Losetas, la Alhambra y Penrose

Otra vez es lunes y otra vez estamos por aquí. Y todos los lunes alguien se queja de lo duro que es comenzar la semana, otro se pregunta si falta mucho para el viernes… y repetimos sin cesar los mismos patrones, ¿por qué? ¿Será que en el fondo nos gusta la repetición de patrones? ¿Nos produce seguridad saber cómo está organizado todo a nuestro alrededor? ¿Nos gustaría creer que la vida es un ciclo sin fin? ¿Un evento periódico?

Vamos a hablar de cosas bellas, para romper con la tendencia actual, solo por llevar la corriente, ¡digo!

Los mosaicos, las repeticiones de patrones, siempre han ejercido una poderosa atracción en el ser humano. Se pueden observar ciertos patrones en numerosas pinturas rupestres y, en algún sentido, podemos afirmar que la cumbre de dicha ornamentación se alcanza en nuestro país con la maravillosa Alhambra. Es una historia que se ha repetido muchas veces cómo la Alhambra influyó decisivamente en el pintor holandés Escher para sus creaciones. Pero tanto en la Alhambra, como en las obras de Escher, la repetición juega un papel importante, nosotros queremos mencionar aquí unos mosaicos en los que la no-repetición es fundamental.

Supongamos que con unos cuantos modelos de losetas somos capaces de enlosetar todo el plano tal y como se muestra en la figura:

Todos estos enlosetados tienen en común que las losetas que los componen son o triángulos equiláteros o cuadrados o combinación de ambos y también comparten otra propiedad: con un sólo sector del plano ya tenemos la regla para ampliar esos enlosetados: para hacerlos infinitos hasta recubrir todo el plano repitiéndolos periódicamente. En algún sentido la clave es que dado cualquier punto P de estos enlosetados, podemos encontrar dos puntos en distintas direcciones (y a partir de ellos infinitos más repitiendo el proceso) tal que el mosaico desde cualquiera de esos tres puntos se ve exactamente igual (podemos transformar el mosaico trasladándonos de un punto a otro y queda invariante). Eso es lo que se llama un mosaico periódico. Naturalmente existen mosaicos no periódicos; en la siguiente figura, mostramos un par en el que solo se utiliza un tipo de losetas: triángulos isósceles idénticos:

Obsérvese que el punto o los puntos centrales en estos mosaicos no se pueden trasladar: no existen otros puntos desde los que el mosaico se vea exactamente igual: estos son lo que se llaman mosaicos no periódicos. Así con un triángulo isósceles se puede enlosetar el plano de forma periódica y de forma no periódica (lo mismo ocurre con el cuadrado, pero con el hexágono regular solo se puede enlosetar de una forma y es periódica: como un panal de abejas).

En la segunda mitad del siglo pasado los mosaicos no periódicos atrajeron la atención de varios matemáticos, sobre todo a partir de 1960 año en el que el matemático chino-americano Hao Wang se preguntó si existía algún conjunto de losetas aperiódicas, esto es: que cualquier enlosetado que demos del plano con ellas ha de ser un enlosetado no-peródico. Lo curioso, es que Wang relacionó dicho problema con uno de los teoremas fundamentales de la matemática y la informática teórica como es el teorema de indecidibilidad de Gödel. Wang conjeturó que no existían conjuntos de losetas aperiódicas (esto es: él creía que con cualquier conjunto de losetas que se pueda recubrir el plano, se puede recubrir de forma periódica).

Pocos años más tardes, uno de sus alumnos (y después ilustre investigador en Teoría de Grafos), Berger, demostró que sí existen conjuntos de losetas aperiódicas y dio un conjunto de 20.426 losetas que podían enlosetar el plano, pero que todo enlosetado con ellas iba a ser aperiódico forzosamente. El ejemplo de Berge suscitó una especie de carrera, porque 20.426 eran muchas losetas, incluso para los más puros entre los matemáticos. Así el propio Berge, consiguió ir reduciendo el tamaño de dicho conjunto hasta encontrar un conjunto de 104 losetas aperiódicas. Esto fue mejorado por Knuth que en 1968 consiguió bajar el número hasta 92 y, más dramáticamente, por Robinson en 1971 ya que dio un conjunto de solo 6 losetas aperiódicas. En algún sentido todos los ejemplos anteriores eran similares y partían de la base de losetas cuadradas con modificaciones.

Las losetas aperiódicas de Robinson

Roger Penrose

Pero, aún nos espera otra sorpresa, ya que en 1974 Penrose (¡inspirado en algunos trabajos de Kepler casi 400 años anteriores!) dio  otro conjunto de losetas de base pentagonal (también eran 6 las losetas) y, dos años después, recogiendo algunas de dichas ideas, consiguió el record mundial absoluto: ¡un conjunto de sólo dos losetas!: el dardo y la cometa (y otro conjunto también de dos losetas que eran rombos con ciertos ángulos).

A la izquierda el rombo y la cometa de Penrose y a la derecha sus rombos y debajo de cada uno de ellos un trozo de los mosaicos que se obtienen (eliminando los picos para que sea más simple).

Desde entonces, los mosaicos de Penrose han sido muy estudiados, se han descubierto numerosísimas propiedades de ellos, por ejemplo: la proporción de dardos y cometas necesarias para enlosetar el plano es el número de oro o proporción áurea y la sucesión de Fibonacci aparece por doquier en cualquier mosaico de Penrose. Pero puede que para hablar de esas propiedades dediquemos otra entrada, en ésta me basta con haber  despertado tu  curiosidad 😉

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