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Archivo de Noviembre, 2012

Un asunto redondo

–¿Eso es Marte, Ven?

–¿Qué pasa, Sal? Está casi perfecto…

–¿Perfecto? Marte es una esfera

–No, no lo es, me lo dijo Mr. Green. Se parece más a una elipse.

–Ya, pero es casi redondo, dibuja un círculo, por Gauss…

La mascota gruñó un poco, pero con cierto orgullo, le gustaba llevar el nombre del Príncipe de las Matemáticas.

–Eso he hecho, un círculo, Sal –Ven empezaba a enfadarse.

–¿Un círculo? Eso más que un círculo ¡parece una patata!

–¿¿Una patata?? –la carita de Ven se iba encendiendo cada vez más.

–Bueno, bueno, bueno… –Mati acababa de llegar –¿Estáis preparando alguna comida con patatas?

–Hola Mati –la saludó Sal –No, estamos haciendo un mural con Marte y el Curiosity para el colegio, queremos contarles a todos lo que nos contó Mr. Green, y Ven ha hecho un círculo que parece una patata.

El pequeño Ven arrugó su carita completamente, maś enfadado que nadie en el mundo. Gauss se puso junto a él y frunció el ceño también.

–Hombre, Sal, una patata, una patata… no es –dijo la pelirroja –Pero si queréis, os enseño a dibujar círculos, o mejor dicho, circunferencias.

–¿No es lo mismo, Mati? –preguntó Ven desfrunciendo un poco el ceño.

–No, la circunferencia es la línea curva y cerrada, con la propiedad de que todos los puntos sobre ella están a la misma distancia del centro –contestó ella –El círculo está formado por todos los puntos encerrados por la circunferencia que tienen la propiedad de que están a una distancia del centro de la circunferencia menor o igual que el radio.

–¿Qué radio, Mati? –preguntó Ven muy serio.

–Una circunferencia, es una curva cerrada en la que todos los puntos de la misma están a la misma distancia de un punto determinado, que llamamos centro. Pues bien, el radio de la circunferencia es esa distancia, la de cualquier punto de la circunferencia al centro.

–Ah, ya.. –acepto el pequeño.

–Además del radio –siguió Mati –hay otros elementos en la circunferencia, y en el círculo, que tienen nombre propio. Por ejemplo, el diámetro.

–¿Qué es el diámetro, Mati? –preguntó el gafotas.

–Un diámetro de una circunferencia es un segmento uniendo dos puntos de ésta que pasa por el centro.

–¿Y si el segmento no pasa por el centro, Mati? –preguntó Sal.

–En ese caso, a ese segmento se le llama cuerda –dijo ésta.

–Bueno, Mati –intervino Ven impaciente –¿Nos enseñas a dibujar círculos o circunferencias?

–Claro, Ven –respondió ella — ¿Cómo quieres que sea? ¿Qué circunferencia quieres dibujar?

–¿Cómo? Una –dijo el pequeño.

–Pero hay muchas formas de definir una circunferencia –continuó Mati –Por ejemplo, podemos definir una circunferencia diciendo cuál es su centro y su radio. Para ello, solo hay que elegir en qué punto colocamos el centro y abrimos el compás tanto como nos indica el radio.

–O bien –siguió ella –Podemos definir una circunferencia eligiendo el centro y un punto que esté sobre la circunferencia.

–Ah, ya sé –interrumpió Sal –Pinchas en el centro y abres el compás hasta el punto que quieres que esté en la circunferencia.

–Eso es, sí –afirmó ella.

–¿Y si quieres que la circunferencia pase por 2 puntos? –preguntó Ven.

–En ese caso, depende –dijo Mati –Si esos dos puntos son los extremos de un diámetro de la circunferencia buscada, hay una única circunferencia con esa propiedad. Para ello, calculamos el punto medio del segmento que une los dos puntos, y ése será el centro. Para el radio, basta con pinchar sobre el centro y abrir hasta cualquiera de los 2 puntos iniciales.

–¡Mola! –exclamó Ven.

–¿Y si los 2 puntos no son extremos de un diámetro, Mati? –preguntó Sal.

–En ese caso –respondió ella –Hay infinitas circunferencias que pasan por esos dos puntos.

–¡¡Sí, claro!! –dijo Ven –¡Qué bruta!

–¡Jajajajajajajajajajaja! –la pelirroja no pudo reprimir una carcajada –Que sí, chico de poca fe, pero te lo voy a demostrar –y añadió guiñando un ojo –Me gusta que desconfíes de lo que no te demuestran.

