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Archivo de Febrero, 2013

Una función muy importante

–Descansa un poco, Sal. Ya te sale muy bien…

–No, no estoy seguro, Ven. Quiero hacerlo muy bien en la función del Día de Andalucía.

–¿Vais a tocar todos los de tu clase a la vez? –preguntó Ven.

–Claro –respondió el gafotas –¿Por qué?

–En ese caso te recomiendo que no soples demasiado… –le sugirió el pequeño.

–¿¿Por qué?? –preguntó Sal extrañado.

–No sé, no te sale muy bien –respondió el pequeño mirando a otro lado.

–Acabas de decir lo contrario, Ven –respondió Sal –. Mentiroso… Voy a seguir ensayando.

–No, de verdad –suplicó Ven –. Nos estás martirizando…

–Se trata de celebrar el día de nuestra comunidad autónoma, Ven –le espetó Sal con aire digno –. Me parece que no eres consciente de la importancia de esta función…

–Huy, todas las funciones son muy importantes –Mati acababa de llegar –, al menos, a los matemáticos nos apasionan.

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–Hola, Mati –la saludó el pequeño Ven muy contento — ¿Nos vamos al parque con Gauss?

La mascota comenzó a mover la cola con entusiasmo ante la propuesta de Ven.

–Hola, Mati –la saludó Sal serio — ¿Por qué te gustan tanto las funciones? ¿Las de música?

–Esas también –respondió la pelirroja –, pero me refería a las funciones matemáticas.

–¿Qué son funciones matemáticas? –preguntó el pequeño y añadió con cara de pillo –¿Cantáis sumas y multiplicaciones?

–No, no es eso –le contestó ella con un guiño –Una función matemática no es más que una regla o ley que te permite asignar a cada elemento de un primer conjunto un único elemento de otro conjunto.

–No entiendo… –aceptó Ven.

–Os lo explico con un ejemplo –propuso ella –. Una función podría ser asignar a cada  número el valor de su cuadrado. Al 1 le asignamos el 1, al 2 le asignamos el 4, al 3 le asignamos 9… y así sucesivamente.

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–¡Eh, un momento! –dijo Ven –Has asignado el mismo número al 1 y al -1. Eso no vale.

–Sí, Ven, sí vale –dijo Mati –. A dos elementos del primer conjunto se les puede asignar el mismo elemento del segundo conjunto. Piensa por ejemplo en una función que a cada palabra del castellano le asignara su primera letra. Habría muchas palabras que tendrían asignada la a, por ejemplo.

–Toma, claro –aceptó el pequeño.

–Pero en matemáticas estudiamos, principalmente, funciones entre conjuntos numéricos –continuó la pelirroja –. A las funciones se les suele llamar f, de función, y la función que hemos descrito que asigna a cada número su cuadrado se escribiría así:

 

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–Eso significa –continuó Mati –que f transforma lo que está entre paréntesis, x, en eso mismo, x, al cuadrado. Nuestro amigo Fis dice que le parece una f embarazada, con su x en la tripa.

–¡Toma! ¡Es verdad! –dijo Ven divertido.

–Pues sí, no lo había pensado nunca, pero sí –añadió Mati –. Yo siempre las veo como una especie de máquina, en las que entra un número y sale transformado.

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–¿Para qué sirven las funciones, Mati? –preguntó Sal.

–Huy, para muchísimas cosas –respondió Mati –. Por ejemplo, se pueden usar para estudiar fenómenos físicos, químicos, económicos…

–¿Nos dices otra función Mati? –pidió el pequeño.

–Pues sí, de hecho ya os he dicho algunas anteriormente –respondió ella –, aunque no la llamásemos así. Pero cuando estudiábamos las ecuaciones de las rectas, estábamos dibujando funciones.

–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! –gritó Ven.

–No entiendo, Mati –resopló el gafotas.

–Intentaré explicarlo –anunció ella –. Hay varias formas de representar una función. Una, ya la hemos visto, escribiendo f(x)=x2 . A x se le llama variable independiente de la función y, como veis, representar de esta forma una función consiste, simplemente, en escribir una expresión en la que aparece la variable, x, por ejemplo: f(x)= x2, f(x)= 3x3-1, f(x)=x/2…

–Ajá –dijo Ven muy serio, Sal miró a su hermano por encima de sus gafotas.

–Pues bien –continuó ella –, cada función de x se puede representar también como una curva en el plano. Para ello, vamos a dar algunos valores, los que queramos, a la variable x y pintamos en el plano cartesiano, los puntos de coordenadas (x, f(x)), como aprendimos cuando estudiamos las coordenadas cartesianas.

–A mí me gustan más las coordenadas polares… –interrumpió el pequeño, Sal le recriminó con la mirada y Mati siguió:

–Vamos a escribir, para ayudarnos, una tabla donde ponemos los valores que le vamos dando a x y el correspondiente valor que le asigna  f(x)= x2

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–Esto significa –prosiguió ella –que la gráfica de nuestra función, f(x)= x2, pasa por los puntos de coordenadas: (-2,4), (-1, 1), (0,0), (1,1) y (2,4). Pues bien, la gráfica de nuestra función  f(x)= x2 es la siguiente curva roja, llamada parábola.

 

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–¡Mola! –dijo Ven.

–Ahora, si tenemos la ecuación  de una recta, por ejemplo , en forma implícita –continuó la pelirroja –, 2x-3y+1=0, vamos a dejar solita a la y en  la izquierda de la expresión y pasamos el resto de términos a la derecha.

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–¿Veis? –preguntó Mati.

–¿¿Qué?? –dijeron los dos hermanos a la vez.

–Tenemos que y es igual a una expresión de x –respondió ella –. Cuando esto ocurre, decimos que y es una variable dependiente de x y tenemos, por lo tanto, una función de x:

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–¿Cómo sabes que eso es una función de x? –preguntó el gafotas.

–Porque es una máquina que transforma números en otros –respondió ella guiñando un ojo.

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–¡Moooooooooooooola! –volvió a exclamar el pequeño.

–Sí, mola –corroboró Mati –. La recta de ecuación 2x -3y +1=0 es la gráfica de la función f(x)=(2x+1)/3.

–¿Todas las rectas son gráficas de una función, Mati? –preguntó el gafotas.

–Todas, menos las rectas verticales  –dijo ella –. Basta que despejéis, en la ecuación de la recta, el valor de y y lo que os salga es la función de x que estáis representando.

–¡Toma! –exclamó Ven –¡Y lo podremos hacer también con las ecuaciones de las circunferencias!

–¡No! –dijo de pronto Mati –Las circunferencias no son la gráfica de una función, sino de 2 funciones…

–Sí, hombre… –dijo Ven desconfiado.

