en el Museo Guggenheim. Como decía un amigo mío el otro día en Twitter, si  es hasta el infinito, tiene que terminar en Bilbao 😉

Los contenidos del  libro no son los que podemos encontrar en los programas de Primaria y Secundaria en nuestro país, no pretende insistir en los mismos conceptos que se estudian en nuestros colegios y/o institutos, sino, más bien, servir de complemento y estímulo, además de ser utilizado como herramienta de apoyo por parte de profesores y educadores e, incluso, presentar retos dentro del ámbito familiar.

 

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Para ello, Mati pretende mostrar algunas de las muchas caras amables de las Matemáticas a través de conceptos que van desde el nombre de los distintos conjuntos de números que manejamos habitualmente hasta temas de investigación en el área de la Geometría Computacional o la Teoría de Grafos. También trata de aportar su granito de arena en la lucha contra el anumerismo intentando desterrar algunas de las falacias asimiladas en la sociedad sobre juegos y sorteos, señalando algunos errores que, a veces, encontramos en la prensa sobre escalas,  o sugiriendo cómo sorprender a todos con un poco de magia, por ejemplo. Todo ello en un lenguaje sencillo y asequible para todos aquellos que sientan curiosidad por esta disciplina y quieran quitarse el sambenito de haber sido siempre muy malo para las mates.

Hasta el infinito y más allá no solo es para los niños, ni mucho menos. Casi todas las historias que vienen en el libro, pueden compartirse con niños a partir de 7 u 8 años. Y subrayo lo de compartirse porque esa es la idea de todo el proyecto, que los padres, tíos, adultos en general, puedan tener una acceso rápido a algún concepto, acertijo o curiosidad matemática, que no conoce o que no recuerda, de forma sencilla (estamos todos mu estresaos) y compartirla con su hijo, sobrino, o con quien sea. A solas, un niño puede leerlo a partir de 9 años.

Eso sí, no hace falta pedir un niño prestado para poder disfrutar de las aventuras de nuestros protagonistas, también puede ser una lectura amena para adultos donde descubrir, como ya he dicho antes, curiosidades, anécdotas… todas relacionadas con Matemáticas y enterarse, por ejemplo, de qué pasó aquella noche en el casino de Montecarlo…

Y además, como dijo Ven cuando lo tuvo en sus manos, es tan pequeñito y tan bonito que entran ganas de leerlo…

pequenito

 

 

Pues sí, solo 128 páginas bastarán para viajar de la mano de nuestros amigos hasta el infinito. Pero no más allá, porque más allá no hay nada, por mucho que lo dijera Buzz 😉

 

 

 

Hoy toca pensar (y mañana también) — Las soluciones

En el capítulo de Mati del pasado lunes propusimos algunos retos y ya anunciamos que en el capítulo de hoy íbamos a dar las soluciones a dichos retos. Pero antes repasemos dichos retos. Primero, propusimos una al que dimos la solución:

Supongamos que tenemos un tablero de ajedrez y varios juegos de dominó tal que sus piezas cubren dos casillas del tablero; es evidente que con 32 piezas de dominó se puede cubrir todo el tablero, pero una pregunta clásica es la siguiente: si eliminamos dos casillas que ocupan alguna de las esquinas diagonalmente opuestas del tablero: ¿podemos cubrir las casillas restantes con piezas de dominó de tal forma que cada pieza cubra dos casillas y que no se superpongan?

Fuente
 

Tal y como decíamos, la solución de este enigma no era excesivamente complicada y para ello basta con contar el número de casillas blancas y el de casillas negras que nos quedan (no es el mismo quitemos los pares de esquinas opuestas que quitemos) y observar que cada ficha de dominó tapa una blanca y una negra. Lo que quisiera destacar es que el uso los dos colores en los escaques es una ayuda fundamental a la hora de resolver el problema. Del ajedrez pasábamos a un cubo:

Supongamos que tenemos un cubo dividido en 27 cubitos como en la figura:

cubo de rubik

 

Si una hormiga comienza a horadar un túnel comenzando por una de las caras de uno de los cubitos de alguna esquina y pasando de un cubito a otro a través de una pared común (no a través de un lado, ni de un vértice), ¿podrá nuestra hormiga terminar en el cubito central después de haber pasado por todos los demás cubitos y sin repetir ninguno?

