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Archivo de Enero, 2013

¡Más fracciones!

–¿Jugamos al Hex un rato, Sal?

–No puedo, Ven, tengo que hacer la tarea de Mates.

–¿Te queda mucho?

–No, solo unas sumas de fracciones.

–¿Me enseñas a sumar fracciones? –pidió Ven a su hermano.

–Toma, calcula esto que es muy fácil.

El pequeño Ven se dispuso alegremente a realizar la suma que le había propuesto su hermano, 3/5 más 2/5…

Mati20Min_40p

–¡Hala, qué burro! Pero, ¿qué has hecho, Ven? –preguntó el gafotas exaltado.

–No me llames burro, tú –se quejó el pequeño reprimiendo un puchero –. Estoy en 3º y aún no hemos estudiado las sumas de fracciones…

–Lo siento, Ven –dijo Sal mientras le ponía un brazo por los hombros –Se me ha escapado… Te enseñaré cómo se hace, ¿quieres?

–Bueno, bueno, bueno… –Mati acababa de llegar – ¿Jugando a profesor y alumno?

–¡Hola, Mati! –saludaron los dos pequeños, Gauss ladró.

–Iba a enseñarle a Ven a sumar fracciones –añadió Sal.

Mati miró lo que había escrito Ven y dijo:

–Ah, ya veo… pero cuando los denominadores son iguales, sólo tenemos que sumar los numeradores, Ven.

–Es que en su clase aún no han explicado fracciones, Mati –se apresuró a excusarlo su hermano.

–Eso –añadió Ven.

–Ya, ya, lo sé –dijo ella –Debes pensar en las fracciones como si fueran trozos de tarta, ya verás cómo es más fácil…

–¿Trozos de tarta? –preguntó el pequeño rápidamente.

–Sí –respondió Mati –. Si dividimos una tarta en 5 trozos, 1/5 será un trozo, 2/5 serán dos trozos, 3/5 serán 3… Ahora piensa, ¿cuánto son 3/5 más 2/5?

–¡Cinco trozos! –exclamó Ven.

–Eso es –dijo Sal con una enorme sonrisa –. Serían 5/5, o lo que es lo mismo, 1, porque sería la tarta entera.

–Muy bien, chicos –añadió la pelirroja.

–Ahora lo comprendo todo –dijo Ven ceremonioso –Así que solo sumamos los números de arriba… 3/8 más 11/8 serán 14 /8… ¡Eh! Un momento, no pueden ser 14/8. Eso es más de una tarta.

–Cierto –confirmó la pelirroja y añadió guiñando un ojo–. Pero nadie dijo que solo tuviésemos una tarta. Además, fíjate, Ven, que 14 es 7 por 2 y 8 es 4 por 2, podemos, en ese caso, eliminar ese 2 en el numerador y el denominador y nos queda una fracción más elegante.

dibujo_1

–¡Toma! ¡Claro! –aceptó un Ven entusiasmado, pero su cara perdió de pronto el color –¿Qué pasa si no son iguales los denominadores, Mati?

–Vamos a pensarlo, ¿no? –propuso ella –Imaginemos que tenemos que sumar 3/8 + 1/6… Lo dibujamos como porciones de tarta

dibujo_2

–Ahora nos fijamos en la suma –les dijo –. No podemos hablar de octavos, porque el trozo resultante de sumar tiene un lado azul (el que representa los cortes en octavos) y otro en verde (que representa los cortes en sextos, en 6 partes iguales). Por la misma razón, no podemos hablar de sextos, ¿no?

–Claaaaaaaaro –murmuró Ven.

–¿Qué podemos hacer, chicos? –les preguntó Mati.

–Hacer porciones de distinto tamaño, ¿no? Más pequeñas –propuso Sal.

–Efectivamente –dijo ella –. En nuestras dos tartas iniciales, vamos a hacer nuevos cortes para dividir en fracciones de forma que al superponerlas, al sumarlas, las líneas azules y las líneas verdes coincidan. Para ello, el número de trozos debe ser el mismo en ambas tartas, ¿no?

–Ajá –asintió Ven muy teatrero.

–Tenemos que cortar cada uno de los 8 trozos de la primera tarta en un número N de trozos que nos darán en total 8xN porciones –les contó – y cada uno de los 6 trozos de la segunda tarta en M trozos, y nos quedarán 6xM porciones. Pero queremos que 8xN y 6xM sean iguales. Ahora bien, 8xN es un múltiplo de 8 y 6xM es un múltiplo de 6, por lo tanto necesitamos…

–¡Un múltiplo común a 6 y 8! –exclamó Sal.

–Eso es, muy bien –confirmó Mati –. Y para hacer el menor número de cortes, buscaremos…

¡El mínimo común múltiplo! –gritó Ven con entusiasmo.

–Pero, bueno, ¡sois fantásticos! –la pelirroja estaba orgullosa, Gauss gruñó con pelusilla –Lo calculamos como os enseñé.

–Primero el máximo común denominador –propuso Sal.

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–Y ahora dividimos 8 x 6 entre el MCD (8, 6) –concluyó el pequeño –y nos queda 24.

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–Ya lo tenemos –anunció ella –Vamos a dividir cada tarta en 24 trozos. Para ello, cada trozo de la primera, lo cortamos en 3, 24/8, y cada trozo de la segunda, lo cortamos en 4, 24/6. Así tenemos que 3/8 son lo mismo que 9/24 y que 1/6 serán 4/24 y por lo tanto:

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–¡13/24! ¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! –gritó el pequeño.