–Piensa un poco –le retó la pelirroja –, a ver si sabes por qué. Pero ahora vamos que es la hora de la función de Sal.

 

 

 

¿Estamos enfermos?

No hace mucho leí (pero no recuerdo dónde) que una de las fórmulas más importantes de la ciencia para saber interpretar correctamente algunos hechos de la vida cotidiana es el teorema de Bayes, por desgracia también es uno de los resultados que más gente se equivoca al usarlo: debe de ser un problema general con la estadística y la probabilidad, todo el mundo se cree que sabe lo suficiente para utilizarla y, en muchos casos, eso no es cierto… En fin. Como ya hemos comentado en otras ocasiones, se cometen errores hasta en el uso de los elementos más sencillos como la media o en casos de probabilidad no demasiado complicados. El problema con el que nos enfrentamos hoy es que, por una parte, la probabilidad condicionada (de eso se trata) aparece por todas partes y, por otra, en muchos, muchos casos se interpreta de forma totalmente errónea. Ya hablamos en su día sobre las probabilidades condicionadas, pero hoy me gustaría entrar en un caso el que se suele errar (y mucho).

Tal vez lo más apropiado sea poner un ejemplo típico que se pone muchas veces para explicar este hecho: supongamos que 10.000 personas nos hacemos una prueba médica para detectar si tenemos una enfermedad muy grave: mortal de necesidad y que esta, en nuestro caso, sale positiva ¿podemos afirmar con total rotundidad que tenemos dicha enfermedad? ¿Todo ha acabado para nosotros? Todos podemos comprender que eso dependerá de la fiabilidad de la prueba realizada. Lo que a muchos se le escapa es que también depende de la rareza de la enfermedad y eso es absolutamente fundamental y varía el resultado de forma dramática. Vamos a tratar de explicarlo:

Supongamos que la enfermedad a cuya prueba nos estamos sometiendo la tiene el 0.1% de la población (uno de cada mil habitantes tiene la enfermedad). Naturalmente las pruebas tienen un cierto porcentaje de error, así supongamos que si tienes la enfermedad, la prueba la detecta correctamente en un 90% de los casos y que si no tienes la enfermedad, la prueba falla (te dice que tienes la enfermedad sin tenerla) en un 10% de los casos, esto es: acierta también en un 90% de los casos. Sigamos suponiendo que, por desgracia, el test sale positivo (asegura que tenemos la enfermedad): ¿qué probabilidad hay de que tengamos realmente la enfermedad? En este punto, la inmensa mayoría de la población dirá que un 90%, pero esto es totalmente erróneo como vamos a tratar de explicar (estimados trolls: leed hasta el final antes de decir que la que estoy totalmente equivocada soy yo, aunque soy consciente de que eso va en contra de vuestro espíritu).

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Este es un caso de lo que se conoce como probabilidad condicionada tratamos de saber qué probabilidad tenemos de haber contraído la enfermedad sabiendo que el resultado del test es positivo. En realidad, las cuentas no son muy complicadas: si el 0,1% de la población tiene la enfermedad, esto significa que aproximadamente 10 de los 10 000 que han pasado la prueba tienen la enfermedad y como el test positivo en ellos falla en un 10%, resulta que en 9 de los individuos sometidos a la prueba, el test ha dicho que tienen la enfermedad y es correcto. Pero un cierto porcentaje de los examinados (un 10%) no tienen la enfermedad y el test dice que sí la tienen. Los que no tienen la enfermedad son (aproximadamente) 9 990 y de ellos un 10% dan falso positivo: un total de 999. Así tenemos a 9+999=1 008 positivos de la prueba, pero de ellos solo 9 tienen realmente la enfermedad. En otras palabras si el test en nuestro caso ha resultado positivo, la probabilidad de que tengamos la enfermedad es de 9/1 008=  0,0089… esto es ¡¡¡¡¡menos de 1%!!!! Así que la probabilidad de que estemos enfermos no es muy grande (90%) sino muy, muy pequeña (0,9%).

Supuesta imagen de Bayes

Supuesta imagen de Bayes

Naturalmente lo dicho anteriormente se refiere a una población sometida a unas pruebas, si hemos desarrollado otros síntomas que corroboren el resultado de las pruebas sí que puede ser interesante poner en orden nuestras vidas y tratar de repetir cuánto amamos a aquellos que realmente nos importan. Igualmente, si la enfermedad no es tan rara, las probabilidades varían. Supongamos, ahora que se trata de una epidemia que afecta al 50% de la población, veremos que con la misma fiabilidad de las pruebas la cosa varía totalmente:

Ahora, 5 000 personas aproximadamente tienen la enfermedad y de ellos un 90% dan positivo en las pruebas, esto es: tenemos 4 500 enfermos que dan positivo en el test. De los 5 000 sanos, un 10% de ellos también dan positivo: 500 en total. Por lo tanto, en total 5 000 personas han dado positivo en el test (4 500 realmente enfermos y 500 que no lo están). Rehaciendo las cuentas de antes, la probabilidad de que tengamos la enfermedad es de 4 500/5 000 = 0,9, esto es: un 90%.

 

He tratado de eludir las fórmulas en esta explicación, pero sí me gustaría decir que este es un ejemplo del Teorema de Bayes, llamado así en honor del religioso presbiteriano Thomas Bayes (siglo XVIII)  del que se supone (nunca publicó sobre el tema) que fue el primero en estudiar dicho resultado.

En cualquier caso, sea cuál sea la probabilidad de tener una enfermedad chunga, mi consejo es que tratemos de sonreír todo lo posible mientras podamos, mientras nos dejen…

Con Gauss en el super

–Vamos, Ven –dijo Sal –. Estoy deseando llegar para prepararnos la merienda.

–Voy todo lo rápido que puedo, Sal –respondió el pequeño –, pero es que estas manzanas pesan mucho.

–No te quejes, enano –dijo el gafotas –, que yo llevo todo el queso…

–Claro, como te has comprado todo el queso del super… –protestó el pequeño — Oye, Sal, ¿te puedo hacer una pregunta?

–Dime.

–¿¿Cuánto te has gastado en queso?? –le espetó Ven un poco ofuscado.

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–No tanto… –respondió este –¿Por qué?

–Porque mamá te avisó de que no te pasaras comprando queso, ¿sabes?

–Bueno –se defendió el mayor –, mamá nos dio 20 € y nos han sobrado 4. No lo hemos gastado todo y hemos comprado también manzanas y pan.

–Ya, pero las manzanas y el pan eran más baratas –insistía Ven en su reprimenda.

–No te creas –siguió el gafotas –, en manzanas hemos gastado el doble que en pan.

–¿Y en queso? –continuó el pequeño en su indagación.

–En queso sólo el triple que en pan –dijo Sal y añadió bajando la voz —más lo que hemos gastado en manzanas.