La idea para resolver este problema es usar un truco similar al anterior y colorear los 27 cubitos de blanco y negro alternativamente (de tal forma que dos cubos que compartan una pared común no tengan el mismo color. Así  nos quedaría algo como muestra la siguiente figura (el resto de los cubitos que no se ven tienen que seguir el mismo patrón):

cubo-de-rubik-300x300

 

La idea es que nuestra hormiga empieza a horadar en alguna de las caras de una de las esquinas, esto es: empieza en un cubito negro en nuestro dibujo y pasa a un cubito con el que comparta cara, por tanto el segundo cubito por el que pasa será blanco. Pero como tenemos 27 cubitos, empezando en negro, pasamos a blanco (como hemos dicho), después negro, blanco, etc., y tendremos que acabar en negro forzosamente ya que como hemos coloreado tenemos 14 cubitos negros y 13 blancos, por lo tanto, nuestra hormiga acabará en un cubo negro. Como nos preguntábamos si podíamos acabar en el cubo central, la pregunta será ¿de qué color es el cubo central? Observando un poco, vemos que el cubito central es blanco y ello nos demuestra que nuestra hormiga no puede acabar su “paseo” en él. No era tan difícil ¿verdad? La clave ha residido en saber dar una estructura adecuada y una propiedad, basándonos en dicha estructura que nos ha permitido solucionar el problema.

¿Pasamos al otro reto?

El esquema que exponemos a continuación representa a 13 ciudades y a las carreteras que las unen:

hamilton

La pregunta en este caso es: ¿podemos realizar un recorrido empezando y terminando en alguna de las ciudades y pasando por todas las demás ciudades y sin repetir ninguna? (El camino empieza y termina en la misma ciudad).

¿Podremos utilizar el mismo truco (o similar) para resolver este problema? La respuesta, como supongo que ya empezáis a sospechar es que sí. Efectivamente, podemos “colorear” nuestras ciudades de blanco y negro de tal forma que si dos están unidas no compartan el mismo color de la siguiente forma:

hamilton-300x225Ahora observamos que cualquier recorrido que acabe y termine en la misma ciudad y que no repita ninguna ha de contener forzosamente el mismo número de ciudades blancas que negras, pero en nuestro caso tenemos 6 ciudades negras y 7 blancas, luego no podremos pasar por todas en un recorrido con las condiciones expuestas.

Una vez que se ve la solución parece sencillo, ¿verdad? el problema ha sido resuelto siempre usando el mismo esquema: sea una tablero, un cubo dividido en cubos o un mapa de carreteras, hemos visto que podemos colorear con dos colores de tal forma que dos elementos contiguos no comparten el mismo color, después hemos usado dicho coloreado para tratar de encontrar la solución.

Nos quedaría por resolver el caso de qué ocurre cuando eliminamos dos casillas de distinto color en un tablero de ajedrez ¿podemos recubrir los escaques restantes con fichas de dominó? Tal y como apuntó alguno en los comentarios, este caso es relativamente distinto a los anteriores y se trata de examinar todos los casos posibles. Vamos a tratar de examinar dichos casos (sin dar la solución explícitamente que no será excesivamente difícil de encontrar para el lector):

Primero sugiero que pensemos que una de las casillas que eliminamos sea una esquina (supongamos que la superior izquierda: blanca), como la otra casilla ha de ser negra, el rectángulo que definen entre ambas forzosamente ha de tener o un número impar de columnas y un número par de filas o un número par de columnas e impar de filas. Tratad de solucionar dicho caso. A partir de lo visto en el caso anterior, se puede atacar el caso general: suerte.

Redonda, sí, pero no es una función

Anteriormente en Mati, una profesora muy particular…

–¡Moooooooooooooola! –volvió a exclamar el pequeño.

–Sí, mola –corroboró Mati –. La recta de ecuación 2x -3y +1=0 es la gráfica de la función f(x)=(2x+1)/3.

–¿Todas las rectas son gráficas de una función, Mati? –preguntó el gafotas.

–Todas, menos las rectas verticales  –dijo ella –. Basta que despejéis, en la ecuación de la recta, el valor de y y lo que os salga es la función de x que estáis representando.

–¡Toma! –exclamó Ven –¡Y lo podremos hacer también con las ecuaciones de las circunferencias!

–¡No! –dijo de pronto Mati –Las circunferencias no son la gráfica de una función, sino de 2 funciones…

–Sí, hombre… –dijo Ven desconfiado. –Piensa un poco –le retó la pelirroja –, a ver si sabes por qué. Pero ahora vamos que es la hora de la función de Sal.

