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Archivo de diciembre, 2012

Pongamos las cartas boca arriba

Hoy es el último día del año, así que seguramente a muchos les tocará cena familiar, repaso de tópicos y discusión de en qué cadena se ven las campanadas. Para esos momentos, no están mal cierto arsenal de chistes o pasatiempos y me gustaría proponer uno que puede hacer pasar buenos ratos, porque su solución parece imposible y, sin embargo, es bien simple:

Ingredientes: una baraja de cartas (da igual española o francesa, incluso da igual el que no esté completa: digamos que al menos 30 cartas estaría bien) y gente con ganas de aceptar un reto.

Preparación: se cogen diez cartas del mazo (da igual que se vean, da igual que todos sepan cuales son: se pueden escoger las diez primeras, por ejemplo) y se les da la vuelta de tal forma que todas las cartas del mazo estén mirando hacia la mesa y esas diez hacia el techo. Ahora se meten esas diez cartas en el mazo de tal forma que sigan estando al revés que las otras y a continuación podemos cortar y mezclar las cartas tanto como queramos. Al final del proceso tendremos una baraja con la mayoría de las cartas mirando hacia la mesa y diez cartas perdidas entre todas que están mirando hacia arriba.

El reto: miramos fijamente al cuñado más odiado, a ese que se cree tan listo y le proponemos que con los ojos vendados sea capaz de realizar la siguiente operación: dividir el mazo original en dos mazos de cartas, digamos que mazo A y mazo B  y conseguir que tanto el mazo A como el mazo B tengan el mismo número de cartas boca arriba.

Si nuestro cuñado no es capaz de cumplir el reto, nosotros podemos decir que lo vamos a cumplir no solo con los ojos cerrados, sino sin tocar las cartas y dándole instrucciones a ese niño de cinco años que hay en todas estas reuniones, para que sea el niño el que complete el reto y así el escarnio sobre el odiado cuñado sea más completo.

En este vídeo explico qué es lo que hay que hacer, así puedes pensar un rato para tratar de encontrar la solución y no la desvelo directamente aquí; pero lo que sí dejaré sin responder es la razón por la que siempre funciona: son matemáticas muy elementales y me gustaría que pensarás en ellas y que des la explicación en los comentarios.

¡Ah! Se me olvidaba lo más importante:

 

¿Y si divido infinito entre infinito?

–Me encantan las luces de Navidad –exclamó Ven con los ojos llenos de reflejos de colores.

–Sí, son las noches más bonitas del año… –añadió Sal –Bueno, y las de verano cuando vemos en la playa las Perseidas.

–Es verdad, Sal –dijo el pequeño –, pero en Navidad las luces son de todos los colores.

–¿Por qué solo ponemos estas luces tan  bonitas en Navidad, Mati? –preguntó el gafotas.

–Parece que su origen podría encontrarse en la época romana, en unas fiestas llamadas los Saturnales –les dijo –que eran muy populares porque en dichas fiestas los esclavos recibían más privilegios que en ninguna época del año. Como las fiestas coincidían con el final de los días más cortos del año, por el solsticio de invierno, lo entendían como el triunfo de la luz sobre la oscuridad y lo celebraban a la luz de velas y antorchas.  Fue la popularidad de estas fiestas entre los romanos la que facilitó que los cristianos la asimilaran al nacimiento de su líder para que éstos, los romanos, pudieran convertirse a su religión sin renunciar a sus fiestas alrededor del solsticio.

–Pues sí que es el triunfo de la luz sobre la oscuridad –siguió Ven –, ¡han puesto infinitas luces este año!

–Hala, Ven –protestó Sal –, ya estás exagerando, no puede haber infinitas luces porque no hay infinitas calles y una calle no puede tener infinitas luces.

–Me estás liando… –se quejó Ven agachando su cabecita.

–Mira Ven, si hay un número finito de calles –continuó su hermano con cariño –, por ejemplo, 100 y hubiese infinitas luces en la ciudad, habría en cada calle infinito dividido entre 100 luces en cada calle, y si divides infinito entre un número sale infinito, ¿no?

–¿¿Sí?? –el pequeño abrió los ojos de para en par –¿Infinito dividido entre un número sale infinito?

–Eso es –confirmó Mati –, aunque realmente, infinito no es un número, es un concepto, pero si una cantidad crece mucho, acercándose al infinito, podemos decir que la división entre esa cantidad y un número fijo, se acerca también a infinito.

–No entiendo –confesó el pequeño Ven.

–A ver –dijo Mati –, pensemos en las siguientes divisiones: en el denominador siempre tenemos 100 y los numeradores van aumentando muy rápido, de forma que podemos decir que el numerador tiende a infinito y que , por lo tanto, estas divisiones se están a acercando a ∞ dividido por 100, ¿no?

 

–Vamos ahora a calcular el valor de esas divisiones –continuó Mati –. La primera sale 1, la segunda sale 100, la tercera sale 10000, y si siguiéramos aumentando el numerador, el resultado iría aumentando tendiendo a ∞:

–Claaaaro… –se asombró el gafotas.

–Por eso podemos decir, con muchas comillas,  que ∞ dividido por un número es ∞ –les contó.

–¡Toma! –se alegró el pequeño.

–Ahora vamos a mirar estas divisiones en las que hemos hecho lo contrario –continuó la pelirroja –, hemos dejado fijos los numeradores y hemos ido aumentando los denominadores, para  que sean ellos los que tiendan a infinito:

–¿Hacemos las cuentas, Mati? –preguntó el gafotas.

–Adelante, chicos.

–La primera da 1 otra vez –mascullaba Sal –, la segunda da 0,01… la tercera 0,001…

–Eso es, y si siguiésemos aumentando el denominador hasta el infinito, ¿qué pasaría? –les preguntó.