–Pues ya lo sabes –concluyó la gafotas –Para sumar fracciones con distinto denominador, también nos sirve el mínimo común múltiplo del que hablamos el otro día.

–¿Me pones una suma, Mati? –pidió Ven y Mati le escribió una en su libreta: 8/15 + 5/6.

–Primero el mcm(15, 6) –dijo Sal y lo calcularon.

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–Ahora tenemos que hacer 30 trozos de cada tarta –continuó el pequeño –O sea que en la de 15 trozos, hay que dividir cada trozo en 2 trozos, y por lo tanto, si 8/15 eran 15 trozos ahora tendré 16 trozos, es decir 16 trozos, que serán 16/30. En la tarta de 6 trozos, tengo que dividir cada uno de ellos en 5 trozos, por lo tanto, si 5/6 eran 5 trozos de esa tarta ahora tendré 5 por 5, 25 trozos de la nueva… 25/30. Y ahora 25 más 16… 41…¡41/30!

 

–Perfecto, Ven –le felicitó Mati–Ya sabes cómo sumar fracciones con distinto denominador –A continuación resumió todo el método en la libreta para que los chicos lo repasaran con ella.

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–Pero, Mati –preguntó el gafotas –¿No es más rápido hacer la división que indica la fracción y luego sumar lo que nos sale?

–Bueno –dijo esta –, no siempre es más rápido, puesto que tienes que hacer la división y además, en la mayoría de los casos, no tendrás el resultado exacto. Por ejemplo, vamos a calcular 10/3 + 17/9. Si lo hacemos con el método que propones:

dibujo_8–Pero si lo hacemos sumando las fracciones –continuó Mati –, que son los valores exactos de los números que queremos sumar:

 

dibujo_9

–Como veis, el resultado es diferente –les dijo y añadió con sonrisa traviesa–. Es preferible tratar las fracciones como lo que son, fracciones, no tratar de ver sus intimidades que se pueden alterar los resultados y mis chicos son muy precisos en sus cálculos, ¿no?

–Totalmente –afirmó Ven con rotundidad.

–No lo había pensado –añadió el gafotas –. Prefiero hacerlo con fracciones, sí.

–Bueno, Sal –dijo de pronto el pequeño –, termina tu tarea, yo jugaré mientras con Mati al Hex, ¿vale?

Resuelto uno de los “no Problemas del Milenio”

Esta semana pasada, afortunadamente,  una noticia matemática ha aparecido tímidamente entre tanto paro, recortes y corrupción. ¿Afortunadamente? Pues sí, porque es curioso observar  como cada vez que aparece una noticia científica, casi invariablemente se da la circunstancia de que es una buena noticia, al contrario de lo que ocurre con la política, la economía, etc.  Y también invariablemente, la noticia, al igual que la ciencia en España en general, está mal tratada: puede que una cosa sea un reflejo de la otra…

En realidad la noticia es simple: dos matemáticos han resuelto un importante problema, un problema que llevaba ochenta años abierto y que había neumannsido planteado por John Von Neumann. Von Neumann fue uno de esos personajes ante el que cualquiera se siente pequeño: realizó contribuciones importantísimas en física, economía y fundamentales en computación y muchas ramas de las matemáticas. Pues bien, él planteó el siguiente problema (copio aquí la metáfora planteada por los dos matemáticos que han resuelto el problema): supongamos una pelota, es sabido que si movemos la pelota y la dejamos donde estaba inicialmente, básicamente el resultado que obtenemos es el mismo que si rotamos la pelota sobre un eje dado (como el movimiento de rotación de la Tierra): no importa todo lo que moviéramos la pelota, todo lo que hagamos con ella, que si al final la colocamos en el mismo sitio, siempre podremos encontrar un eje de la pelota tal que hacer un giro sobre dicho eje es equivalente a todos los movimientos que acabemos de hacer con la pelota. Este resultado era conocido por Von Neumann y él se preguntó si se podía generalizar a unos entes matemáticos muy utilizados en matemáticas y físicas conocidos como los Espacios de Hilbert (complejos): esa es la cuestión planteada por Von Neumann y es el problema que acaba de ser demostrado por Carl Cowen (Indiana University-Purdue University Indianapolis U.S.A.) y Eva Gallardo (Universidad Complutense de Madrid) y que se ha presentado por primera vez en público por ellos en el congreso bianual que celebra la Sociedad Española de Matemáticas, la RSME que se acaba de celebrar la semana pasada en Santiago de Compostela.  En un lenguaje más formal el problema sería: “¿Es cierto que todo operador lineal y continuo (los movimientos que le demos a la pelota) en un espacio de Hilbert complejo de dimensión mayor que 1 (la pelota) deja invariante algún subespacio cerrado no trivial (el eje de giro al que nos referíamos que siempre deja invariantes, en su misma posición, a los polos)?”.

Naturalmente, la noticia tiene tres aspectos destacables: 1) se ha resuelto un problema importante  y potencialmente aplicable. 2) Entre los dos autores hay una española y 3) se ha presentado por primera vez a la comunidad científica internacional en España. El problema es que la prensa ha confundido completamente algunos de los hechos que acabamos de presentar. Veamos:

Primero vi la noticia en Público donde la noticia aparece con este titular totalmente falso:

Captura de pantalla de 2013-01-27 13:58:51

 

Es curioso reseñar que la noticia ha sido editada porque la redacción original era un auténtico desastre, pero aún así el titular permanece y como se puede ver se insiste que se ha conseguido la solución en un congreso matemático en Santiago: falso, la solución se ha obtenido después de mucho trabajo en EE.UU. y en España, en Santiago lo que se ha hecho es presentar el trabajo.