En el capítulo de hoy…

–¿Nos lo cuentas, Mati? –pidió Ven con cara de no haber roto un plato en su vida.

–¿Qué queréis que os cuente, Ven? –dijo ella.

–Por qué dijiste que las circunferencias no son una función como las rectas.

–Ah, eso –exclamó Mati –. Con mucho gusto, caballeros. Os explicaré por qué las circunferencias no son la gráfica de una función.

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Sal y Ven sacaron su cuaderno dispuestos a escuchar la explicación de Mati. Gauss no parecía demasiado interesado, la verdad.

–Como os dije la otra tarde –comenzó a decir la pelirroja –, una función es una regla o ley que te permite asignar a cada elemento de un primer conjunto un único elemento de otro conjunto.

–¿Y? –preguntó el gafotas.

–Cuando tenemos una recta, los puntos sobre el   eje horizontal, el de abscisas, os lo conté cuando explicamos coordenadas cartesianas, son elementos del primer conjunto –les dijo –, y la función, cuya gráfica está representada por dicha recta, asigna a cada punto del eje de abscisas, o mejor dicho, al valor que representa,  la segunda coordenada del único punto sobre la recta que tiene como primera coordenada dicho valor en la abscisa.

Los niños arrugaron sus caritas como pasas. Gauss ladró bajito haciéndose el interesante.

–¿Lo vemos con un ejemplo? –preguntó Mati.

–Por favor –dijo Sal.

–Vamos a dibujar en nuestros ejes coordenados la recta de ecuación y=2x + 1 –dijo Mati –, que es la gráfica de la función f(x)=2x+1. Para ello solo necesitamos dar 2 valores a x, porque por 2 puntos pasa una única recta. Para x igual a 0, y será 2 por 0 más 1, o sea 1. La recta pasa por el punto (0,1). Para x igual a 1, y será igual a 2 por 1, 2, más 1, o sea 3, la recta pasa por el punto (1, 3).

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–Ahora, ya veréis como a cada punto del eje de abscisas –continuó Mati –solo le corresponde un valor de la función f(x)= 2x + 1. Decidme un número.

–¡El 4! –gritó Ven.

–Para calcular el valor que nuestra función asocia al número 4 –dijo ella –o bien sustituimos x por 4 en la función, o bien, trazamos una recta vertical sobre el 4 del eje de abscisas.

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–Pintamos la recta vertical que pasa por el 4 –dijo Mati –que en realidad es el punto (4,0) del plano. Esta recta vertical será la recta de ecuación x=4 y vamos a ver cómo sólo corta a nuestra función, la recta verde.  en un único punto:

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–La corta en el punto (4, 9) –dijo Sal.

–Y sólo en el (4, 9) –añadió Mati –. Eso significa que f(4)=9, es decir, que la función asocia al 4 el valor 9.

–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! –exclamó Ven.

–Vamos a ver ahora qué pasa con la circunferencia –les propuso Mati –. Decidme el centro y el radio.

–El centro será el (0,0) –dijo de repente el pequeño.

–Y de radio 5 –añadió el gafotas.

–Vamos a calcular su ecuación como os enseñé –les propuso ella.

 

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–La ecuación es x2 + y2= 25 –dijo Sal.

–Ahora la dibujamos en nuestros ejes coordenados –dijo ella.

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–Veréis qué pasa si quisiéramos calcular la imagen del 2 –propuso Mati –en la función cuya gráfica es la circunferencia verde. Para ello, como antes, dibujamos la recta vertical sobre el 2, la recta de ecuación x=2.

 

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–¡Toma, toma, toma! ¡Es verdad! –gritó Ven –¡Es verdad!

–¿Y por qué pasa eso? –quiso saber el gafotas.

–Pues verás  –empezó diciendo ella –, si despejamos y en la ecuación de la circunferencia nos queda:

 

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–Pero, Mati –dijo Sal –, has conseguido despejar y en la ecuación, entonces ¡es una función!

–No –respondió esta –, porque no da un único valor para cada x

–¡Anda que no! –dijo Ven.

–Pues no –dijo Mati respondona –¿Cuánto vale la raíz cuadrada de 4?

–¡2! –dijo Sal con entusiasmo.

–O -2 –añadió la pelirroja –Porque -2 al cuadrado también es 4.

–Ah, claro –reconoció el gafotas.