–Que nos saldría casi 0, ¿no, Mati?

–Eso es, Sal, muy bien.

 

–¡Eres el mejor! –dijo Ven a su hermanito.

–Los dos sois geniales –Mati guiñó un ojo –. Por esto, podemos decir, con muchas muchas comillas,  que cualquier número dividido entre ∞ es igual a 0.

–¿Y si divido infinito entre infinito? –preguntó Sal.

–¡Pues 1! –gritó Ven asustando al pobre Gauss.

–Bueno, bueno… –dijo Mati misteriosa –. Vamos a investigar un poco, ¿queréis?

–¡¡Sí!! –gritaron los dos hermanitos.

–Si ponemos en el denominador  ∞  y hacemos crecer los numeradores como en el primer ejemplo –les dijo Mati –, podríamos decir que esas divisiones tenderán a ∞ dividido por ∞, ¿no?

 

–Sí, sí, claro –dijo Ven muy serio.

–Pero al calcular el valor de las divisiones –continuó ella –, como un número dividido entre ∞ hemos dicho que vale 0, tenemos:

–O sea –dijo Ven –que ∞/∞ es igual que 0,  ¿verdad, Mati?

–O no… –respondió ella misteriosa –. Vamos a darle la vuelta a a las divisiones, en el numerador ∞ y el denominador creciendo muy rápido:

 

–¿Qué pasa al calcular el valor de estas divisiones? –les preguntó.

–Infinito dividido por un número es infinito… –decía Sal –. Todas dan como resultado infinito.

–Ajá –confirmó Mati.

–¡Ahí va! –se extrañó Ven –Ahora resulta que ∞/∞ también puede ser infinito…

–¿Cómo sabemos si ∞/∞ es 0 o es infinito?

–U otra cosa, ¿no? –dejó caer Mati misteriosa.

–¿¿Otra cosa?? –exclamó Ven –¡¡Imposible!!

–Fijaos en las siguientes divisiones –les propuso –, ahora hacemos crecer mucho tanto el denominador como el numerador… por lo tanto, también crecerían hasta ∞/∞, ¿no?

 

–¡Toma, claro! –dijo Ven muy afectado.

–Pues, calculad ahora el valor de las divisiones –les retó —, a ver qué pasa…

 

–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! –gritó Ven de pronto –¡Ahora resulta que ∞/∞ es igual que 3/4!

–Entonces, Mati –preguntó Sal —Si te preguntan cuánto es ∞/∞, ¿qué responderías?

–Que no lo sé, que depende… que es un valor indeterminado, que depende cómo se acerquen al infinito el numerador y el denominador… –les dijo –Es hermoso no saber cómo va a terminar todo en esta vida, ¿no creéis?

–Pues… –dudó Ven y añadió –Sí, es hermoso, a mí me gustan las sorpresas.

 

 

Un problema muy particular

La luna rielaba en el lago en una cálida madrugada a la orilla del Como, en esa norteña Italia tan alejada de algunos tópicos,  comenzaban a oírse los cantos de las primeras cigarras, mientras tanto, una joven pareja se abrazaba ajena a todo y a todos, consumando su amor, sus anhelos…

Creo que me acabo de despistar por completo, si no recuerdo mal esto era un blog de matemáticas, así que tengo que cambiar el tercio completamente: bueno pues aquí va un clásico problema de ecuaciones, puede que alguno de vosotros lo conozca, pero me parece muy representativo del razonar matemático, de intentar extraer el máximo de conclusiones a partir de los datos disponibles. Aquí va:

“En cierto momento, una madre es 21 años mayor que el niño y dentro de 6 años, ella será 5 veces mayor que él. La pregunta es: ¿Dónde está el padre?”

Naturalmente la respuesta a la anterior pregunta dependerá de quién lea el problema y oscilará entre “cualquiera sabe: estará en el bar con los amigotes mientras la mujer se ocupa de todo” al más razonable de “ni idea”.

Lo curioso es lo que hace un matemático si recibe dicho problema; dirá: “veamos qué conclusiones podemos extraer a partir de los datos disponibles, llamemos X a la edad de la madre e Y a la del niño. Evidentemente por la  primera afirmación sabemos que X=Y+21 y de la segunda extraemos que X+6=5(Y+6). Si sustituimos la X obtenida en la primera igualdad en la segunda ecuación obtenemos: Y+21+6=5(Y+6) o lo que es igual: 21+6-30=5Y-Y, resolviendo nos queda Y=-3/4”.

Llegados a este punto la primera tentación es decir que los datos estaban equivocados que la edad del hijo no puede ser negativa, que no puede tener -3/4 años, pero si lo pensamos un poco igual descubrimos alguna pista de dónde estaba el padre de la criatura en ese preciso instante.

La solución (muy fácil a esta altura: que nadie se dé demasiado mérito) en los comentarios.

Por cierto, se me olvidaba: ¡FELICES FIESTAS A TODOS! ¡¡¡¡Muuuuuuuuuuuuak!!!!

Fractal de Sierpinsky

PS: evidentemente este no es un problema original nuestro, sino que constituye todo un clásico, así que no hemos podido averiguar su autor, si alguien conoce algo cierto al respecto, sus comentarios también serán bien recibidos.

Un paseo por el MoMath

–¡Qué pasada, Mati! –exclamó Ven

–Es el mejor museo del mundo… –corroboró su hermano.

–Bueno, tengo que decir –respondió ella — que sí, que será  uno de mis favoritos a partir de ahora.