–¡Venga, demuéstralo! –pidió Ven con una sonrisa de oreja a oreja.

–Dibuja dos puntos en la libreta –le pidió Mati y Ven los dibujó –Ahora dibujaremos la mediatriz entre esos 2 puntos.

–¿¿Cómo?? –preguntó Sal.

–Muy fácil –anunció la pelirroja –Para calcular la mediatriz entre los puntos A y B, primero pinchamos en A y hacemos un círculo grandote; después pinchamos con esa misma apertura en B y hacemos otro círculo; estos dos círculos, se cortan en 2 puntos. Basta con unir esos dos puntos y tendremos la mediatriz AB, y de paso, el punto medio entre A y B, que será donde a mediatriz corte al segmento AB.

 

–¿Y? –preguntó el gafotas.

Cualquier punto sobre la mediatriz AB está a la misma distancia de A que de B –les dijo –Si pincho con el compás en cualquier punto de la mediatriz y abro, por ejemplo, hasta A, puedo dibujar un círculo que pasará por A y por B.

 

 

–¡Ajá! –aceptó el pequeño.

–Pues bien, Ven –siguió ella –Puedes hacerlo en cualquier punto de la mediatriz, ¡y son infinitos!

–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! –gritó Ven entusiasmado.

–Claaaaro… –añadió Sal con los ojos abiertos de par en par.

–¿Y si tenéis 3 puntos? ¿Cuántas circunferencias pensáis que podáis encontrar pasando por los 3? –preguntó Mati a los niños.

–¡¡Infinitísimas!! –gritó Ven levantando los brazos.

–¿Infinitas? –dijo Sal mirando a su hermano por encima de sus gafas.

–No, menos –dijo Mati.

–¿Infinito menos 100? –dijo Ven con sonrisa pícara.

–Infinito menos 100 es infinito, Ven –dijo el gafotas.

–Ya lo sé –respondió éste.

–Pues no, la respuesta es … –dijo Mati e hizo una pausa dramática –Sólo una.

–Mati… –dijo Ven con cara de desconfiado –Eso tendrás que demostrarlo.

–Con mucho gusto –dijo ella mientras hacía una graciosa reverencia –Dibuja 3 puntos en el papel, A, B y C.

Los niños dibujaron los 3 puntos como les pidió Mati, ella les dijo:

–Ahora pintad las mediatrices AB, BC y AC.

Los niños las pintaron con su regla y compás.

–¿Veis que las tres se cortan en un punto? –les preguntó.

–¡Ajá! –dijo Ven.

–Pues ése es el único punto que está a la misma distancia de los 3 a la vez –les dijo –Por lo tanto, es el centro de la única circunferencia que pasa por los 3 puntos.

 

–¡Tomaaaaaaaaaa! –dijo Ven.

–Es verdad –aceptó Sal.

–Además –continuó Mati –Si pintéis el triángulo ABC, ese punto se llama circuncentro del triángulo ABC, por ser el centro de la circunferencia que rodea al triángulo.

–¡Qué guay! –exclamó Ven.

–Oye, Ven, por cierto –añadió Sal –¿Por qué no usas el compás para dibujar Marte?

–Ya te he dicho que no es esférico, Sal, ¡es  elipsoidal! –protestó Ven.

–Ya,  pero parece más una esfera que una patata…

 

 

Sherlock Holmes y una bicicleta

Vamos a ponernos hoy un poco misteriosos…

En uno de los relatos cortos de Sherlock Holmes “La aventura del colegio Priory”, una de las claves para resolver el misterio es decidir en qué dirección viajaba una bicicleta. Así cuando Watson plantea que puede venir en cualquiera de las dos direcciones, Sherlock le contesta:

“- No, no, querido Watson. La impresión más profunda es, naturalmente, la
de la rueda de atrás, que es donde se apoya el peso del cuerpo. Fíjese en que
en varios puntos ha pasado por encima de la huella de la rueda delantera, que
es menos profunda, borrándola. No cabe duda de que venía del colegio.
Puede que esto tenga relación con nuestra investigación y puede que no, pero
lo primero que vamos a hacer es seguir esta huella hacia atrás.”

Naturalmente Sherlock tenía razón en dos cosas: normalmente la rueda de atrás soporta más peso y la trazada de la rueda trasera puede pasar por encima de la delantera y no a la inversa. Pero lo que no está tan claro es que si tenemos las huellas dejadas por las dos ruedas de una bicicleta seamos capaces de determinar el sentido en el que viajaba ella, salvo si existen otros tipos de huellas como salpicaduras que marcan siempre como una flecha la dirección en que nos movemos.