–Si en la ecuación de la circunferencia –continuó ella –sustituimos x por 4, ¿qué ocurre?

 

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–¡Tooooooooooooomaaaaaaaaaaa! –gritó Ven.

–Por eso –dijo Mati –, cuando aparece la raíz cuadrada ponemos delante +√9, -√9 o, incluso ±√9, si queremos indicar que consideramos los 2 posibles valores de la raíz cuadrada.

–Ajá –asintió el gafotas, mientras su hermano seguía mirando el dibujo de la circunferencia de centro (0,0) y radio 5 que habían dibujado en el cuaderno.

–¡Qué pena! –dijo –Tan redondita y no es una función…

Hoy toca pensar (y mañana también)

Parte del valor de las Matemáticas (de la disciplina, no de las afortunadas que nos dedicamos a la misma),  al margen de su utilidad y aplicación a otras disciplinas, radica en la capacidad que tienen para hacernos pensar. Pero hacernos pensar bien, en el sentido de que hemos de ordenar nuestro pensamiento y determinar las pautas adecuadas que nos permitan resolver el problema con el que nos enfrentamos. Me gustaría poner tres ejemplos de problemas muy conocidos que comparten un espíritu común. Del primero daré la solución, aunque propondré variantes de las que no adelantaré la suya, pero de los otros dos solo daré alguna pista. Una aclaración: son problemas para todas las edades, podemos decir que de 9 a 99 años.

¿Estamos listos? Puesto que decimos que tenemos que ser ordenados, empezaremos por el primero:

Supongamos que tenemos un tablero de ajedrez y varios juegos de dominó tal que sus piezas cubren dos casillas del tablero; es evidente que con 32 piezas de dominó se puede cubrir todo el tablero, pero una pregunta clásica es la siguiente: si eliminamos dos casillas que ocupan alguna de las esquinas diagonalmente opuestas del tablero: ¿podemos cubrir las casillas restantes con piezas de dominó de tal forma que cada pieza cubra dos casillas y que no se superpongan?

La respuesta no es excesivamente complicada si encontramos la clave para resolver el problema: cada ficha de dominó ocupa dos casillas de ajedrez, y como dichas casillas son contiguas han de ser forzosamente de distinto color: una casilla negra y otra blanca, por tanto con las fichas de dominó cubriremos siempre el mismo número de casillas blancas que negras; pero dos casillas diagonalmente opuestas siempre tienen el mismo color, por lo tanto en nuestro tablero “mutilado” tendremos más casillas de un color que de otro y será imposible de cubrir con fichas de dominó.

Ahora supongamos que eliminamos dos casillas de distinto color: ¿se puede siempre cubrir el tablero con fichas de dominó? ¿existen casos en los que sí y otros en los que no? Espero vuestras soluciones en los comentarios.

Para los otros dos problemas no voy a dar la solución, aunque daré alguna pista al final:

Supongamos que tenemos un cubo dividido en 27 cubitos como en la figura:

cubo de rubik

 

Si una hormiga comienza a horadar un túnel comenzando por una de las caras de uno de los cubitos de alguna esquina y pasando de un cubito a otro a través de una pared común (no a través de un lado, ni de un vértice), ¿podrá nuestra hormiga terminar en el cubito central después de haber pasado por todos los demás cubitos y sin repetir ninguno?

El último puede que sea el más difícil, pero si habéis resuelto los anteriores tenemos un buen entrenamiento que nos permitirá atacarlo con la actitud adecuada:

El esquema que exponemos a continuación representa a 13 ciudades y a las carreteras que las unen:

hamilton

La pregunta en este caso es: ¿podemos realizar un recorrido empezando y terminando en alguna de las ciudades y pasando por todas las demás ciudades y sin repetir ninguna? (El camino empieza y termina en la misma ciudad).

Espero que os gusten los problemas propuestos y que dejéis vuestras soluciones en los comentarios, pero…, un momento: se me olvidaba que había prometido alguna pista. No quiero ser muy explícita, pero digamos que para solucionar el problema de cubrir con fichas de dominó el tablero de ajedrez sin dos esquinas opuestas ha venido muy bien que las casillas del tablero sean blancas y negras y con una disposición muy específica.

Venga, va, deja de pensar en la estupidez que haya dicho alguno de nuestros ministros este fin de semana y trata de resolver estos retos.

Espero que mis alumnos de Matemática Discreta sepan resolverlos todos sin ningún esfuerzo… 😉