–¡Y el mío también! –añadió el gafotas

Aprovechando las vacaciones de Navidad, Mati y sus amiguitos han viajado hasta Nueva York para visitar el recién inaugurado Museo de Matemáticas, el MoMath. Un museo lleno de matemáticas con el propósito de mejorar la comprensión y la percepción de éstas, a través de la experimentación y el juego.

–Qué monos los dinosauritos… –dijó Ven –Los quiero para mi habitación.

–Más monos son los monitos, ¿no? –bromeó la pelirroja.

–¿Y el suelo de Voronoi? –le preguntó Sal –¡Eso si que mola todo!

–Es cierto, Sal –dijo Mati –Me resultaría imposible elegir alguna atracción del museo, todas son maravillosas…

–Pues yo lo tengo clarísimo –interrumpió Ven –. Mi favorito es la bici de ruedas cuadradas.

–Huy, sí –confirmó ella –. Me lo he pasado en grande, se deslizaba suave, suave, como si rodara sobre un espejo…

–Es cierto, Mati –dijo el pequeño Ven –. Parece cosa de magia…

–Pero no es magia, Ven –interrumpió su hermano –. Nos lo explicó Mati, ¿recuerdas? Es cosa de la… ¿cómo se llamaba la curva, Mati?

–La catenaria, Sal –respondió ella –. La magia está en que el suelo en el que circula la bicicleta está formado por catenarias invertidas.

–¿Las catenarias son las de los cables? –quiso saber Ven.

–Ajá –confirmó ella — Es la curva que adopta un cable, una cuerda o una cadena, suspendida entre dos extremos. Durante mucho tiempo, se creía que esa curva era un parábola, hasta que finalmente Johann Bernouilli descubrió que no, que era un curva diferente.

–Pues bien –continuó la pelirroja –El truco está en que para que un movimiento sea suave lo que tenemos que conseguir es que el eje de la rueda, el centro, describa una linea recta. Si la carretera es lisa, eso se consigue únicamente con ruedas circulares, todos los puntos de la rueda están a la misma distancia del centro. Pero esta propiedad no la tiene el cuadrado. Para que la rueda cuadrada ruede manteniendo el centro en línea recta, el suelo no puede ser liso.

–Toma, claro –murmuró Ven.

–Ahora bien –continuó ella –, la rueda cuadrada se desliza manteniendo el centro en línea recta si lo hace sobre un suelo formado por catenarias invertidas.

–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! –gritó Ven –¡Ahora lo comprendo todo!

–Es cierto –dijo el gafotas –Recuerdo que nos lo contaste camino de Barcelona

–Efetivamente, Sal –siguió ella –. Además, con esa misma idea se podrían diseñar bicicletas cn ruedas pentagonales, hexagonales…

–O ruedas con polígonos de Reuleaux, ¿no, Mati? –preguntó el gafotas.

–No, no es lo mismo –dijo ella –En el caso de los polígonos de Reuleaux, el suelo puede ser liso por tener éstos anchura constante.

–Ah, es verdad –Sal se echó las manos a la cabeza y sonrió –. Me he liado un poco.

–Este museo es una pasada… –volvió a decir Ven –Gracias por traernos al MoMath, Mati.

–Sí, gracias, Mati –apoyó Sal –Ha sido una gran idea.

–De nada, chicos –respondió ésta –. En realidad estaba deseando que lo inauguraran desde que Clara me contó que había estado en una exhibición del Momath,  un Math Midway, y su amigo George Hart que trabajaba entonces para el MoMath le había invitado a pasear en la bicicleta de ruedas cuadradas e, incluso, a ¡cambiarle la goma de las ruedas a la misma!

 

¿Qué tienen en común Francisco Santos y Benoit Mandelbrot?

 

Conjunto de Mandelbrot

En una primera aproximación se deduce fácilmente que los dos son matemáticos. Pero matemáticos hay muchos, afortunadamente, claro. Si uno analiza con más detenimiento la carrera de estos dos científicos, descubrirá que mientras Mandelbrot es asociado, principalmente, a unas estructuras matemáticas y maravillosas, conocidas como fractales, el nombre de Francisco Santos aparece muchas veces ligado a unas estructuras más rígidas y menos fotogénicas  conocidas como politopos.

Politopo

Ahora bien, como se dice en mi pueblo, con lo guapo no se come (que se lo pregunten a Naomi Campbell…) y aunque los politopos no sean tan espectaculares visualmente como los fractales, lo que no se les puede negar es que son mu apañaos.

¿Para qué puede servir estudiar politopos? Pues, por ejemplo, para poder acotar el tiempo máximo que necesitaríamos para resolver un problema de Programación Lineal usando el método del Simplex.

Ea, ya estamos, ¿qué es Programación Lineal, hija? ¿Cuál es el método del Simplex? 

En pocas palabras, la Programación Lineal se preocupa de cómo gestionar de la forma óptima una cantidad limitada de recursos para obtener de ellos al mayor rendimiento o minimizar los efectos adversos.

La Programación Lineal se usa para asignar recursos, planificar producción o carteras de inversión, organizar horarios, formular estrategias de mercado, o militares, etc. La versatilidad e impacto económico de la programación lineal en el mundo industrial de hoy es verdaderamente increíble.

 

Eugene Lawler

 

Sí, de esto sabe poco nuestro gobierno…

Fue el matemático ruso Leonid Kantoróvich, alrededor de 1939, el pionero en estudios de esta disciplina, estudios que le sirvieron para conseguir el Premio Nobel de Economía en 1975 (y es que como a los matemáticos no nos pueden dar el Nobel, tenemos que conseguirlo por otras vías, como también ha pasado con el último Nobel en la misma categoría…), aunque eso sí, tuvieron mucho cuidado en no ventilar los avances obtenido durante la Segunda Guerra Mundial, para evitar el uso por parte del enemigo de éstos en pro de optimizar sus recursos bélicos. Pero… ¡YA ESTÁN PUBLICADOS, DE GUINDOS!