Sin embargo, si los conocimientos de Sherlock Holmes (o de Arthur Conan Doyle) en matemáticas hubieran sido mayores, sí que se puede determinar con total precisión no sólo el sentido en el que se desplaza una bicicleta, sino algunas de las dimensiones de esta. Veamos cómo.

Simplemente hay que saber que  la recta  tangente a la curva que describe la rueda trasera siempre corta a la curva que describe la rueda delantera. Además,  la longitud del segmento de dicha tangente comprendido entre ambas curvas es siempre la misma (exactamente, la distancia entre las dos ruedas).

¿Y esto cómo lo usamos en nuestras indagaciones?

Por ejemplo, en la figura que ponemos a continuación, la curva azul no puede corresponder a la rueda trasera de la bicicleta porque en algunos puntos la tangente ni siquiera corta a la curva roja.

Sin embargo, la tangente en cada punto a la curva roja sí corta a la azul. Ya está, ya tenemos que  la curva roja corresponde a la huella dejada por la rueda trasera. Muy fácil, ¿no?

Más cosas. nos fijamos en los dos puntos rojos elegidos sobre la curva roja, en los que se ha dibujado (en negro) la recta tangente en cada uno de los dos, a la curva roja. Nos fijamos en que desde cada uno de esos puntos rojos, hay dos segmentos de la recta tangente que van desde el punto rojo en cuestión a la curva azul, uno hacia la izquierda y otro hacia la derecha. En ambos puntos rojos, los  segmentos de  tangente que van desde el propio punto hacia la izquierda (marcado en amarillo en la figura) tiene la misma longitud. Os pongo una figura con los puntos más gorditos.

Mientras que los segmentos de tangente que van desde cada punto rojo hasta la curva azul (en verde en la figura siguiente) tienen longitudes distintas.

¿Qué deducimos de esto? Pues que vamos desde la derecha hacia la izquierda y que esos segmentos amarillos nos indican la distancia entre las dos cuerdas de la bicicleta. Ea, más fácil que el mítico Sherlock 🙂

¿Otro ejemplo más?  Vamos.

¿Cuál es la rueda trasera y en qué dirección nos movemos?  

La primera pregunta es muy fácil de responder: la tangente a la curva roja hay veces que no corta a la curva azul, por lo tanto la azul es la rueda trasera y obsérvese, como muestra la siguiente figura que las longitudes de los segmentos de dicha tangente hasta cortar la línea roja son constantes de derecha a izquierda:

Por lo tanto nos estamos moviendo de derecha a izquierda.

Para terminar,  os pongo un ejercicio: en estas trazadas, ¿cuál corresponde a la rueda trasera? ¿en qué dirección nos movemos?

Para nuestra deducción hemos usado  los siguientes elementos:

1) La rueda que marca la dirección es siempre la rueda delantera, la trasera no hace sino seguirla a ella. Esto es: en cada punto, la rueda trasera (o el plano imaginario en el que se encuentra dicha rueda), apunta hacia el punto en el que la rueda delantera toca al suelo.

2) Si intersecamos el plano que define cada rueda con el suelo obtenemos una recta para cada una de las ruedas en cada momento.

3)Y (éste es el punto clave y un poco más delicado) cada una de las rectas que hemos mencionado en 2) ha de ser tangente con la curva que define el trazado de la rueda.

A partir de 1, 2 y 3 se puede ver claramente, y ésta es la clave, que: la tangente a la curva que describe la segunda rueda corta a la curva que describe la primera rueda y la longitud del segmento de tangente entre ambas curvas es siempre el mismo (la distancia entre las dos ruedas).

 

Sí, las matemáticas también funcionan para jugar a detectives. Por cierto,  si pregunta por mí este Watson, estaré por aquí la semana que viene 😉

PS: Podéis encontrar toda la información y generar más ejemplos en esta página de Wolfram.

Ana y las tablas de multiplicar

–Es un rollo…

–¿Por qué dices eso, Ana? –dijo Sal –Son Matemáticas.

–¡Las mates molan más que nada! –exclamó Ven.

–Y sirven para muchísimas cosas, como la Física –añadió el gafotas.

–Pues a mí  no me gustan –protestó Ana –No quiero aprenderme las tablas de multiplicar…

–¿Quieres que te ayude a repasarlas? –se ofreció Sal.

–Si quieres, yo también me las sé –apuntó rápidamente el pequeño.

Gauss gruñó, viendo que no podía competir con  sus dueños por la atención de su invitada.