–¿Y eso cuánto es? –preguntó Ven cada vez más impaciente.

–Huy, eso se puede calcular muy bien resolviendo un sistema de ecuaciones –intervino Mati que había estado pendiente de la conversación mientras los acompañaba de vuelta a casa.

–Ea, pues ya sabes, Ven –concluyó el gafotas –, solo tienes que resolver el sistema de ecuaciones que dice Mati.

–¿Qué ecuaciones, Mati? ..preguntó el pequeño –¿Cuál es la incógnita?

–Las, las incógnitas –dijo esta –. Son tres en este caso: lo que habéis gastado en manzanas, lo que habéis gastado en pan y lo que habéis gastado en queso.

–¿¿3 incógnitas?? –el gafotas se interesó de pronto en la conversación –Solo sabemos resolver sistemas de 2 ecuaciones con 2 incógnitas.

–Sí –confirmó Mati –, pero el mismo método de Gauss que os enseñé para sistemas de 2 ecuaciones con 2 incógnitas se puede usar para sistemas de 3 ecuaciones con 3 incógnitas.

–¿Seguro? –preguntó Sal desconfiado –¿Cómo?

–Os lo explico con vuestra compra –les dijo Mati –. Vamos a definir las incógnitas del problema.

 

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–Esto tiene pinta de ser muy difícil… –dijo Ven por lo bajini.

–Para nada, Ven –dijo ella –, ya verás. Ahora vamos a ir escribiendo las ecuaciones con los datos que me habéis dicho ¿Cuánto habéis gastado en total?

–¡16 €! –se apresuró a contestar el pequeño.

–Ajá, eso significa que la suma de las 3 incógnitas es igual a 16.

 

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–En manzanas hemos gastado el doble que en pan –añadió el gafotas.

–Muy bien –dijo la pelirroja –, vamos a expresar ese dato como otra ecuación:

 

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–Sí, pero en queso hemos gastado el triple que en pan más lo que hemos gastado en manzanas –dijo Ven con vehemencia.

–Ese dato –dijo Mati –lo expresaremos de la siguiente forma:

 

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–¿3 ecuaciones? –preguntó Ven con cara de espanto.

–Sí –le respondió Mati –. Si queremos tener un solución única, necesitamos, al menos,  tantas ecuaciones como incógnitas, como nos pasaba el otro día. Ya tenemos nuestro sistema de ecuaciones:

 

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–¿Y ahora? –preguntó impaciente el gafotas.

–Ahora –les dijo –ordenamos la escena del crimen, poniendo todas las incógnitas en el término de la izquierda:

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–¿Ahora tenemos que escribir la cajita de coeficientes, Mati?  –preguntó Sal.

–Efectivamente –confirmo esta –.Vamos a escribir la matriz de coeficientes:

 

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–Ahora –continuó Mati –la escribimos como nos gusta a los matemáticos…

 

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–¿Qué hacemos ahora, Mati? –preguntó el pequeño.

–Lo que tenemos que conseguir operando con las filas –dijo ella –es transformar en 0 los números que os marco con círculos  en la matriz:

 

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–Empezamos con el número del círculo rojo –propuso Mati –. Como es un 1 igual que el mismo número en su posición en la Fila 1, sólo tenemos que calcular Fila 2 menos la Fila 1, y sustituir la Fila 2 por la nueva fila obtenida:

 

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–Con esto, la matriz de coeficientes se transforma en la siguiente: -dijo la pelirroja.

 

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–Le toca el turno –anunció ella –al número en el círculo verde. Como es -1 y en la Fila 1 en esa columna tenemos un 1, bastará con sumar la Fila 3 con la Fila 1, y sustituir la Fila 3 por la nueva fila obtenida.

 

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–Sustituimos en la matriz de coeficientes –continuó Mati –la Fila 3 por la nueva fila obtenida

 

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–¡Eh, el número del círculo amarillo ha cambiado! –exclamó Ven.

–Efectivamente –dijo Mati –si hubiese cambiado a 0 ya habríamos acabado. Pero no, aún no es 0. Tenemos que seguir currando. Pero antes que nada, fijaos que todos los coeficientes de la Fila 3 son pares, todos son divisibles por 2.

–Ajá –dijeron los dos hermanos al unísono.

Cuando toda una fila es divisible por un número -dijo Mati —podemos dividir la fila por ese número en cuestión y así trabajaremos con números más pequeños.

–¡Mola! -dijo Ven, Sal lo miró muy serio.

–Si dividimos la Fila 3 por 2, nos quedará:

 

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–Otra vez ha cambiado el número del círculo amarillo, Mati –advirtió el pequeño.

–Sí, pero sigue sin ser 0 –respondió Mati –. Para conseguir que el -1 en el círculo amarillo sea 0, ahora usamos la Fila 2, porque si usamos la Fila 1 podríamos perder el 0 del círculo verde que acabamos de conseguir.

–Ajá –repitió Ven, Sal esta vez no lo miró.

–Tenemos que multiplicar el número de la Fila 2 correspondiente a la columna de nuestro círculo amarillo, el -3 en nuestro ejemplo, por un número para que el resultado sea 1 y al sumarlo a la Fila 3, nuestro -1 se convierta en un 0.

–Eso es imposible –dijo Ven.

–¿Por qué? –preguntó ella.

–Ningún número multiplicado por -3 da como resultado 1 –dijo el pequeño.

–Eso no es verdad –intervino el gafotas –Si multiplicas -1/3 por -3, el resultado es 1.

–Ajá –dijo de nuevo Ven rascándose la barbilla. Gauss resopló,

–Muy bien, chicos –continuó Mati –. Multiplicaremos la Fila 2 por -1/3 y lo sumaremos a la Fila 3, el resultado será la nueva Fila 3 de la matriz de coeficientes.

 

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–Ahora tenemos la matriz:

 

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–Mati –dijo Sal —¿podemos multiplicar la última fila por 3 para quitar los denominadores?

–Podemos –confirmó ella.

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–Pero ahora –dijo Ven excitado —¡se puede dividir la Fila 3 por 4!

–Ajá –dijo Mati cómica –, podemos.

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–Ya no podemos hacer nada más –se lamentó Ven.

–Bueno –dijo Mati –, vamos a escribir el sistema de ecuaciones asociado a esta matriz y ya veréis que fácil es resolverlo:

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–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! –gritó el pequeñajo –Ya sabemos que z vale 10 –Ven hizo un pausa –¿¿Te has gastado 10 € en queso??

–No es tanto, Ven –se defendió el gafotas –, es un queso francés y estaba en oferta.

–¿Cuánto hemos gastado en pan, chicos? –preguntó Mati tratando de desviar la conversación –Podéis calcularlo muy fácilmente con la segunda ecuación, sustituyendo z por 10.