Después vi la noticia en la web de la Cadena Ser:

Captura de pantalla de 2013-01-27 14:04:40

 

Pues no, no es uno de los “Problemas del Milenio”. Para quien no lo sepa (el redactor de la noticia entre otros), los “Problemas del Milenio” es una lista de siete problemas propuestos por el Instituto Clay y que sostienen que son problemas abiertos de gran trascendencia en matemáticas y que tienen un premio de un millón de dolares cada uno (solo uno de ellos ha sido resuelto: la conjetura de Poincaré por Perelman, quien no tuvo a bien recoger su premio, él es así… ). Uno de los miembros de dicho instituto, Dick Lipton, afirmó que el problema recientemente resuelto se hubiera merecido ser uno de los “Problemas del Milenio”; puede que sí, pero no era.

Aquí, por ser fieles a la verdad hemos de decir que la Cadena Ser ha modificado la noticia en su web y que ahora aparece de esta forma:

Captura de pantalla de 2013-01-27 14:12:24

 

Amarillismo, pero visto lo visto: aceptable.

El resto de la prensa: nada mucho mejor: o ignoran la noticia o la presentan mal. Mención especial para ABC que coge la idea de los “Problemas del Milenio” y se cree que tal título se le dedica a los problemas de todo el milenio, aunque según el Instituto Clay son los algunos de los problemas más importantes con los que se enfrentaban los matemáticos alrededor del año 2000 (el cambio de milenio):

Captura de pantalla de 2013-01-27 14:14:34 Impagable.

En fin: esto es lo que hay y supongo que todo lo demás es lo que nos merecemos.

El ‘más menor’ de los múltiplos y el ‘más mayor’ de los divisores

–No se puede, Sal –dijo Ven.

–Espera, Ven, yo creo que sí –respondió el gafotas.

–Pero nunca serán igual de altas –insistió el pequeño — ¿No ves que los cubos de números son más pequeños que los cubos de letras?

–Que eso no impoooooorta… –contestó el gafotas.

–¡Anda que no! –siguió Ven con la regla en la mano –¡Mira! Los de letras miden 9 centímetros y los de números solo miden 6 centímetros de lado.

–Pero, bueno… –Mati acababa de llegar –¿Qué pasa aquí? Cuánto jaleo…

–Hola, Mati –la saludó Sal –. Vamos a construir dos torres gemelas con los cubos, una de letras y otra de números, para demostrar que las mates son tan importantes como las letras –el gafotas guiñó un ojo.

–Pero es imposible, porque los cubos de letras son más grandes que los de números –añadió su hermano con retintín.

Mati20Min_39p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

–Hola, Ven –saludó la pelirroja –No, ¿por qué dices que es imposible?

–Porque los de letras miden 9 centímetros y los de número 6 –contestó el pequeño cada vez más enfadado.

–Vamos a pensar un poco –propuso ella –Si hacemos una torre con 8 cubos de letras, ¿cuánto medirá?

–72 centímetros… –dijo Ven con cansancio.

–Eso es, Ven –dijo Mati –9 por 8, es decir, un múltiplo de 9, ¿no?

–Pues claro –contestó Ven mirando a Mati por el rabillo del ojo.

–Y si hacemos una torre con 10 cubos de números, ¿cuánto medirá? –siguió preguntando ella.

–60… –respondió Ven.

–Ajá, un múltiplo de 6, ¿no? –les preguntó.

–Sí  –respondió el gafotas con interés.

–Luego el problema que tenemos que resolver es encontrar un número que sea, a la vez,  múltiplo de 9 y múltiplo de 6 –les dijo –. Un múltiplo común a 9 y 6.

–Ya lo tengo –gritó el gafotas –Basta poner 6 cubos de letras y 9 cubos de números, y medirán 54 centímetros las dos torres ¡Guay!

–Muy bien, Sal –dijo Mati mientras Ven dudaba entre enfurruñarse por haber perdido la disputa y alegrarse porque el problema tenía solución –Ahora os pregunto, ¿se pueden hacer dos torres gemelas más pequeñas que esas con cubos de 6 y 9 centímetros de lado?

Los niños se quedaron muy serios, Gauss ladró para disimular y empezó a perseguir a una mosca imaginaria. Él es así.

–Ni i-d-e-a –acabó admitiendo Ven.

–Se trataría de encontrar el menor múltiplo que tienen en común 6 y 9, ¿no? –dijo Mati –Lo que se suele llamar mínimo común múltiplo de 6 y 9, y que se escribe así: mcm (6,9).

–¿Y eso cómo se hace, Mati? –preguntó enseguida Sal impaciente.

–Hay otras formas de hacerlo –les contó –, pero a mí me resulta más fácil calcularlo usando el máximo común divisor, ¿os acordáis?

–Sí, sí –dijo Sal –. Nos lo contaste. Se hacía con el algoritmo de Euclides, ¿no?

–Efectivamente, cielo –dijo Mati –Pues bien, el mínimo común múltiplo de 2 números se puede calcular dividiendo el producto de esos dos números entre el máximo común divisor de estos.

mcm_1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

–Vamos a calcular el mcm(6,9) –les propuso –.Para ello vamos a calcular primero MCD(6,9) usando el algoritmo de Euclides.

–¡Vale! –dijeron los dos hermanos a la vez.

mcm_2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

–Ea, pues ya lo tenemos –les dijo la gafotas.

mcm_3

 

 

 

 

–¡Claaaaaro! –exclamó Sal –Basta con poner 2 cubos de letras y 3 de números, ¡era muy fácil!