–¡Que no! –volvió a decir la niña –¡Que no me quiero estudiar las tablas!

–Pero, bueno –Mati acababa de llegar –¿Quién es esta chica tan guapa y tan enfadada?

–¡Hola, Mati! –dijo Ven –Es nuestra amiga Ana y está enfadada porque no quiere estudiarse las tablas de multiplicar.

–Vaya, ¡qué curioso! –respondió la pelirroja –Yo aprendí las tablas con una niña que se llamaba Ana.

–¿Te enseñó las tablas una niña, Mati? –preguntó Sal curioso.

–Una niña y un chico, Enrique y Ana –dijo Mati –Tenían canciones para todas las tablas y eran muy populares. Mi favorita era la del 9: “9 por 2, 18, en Febrero yo me abrocho…” –Mati dejó escapar un suspiro –Qué recuerdos…

–¿Me puedes cantar esas canciones? –pidió Ana un poco tímida.

–Huy, me temo que ya nos las recuerdo… –contestó Mati –Pero si quieres te enseño algunos trucos para recordar las tablas.

–Es que son muchas… –protestó la pequeña.

–Son sólo 10, Ana, no seas quejica… –le regañó Ven muy serio.

–Bueno, no tantas –dijo Sal –La del 1 y la del 10 no hay que estudiarlas, porque multiplicar por 1 es dejarlo igual y multiplicar por 10 es poner un cero detrás.

–Bueno, eso sí… –aceptó Ana.

–Y la del 2  –añadió Ven –es sólo calcular el doble, Ana, ¿cuál es el doble de 7?

–Hombre, 14 –dijo la niña.

–Ea, pues eso es 2 por 7 –siguió el pequeño — ¿y el doble de 9?

–18… –respondió Ana con voz cansada –Ésa es muy fácil, la sabe cualquiera…

–Bueno, Gauss no –dijo Ven con cara de pícaro, la mascota se hizo el sordo.

–Pues, Ana –añadió Sal –si haces el doble del doble, es multiplicar por 4.

–¿Cómo? –preguntó Ana arrugando su naricita.

–Si quieres hace, por ejemplo, 4 por 6 –empezó a explicar el gafotas –Haces el doble de 6, ¿cuánto te sale?

–Dooooooce… –dijo Ana.

–Ahora haces el doble de 12, y te sale… –Sal dejó la frase en suspense para que Ana la terminara.

–24 –dijo ella sin poder reprimir una sonrisa.

–Pues ya lo tienes, Ana –dijo el gafotas con cara de interesante –4 por 6 es 24. Y también 6 por 4, porque el orden no importa.

 

Ana sonrió un poco, empezaba a gustarle este juego. Gauss gruñó con pelusilla.

–¿A que molan las mates? –preguntó Ven emocionado.

–Bueno, un poco… –aceptó Ana con una bonita sonrisa.

Mati asistía orgullosa a la clase de los profesores Sal y Ven. el primero de éstos continuó.

–Pues ya verás, Ana. Para multiplicar un número por 3, primero calculas su doble, como al multiplicar por 2, y luego le sumas ese número. Por ejemplo, ¿cuánto es 3 por 7?

–El doble de 7 es 14… –pensaba la niña –más 7 es…14 más 6 es 20 y más 1, ¡21! ¡7 por 3 es 21! ¡y 3 por 7 es 21 también!

–¡Esta es mi chica! –dijo Ven guiñando un ojo.

–¡Ya sé! –dijo Ana de pronto –La del 5 es la del 4 pero sumando otra vez cada número.

–Bueno, sí –dijo Sal –Pero la del 5 es más fácil si vas saltando de 5 en 5 los números: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45… y buscas en esa lista el número que quieras, por ejemplo, el 4º es 20, entonces, 4 por 5 es 20. Y 5 por 4, claro.

–Ah, claro –dijo Ana –Así es facilísimo.

–¡Cómo mola! –dijo Ana feliz –¿Y para la del 6?

Los niños se quedaron pensando…

–Bueno, la del 6 es el doble de la del 3 –dijo el gafotas.

–Si queréis –interrumpió la pelirroja –os puedo enseñar un truco para saber con las manos las tablas que os faltan.

–¿¿Todas las que faltan? –preguntó Ana con los ojos  abiertos de par en par.

–Toditas, todas –respondió Mati con un guiño.

–¿Cómo? –preguntaron a la vez Sal y Ven.

–Veréis –les dijo –Nos ponemos números en los deditos como en esta figura.

 

–A ver –preguntó Mati a los niños –¿qué queréis calcular?