Los niños se pusieron a calcular lo que Mati había propuesto.

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–Hemos gastado 2 € en pan, Mati –anunció Ven.

–Y como en total hemos gastado 16 € –añadió su hermano –, hemos gastado 4 € en manzanas.

–¡Muy bien, chicos! –exclamó Mati con alegría –. Ya os dije que el método de Gauss también servía para 3 ecuaciones, y para 4, para 5…

–¡¡Gaussito es el mejor!! –gritó Ven tomando a su mascota en brazos.

–Lo es –apostilló el gafotas –, pero vamos ya a casa que quiero mi bocata de queso.

Reforma en la universidad

Parafraseando a Eva Hache, buenos días,  ministro. ¿Qué tal la familia? No es una amenaza. 

Pero no, hoy no vamos a mencionar al iluminado en relación con la gala de los Goya de la pasada noche, hoy volvemos a hablar de Educación. Mientras nos dejen.

Desde que ocupó su ministerio, Wert se ha empeñado en cambiar todo el sistema educativo español, no entraré en la polémica de si eso es necesario o no porque es una costumbre que tiene casi cada nuevo gobierno; pero sí me gustaría decir que esto de cambiar de sistema educativo cada dos por tres es como cambiar de régimen para adelgazar cada día: al final se acaba engordando en vez de adelgazando.  En cualquier caso, es un tema del que no conviene en absoluto pasar por alto: la educación es la mejor inversión que un país puede hacer para su futuro.

Biblioteca de Ingenieria_Estudios.NETEsta vez nos toca hablar de la reforma de la universidad . Al final de la semana pasada algunos de los miembros del comité de expertos nombrados por Wert ha emitido su informe.  A partir de dicho informe el ministerio ha de elaborar su ley y es previsible que en el camino del informe a  la ley se caigan muchas cosas buenas y entren otras muy malas (es el sello de nuestro ministro) porque  la realidad es que en el informe existen cosas buenas, pero algunas otras son, cuanto menos, muy, muy discutibles. Me quiero centrar en dos de los aspectos que más énfasis se le da en el Informe: a la estructura y contratación del PDI (el profesorado, para que nos entendamos) y en los órganos de gobierno de la Universidad.

Respecto al profesorado se incide en la vía no funcionarial para una gran proporción de ellos (hasta el 49%, es el límite actual, pero se está lejos de él ya que en estos momentos solo un 15% del profesorado fijo es no funcionario). El problema de esta vía es que puede convertirse en un método muy arbitrario tanto en los requisitos para acceder, que pueden variar de una universidad a otra, como en las propias pruebas, además de en los derechos de este tipo de profesores que pueden ser inferiores a los funcionarios, empezando por el sueldo que lo fija la universidad que lo contrata.

61711-853-550Para la contratación de los funcionarios (si es que llegan a salir plazas de funcionarios) se vuelven a unas pruebas presenciales de carácter nacional como las propuestas por Pilar del Castillo (ministra con Aznar, otra iluminada) que probaron ser un fracaso y que se tuvieron que eliminar al poco de ponerse en marcha: una especie de exámenes donde decenas de candidatos de toda España expongan curriculums muy diversos ante un tribunal no es precisamente el modelo anglosajón al que tantas loas se le dedica en todo el informe (se le dedica tantas loas que hasta ciertos términos que existen en castellano aparecen en inglés en el informe: tenure track).

Una de las grandes carencias que observamos es que no se marca de forma clara cuál y cómo será la carrera de un joven que está realizando el doctorado y que le gustaría conseguir plaza en la universidad: plazos, métodos, requisitos. Sí sabemos que las posibilidades de convertirse en funcionario de ese joven son muy escasas aunque desaparezca la crisis que nos rodea. Y si no se quiere marcar esa carrera, que se deje a cada universidad que aplique sus métodos y que después se le exija ciertos resultados (y se financie según esos resultados). Algo se hace en este sentido pero de una forma absurda: haciendo que el sueldo de todos los profesores de un departamento (habla también de los centros, pero eso es solo ignorancia: hace treinta años que los profesores no pertenecen administrativamente a los centros) dependa del rendimiento de todos los miembros del departamento. Repito: posiblemente (tal y como está la normativa) el sueldo de un profesor que no ha participado en ninguna contratación dependerá de lo acertado de dichas contrataciones.

Por otra parte, se consagran los llamados sexenios de investigación (complemento salarial que premia a los que cumplen ciertos mínimos en investigación y con una aplicación muy desigual según la disciplina) como la vía para acceder a todo. En principio no me parece mal, pero el problema es que los sexenios no se crearon para eso y que ahora, con carácter retroactivo, serán usados con otros fines distintos para los que fueron creados y enfocados.

wert1Habría mucho más que decir, pero quisiera comentar algo respecto a los órganos de gestión que considero fundamental: se pierde una tradición democrática en nuestra universidad asentada desde los años posteriores a la Transición: la elección de cargos por algún procedimiento democrático y la dependencia de dichos cargos de poderes ajenos a la universidad. Efectivamente, los rectores ya no serían elegidos por la comunidad universitaria sino por un órgano llamado el Consejo de la Universidad, solo el 50% de sus miembros son elegidos por la propia universidad, aunque de forma indirecta, el 25% son elegidos por la comunidad autónoma (¿más autonomía para las universidades con mayor presencia de políticos?) y el otro 25% entre la universidad y la comunidad autónoma (ya veremos quién pone ese 25%, pero adelanto que la administración es la que paga). A su vez los rectores, elegirán el resto de los cargos académicos (en contra de lo que ocurre desde la llegada de la democracia que eran elegidos por el departamento o centro que iban a presidir), aunque en los departamentos se votará y se recomendará un candidato.

Resumiendo: respecto al PDI, muy incierta carrera incentivando la vía no funcionarial, respecto a los órganos de gobierno, mayor presencia directa de políticos y pérdida muy considerable de la democracia.

Evidentemente, no pretendo ser exhaustiva, son solo unas muestras de un cambio que puede ser muy preocupante puesto que afecta a una de las piedras angulares sobre las que descansará nuestro futuro y que depende de alguien que ha mostrado ser tan incompetente o malintencionado como el ministro Wert. Si alguien quiere más información, el informe puede encontrarse en la web del ministerio. También se puede consultar este artículo donde se muestra una realidad distinta de la que parte el informe de los “expertos” o un análisis muy particular llevado a cabo en cinco entradas del blog de Francis Villatoro, empezando por esta.

En cualquier caso, todo esto no es más que un informe, habrá que esperar a que se convierta en ley en manos de estos. Ya veremos.

Suerte, Mr. Wert, no hay paracaídas. 

Cuántas ecuaciones, ¡por Gauss!