–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! –gritó Ven.

–¿Veis? Era posible –dijo Mati guiñando un ojo –Os voy a proponer ahora aun acertijo. Imaginaos que vuestros padres os dan paga cada semana, cada 7 días; vuestros abuelos os dan paga cada 14 días y yo os doy una paga cada 35 días…

–Ojalá –dijo Ven con una sonrisa pícara.

Si os damos las 3 pagas hoy por primera vez –les dijo —¿cuándo volveremos a daros los 3 la paga a la vez?

Los niños se quedaron pensando muy serios,  hasta que Sal dijo:

–¿Hay que calcular el mínimo común múltiplo de 7, 14 y 35?

–¡Muy bien! –dijo Mati.

–¿Y cómo calculamos el mínimo común múltiplo de 3 números? –preguntó Ven.

–Pues agrupando, convenientemente, por parejas –respondió Mati –, así:

mcm_8

 

 

 

 

 

 

 

 

–Calculamos primero mcm(7,14) –les dijo.

mcm_9

 

 

 

 

 

–Nos sale 14 –continuó la pelirroja –. Ahora tendríamos que calcular mcm(14, 35) 

 

mcm_10

 

 

 

 

–¡Es 70! –dijo Sal de pronto.

–Así que no volverán a coincidir las 3 pagas hasta dentro de 70 días –concluyó Mati.

–¡Hala, qué morro! –se quejó el pequeño.

–Pero si era todo ficticio, Ven… –se burló el gafotas.

–Con este método para calcular el mínimo común múltiplo –les contó Mati —evitamos tener que factorizar en primos, que puede ser muy complicado. Pensad, por ejemplo, que si queremos descomponer en factores primos el número 7663, el primer factor primo que  tiene es 79, y para llegar hasta él hemos tenido que probar con muchos primos antes…

–Jo, pues sí que es difícil factorizar… –se quejó Ven.

–Venga, el último acertijo –les dijo Mati —Ahora tenemos 25 bolitas rojas, 15 bolitas azules y 45 bolitas verdes. Queremos hacer collares exactamente iguales sin que sobren bolitas, ¿cuántos collares como máximo puedo hacer?

Los niños se volvieron  aquedar muy serios. Finalmente Ven preguntó:

–¿Hay que hacer el mcm(25, 15, 45)?

–No, no –dijo Mati –Si queremos que todos los collares sean iguales, todos tienen que tener el mismo número de bolitas rojas, ¿no?

Los niños asintieron con la cabeza. Gauss también.

–Por lo tanto –siguió la pelirroja –,  tenemos que dividir el número de bolas rojas entre el número de collares y, si no queremos que sobren bolas rojas, el número de collares debe ser un divisor del número de bolas rojas, de 25, ¿verdad?

Sal y Ven volvieron a asentir. Gauss también, es muy novelero.

–Lo mismo ocurre con las bolas azules –continuó ella –por lo que el número de collares debe ser divisor de 15.

–Y también divisor de 45… –apostilló Sal –por las bolitas verdes.

–Eso es –dijo Mati –El número de collares debe ser un divisor común de 25, 15 y 45, y como queremos hacer el mayor número de colares posibles, será el MCD(25, 15, 45). Hacemos primero el MCD(45, 25)

mcm_6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

–Y por último, el MCD(15,5)

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–Ya tenéis, les dijo que el MCD(25, 15, 45) es 5 –continuó Mati –Así que podréis hacer como máximo 5 collares iguales.

–¡Claro! –exclamó Sal –Cada collar tendrá 5 bolitas rojas, 3 bolitas azules y 9 bolitas verdes.

–¡Qué chulo, Mati! –dijo Ven.

–¿Os gusta? –preguntó ella sonriendo –Pues el próximo día os enseñaré a sumar fracciones usando lo que aprendimos hoy.

–¡¡Guauuu!! –dijo Gauss que siempre tiene que ser el que diga la última palabra…

“Gráfica” es nombre de mujer

Mati20Min_38pPues sí, como ya nos descubrieron Mati y sus amigos el miércoles pasado, gracias  a la nueva edición de 20minutos para México, este blog tendrá nuevos amigos, o así al menos lo esperamos, al otro lado del Atlántico. Les damos a todos ellos un cálido abrazo de bienvenida y les invitamos a compartir el gusto por las Matemáticas en este rincón de la red. Como dice mi santo cuando da una charla en aquel país, si en algún momento utilizo la expresión ‘coger’ en alguno de mis artículos, en realidad quise decir ‘agarrar’. Bueno, y también cuando digo charla, quiero decir plática, que es como le llaman por allá.

Son muchos los lazos personales y profesionales que me unen a México, es por ello por lo que me hace especialmente feliz poder asomarme por allí también desde esta ventana. No es éste el sitio para hablar de los motivos personales, esto es un blog de Matemáticas, pero déjenme que les cuente que tengo un montón de familiares en este maravilloso país. México  los acogió con calor cuando la madre patria no los quería por sus ideas políticas… Ya saben de qué hablo.

Víctor Neumann-Lara

Víctor Neumann-Lara

A nivel profesional, tengo la suerte de trabajar en una disciplina que tiene un gran auge en ese país, la Teoría de Grafos, gracias, entre otras razones al empuje de un gran matemático, Víctor Neumann-Lara, que supo intuir la importancia que esta disciplina iba a tener en el desarrollo de la Informática y apostó fuerte por ella, impartiendo cursos, organizando coloquios y preparando a investigadores en el área. Ops, perdón… Víctor Neumann no los llamaba  grafos, sino  gráficas. Y así le llaman todos los investigadores mexicanos del área que he tenido el placer de conocer y/o el honor de trabajar con ellos ¿Por qué? Pues lo pregunté una vez a un colega mexicano y me contó que Víctor decía que eran unos objetos de una belleza tal que debían tener un nombre femenino. Y, oye, me gustó, pero reconozco que no he conseguido ningún avance en mi intento de que la comunidad española los llame así 😉 Posiblemente, porque usamos la palabra gráfica para referirnos a la representación de funciones o de datos estadísticos.