Pues bien, unos años más tarde, un colega estadounidense, George Dantzig, que trabajaba para el ejército estadounidense, publicó el método Simplex para la resolución eficiente de problemas de Programación Lineal. Durante mucho tiempo ha sido el único método conocido para abordar grandes problemas de este tipo. De hecho, en el año 2000, en la revista Computing in Science and Engineering, en un sección dedicada a Lo mejor del siglo XX,  se publicó una lista con un  Top 10  de algoritmos de dicho siglo; es decir, los algoritmos más influyentes en el desarrollo de la ciencia y la ingeniería en ese período,  en la que el Método del Simplex de Dantzig aparece en segundo lugar (están en orden cronológico).

¿Qué tiene que ver todo esto con un politopo? En pocas palabras, la pega del método del simplex está en que no se puede, a priori, decidir cuánto tardará como máximo en encontrar la solución óptima. Podemos pensar que las soluciones posibles (con los recursos y limitaciones que tenemos) están representadas por lo vértices del politopo. El método empieza en uno de ellos, elegido arbitrariamente y se va moviendo por las aristas, visitando uno a uno los vértices del politopo hasta llegar al que representa a la solución óptima, ¿me explico? Pues bien, para saber cuál será  tiempo máximo necesario para llegar a la solución óptima, la mejor, del problema, habría que conocer cuál es la máxima distancia posible entre dos vértices del politopo, si medimos la distancia contando el número de aristas del poiltopo que tenemos que recorrer para llegar de uno a otro. Esto, esa máxima distancia posible, se conoce como diámetro.

En 1957, Warren M. Hirsch escribió una carta al mismo Dantzig en el que conjeturaba (es decir, afirmaba sin que lo hubiese demostrado) que ese diámetro estaba acotado, no podía ser mayor, que el número de restricciones  del problema menos la dimensión del politopo. No vamos a entrar en mucho más detalles sobre este particular para no espantar al lector menos familiarizado con estos temas (os recomiendo esta entrada de Gaussianos para saber más) , pero lo sorprendente de esta historia, es que esta conjetura de Hirsch estuvo más de 50 años sin ser demostrada o refutada, a pesar del esfuerzo y dedicación de muchos matemáticos de reconocido prestigio sin saber que:

The answer, my friend, is blowing in the wind

Bob Dylan

 

Efectivamente, Francisco Santos Leal (Paco para sus amigos, muchos) es profesor de la Universidad de Cantabria y volaba desde Bilbao camino de Paris leyendo On the Exact Maximum Complexity of Minkowski Sums of Convex Polyhedra (de Fogel et al.) cuando se le ocurrió cómo construir el contraejemplo que desmontaría la famosa conjetura de Hirsch. Afortunadamente, anotó las ideas en un cuaderno que llevaba y no en el margen de la citada revista porque la dejó olvidada en el avión y se hubiese repetido la historia de Fermat…

En Mayo de 2010, la noticia de que Paco había refutado la conjetura de Hirsch no solo nos llenó de orgullo y satisfacción a todos sus colegas y amigos, sino que fue recogida en numerosos medios de comunicación que se lanzaron a conseguir una entrevista con Paco. De entre todo lo publicado alrededor de este hecho, me resulta especialmente emotivo este artículo publicado en Lastampa el pasado 27 de Abril de 2011, en el que el profesor Bernd Sturmfels reconoce honestamente que Paco resolvió con brillantez el problema que él abandonó después de un año por encontrarlo demasiado complicado.

Ahora sí, volviendo al título de esta entrada, ¿por qué me dio esta mañana por relacionar a Francisco Santos con Benoit Mandelbrot?

Pues porque la semana pasada se conoció la noticia de que nuestro profesor e investigador cántabro, igual que el papá de la Geometría Fractal, acaba de ser galardonado con el Premio Humboldt de Investigación por su labor docente y científica. La importancia y relevancia de este premio, entre otras cosas, queda patente en el hecho de que entre sus galardonados anteriormente, podemos encontrar casi 50 premios Nobel… ¿Quién sabe? ¿No?

Hoy tenemos motivo para sentirnos orgullosos, pero orgullosos de verdad, porque mientras nuestro Ministro de Educación se preocupa de impregnar la educación de nuestros hijos con religión y otras opciones políticas e ideológicas, desde la Universidad Libre de Berlín, uno de los más destacados investigadores a nivel mundial, Günter M. Ziegler, dice públicamente que la Fundación Humboldt trae a a Berlín, desde España, a una estrella de la Geometría que  acelerará la investigación en la Universidad Libre.

Enhorabuena, Paco, y ¡gracias! Y quién sabe… también uno de los galardonados este año con el Nobel de Física, Serge Haroche, tuvo su Premio Humboldt en 1992 y la Física también te gusta 😉

P.S.1:  Por cierto, si lo que ha llevado a Paco Santos a las portadas de los medios ha sido su refutación de la conjetura de Hirsch, dejadme que presuma de que yo también fui refutada por el Dr. Santos. Sí, tengo el honor de llevar en mi tesis doctoral un contraejemplo que se le ocurrió hace algunos años, 15, durante un congreso en Barcelona,  al día siguiente de la cena del congreso, por cierto. Fue un banquete el que nos ofrecieron tan espectacular como delicioso, pero excesivo. Como consecuencia, nadie pudo dormir aquella noche, tratando de hacer la digestión. Los había que paseaban por los pasillos, otros leían, matemáticas y/o ficción, otros veían la tele…pero nuestro desvelado de Santander encontró un contraejemplo que aparecería en mi tesis Geometría Computacional en Superficies y posteriormente en nuestro libro.