–¿Por qué tenemos que hacer lo que tu digas, Sal?

–No, eso no es cierto, Ven,  y lo sabes. Antes nos hemos subido en la atracción que tú has elegido.

–Pues ahora quiero probar aquí –insistió Ven –. Soy el mejor lanzador del mundo.

–Estás siendo presumido, Ven –replicó Sal –. Se lo diré a mamá…

–Lo que pasa, Sal, es que no quieres reconocer que soy mejor lanzador … –insistió el pequeño cada vez más enfadado.

–El dinero es de los 2, Ven –contestó el aludido — y en estas casetas de tiro casi nunca se gana…

–¡Ja!–dijo Ven con cara de enfadadísimo.

–Vaya, qué risa tan poco convincente… –dijo Mati interviniendo en la cumbre.

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–Es que Sal no quiere que compitamos en esta caseta –se apresuró a contarle Ven.

–Es que nos queda poco dinero, Mati –se defendió el gafotas –, y en estas casetas es muy difícil conseguir premio.

–¡JA! –insistió Ven.

–Bueno, eso y que Ven es un poco presumido y se cree un gran lanzador…

–Huy, no os lo vais a creer –dijo Mati muy teatrera tratando de relajar el ambiente–, me acabáis de recordar un romance sobre un lanzador un poco presumido, ¿os lo cuento?

Los niños asintieron con la cabeza. Gauss resopló, estas discusiones le agotaban. Mati les recitó el romance:

Rafael Rodríguez Vidal. Enjambre matemático.

 

–Ni i-de-a –dijo Ven enfurruñado –¿Qué es un duro, Mati?

–Ah, tienes razón –le contestó la pelirroja –. Un duro eran 5 pesetas.

Sal se quedó pensando un buen rato al cabo del cual admitió:

–No me sale.

–Os enseñaré a hacerlo usando ecuaciones -les anunció.

–¡Ecuaciones! –exclamó Sal –Me encantan.  Ya nos enseñaste ecuaciones.

–Efectivamente –confirmó ella –. Pero en aquella ocasión solo teníamos una letra sospechosa, la x, y en este misterio –añadió bajando la voz imprimiendo misterio a la escena –hay dos sospechosas, la x y la y.

–¡Toma! –dijo el pequeño –¡Mola!

–¿Dos letras sospechosas? –preguntó el gafotas.

–Sí, la x representará el número de aciertos del tirador y la y representará el número de fallos del mismo –dijo Mati –. Tenemos que descubrir quién es x y quién es y.

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–Como tenemos 2 sospechosas –continuó ella –, a las ecuaciones que vamos a tratar de resolver las llamamos ecuaciones con 2 incógnitas. 

–¿Qué ecuación tenemos que resolver, Mati? –preguntó Sal ansioso.

–Ecuaciones, Sal –respondió Mati –, para tener un único valor del acertijo, necesitamos tener, al menos, 2 ecuaciones, tantas como incógnitas.

–¿Qué pasa si solo tenemos una ecuación con 2 incógnitas? –preguntó el pequeño.

–En ese caso –respondió ella –, la ecuación tendrá infinitas soluciones.

–Sí, claro… –dijo Ven con sorna.

–Te lo voy a demostrar –anunció la pelirroja –. Vamos a ver una primera ecuación que deben verificar x e y, ¿cuánto debe valer la suma de x más y?

Los niños se quedaron pensativos hasta que el gafotas exclamó:

–¡16! Porque hizo 16 lanzamientos en total.

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–Eso es –confirmó Mati –. Pues mira, Ven, si solo tenemos esa ecuación, tenemos varios  resultado distintos.

Mati empezó a escribir todas las posibles soluciones de la ecuación planteada:

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–¡Eh! –interrumpió el gafotas –Esas soluciones no valen. Si acierta 16 y no falla ninguna, el feriante tendrá que pagarle 16 duros, y el romance dice que quedaron en paz.

–Efectivamente –confirmó Mati –, es por lo que necesitamos imponer la segunda condición, la de quedar en paz, para obtener otra ecuación y conseguir que la solución sea única: como por cada acierto le daban 5 pesetas, y por cada fallo él pagaba 3, si al final quedaron en paz fue porque 5 por x (el número de aciertos) era igual que 3 por y (el número de fallos). Ya tenemos la otra ecuación:

 

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–Pues ya está –anunció Mati –, ya tenemos nuestro sistemas de 2 ecuaciones lineales con  2 incógnitas.

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–¿Lineales? –preguntó Ven extrañado.

–Sí, lineales –le explicó Mati –porque las incógnitas no aparecen elevadas a ninguna potencia.

–Y ahora, ¿qué hacemos, Mati? –preguntó el gafotas –¿A quién desenmascaramos primero? ¿A la x o a la y?

–Veréis –anunció la pelirroja –, aunque existen distintos métodos para resolver este tipo de sistemas de ecuaciones, os voy a enseñar el método de Gauss para resolverlas.  

–¡Sí! –gritó el pequeño abrazando a su mascota con riesgo de asfixia –¡Tu método, Gaussito bonito! ¡Tú método!

–Ven, no seas burro –le pidió su hermano –. Vas a despachurrar a Gauss.

Ven lo depositó de nuevo en el suelo, Gauss fingió un desmayo. Él es así. Una vez recuperada la mascota, Mati continuó:

–Para ello, antes que nada, vamos a ordenar un poco la escena del crimen –les dijo guiñando un ojo –. Llevamos a las incógnitas con sus compañeros al término de la izquierda, y los números que no llevan incógnita al término de la derecha.  En nuestro ejemplo, solo tenemos que llevarnos las 3y al término de la derecha en la segunda ecuación, nos la llevamos pero cambiando su signo, pasan como -3y:

gauss_6

–Ahora vamos a construir una cajita especial –les anunció Mati –que llamaremos matriz del sistema. Como son 2 ecuaciones, será una caja con 2 filas (horizontales) y 3 columnas (verticales); una columna para la x, otra para la y y otra para el número que se ha quedado en el término de la derecha, al que llamamos término independiente porque no depende de las incógnitas, ya que no las acompaña.

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–Qué caja tan mona –dijo Ven pícaro.

–En realidad, los matemáticos –dijo Mati –no dibujamos la cajita así, sino usando dos paréntesis grandotes, así :

gauss_8

 

–¿Y ahora? –preguntó Sal ansioso.

–Ahora vamos a tratar de conseguir que en la segunda fila, en la columna de la x, aparezca un 0 –les dijo –. Así tendremos en la segunda ecuación, una ecuación con una sola incógnita que es muy fácil de resolver como os enseñé.

–Ya –dijo Ven –, pero eso es hacer un poco de trampa, ¿no, Mati?