Pero además de su labor como matemático, Víctor era un apasionado del lenguaje, amaba las palabras, afirmaba necesitar leer poesía cada día. escribió y publicó poesía… le gustaba vivir, amaba la vida y lo demostraba.

Como dijo de él otro gran amigo mexicano, Javier Bracho, conocido como Roli,

“Él se hizo solo, vivió y enseñó con la convicción de que la vida es más importante que la ciencia; de hecho, ésta se da sólo cuando hay vida y él era un amante de la vida, disfrutaba todo intensamente y de cualquier cosa sacaba algo humano, profundo, filosófico.”

Este amante de la vida murió durante una plática en el XIX Coloquio de Teoría de las Gráficas, Combinatoria, y sus Aplicaciones, que él organizaba cada año,  mientras se disponía a cambiar una transparencia (acetato) cayó desplomado, frente a una comunidad científica que lo adoraba, el 26 de Febrero de 2004. Desde 2005 dicho coloquio lleva oficialmente su nombre como reconocimiento a su ingente aportación en el área.

No quiero terminar con tristeza esta entrada, es por eso que os recomiendo que echéis un vistazo a estos vídeos maravillosos que Tito Eliatron nos trajo en su blog hace un tiempo, en el que miembros del Instituto de Matemáticas de la Universidad Autónoma de México nos explican qué hace hoy en día un matemático. Y como podréis ver, el espíritu de Neumann sigue en el aire, si escucháis en ese vídeo a Roli (Javier Bracho) o a Luis Montejano diciendo frases como ésta:

 

 

¡Viva México!

–A mí me da un poco de vergüenza, Sal…

–Pero, ¿por qué, Ven? Ahora tendremos más amigos aún –dijo Sal con una sonrisa de oreja a oreja.

–No, si ya, si lo sé –añadió el pequeño –, pero ¿y si no les gustan las mates?

–¿Cómo no les va a gustar las mates, Ven? –protestó el gafotas –Si Mati nos contó que tenía un montón de amigos  mexicanos matemáticos…

–Muchos y muy buenos –afirmó Mati mientras se acercaba a nuestros tres amigos — ¿De qué estáis hablando, chicos?

–¡Hola, Mati! –la saludó Sal.

–Hola, Mati –añadión Ven –. Es que nos hemos enterado de que ahora desde México, en http://www.20minutos.com.mx/ pueden visitar nuestro blog…

–Pero, ¡eso es estupendo! –exclamó la pelirroja –Adoro México tengo muchos amigos y familiares en el país.

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–Te lo dije, Ven –apostilló Sal.

–¿Y es verdad que les gustan las mates? –preguntó el pequeño.

–Claro, les gustan mucho, ¡muchísimo! –confirmó ella –. Desde hace muchos, muchísimos años… ya los aztecas alrededor de los años 1543 y 1544 a.C. tenían un sistema de aritmética para la medición de sus terrenos agrícolas muy, muy avanzado… ¡y muy curioso!

–¿Curioso? –preguntó Sal –¿Por qué curioso?

–Pues porque, por ejemplo –les contó –usaban símbolos para sus medidas como corazones, manos o flechas.

–¡Cómo mola! –dijo Ven.

–Y esos símbolos, Mati –siguió preguntando el gafotas –¿qué representaban? ¿Operaciones?

–No, no –dijo ésta –Eran unidades de medida para estimar la cantidad de tierra que poseía cada agricultor y poder calcular así los impuestos que debían pagar por ellas.

–No me entero… –se quejó Ven.

–Los aztecas por aquella época tenían una unidad de medida –siguió Mati –, el tlalquahuitl, que equivalía, aproximadamente a 2,5 metros…

–¿¿El qué?? –preguntó Ven con la carita muy arrugada.

–El tlalquahuitl –repitió ella no sin esfuerzo –. Pero cuando medían los lados del terreno, a veces se encontraban con trozos que no llegaban a medir un  tlalquahuitl. Por ello, tenían unas símbolos que indicaban fracciones de esa unidad de medida, entre otros, como os he dicho,  un corazón, una mano o una flecha.

–¿Eso es un corazón, Mati? –preguntó Ven extrañado.

–Sí, eso parece según lo que he podido leer en el trabajo de María del Carmen Jorge y Jorge y Barbara Willians –les dijo.

–¿Y qué fracción representa cada símbolo de estos? –preguntó el gafotas.

–Pues parece que, según ese trabajo, el corazón representa 2/5 de un tlalquahuitl, la flecha sería 1/2 de tlalquahuitl y la mano 3/5 de tlalquahuitl.

–Cómo mola… –exclamó Ven.

–Sí, es alucinante –añadió ella –que tuvieran un sistema métrico tan elaborado hace tantísimos años… Fijaos en esta otra imagen de aquella época recogida en el Códice Vergara

–¿Qué significan esos puntos y rayitas, Mati? –quiso saber Sal.