–¿8 por 7? –respondió A.na inmediatamente

–Muy bien –dijo la gafotas –Ahora unimos el el dedo del 7 de una mano con el dedo del 8 de la otra, como su se dieran un beso.

 

–¡Qué monos! –dijo Ven.

–Ahora nos fijamos cuántos dedos quedan por encima de los dedos besucones en cada una de las manos –dijo Mati –Y multiplicamos esos dos números, que son más pequeños que 5 y esas tablas ya lo sabemos. Ese producto serán unidades del producto de 8 por 7.

–Quedan 2 dedos en la mano del 8 y 3 dedos en la mano del 7 –dijo Ana.

–En ese caso –añadió Mati –Tenemos que multiplicar 2 por 3 y tendemos 6 unidades.

 

–¿Y ahora? –preguntó Ven impaciente.

–Ahora contamos los dedos besucones y lo que quedan por debajo y los sumamos, ésas serán las decenas.

–Pues ya está –anunció Mati –5 decenas más 6 unidades son…

–¡56! –gritó Ana –¡8 por 7 es 56! ¡Y 7 por 8 también!

–Muy bien, Ana –dijo la pelirroja.

–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! –exclamó Ven.

–¿Ves, Ana? –preguntó Sal –¿A que molan las mates?

–¡¡Mucho!! –respondió la niña –¿Hacemos 9 por 6?

–Claro –contestó Mati –Nos damos un beso con los dedos del 9 y el 6…

 

–Contamos cuántos dedos hay por encima de los dedos besucones en cada mano, y multiplicamos esos dos números…

 

–Ya tenemos 4 unidades. Ahora contamos los dedos besucones y los que están por debajo y serán las decenas…

–Más 5 decenas…

–¡54! –volvió a gritar Ana emocionada.

–¡Es chulísimo, Mati! –dijo Sal.

–¡Mola un montón! –añadió Ven.

–Gracias a los 3 –dijo Ana –Mañana se lo voy a enseñar a Lara, mi hermana.

–Pero, ¡si sólo tiene cuatro años! –dijo Ven.

–¿Y qué? –le respondió Ana muy digna –Pero es listísima.

 

P.S: Esta entrada es un regalo de cumpleaños para Ana. Nos hemos enterado de que mañana es su cumple y de que no le gustan mucho las tablas de multiplicar. Sal, Ven, Gauss y yo esperamos que le gusten ahora un poco más 😉

¡FELIZ CUMPLEAÑOS, ANA! 

 

Si los menos jóvenes os sentís nostálgicos y queréis recordar las canciones de las tablas de Enrique y Ana, aquí os las dejo: Tabla del 1, tabla del 2, tabla del 3, tabla del 4, tabla del 5, tabla del 6, tabla del 7, tabla del 8, tabla del 9 y tabla del 10 🙂

Losetas, la Alhambra y Penrose

Otra vez es lunes y otra vez estamos por aquí. Y todos los lunes alguien se queja de lo duro que es comenzar la semana, otro se pregunta si falta mucho para el viernes… y repetimos sin cesar los mismos patrones, ¿por qué? ¿Será que en el fondo nos gusta la repetición de patrones? ¿Nos produce seguridad saber cómo está organizado todo a nuestro alrededor? ¿Nos gustaría creer que la vida es un ciclo sin fin? ¿Un evento periódico?

Vamos a hablar de cosas bellas, para romper con la tendencia actual, solo por llevar la corriente, ¡digo!

Los mosaicos, las repeticiones de patrones, siempre han ejercido una poderosa atracción en el ser humano. Se pueden observar ciertos patrones en numerosas pinturas rupestres y, en algún sentido, podemos afirmar que la cumbre de dicha ornamentación se alcanza en nuestro país con la maravillosa Alhambra. Es una historia que se ha repetido muchas veces cómo la Alhambra influyó decisivamente en el pintor holandés Escher para sus creaciones. Pero tanto en la Alhambra, como en las obras de Escher, la repetición juega un papel importante, nosotros queremos mencionar aquí unos mosaicos en los que la no-repetición es fundamental.