–¡Jajajajajaja! –se rio ella –No, tranquilo, lo haremos muy legalmente. Para ello tenemos que buscar un número, que llamaremos N, de forma que al multiplicar el coeficiente de x en la fila 1 (1 en nuestro ejemplo) obtengamos el coeficiente de x en la segunda fila (5) pero con el signo cambiado; o sea, N es el número que multiplicado por 1 nos da -5.

–Muy fácil –dijo Sal –. N es -5.

–Efectivamente -dijo Mati –. Ahora multiplicamos la fila 1 por -5 y se la sumamos  a la fila 2. El resultado será la nueva fila 2 de nuestra matriz.

gauss_9

 

–Veamos cómo queda nuestra nueva matriz del sistema –les dijo.

gauss_10

 

–Escribimos el sistema de ecuaciones asociados a esta nueva matriz –continuó la gafotas.

gauss_11

 

–Ahora fijaos en la segunda ecuación –les pidió.

–¡Toma! –dijo Ven -Esa es muy fácil, solo hay que pasar -8 al término de la derecha pero dividiendo, porque estaba protegiendo a la y multiplicándola.

gauss_12

 

–¡Toma, toma, toma!  ¡Cómo mola! –gritó el pequeño –¡Falló 10 veces, así que acertó 6 y ganó 30 pesetas!

–Bueno –añadió Sal –, en realidad no ganó nada, porque como falló 10 también tuvo que pagar 30 al feriante…

–Ya, ya –respondió Ven –, no seas aguafiestas…

–¿Sabéis? –interrumpió Mati de repente –De repente me apetece subir a la noria, ¿alguien me acompaña?

–¡Yo, yo! –gritó Ven y salió corriendo hacia la noria olvidando la disputa original. Sal y Mati se miraron, sonrieron y le siguieron. Gauss se quedó embobado mirando una perrita piloto que colgaba del puesto.

(*) El romance de esta entrada es de Rafael Rodríguez Vidal en Enjambre matemático.

¿Tienen las matemáticas algo que decir sobre la veracidad de los papeles de Bárcenas?

A estas alturas todos sabemos de la publicación en El País de “los papeles de Bárcenas” en los que el supuesto tesorero del supuesto PP llevaba la supuesta contabilidad B del partido (aclaro: la profusión de “supuestos” en la frase anterior es para cubrirme las espaldas, que está el ambiente mu tenso…). Mucho se ha hablado sobre su veracidad o no, pero aquí quiero centrarme en una información aparecida en el diario ABC (¿hace falta que aclare que ABC siempre se ha posicionado en contra de la veracidad de esos papeles?) en los que se afirma que los papeles son falsos desde un punto de vista matemático. Efectivamente, a través de una carta al director de Miguel Lacruz (profesor de la Universidad de Sevilla) se alerta de que los números de “los papeles de Bárcenas” no cumplen la Ley de Benford y que, por tanto, no corresponden a una contabilidad real.

Así, ¿qué es la ley de Benford y qué tiene que decir sobre los papeles de Bárcenas? La ley de Benford la descubrió el astrónomo norteamericano Newcomb al final del siglo XIX; por aquel entonces, en esa era anterior a los ordenadores, se hacía un gran uso de las tablas de logaritmos para realizar cálculos y dicho astrónomo observó que las tablas correspondientes al número 1 estaban mucho más gastadas que el resto, de las que, a su vez, el 2 eran las más deterioradas. Años más tarde, en 1938, el físico Frank Benford observó el mismo fenómeno y recolectó miles de datos provenientes de muy diversas fuentes para elaborar la ley que hoy lleva su nombre. Resumiendo: si tomamos datos que abarquen diversos órdenes de magnitud (esto es: cantidades, si hablamos de euros, entre digamos 100€ y un millón) el primer dígito que más se repite es el 1, después el 2 y así hasta el 9, además, se puede determinar el porcentaje de veces que aparece cada uno y es el dado por la siguiente tabla:

Si los datos de la contabilidad de una empresa se alejan mucho de esta distribución, se puede afirmar que es muy posible que estén maquillados. Es más, se suele afirmar que en los datos maquillados la frecuencia de aparición en primer lugar de cada uno de los dígitos suelen tender a una distribución uniforme: aparecen todos más o menos el mismo número de veces. Pero para ello se han de dar una serie de factores que pueden desvirtuar lo dicho anteriormente: en primer lugar, el número de datos ha de ser suficiente, como todo en estadística, cuantos menos datos se tengan, más fácil es alejarnos de los resultados esperados. En segundo lugar, tal y como se ha dicho, los datos han de tener distintos órdenes de magnitud, esto no sólo implica que tenemos que tener asientos de cantidades que varíen entre los 100 y el millón de euros, sino que tenemos que tener un número suficiente de cada uno de ellos. Por último, existen otros muchos factores que desvirtúan los resultados, en particular una serie de pagos periódicos e idénticos mes tras mes hacen que el primer dígito de dichos pagos aparezca con mayor frecuencia.

En su blog Lacruz da algunos detalles de su “estudio” y afirma que ha recogido solo los asientos desde 2002 hasta 2008, que son relativamente pocos, así ya estamos fallando en el primero de los tres principios expuestos en el párrafo anterior. Es más, aunque hay asientos de varias órdenes de magnitud, la mayoría corresponde a solo dos órdenes: ya hemos fallado también en el segundo de los principios expuestos anteriormente.

En el blog Sintetia, en una magnífica entrada, se hace un estudio más exhaustivo, pero se observa una gran discrepancia en un dígito concreto: el 6. En este gráfico podemos ver en amarillo la distribución del primer dígito en los papeles de Bárcenas y con una marca roja el valor esperado por Benford:

Ya hemos dicho anteriormente que si los datos están maquillados deben aproximarse a la distribución uniforme.  Como vemos en el gráfico anterior, dicha distribución está muy alejada de la uniforme y muy próxima a la esperada por la ley de Benford ¿A qué obedece dicho comportamiento anómalo del dígito 6? En la misma entrada de Sintetia se da una respuesta: al cambio de pesetas a euros que hizo que muchos pagos que empezaban por 1 se convirtieran en pagos que empezaban por 6. Se puede ver un gráfico corregido cambiando todo a pesetas:

Ahora el dígito que se “sale” es el 2, pero eso queda explicado por el tercero de los principios que dijimos que desvirtuaban la ley de Benford: la existencia de pagos periódicos (nóminas encubiertas), la mayoría de los cuales, por simple principio igualitario, coinciden y dan la casualidad que empiezan por 2 expresados en pesetas. En este sentido, si miro los movimientos de mi cuenta corriente en el banco, observo que no obedece la ley de Benford ya que los dígitos 1 y 2 se repiten mucho más de lo que predice dicha ley. ¿Se puede deducir que mi cuenta es falsa? Es exigua, pero no falsa, lo que ocurre es que las dos personas que hacemos uso de ella tenemos nóminas que empiezan por 2 y varios pagos (electricidad, etc.) que empiezan por 1 y, para terminar de fastidiar las cosas, cada vez que sacamos dinero del cajero solemos sacar 120€ (reminiscencias de la peseta). En este sentido, es gracioso que en el propio blog de Lacruz se le aplica el mismo test a las cuentas oficiales del PP y salen que también son falsas (por menos).