P.S.2: Cuando, hace un año,  le dije que escribiría sobre él en mi blog personal, me pidió que os rogara que cada vez que volarais en Air France, miraseis en los bolsillos de los asientos por si encontráis un ejemplar del volumen 42 de Discrete and Computational Geometry, porque aunque no esté descrito el contraejemplo en el margen, le gustaría tenerla de recuerdo.

 

 

La importancia de llamarse π

–Te está quedando perfecta, Ven.

–Gracias, Sal –respondió el pequeño orgullosito –Redonda, redonda, como debe ser una pizza, que por eso se llaman así: PI-ZZA.

–¿Por qué son redondas? Eso no tiene nada que ver, Ven…

–¿¿Cómo  que no?? –protestó éste —Mati nos contó que  π está en todos los círculos, ¿recuerdas?

–Así es, chicos –Mati acababa de llegar –Nuestro amigo π está escondido en todos los círculos.

–¡Te lo dije, gafotas! –dijo Ven con voz triunfante.

–Hola, Mati –saludó Sal –Pero eso no tiene nada que ver con que las pizzas se llamen pizzas, ¿verdad?

–No, no creo –respondió ésta –El secreto de la pizza se remonta a la época de los egipcios que, al descubrir, la levadura comenzaron a cocinar una torta redonda, al amasar una bola de masa. Después los griegos comían una torta redonda que llamaban maza, y los romanos unos discos también de pasta que, aunque al principio recibieron otro nombre, se acabaron llamando picea. Pero el verdadero auge de la pizza en Italia fue en Nápoles, y cuentan que fueron los panaderos napolitanos los que cambiaron el nombre de picea a pizza.

–Entonces, ¿no tiene nada que ver con el número π de tu camiseta, Mati? –preguntó Ven con pena.

–Me temo que no, cielo –dijo ésta –Pero lo que sí es cierto es que en todas las pizzas, por ser circulares, se esconde π.

–¿Dónde se esconde, Mati? –preguntó Sal.

En cualquier circunferencia, sea del tamaño que sea –empezó a decir Mati —si dividimos la longitud de ésta entre la longitud del diámetro, el resultado es π.

 

 

 

 

 

 

 

 

–¿Sea como sea la circunferencia, Mati? –preguntó Ven asombrado.

–Sea como sea –corroboró ella –Esto nos permite además, saber cuánto mide la longitud de una circunferencia si conocemos cuánto mide su diámetro.

L=  π x d

–Alucinante… –decía Sal –¿Y si solo conocemos el radio?

–Bueno, como un diámetro mide el doble de cualquier radio –contestó ella –tendremos que

 

 

 

 

 

 

 

 

–Por lo tanto –continuó la pelirroja –Si conocemos el radio de la circunferencia, r, podemos conocer también su longitud gracias a π:

L=  2π  x  r

–¡Toma, toma. toma! ¡Cómo mola! –gritó el pequeño Ven.

–Es chulísimo, Mati –dijo Sal.

–Lo es, pero aún hay más –anunció Mati misteriosa –También se esconde en el área del círculo…

–¿Dónde? –preguntó Sal inmediatamente –No sabemos calcular el área de cosas redondas…

–Voy a tratar de explicaros cómo ,con un pequeño truco –les anunció.

–¡Me encantan los trucos! –afirmó Ven.

–Para ello –empezó a decir Mati –Vamos a dividir la circunferencia en trozos iguales, usando radios, como si fuera una pizza. Cuanto más trozos hagamos, más claro se ve, pero haremos sólo 16, para que no se complique mucho el dibujo. Con más trozos, este mismo razonamiento también sirve.

–Como veis –siguió Mati –he coloreado con dos colores distintos los trozos, de forma alternada.

–Ha quedado muy mono… –dijo Ven pícaro.

–Ahora, voy a poner todos los trozos amarillos sobre una línea –siguió ella –y los rosas, boca abajo, los voy colocando en los huecos entre los amarillos.

–Como veis –les dijo –Tenemos un romboide de altura r.

–Pero los triángulos no tienen la base recta, Mati –interrumpió Sal –Las bases son un poco curvas…

–Tienes razón –aceptó ésta –Pero si en lugar de 16 porciones de nuestra pizza, hacemos muchísimas más, serían casi, casi rectos, y este razonamiento, como veréis, no dependerá del número de porciones que hayamos hecho. Por lo tanto, podemos pensar que las bases de nuestros triángulos son rectas.

–Vale –aceptó Sal.

–Ajá –dijo Ven muy convencido.

–¿Cuánto mide la base de nuestro romboide? –preguntó Mati.

Los niños se quedaron muy serios pensando, hasta que Ven aceptó:

–Ni idea.

–Fijaos que la base es igual a la suma de las bases de todos los triángulos amarillos –les dijo ella –Pero la suma de las bases de los triángulos amarillos es igual a la mitad de la longitud de la circunferencia, la otra mitad será la suma de las bases de los triángulos rosa.

–¡¡Claro!! –exclamó Sal –Entonces la base es π x r, ¿no?

–Ajá –corroboró Mati con un guiño.

–Ya lo tenemos –anunció la pelirroja –¿Recordáis cómo se calcula el área de un romboide?

–Sí –dijo el gafotas inmediatamente –Es igual al producto de la base por la altura.

–Eso es –respondió Mati con entusiasmo –Así, el área de un círculo de radio r será π x r2

 

–¡Tomaaaaaaaaaaa! –gritó Ven –¡Este π sirve para todo!

–Qué guay, Mati –dijo Sal.