Supongamos que con unos cuantos modelos de losetas somos capaces de enlosetar todo el plano tal y como se muestra en la figura:

Todos estos enlosetados tienen en común que las losetas que los componen son o triángulos equiláteros o cuadrados o combinación de ambos y también comparten otra propiedad: con un sólo sector del plano ya tenemos la regla para ampliar esos enlosetados: para hacerlos infinitos hasta recubrir todo el plano repitiéndolos periódicamente. En algún sentido la clave es que dado cualquier punto P de estos enlosetados, podemos encontrar dos puntos en distintas direcciones (y a partir de ellos infinitos más repitiendo el proceso) tal que el mosaico desde cualquiera de esos tres puntos se ve exactamente igual (podemos transformar el mosaico trasladándonos de un punto a otro y queda invariante). Eso es lo que se llama un mosaico periódico. Naturalmente existen mosaicos no periódicos; en la siguiente figura, mostramos un par en el que solo se utiliza un tipo de losetas: triángulos isósceles idénticos:

Obsérvese que el punto o los puntos centrales en estos mosaicos no se pueden trasladar: no existen otros puntos desde los que el mosaico se vea exactamente igual: estos son lo que se llaman mosaicos no periódicos. Así con un triángulo isósceles se puede enlosetar el plano de forma periódica y de forma no periódica (lo mismo ocurre con el cuadrado, pero con el hexágono regular solo se puede enlosetar de una forma y es periódica: como un panal de abejas).

En la segunda mitad del siglo pasado los mosaicos no periódicos atrajeron la atención de varios matemáticos, sobre todo a partir de 1960 año en el que el matemático chino-americano Hao Wang se preguntó si existía algún conjunto de losetas aperiódicas, esto es: que cualquier enlosetado que demos del plano con ellas ha de ser un enlosetado no-peródico. Lo curioso, es que Wang relacionó dicho problema con uno de los teoremas fundamentales de la matemática y la informática teórica como es el teorema de indecidibilidad de Gödel. Wang conjeturó que no existían conjuntos de losetas aperiódicas (esto es: él creía que con cualquier conjunto de losetas que se pueda recubrir el plano, se puede recubrir de forma periódica).

Pocos años más tardes, uno de sus alumnos (y después ilustre investigador en Teoría de Grafos), Berger, demostró que sí existen conjuntos de losetas aperiódicas y dio un conjunto de 20.426 losetas que podían enlosetar el plano, pero que todo enlosetado con ellas iba a ser aperiódico forzosamente. El ejemplo de Berge suscitó una especie de carrera, porque 20.426 eran muchas losetas, incluso para los más puros entre los matemáticos. Así el propio Berge, consiguió ir reduciendo el tamaño de dicho conjunto hasta encontrar un conjunto de 104 losetas aperiódicas. Esto fue mejorado por Knuth que en 1968 consiguió bajar el número hasta 92 y, más dramáticamente, por Robinson en 1971 ya que dio un conjunto de solo 6 losetas aperiódicas. En algún sentido todos los ejemplos anteriores eran similares y partían de la base de losetas cuadradas con modificaciones.

Las losetas aperiódicas de Robinson

Roger Penrose

Pero, aún nos espera otra sorpresa, ya que en 1974 Penrose (¡inspirado en algunos trabajos de Kepler casi 400 años anteriores!) dio  otro conjunto de losetas de base pentagonal (también eran 6 las losetas) y, dos años después, recogiendo algunas de dichas ideas, consiguió el record mundial absoluto: ¡un conjunto de sólo dos losetas!: el dardo y la cometa (y otro conjunto también de dos losetas que eran rombos con ciertos ángulos).

A la izquierda el rombo y la cometa de Penrose y a la derecha sus rombos y debajo de cada uno de ellos un trozo de los mosaicos que se obtienen (eliminando los picos para que sea más simple).

Desde entonces, los mosaicos de Penrose han sido muy estudiados, se han descubierto numerosísimas propiedades de ellos, por ejemplo: la proporción de dardos y cometas necesarias para enlosetar el plano es el número de oro o proporción áurea y la sucesión de Fibonacci aparece por doquier en cualquier mosaico de Penrose. Pero puede que para hablar de esas propiedades dediquemos otra entrada, en ésta me basta con haber  despertado tu  curiosidad 😉

Mati apoya la Huelga General

Por muchas razones: por la Sanidad Pública, por la Universidad Pública, por la Ciencia, por el derecho al empleo, porque nos han mentido… pero sobre todo, por la Educación Pública, en apoyo a todos los profesionales que trabajan en ella con dedicación, vocación y profesionalidad mientras son difamados y atacados por el Ministerio.

¿Es la Educación Pública una función decreciente?

¿Cuál es el límite de la sucesión de Wert?

 

 

¿Es la Educación Pública una función decreciente?

Hace unos seis meses, aproximadamente, nos preguntábamos en esta misma ventana ¿cuál sería el límite de las sucesión de Wert? Alguien  podría pensar que mi obsesión por conocer el límite de la citada sucesión procede del hecho de mi formación matemática, pero créanme, mi preocupación por conocer la deriva de las ideas de ese señor procede de mi papel de madre. Sí, hoy no es Mati la que firma, sino Clara Grima.