Entonces ¿qué podemos concluir desde un punto de vista matemático? En primer lugar, que los datos no siguen una distribución uniforme tal y como ocurriría con unos datos inventados, en segundo lugar que se ajustan bastante a los predichos por la ley de Benford salvo cierta cantidad de datos periódicos y constantes que existen por la propia naturaleza del tipo de contabilidad de la que estamos tratando ¿Podemos entonces afirmar que los papeles son ciertos? Tampoco, lo que hemos dicho es que no contradicen necesariamente la ley de Benford.

No, no tenemos nada que decir aquí, dejemos que actúe la Fiscalía Anticorrupción…

Habrá que esperar ahora a ver los papeles del  vicepresidente de la CEOE… No podemos quejarnos, que nos tienen bastante entretenidos, ¿verdad?

¡A la moda! Y a la mediana, y a la media…

–¿Nos vamos ya, Sal?

–Un segundo, Ven, me estoy atando las botas…

–Seguro que ya están todos esperando, date prisa, por fi.

–Ya ¿Pero qué haces con la camiseta al revés, Ven?

–No está al revés –respondió el pequeño sin inmutarse –.La etiqueta va por dentro…

–Pero ¡llevas el número en el pecho! –dijo Sal.

–Sí –respondió su hermano tajante.

–Ven, ¡ponte bien la camiseta, estás un poco ridículo! –exclamó el gafotas.

–No me importa, Sal –contestó Ven caminando hacia la puerta ufano –¡Soy un moderno! ¡Esta es la moda!

–Bueno, yo no estoy tan segura… –Mati acababa de llegar, Gauss respiró aliviado.

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–¡Hola, Mati! –la saludó el gafotas –. A ver si tú lo puedes convencer…

–Hola, Mati –dijo el moderno –. Ya le he dicho al gafotas que esta es la moda…

–Ya, ya lo escuché –dijo la pelirroja –, y ya te dije que no estaba segura de ello. No creo que sea la forma más frecuente de llevar la camiseta, y en ese caso, no puede ser la moda.

Ven miró a Mati con el ceño fruncido pensando en alguna respuesta lo suficientemente moderna… pero no la encontró.

–La moda –les explicó Mati – es el valor que más se repite en un conjunto de valores o sucesos, por lo tanto, la moda de llevar la camiseta sería con el número en la espalda, que es como la lleva la mayoría de la gente, ¿no, Ven?

–No entiendo nada –se quejó el pequeño.

–Te estoy haciendo un poco de trampa –dijo ella –. Estoy mezclando el concepto de moda de un conjunto de datos en Estadística, con lo que comúnmente llamamos moda en la vida cotidiana, aunque eso sí, están relacionados.

–¿Qué es la moda de la Estadística, Mati? –preguntó inmediatamente el gafotas.

–La moda en Estadística –les contó –es una medida que se utiliza para obtener una primera aproximación de los valores representativos en un experimento, como lo son también la media o la mediana.

Los niños se quedaron muy serios, Gauss miró hacia la ventana disimulando.

–¿Os lo explico con un ejemplo? –les preguntó.

–¡Sí! –respondió Sal inmediatamente y se sentó en el suelo.

–Vale –aceptó el pequeño que estaba un poco despistado.

–A ver –empezó a decir ella –, supongamos que preguntamos el número de calzado que usan todos los niños de tu clase, Ven.

–Tercero A –dijo Ven – ¿Pueden estar también los de tercero B que está mi amigo Pablo?

–Por supuesto –dijo ella –, preguntamos el número de zapato a 40 niños y obtenemos las siguientes respuestas:

descriptiva_1

 

–Lo primero que tenemos que hacer –continuó la pelirroja –es ordenar estos datos para poder trabajar mejor con ellos. Para ello, hacemos una tabla donde ponemos cada uno de los valores obtenidos, cada número de zapato, y al lado el número de veces que ha aparecido en la encuesta, la frecuencia.

descriptiva_2

 

–Ya podemos saber cuál es la moda de este experimento –anunció Mati –, ¿cuál es el valor que más se repite, el que tiene mayor frecuencia?

–¡32! –gritó Ven de repente.

–Eso significa –añadió ella –que en tu clase la moda es tener un 32 de pie.

–Jo, pues yo no voy a la moda –se quejó el pequeño –porque tengo un 34…

–Bueno –lo consoló Mati –, 34 es un valor bastante frecuente también y cercano a la moda.

–¿Qué pasa si hay varios números de zapatos con la mayor frecuencia, Mati? –preguntó Sal.

–En ese caso –dijo la gafotas –, tendremos varias modas, no pasa nada. Nos quedan la mediana y la media para tratar de estimar el valor central del experimento.

–¿Cómo se calculan la mediana y la media? –preguntó Sal.

–La mediana –dijo ella –es el valor central de todos si los ordenamos de menor a mayor. Nos permite asegurar que es un valor mayor, o igual, que la mitad de los datos, el 50% de ellos, y menor o igual que el otro 50%. Si ordenamos nuestros datos de menor a mayor, como es un número par de datos. 40, tenemos dos valores centrales, en la posición 20 y 21. En ese caso, si hay dos valores centrales, los sumamos y dividimos el resultado por 2. En nuestro experimento, la mediana es 33: 

descriptiva_3

 

–Eso significa… –masculló el gafotas –que la mitad de los niños tienen un número menor o igual que 33 y la otra mitad, un número mayor o igual que 33, ¿no, Mati? 

–Efectivamente, Sal –confirmó esta –, nos da una información de la tendencia central que es, en ocasiones, más representativa que la media. 

–¿Cómo se calcula la media, Mati? –preguntó el gafotas. 

–Para calcular la media –dijo ella —multiplicamos cada dato por su frecuencia y sumamos todos. Luego dividimos el resultado por el número total de datos, en nuestra encuesta, 40:

descriptiva_4

 

 

–Mira –dijo Ven divertido –, se ha quedado en medio de la mediana y la moda, para que no se enfaden.

–Es cierto –dijo Mati –. Esto ha ocurrido porque nuestra distribución es muy homogénea, no hay datos muy alejados de los demás, ningún niño con un pie enorme o muy, muy pequeñito… Cuando la distribución de valores no es tan homogénea, conviene usar la mediana mejor que la media para dar una estimación central de los datos.