–Cada raya representa 1 tlalquahuitl, le llamaremos T al tlalquahuitl. para que sea más cortito; cada  punto representa 20 T –les dijo ella — Las 4 rayitas con techo, representan al número 5. Así, si medimos en el campo más a la derecha tendremos: 20 T (el puntito) + 3 por 5 (las rayitas agrupadas de 5 en 5) + 2 rayitas sueltas. En total, 37 T.

azteca_4

 

–¡Tomaaaaaaaaaaaaaa! ¡Está padrísimo!–gritó Ven.

–¿Os atrevéis a medir los otros campos? –les retó.

Los niños se pusieron manos a la obra y escribieron:

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–Pero bueno… –dijo Mati –Veo que habéis entendido perfectamente la aritmética azteca…

–Un poco, sí –aceptó Sal no sin ruborizarse.

–Pues aún tenían otros símbolos para indicar cantidades siguió Mati –como podéis ver en esta imagen:

–Pues parece que sí que a nuestros amigos mexicanos les gustan las mates –añadió Ven.

–Ya os lo dije -respondió ella –¿Qué os parece si les damos la bienvenida?

–Bienvenidos a nuestro rincón a todos nuestros amigos que nos leen desde México –dijo Sal muy solemne –Podéis ver nuestra presentación aquí.

–¡VIVA MÉXICO! –grito Ven con pasión, provocando que Gauss saliera corriendo despavorido corriendo.

 

Yo te doy el Sol y la Luna

Todo blog que hable de matemáticas que se precie tiene que tratar tarde o temprano la paradoja de Banach-Tarski. Por favor: no se marchen después de oír eso de “la paradoja de Banach-Tarski”, lo que sigue os puede parecer curioso y absolutamente contraintuitivo, pero está demostrado y por tanto se sabe que es cierto.

Un puzzle que es un clásico y del que existen muchas variantes es el Tangram; en dicho juego, un cuadrado está dividido en varias piezas y dichas piezas podemos recomponerlas hasta formar otras figuras.

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Evidentemente en el Tangram las piezas tienen una forma muy simple, pero lo que Banach y Tarski probaron en 1926 fue que se puede hacer un Tangram muy, muy especial a partir del cubo. Efectivamente, podemos dividir el cubo macizo en cinco subconjuntos o piezas de tal forma que podemos mover dichas piezas y podemos formar ¡dos cubos macizos con exactamente el mismo volumen que el cubo inicial! Repito: podemos dividir un cubo en cinco trozos y recomponer esos trozos (no deformamos los trozos: seguirán con la misma forma original sin cambiar de forma, ni de tamaño en todo el proceso) hasta obtener dos cubos idénticos al original.

El problema está que si alguien no se cree el resultado, tendrá que leerse la demostración (que no es sencilla) y ver que es correcta para convencerse, ya que los conjuntos (las piezas del tangram), no se pueden ni describir ni ver de manera simple, digamos que son subconjuntos de puntos muy extraños del cubo inicial (aún hay más ya que se demuestra que existen dichos conjuntos, pero no se construyen explícitamente). Pero a mi lo que me encanta es una variante de esta paradoja que nos dice no que podemos construir no dos cubos idénticos al original sino que partiendo de una esfera de cualquier tamaño, podemos dividirla en trozos y reagrupar dichos trozos hasta conseguir otra esfera de otro tamaño cualquiera; esto es: podemos tomar una esfera del tamaño de un guisante, dividirla en trozos y recomponer dichos trozos hasta conseguir una esfera del tamaño de la Luna o del Sol.

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Así podemos decir: “tú dame un guisante y yo te daré la Luna y el Sol”.

xlarge_duplashrinkerAlgo curioso es que esta paradoja ha hecho su aparición en una de las series de dibujos animados en los que las matemáticas están más presentes: Futurama. Efectivamente en dicha serie se muestra un duplicador-reductor de Banach-Tarski, por desgracia, dicho duplicador no se puede construir realmente ya que las divisiones de la esfera son tan enrevesadas que parecerían más un conjunto muy disperso de puntos, además, es necesario usar puntos matemáticos, esto es: objetos de dimensión cero, cosa que en nuestro mundo físico es imposible.

 

 

Podemos encontrar una explicación más detallada de esta paradoja en esta entrada del blog Tio Petrus, o aún mas detallada en la Wikipedia en inglés donde aparece incluso un esbozo de la demostración.

 

La vuelta al mundo con una cuerda

–¡He vuelto a ganar! ¡He vuelto a ganar!

–Esta pista está mal, no puede ser, Sal –se quejó el pequeño.

–Nada, nada –respondió el gafotas –.Te gano con los dos coches, Ven, no seas mal perdedor.

–Pues, ya no juego más, ea –apostilló este –. Estoy cansado de ser siempre el segundo.

–Huy, como Erastótenes... –Mati acababa de llegar.

–¿¿Quién?? –preguntó Ven con la cara arrugada como una pasa.

–Erastótenes –dijo ella –. Era un conocido matemático, astrónomo, poeta, geógrafo y filósofo griego.

–¿Y jugaba al Scalextric, Mati? –preguntó Sal con cara de pícaro.

–No, no –dijo Mati sonriendo –, pero algunos historiadores aseguran que se le conocía con el sobrenombre de Beta,  por la segunda letra del alfabeto griego, porque ocupó el segundo lugar en todas las ramas de la ciencia que cultivó.

–Pobre… –se lamentó Ven –Como yo con esta pista maldita…

–Bueno –continuó la pelirroja –, a este señor se le recuerda como el primer hombre que fue capaz de dar una aproximación de la longitud de un meridiano de la Tierra en el año 240 a.C.

Mati20Min_37

–Qué tío… –murmuró Ven.