–Bueno, pues yo os he contado cuánto mide el área de vuestra pizza –añadió Mati –a cambio espero que me contéis cuáles son los ingredientes que les vais a poner…

 

La Ciencia en Sevilla es una pura maravilla

En realidad, la Ciencia en cualquier sitio es una maravilla. Y no solo me refiero a la belleza de sus métodos,  a sus maravillosos y sorprendentes resultados, a que gracias a ella podemos entender el Universo, sino también al hecho de que sin Ciencia no sería posible nuestro estilo habitual de vida, tanto a nivel tecnológico como biológico. Y aunque este país esté dando la espalda, también,  a todo lo que la investigación científica significa, limitando cada vez más los recursos para llevarla a cabo y propiciando el éxodo de nuestros investigadores, aún podemos disfrutar de algunos irreductibles que resisten todavía y siempre al recortador.

Pero no solo es la gestión del gobierno la que, entiendo, es necesario cambiar sino que se hace necesario hacer llegar a toda la población la necesidad e importancia de la investigación, para que todos podamos entender algo que parece tan obvio como que sin Ciencia, no hay futuro.

 

 

En este sentido, en el de hacer llegar la Ciencia a todos y acercar los descubrimientos científicos para todos los públicos, tenemos la suerte en este país de contar con buenos divulgadores de Ciencia que, por ejemplo, a través de sus blogs, tratan de explicar con lenguaje asequible y sencillo  a qué se dedican nuestros científicos y cómo nos afecta en nuestra vida. Pues bien, en Sevilla, esta semana, mañana y el viernes, tendremos la oportunidad,  además,  de contar con dos divulgadores de los grandes que impartirán sendas conferencias en la Facultad de Matemáticas de la Universidad de Sevilla.

La primera tendrá lugar, como ya se ha dicho,  este Miércoles 12 de diciembre a las 11:30 horas en la Sala de Grados de la Facultad de Matemáticas de la Universidad de Sevilla.  Será el Dr. Enrique Fernández Borja, del Laboratoire de Physique ENS-CNRS de Lyon, el encargado de ponernos al día de algo que a todos nos atrae, los Agujeros Negros. El Dr. Fernández Borja es además  autor del blog de divulgación Cuentos Cuánticos y un buen amigo de Mati que ya  apareció por su blog para hablarnos del famoso bosón de Higgs o del Principio de Inercia. Esta conferencia pretende ser un paseo por los citados agujeros negros,  su definición y sus características, tratando de resolver preguntas tales como: ¿Los agujeros negros tienen entropía? ¿Pierden la memoria? ¿De verdad se evaporan? Para terminar viendo una de las formas en las que los astrofísicos buscan tales objetos en nuestro universo.

 

La segunda conferencia será  el próximo Viernes 14 de diciembre a las 18:30 horas en el Salón de Actos de la Facultad de Matemáticas de la Universidad de Sevilla. En esta ocasión será el Dr. José Manuel López Nicolás, profesor titular del Dpto. Bioquímica y Biología Molecular A de la Universidad de Murcia el que nos hable de Ciencia, matemáticas y publicidad: el caso de las bebidas energéticas. El Dr. López Nicolás es, también, autor del blog de divulgación  Scientia. En esta conferencia nos hablará acerca de la importancia de las matemáticas sobre diversos aspectos relacionados con el marketing alimentario y, más concretamente, sobre el enigmático mundo de las bebidas energéticas. Como podremos observar a lo largo de la conferencia son diversas las estrategias empleadas por la industria alimentaria para intentar confundir al consumidor y aumentar su cuota de mercado. Sin embargo una correcta aplicación de las principales reglas del cálculo matemático será suficiente para proporcionar a dicho consumidor toda la información necesaria para que realice su elección de forma libre pero con conocimiento de causa.

 

Ambas  conferencias se enmarcan dentro del ciclo de conferencias de divulgación titulado “La ciencia desde el ojo matemático”y se financian gracias al Vicerrectorado de Investigación de la Universidad de Sevilla, a través del IV Plan Propio de Investigación. La organización, en esta ocasión, viene a cargo de  María del Carmen Calderón Moreno y José Antonio Prado Bassas.

 

¿Estás por Sevilla? ¿Te lo vas a perder?

 

Un mono delante de un ordenador

No, no estoy pensando en ningún miembro de nuestro iluminado gobierno, malpensados…

Voy a proponeros un problema de esos que cuanto más se piensan más posibilidades tenemos de que nos hiervan los sesos como decía Antonio Machado en su incomparable Juan de Mairena.

Necesitamos dos elementos para nuestro problema: los números naturales y el teclado de un ordenador. Asumo que todos sabemos qué es el teclado de un ordenador, así que voy a dedicar unas cuantas palabras a los números naturales.  Los números naturales, como es sabido, es un conjunto infinito y son el 1, 2, 3, … y así sucesivamente. Se pueden definir de la siguiente forma: el 1 es un número natural y si un número es natural, ese número más 1 también lo es. En esta mateaventura de Mati se presentan algunos de los conjuntos numéricos, entre ellos, los naturales.

Una de las propiedades fundamentales de los números naturales es que todo  conjunto formado números naturales tiene un elemento que es el más pequeño de todos ellos, el que se conoce como primer elemento del conjunto. Así, el primer elemento de los pares es el 2 y el primer elemento de los números agraciados con el gordo de la lotería de Navidad es el 523.

Ahora, con la ayuda del teclado de un ordenador vamos a definir un conjunto constituido por números naturales de la siguiente forma:

Supongamos que ponemos a un mono delante de un ordenador y que nuestro primate pulsa 1000 veces al azar en el teclado de ordenador ¿cuántas combinaciones distintas podemos obtener?