–Pero si salen muy parecidas, Mati… –dijo el gafotas.

–No, no siempre –respondió ella –. Imaginaos que le preguntamos a unos niños por el dinero que le dan en casa cada semana para sus cosas y obtenemos la siguientes respuestas:

descriptiva_5 

–¡Hala! –exclamó Ven –¡Qué suertudos los 2 últimos!

–Bueno, no sé, Ven –respondió Mati –, habrá que ver si además de una buena paga semanal tienen otras cosas más importantes pero… En fin, sigo: si calculamos la media, mediana y moda de esos datos, tenemos que:

descriptiva_6

–¡Toma. toma, toma! –dijo el pequeño Ven –Ahora sí que no se parecen…

–Ajá –asintió Mati –, esto ocurre porque la muestra de valores no es homogénea. A menudo, hay quien usa el valor de la media para dar una idea de lo habitual en la muestra, pero en este caso, si decimos que los niños suelen recibir 13 euros mensuales, estamos dando una información muy lejana de la realidad, puesto que 11 de los 13 niños, más del 84% de los encuestados, reciben menos de 7 euros…

–Es verdad… –interrumpió Sal.

–Usando la mediana y la moda –continuó la pelirroja –, afirmaríamos que la mitad de los niños reciben 6 euros o menos cada semana y que lo más frecuente es que reciban 5 euros semanales ¿No os parece que da una visión más real de los datos?

–¡Mucho más! –gritó el gafotas –¡Me gusta la mediana!

–A la mediana –añadió Mati sonriendo –se le llama también percentil 50. O segundo cuartil… Pero de este otro tipo de medidas y de otras formas de analizar nuestras muestras de datos hablaremos otro día, que os esperan en la cancha.

Esto no es falso

No es fácil ponerse a escribir sobre la belleza de las  Matemáticas tras un fin de semana como el que hemos vivido y que nos ha dejado a la mayoría de nosotros  con un sabor amargo en la boca y, en mi caso, hundida en la más absoluta de las desesperanzas contemplando que en este barco no hay nadie decente al cargo.

¿Su afirmación también, señor presidente? Porque si su afirmación es falsa significa que lo que nos han contado es verdad, ¿no? Nos meteríamos de lleno en una interesante paradoja lógica aderezada de corrupción y delitos, ¿no le parece?

Se ha escrito mucho ya sobre el tema y por gente más docta que yo en materias de política y corrupción, así que voy a seguir con mi plan inicial, hablar de un hombre que nos dejó como legado en sus papeles grandes resultados en muchas áreas de la Ciencia, y no listados de números manchados de ilegalidades y corrupción. Esto que voy a contar no es falso, para variar.

En la entrada del pasado lunes nos hicimos eco de una noticia matemática que se había abierto un pequeño hueco en los medios de comunicación.   Bien es verdad que fue antes de saber para quienes eran los sobres, los payasos y los confetis… Ay, madre… Sigo. Parte de nuestra entrada era una crítica al poco rigor con el que se había presentado tal noticia, pero, al margen de Carl Cowen y Eva Gallardo (quien por cierto se licenció y doctoró en la Universidad de Sevilla, como apuntaba mi profesor durante la carrera, Ramón Piedra, en los comentarios) otro nombre propio destacaba en todas las noticias: el de John von Neumann que había propuesto el problema hace ochenta años. Von Neumann fue una de esas mentes brillantes que, aún rodeado de otras mentes brillantísimas, conseguía destacar por encima de ellas: nacido en Budapest a principios del siglo XX en el seno de una acaudalada familia judía, fue un niño prodigio.

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Sus padres tomaron una serie de decisiones respecto a su educación que podrían suscitar un debate, pero que yo, particularmente, como madre comparto plenamente. Por una parte consideraron que era importante que el pequeño Janos (su nombre original en húngaro) asistiera al curso que le correspondía por su edad, para que se relacionara con otros niños, pero, también contrataron profesores para que potenciara los conocimientos para los que tenía mayor actitud, particularmente las matemáticas. Trataron de satisfacer su curiosidad sin alterar su infancia, sin apartarlo como a un bicho raro. Así, a los quince años comenzó sus estudios de cálculo bajo la supervisión de Gábor Szegő. Éste, maravillado ante las capacidades de su alumno, llegó a llorar en la primera clase que le impartió.

En 1930, después de haber  impartido clase en Berlín le fue ofrecida una de las cinco primeras cátedras en Princeton (Einstein fue otro de ellos) y permaneció en dicha universidad hasta su muerte. Aunque ya antes en su Hungría natal y en Alemania había destacado por su gran versatilidad, puede que fuera a partir de dicha época en la que sus aportaciones fueran más importantes y en numerosos campos: análisis matemático, geometría, teoría de la medida, lógica y fundamentos, dinámica de fluidos, estadística dentro de las matemáticas; mecánica cuántica y física nuclear en física. Además de ello, se considera el creador de la teoría de juegos y unos de los fundadores de las ciencias de la computación (aunque su mente solía ser más rápida que los ordenadores de su época que él ayudo a diseñar). Hizo algunas incursiones en otras disciplinas, en las que dejó su sello: por ejemplo, el premio Nobel de economía Samuelson afirmó que después de que von Neumann se  hubiese dedicado brevemente  a su disciplina, la economía no volvió a ser la misma.

Siendo judío, fue de los primeros que comprendió el peligro que Hitler representaba y se involucró desde muy pronto en el desarrollo de las armas nucleares, participando en el Proyecto Manhattan y, posteriormente en el diseño de la bomba de hidrógeno. Eso no estuvo muy bonito, la verdad, y posiblemente lo pagó… No falta quien afirme que  fue su participación en el desarrollo de armas nucleares y su exposición a radiaciones lo que le condujo a una muerte relativamente temprana, ya que contrajo un cáncer que pudo con él a los 53 años.

VonNeuman1 Al margen de todo lo anterior, también se ha destacado su fuerte personalidad: siempre muy atildado, enfundado en un traje completo incluso en el calor del desierto en Los Álamos y disfrutando de la comida, la bebida y la conversación (le encantaban los juegos de palabras y podía realizar algunos muy elaborados tanto en húngaro, como alemán e inglés) en las fiestas de su casa que llegaron a ser famosas en Princeton. Nunca tuvo problemas en concentrarse y prefería trabajar en el salón de su casa con la televisión encendida o en su despacho con música a todo volumen (para incordio de sus vecinos en el trabajo, Einstein entre otros).

Estoy segura, porque soy optimista, que dentro de un siglo el legado de von Neumann  seguirá vigente, mientras que la basura de Bárcenas y sus amigotes quedará sepultada y olvidada por el lodo del tiempo, por muy única, transparente, limpia que algunas quieran verla