–¿Cómo lo hizo, Mati? –preguntó enseguida Sal.

— Eratóstenes había leído o le habían comentado que el 21 de Junio el Sol estaba sobre la vertical de Siena (la actual Asuán): el Sol llegaba hasta el fondo de los pozos más profundos y comprobó que en Alejandría eso no era así, sino que los palos clavado verticalmente daban una sombra de algo más de 7º (aproximadamente 1/50 de la circunferencia), así que si la distancia entre Asuán y Alejandría era de 5000 estadios (medida de longitud en aquel entonces), el meridiano tendría que medir 250000 estadios. Aquí surge una polémica porque no se sabe exactamente a cuánto corresponde uno de los estadios de Eratóstenes; parece lo lógico suponer que era el estadio egipcio (él vivía en Egipto) que corresponde con 157,2 metros lo cual da una longitud del meridiano de 39300 kilómetros que está muy cerca del valor verdadero que es de 40.008 km aproximadamente.

 

–¡QUÉ TÍO! –volvió a repetir Ven.

–Pero ahora os voy a proponer un reto –anunció Mati –Ya sabéis cómo se mide la longitud de una circunferencia: si conocemos el radio de la circunferencia, r, podemos conocer también su longitud gracias a π:

L= 2π x r

–Sí. sí, me acuerdo, me acuerdo –interrumpió el pequeño.

–Vamos a redondear la longitud del círculo del Ecuador con 40000 kms, aunque en realidad serían 40,008 kms –siguió ella –. Eso nos daría que el radio de la Tierra es 6366197,723675813 metros. solo tenemos que dividir 40000000 entre 2π. Ahora imaginad  que ponemos una cuerda muy apretadita alrededor del Ecuador, una cuerda de 40000 km.

–Vaya cuerda…

–Ahora le añadimos 6 metros más de longitud a esa cuerda… –continuó Mati.

–¿Solo 6 metros? –preguntó el gafotas.

–Sí, solo 6 metros –confirmó ella –Ahora la cuerda no está apretadita en el Ecuador, ¿verdad? ¿cuánto diréis que se separa de la Tierra?

–No se notaría nada, Mati –dijo Sal.

–Sí, eso nos dice la intuición, pero vamos a medirlo –les propuso:

40000006 = 2π x r

..y entonces el radio que nos sale es 6366198,678605472 metros, ¡casi un metro se separa esa cuerda de la Tierra!

–¡¡¡Toma, toma, toma!!! ¡Cómo mola! –gritó Ven.

–Es alucinante… –añadió sal casi sin voz.

–Lo es, sin duda –dijo Mati –. A veces nuestra intuición nos falla. Pero, bueno, ¿me enseñáis vuestros regalos? Aparte de esta pista tan molona, claro.

–Mejor, Mati –dijo Ven enseguida –. Estoy cansado de ser el Beta de esta familia…

 

¿Está usted de broma, Sr. Feynman?

Entre los lectores de este blog sé que se encuentra algún físico, por ello me produce cierto temor acercarme a su terreno, aunque sea tangencialmente pero es que hoy me gustaría hablar sobre algo relacionado con Richard Feynman. Sé que hablar de Feynman en un blog puede resultar complicado ya que se han contando ya miles de anécdotas sobre él (en este mismo blog se contó algo sobre su controvertida actuación en la Comisión Rogers); pero para quien no lo recuerde, Feynman fue un físico americano, premio Nobel de su disciplina que poseía una marcada personalidad. La lectura de su libro “¿Está usted de broma, Sr. Feynman?” es una actividad ciertamente relajante y estimulante.

Mi pregunta a mis amigos físicos es: ¿sabéis dónde está el punto de Feynman?

No, no los busquéis en nada relacionado con la electrodinámica cuántica, ni en sus diagramas, ni siquiera se llama así ningún punto de la Luna o Marte:

 

El punto de Feynman está en el número π, más concretamente, es el conjunto de seis decimales de π que comienza a partir del decimal 762. Y, de hecho, el que se le llame a dicho conjunto de decimales por su nombre, refleja, de alguna manera, la personalidad de dicho físico, su carácter bromista y sus ánimos de disfrutar con curiosidades y cosas que llamaran la atención. Y es que el decimal 762 de π es 9 y el 763 también 9 y el 764 y así hasta el 767 son todos 9. Antes de dicho decimal, ningún dígito se repite seis veces (ni siquiera cinco o cuatro veces). Feynman, conociendo dicha curiosidad, decía que le gustaría memorizar los decimales de π hasta dicho punto y para poder terminar de recitarlos diciendo “…nueve, nueve, nueve, nueve, nueve, nueve, y así en adelante“. Sugiriendo que π es racional… Él era así, los físicos tienen estas cosas 🙂

Efectivamente, los números reales se pueden dividir en dos grandes grupos en función de su representación decimal: los que a partir de cierto decimal se repite un conjunto de decimales de forma periódica e indefinida (los racionales) y los que no (los irracionales). Los racionales se llaman así porque siempre se pueden expresar como una fracción de dos números enteros (racional viene de ración o fracción), mientras que eso es imposible con los irracionales. Ejemplos notables de irracionales son la raíz cuadrada de muchos números (como 2, 3, 5, 6, etc.) y otros números notables de las matemáticas como e (el número de Euler), la razón aúrea y π.  Así que, efectivamente, Feynman lo que pretendía era gastar una broma sugiriendo la racionalidad de  π. (Mati describió en esta mateaventura los distintos conjuntos numéricos que forman los números reales)

Los que me conocen saben que los físicos no me caen mal y que incluso llego a tener cierta amistad con alguno de ellos, pero sí que he de decir que la broma de Feynman tiene un fallo fundamental en el que es difícil que caiga un matemático (por ser físico se lo vamos a perdonar): en la representación decimal de un número que hemos acordado ningún número acaba en una sucesión infinita de nueves. Por ejemplo, el número 0.9999999… se suele representar de otra forma, es más conocido como 1. Para convencerse de que son el mismo número, basta con hacer 1-0.9999999…=0 y pasando 0.9999999… al otro lado de la igualdad obtenemos que 1=0.9999999… (Mati también explicó esta igualdad al principio de esta mateaventura)

Si alguien quiere conocer más curiosidades sobre los decimales de π o el propio punto de Feynman, puede consultar la correspondiente entrada de la Wikipedia o esta nota del blog Gaussianos.