 

La verdad es que es un número ingente: mi teclado tiene 105 teclas, por lo tanto la respuesta es 105¹⁰⁰⁰ (105 elevado a mil), que viene a ser un 1 seguido de 2000 ceros.  Pero lo que nos importa hoy es que, aunque muy grande, evidentemente es un número finito. Una de dichas combinaciones es un 1 y después 999 veces a la barra espaciadora y esta es una forma de describir el número natural 1. Otra de las combinaciones puede ser teclear primero la letra U, después la N, después la O y 997 veces a la barra espaciadora y el resultado será otra descripción válida (en castellano) del número 1.

 

Por tanto, es evidente que entre todas las combinaciones de 1000 pulsaciones, algunas de dichas combinaciones describen números naturales en castellano.  Sin embargo, por fuerza, el conjunto de los números naturales que puede ser descrito en castellano con menos de 1000 pulsaciones es finito y, como el conjunto de los naturales es infinito, existen infinitos naturales que no pueden ser descritos en castellano con menos de 1000 pulsaciones. Así consideremos el conjunto de los números naturales que no pueden ser descritos en castellanos con menos de 1000 pulsaciones en el teclado de un ordenador, ese conjunto, como todo subconjunto de los naturales, tiene un primer elemento y, por tanto, ese número será:

“El menor número natural que no puede ser descrito en castellano con menos de 1000 pulsaciones en el teclado de un ordenador”

Lo curioso (y paradójico) es que ese número no puede ser descrito con menos de 1000 pulsaciones, pero lo acabamos de describir con menos de 1000 pulsaciones…

Por Gauss, ¿¿¿no os hierven los sesos???

No voy a desvelar el porqué de esta paradoja, sino que podéis añadir vuestra opinión en los comentarios y la semana que viene aclararemos qué es lo que está ocurriendo.

Seguimos redondeando…

Anteriormente en Mati, una profesora muy particular…

En el capítulo de hoy…

–Ya está –afirmó Ven –Una circunferencia perfecta, con centro en el punto (2,1) y radio 3. Todos los puntos de esta circunferencia están a distancia 3 del punto (2,1)

–Muy bien, Ven –dijo Mati –Te ha quedado perfecta.

 

–Es que he aguantado con fuerza el compás –añadió el pequeño orgulloso.

–Entonces, Mati –preguntó el gafotas –Si queremos saber si un punto está dentro o fuera de la circunferencia, por ejemplo el (4,3), lo pintamos y miramos si está dentro, encima o fuera, ¿no?

–Sí, Sal –respondió Mati –Ésa es una forma, pero no es la única. Se puede saber sin dibujar el punto.

–¿Sin dibujar? –preguntó rápidamente Ven –Tengo que dibujar el punto para medir la distancia al centro de la circunferencia y saber si está dentro o fuera.

–No, no hace falta usar la regla –insistió la pelirroja.

–Entonces, Mati –quiso saber Sal –¿Cómo podemos saber si un punto está dentro o fuera de la circunferencia, Mati?

–O sobre la circunferencia… –añadió su hermano.

–¿Recordáis cuando hablamos de las ecuaciones de la recta? –les preguntó.

–Sí –contestó Sal –La ecuación de la recta era como una una contraseña que deben cumplir los puntos para estar sobre ella, ¿no?

–Eso es –dijo Mati –Pues de la misma manera, podemos encontrar la ecuación de la circunferencia, que será como una contraseña que nos permitirá saber si un punto está sobre la circunferencia, en el interior de ésta o fuera.

–¿Nos la enseñas? –pidió el pequeño con cara de niño buenísimo.

–Con mucho gusto –respondió la gafotas guiñando un ojo –Para ello tenemos que recordar cómo se calcula la distancia entre dos puntos en el plano, como vimos cuando estudiamos las coordenadas cartesianas. Si tenemos dos puntos en el plano, (a, b) y (c, d) calculamos su distancia, que escribiremos como d((a,b), (c,d)), usando el teorema de Pitágoras.

–Para ello dibujamos un  triángulo rectángulo en el que la distancia que queremos calcular es la hipotenusa, y para el que sabemos calcular la longitud de los dos catetos. La longitud del  cateto vertical es la diferencia entre las segundas coordenadas de los puntos, y la del horizontal  es la diferencia entre las primeras coordenadas de éstos.

–Y gracias a Pitágoras tenemos –anunció Mati muy teatrera.

–¿Y ahora, Mati? –preguntó Ven impaciente.

–Ahora vamos a escribir la ecuación de la circunferencia de centro (2, 1) y radio 3 –anunció la pelirroja –A ver, ayudadme, ¿qué le vamos a exigir a un punto (x,y) para que pueda estar sobre esta circunferencia?

–Que esté a distancia 3 del (2,1) –dijo el gafotas.

–Eso es –confirmó ella –Pero ya sabemos escribir la distancia entre (x, y) y (2,1) con una fórmula, la escribimos así.

 

 

–Ahora para que no salgan raíces cuadradas en la ecuación que a alguna gente les da mucho miedo –bromeó Mati –elevamos al cuadrado en los dos lados de la ecuación. En la izquierda desaparece la raíz cuadrada, y en la derecha, nos queda 9.

–Pero si con el método que nos enseñaste para calcular raíces cuadradas es muy fácil… –dijo Sal.

–¿Y para qué sirve la ecuación, Mati? -preguntó Ven.

–Pues para saber –dijo ella —si, como preguntaba Sal, el punto (4,3) está sobre ella.

–¿Cómo? –insistió el pequeño.

–Sustituyendo en la ecuación x por 4 e  y por 3, y comprobando si obtenemos 9. Si no sale 9, el punto (4,3) no está sobre la circunferencia.

–No, no está, sale 8 –dijo Ven.