El iluminado ministro de Educación, Cultura y Deporte ha vuelto a revolucionar las redes sociales al filtrarse el borrador del Real Decreto Ley por el que se adoptan medidas urgentes  en materia de propiedad intelectual, que no tiene desperdicio por cierto. Es ahora cuando me pregunto: en un país en el que hay gente suicidándose por desahucios, ¿¿es urgente adoptar medidas en materia de propiedad intelectual??

Y yo misma me respondo sin más que leer el primer párrafo del Anteproyecto de la Ley Orgánica de Mejora de la Calidad Educativa (LOMCE) y compararlo con el primer párrafo de la ley vigente, LOE

Mientras que en la ley actual el primer párrafo es éste:

Las sociedades actuales conceden gran importancia a la educación que reciben sus jóvenes, en la convicción de que de ella dependen tanto el bienestar individual como el colectivo. La educación es el medio más adecuado para construir su personalidaddesarrollar al máximo sus capacidades, conformar su propia identidad personal y configurar su comprensión de la realidad, integrando la dimensión cognoscitiva, la afectiva y la axiológica. Para la sociedad, la educación es el medio de transmitir y, al mismo tiempo, de renovar la cultura y el acervo de cono­cimientos y valores que la sustentan, de extraer las máxi­mas posibilidades de sus fuentes de riqueza, de fomentar la convivencia democrática y el respeto a las diferencias individuales, de promover la solidaridad y evitar la discri­minación, con el objetivo fundamental de lograr la nece­saria cohesión social. Además, la educación es el medio más adecuado para garantizar el ejercicio de la ciudada­nía democrática, responsable, libre y crítica, que resulta indispensable para la constitución de sociedades avanza­das, dinámicas y justas. Por ese motivo, una buena edu­cación es la mayor riqueza y el principal recurso de un país y de sus ciudadanos.

En el anteproyecto de la LOMCE, el primer párrafo, sí, el primer párrafo es el siguiente:

La educación es el motor que promueve la competitividad de la economía y las cotas de prosperidad de un país; su nivel educativo determina su capacidad de competir con éxito en la arena internacional y de afrontar los desafíos que se planteen en el futuro. Mejorar el nivel de los ciudadanos en el ámbito educativo supone abrirles las puertas a puestos de trabajo de alta cualificación, lo que representa una apuesta por el crecimiento económico y por conseguir ventajas competitivas en el mercado global.

¿Eso es para nuestros gobernantes la Educación? ¿Conseguir seres competitivos? Nuestros hijos y/o estudiantes, ¿son mercancías? Por cierto, deberían evitar el uso de la expresión competir en la arena, después de algunos acontecimientos que nos han puesto en guardia a muchos padres.

Sí, es sólo el primer párrafo, pero es que si seguimos leyendo, aún es peor, no voy a reproducirla entera, pueden deleitarse con su lectura aquí.

Desde mi punto de vista se trata simplemente de un ataque ideológico al sistema de Educación Pública con el único objetivo de degradarla y con ello, preparar el camino para que solo aquellos que puedan permitirse estudiar en centros privados de enseñanza tengan opción a esos puestos de trabajo de alta cualificación de los que habla.

Más cositas: nuestros hijos tendrán que decidir, ¡en 4º de ESO!

El cuarto curso de la Educación Secundaria Obligatoria tendrá un carácter orientador, y se podrá cursar para la iniciación al Bachillerato en la opción de enseñanzas académicas, o para la iniciación a la Formación profesional en la opción de enseñanzas aplicadas.

¿Saben que quería yo ser a esa edad? Pues no lo recuerdo muy bien, pero mi primer año en la Universidad fue en la Facultad de Periodismo, se ve que no tenía muy claro mi futuro como doctora en Matemáticas y profesora de un departamento de Matemática Aplicada I de la Universidad…

Ah, y por supuesto, dejará de ser obligatorio estudiar Geografía e Historia a partir de 2º de ESO, con lo que si un alumno elige Ciencias (cosa cada vez más probable en una sociedad que plantean mercantilista), se perderá estudiar hechos históricos como, por ejemplo, la Revolución Francesa, las oleadas revolucionarias de 1820 a 1848,  la crisis de 1929, la evolución y triunfo de los totalitarismos… Pero es casualidad, no sean malpensados… ¿Qué necesidad hay de que nuestros jóvenes sepan que hubo un tiempo en el que el pueblo se rebeló contra la minoría gobernante? ¿O de que sepan reconocer un cierto avance del totalitarismo y recordar las consecuencias que tuvieron los anteriores? Eso son cosas de rojos…