Una de camellos

–¡Hala! Sí que debe ser incómodo venir desde tan lejos encima de un camello, ¿no?

–Bueno, Ven… En realidad no vienen de tan lejos, no creas…

–¡Anda que no, Sal! ¡Vienen de Oriente!

–Esto… –el gafotas dudó un rato –No sé cómo decirte esto, Ven, pero…

–¿Os cuento un acertijo sobre camellos? –interrumpió rápidamente Mati.

–Siempre que no nos jorobes mucho… –contestó Ven con cara de pícaro.

–Vale, Mati, ya veo –dijo Sal guiñando el ojo a su amiga.

–Veréis –empezó a contarles ella –Hace mucho, muchísimo años, en un país muy lejano, un noble anciano estaba a punto de morir…

–Pobre… –interrumpió el pequeño.

–Era un anciano muy, muy mayor –continuó ella –Justo antes de morir le dijo a sus 3 hijos:

Hijos míos, lo único que os dejo de herencia son mis 17 camellos a los que he cuidado con el máximo cariño y que tanto me han ayudado en esta vida. Sólo os pediré algo, que el mayor de vosotros, que tiene muchos hijos se quede con la mitad; el mediano que está esperando un hijo se quede con la tercera parte, y tú, el más joven, con la novena parte de la herencia.

El hijo pequeño, que era el más hábil con los cálculos protestó:

Pero, padre…

Déjalo descansar –le pidió el hermano mediano —Haremos lo que nos pide, ha sido un buen padre.

-¿No os dais cuenta de que es imposible dividir la herencia como nos pide? –insistió el pequeño, pero el padre ya había muerto.

–¡Toma! ¡Es verdad! –exclamó Ven –17 no se puede dividir por 2, porque no es par, ni por 3 porque sus cifras suman 8 que no es múltiplo de 3, ni por 9 porque la suma de sus cifras tampoco es múltiplo de 9… ¡vaya tela!

–Muy bien, Ven –dijo Mati –.Veo que recuerdas lo que os conté sobre divisibilidad.

–Espero que la solución no sea partir uno de los camellitos a trocitos, ¿verdad, Mati? –preguntó Sal un poco angustiado.

–No, no fue esa la solución, sigo:

Pasados unos días tras la muerte del padre, se hallaban los 3 hermanos tomando un té a la sombra de un árbol cuando vieron acercarse en un camello a una sabia del lugar, a la que todos reconocían enseguida por su larga melena de color rojo…

–¡¡Eras tú, Mati!! –gritó el pequeño.

–No, yo aún no había nacido –dijo ella guiñando un ojo y continuó:

Después de que le hubieron contado la historia, aquella sabia, de nombre Matim, les dijo lo siguiente:

–Os regalo mi camello, yo puedo apañarme sin él. Así tendréis 18 camellos, que es un número divisible por 2, por 3 y por 9.

Los 3 hermanos aceptaron el regalo de Matim y con este nuevo animal decidieron darle la mitad, 9 camellos,  al mayor, un tercio, 6 camellos, al mediano y la novena parte, 2 camellos, al hermano pequeño.

–Para, para, Mati –pidió el gafotas –. 9 + 6 + 2 son 17 camellos, ¡sobra uno!  ¿Qué hicieron con él?

–Se lo devolvieron a Matim y le dieron las gracias por la ayuda –respondió la pelirroja.

–¿Cómo es posible, Mati? –preguntó Sal –¿Cómo pudo sobrar un camello?

–Muy simple, Sal –dijo esta –Con ese reparto, el de un medio, más un tercio más un noveno, siempre sobrará.

–¿Por qué? –preguntó rápidamente el pequeño.

–Pues porque esas fracciones –siguió ella –no suman 1

–¿Cuánto suman esas fracciones, Mati? –preguntó el gafotas.

–Vamos a multiplicar la primera de ellas por 9, numerador y denominador para que no cambie; la segunda por 6 y la tercera por 2 y las sumamos:

 

–¿Veis? -les dijo –Nos queda 17 partido por 18 y eso no es 1. El noble anciano no sabía demasiadas matemáticas…

–Ya, ya veo –dijo Sal.

–A mí me da pena el hijo pequeño –añadió Ven –. Solo se quedó con 2 camellos…

–Creo que no –dijo Mati –, me contaron que quedó fascinado por la inteligencia de Matim y que tuvieron 3 camellos…

–¡Toma, toma, toma! ¡Como los reyes! –interrumpió Ven.

–Sí, pero Matim y su esposo –continuó la gafotas –los usaron para regalar matemáticas a los niños de las aldeas de la zona, pasando pueblo por pueblo con sus camellos.

–Qué bonito es el amor… –exclamó Ven con un suspiro.

–Y las matemáticas –añadió Sal con un guiño.