–Muy bien –dijo Mati –Y sin mirar el dibujo, ¿sabéis si está dentro o fuera de la circunferencia?

Los niños se quedaron pensando un rato, al cabo del cual Sal dijo:

–Creo que está dentro, Mati. Porque la distancia de (4,3) a (2,1) será la raíz cuadrada de 8, que debe ser menor que 3, que es la raíz de 9, y eso significará que (4,3) está más cerca de (2,1) que los puntos que están sobre la circunferencia, por lo tanto, está dentro.

–Muy bien, Sal –dijo Mati –Todos los puntos  (x,y) que al sustituir en la ecuación den un resultado menor que 9 estarán dentro de la circunferencia, los que den mayor que 9, estarán fuera.

–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! –dijo Ven.

–¡Me encanta las ecuaciones! –dijo Sal –Las de las rectas, las de la circunferencia, y las de los sospechosos… 

Las sumas del Príncipe

El Príncipe fue un prodigio no solo para las matemáticas, sino también para otras disciplinas, pero las lenguas de forma muy especial. A pesar de ser el Príncipe, nació en una familia muy humilde, pero supo aprovechar las oportunidades que se le brindaron. Contó con el mecenazgo del duque de Brunswick, lo que le permitió estudiar bachillerato, tiempo en el que se estableció una curiosa relación con su profesor de matemáticas, Martin Bartels. Efectivamente, pronto su profesor comprendió que sería más provechoso para ambos estudiar juntos  y así se adentraron en las obras de autores como Euler, Newton o Lagrange. Leyendo a dichos monstruos, el Príncipe se dio cuenta del poco rigor que muchas veces caracterizaban sus obras y se propuso no caer en dicho error, dicha determinación ha marcado de manera fundamental la matemática desde su tiempo.

Pero no se trata aquí de contar la vida de Carl Friedrich Gauss, también conocido como el Príncipe de las matemáticas, sino de a través de una anécdota de su vida ( aunque parece que más que una anécdota es una leyenda) tratar de introducir un método de demostración que muchas veces es despreciado por los propios matemáticos profesionales.

Pero mejor vamos por partes, como Dexter… Para el público profano conviene decir que ya desde la época de Euclides hasta nuestros días las matemáticas han establecido un procedimiento de trabajo que se ha mostrado sumamente eficaz y que ha permitido mandar el hombre a la Luna y que yo pueda estar escribiendo esto en mi casa y que le llegue al lector en cualquier parte del mundo donde se encuentre (por citar solo dos ejemplos). Dicho procedimiento consiste en partir de unos principios fácilmente asumibles por todos (axiomas) y a partir de ellos enunciar y demostrar teoremas que servirán para enunciar y demostrar otros teoremas. Lo curioso es que desde la época de Euclides hasta la juventud de Gauss (finales del siglo XVII) el concepto de rigor en la demostración no había evolucionado casi nada. Hoy en día ese rigor es una de las bases de las matemáticas, en gran parte gracias a nuestro Príncipe. Es algo que a los profanos les cuesta mucho asumir, que las demostraciones han de hacerse con un rigor  que permite establecer unas bases sólidas de la disciplina y así poder utilizar con toda seguridad los teoremas de otros para seguir avanzando en el conocimiento matemático.

Pero de nuevo me despisto: ¡la anécdota, tengo que contar la anécdota!  Se dice que estando Gauss en la escuela elemental (entre los siete y los nueve años), su profesor mandó a los alumnos sumar todos los números del 1 al 100. Supongo que el profesor tenía algunas tareas que hacer y por eso ordenó a sus alumnos esa labor tan rutinaria y pesada. El problema para el bueno de Büttner (ese era su profesor) fue que al cabo de segundos el pequeño Gauss proclamó: «Ligget se’» (ya está). Pasada la hora, cuando el resto de sus compañeros fueron completando la suma, se comprobó que la solución de nuestro Príncipe era de las únicas acertadas.

¿Cómo llegó Gauss a esa solución?

Parece claro que dedujo de alguna forma u otra la fórmula de la progresión aritmética (una sucesión de números está en progresión aritmética si cada número se obtiene del anterior sumándole una cantidad fija, en el caso de los números del 1 al 100 cada término se obtiene sumando 1 al número anterior). Así parece que el pequeño Gauss en vez de sumar los números en orden, esto es: 1+2+3+… se le ocurrió agruparlos el primero con el último (1+100), el segundo con el penúltimo (2+99) y así sucesivamente (3+98, 4+97, 5+96… ) y vio que todas esas parejas sumaban lo mismo: 101. Así que no tenía más que multiplicar 101 por el número de parejas que se obtenía (50) para conseguir el resultado 5050. Mati lo contó con más detalle en esta mateaventura.

Pero me gustaría mostrar otra forma de llegar a la misma conclusión con una sola imagen. Para simplificar, supongamos que queremos sumar los naturales 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 (el razonamiento es el mismo para 100 o 1.000 números, pero me cansaría de pintar tantos puntitos), esta suma es el número de puntos rojos en la siguiente figura:

Efectivamente, en la última fila (fila en matemáticas es horizontal, vertical es columna) hay un punto rojo, en la anterior dos, etc. Pero, ¿cuántos puntos hay en total? Puesto que es un rectángulo 10×11, tenemos 110 puntos y, de ellos, la mitad son rojos, esto es: 55, por lo tanto, la suma 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 es igual a 55.

Si queremos sumar los mil primeros números dibujaríamos un rectángulo 1000×1001 con la mitad de los puntos rojos y la mitad grises, por tanto la suma de los mil primeros naturales es 1001000/2=500500.

Pues sí, otro ejemplo más de que una imagen puede demostrar lo mismo que mil o más palabras 🙂