Y si le aceptamos a Wert y sus amiguitos que  nuestros hijos no necesitan conocer nada de Historia Contemporánea, por lo menos, que estén preparados para vivir en su era tecnológica, ¿no? Ah, que tampoco, que queréis reducir al mínimo la educación tecnológica en esta etapa educativa

Y la Educación para la Ciudadanía, por supuesto, no sirve para nada… Por Gauss, ¿hay alguna asignatura que sea realmente indispensable para su ministerio? No, no me la diga, la intuyo después de que usted se plantee cambiar la Ley de Educación para que los colegios que segregan a su alumnado por sexos puedan seguir recibiendo conciertos públicos.

¿Sabe usted qué representa el valor de la derivada de una función, señor ministro? Igual puede preguntarle a alguno de sus asesores, pero asegúrese de que no es ninguno de los 68 que no tienen el graduado escolar… Déjeme decirle que la derivada  de la Educación Pública en nuestro país es negativa, muy, muy  negativa, lo que indica que, gracias a usted y a sus colegas, es decreciente.

Algunos ciudadanos han empezado a moverse contra su LOMCE, algo tenemos que hacer, hasta que nos prohíban el pataleo.

P.S.:Mi madre me preguntaba el otro día “¿Cómo sabes tanto, hija?“, y yo le respondía que gracias a ellos, mis padres, y a la Educación Pública. Pero en realidad no, no sé tanto, no sé, por ejemplo, por qué hay que destrozar de un plumazo los avances sociales que tanto han costado en un país como el nuestro.

¿Otra forma de multiplicar?

Anteriormente en Mati, una profesora muy particular

–¡Ea! –les dijo la pelirroja –Ya lo tenéis, leemos los números azules de izquierda a derecha y tenemos que 235 por 1591 es 373885.

–¡Toma, toma, toma! –gritó el pequeño — ¡Y decía Sal que era muy complicado para mí! ¡Cómo mola!

En el capítulo de hoy…

–Jo, no es justo –se quejó Ven –Raquel siempre dibuja a Sal más guapo que yo…

–No lo creo, Ven –dijo Mati –¡Estáis los dos guapísimos!

Gauss gruñó un poco.

–Tú también, celosón –Mati acarició a Gauss.

Estaban leyendo la última entrada de La hora de las tareas en el ordenador, para ver cómo Clara había contado lo sucedido.

–Mira, Mati –exclamó Sal de pronto –¡Belén ha dejado un comentario con otro método para multiplicar!

 

–Ah. sí –les dijo la pelirroja –Es un método para multiplicar también muy sencillo, si queréis os lo explico…

–¡¡Sí!! –dijeron los dos hermanos a la vez.

–Poneos cómodos –dijo Mati guiñando un ojo –Vamos a calcular cuánto es 1591 por 235, pero con este método. Para ello, primero vamos a descomponer los números así, en unidades, decenas, centenas y unidades de millar:

1591= 1000 + 500 + 90 + 1       y      235= 200 + 30 + 5 

–¡Vale! –gritó Ven –Eso es fácil.

–Ahora los escribimos en una tabla como ésta –siguió ella y guiñando un ojo continuó –y vamos a jugar un poco a los barquitos…

 

–Pero has puesto cuadritos de más, Mati –protestó Sal.

–Ahora veréis para qué –dijo ella –En la primera fila, la fila del 1000, vamos poniendo los resultados de multiplicar 1000 por 200, 30 y 5

–Qué fácil –interrumpió Ven –Multiplicar por 1000 es poner 3 ceros detrás.

–Pues, todo tuyo –le animó Mati y Ven rellenó la fila del 1000 –Y en la siguiente casilla, ponemos la suma de los tres productos obtenidos y la rellenamos de amarillo.

 

–¿Y ahora? –preguntó Sal.

–Tranquilo, Sal –contestó Mati –Primero vamos a pensar qué hay en la celda sombreada en amarillo.

–Vaya –intervino Ven –Pues 20000 más 30000 más 5000, Mati, lo hemos calculado así.

–Efectivamente, Ven –dijo ella –O dicho de otra forma:

(1000 x 200) + (1000 x 30) + (1000 x 5) 

–y si sacamos factor común 1000, nos queda

1000 x (200 + 30 +5) = 1000 x 235 

–Claro, Mati –dijo Sal —1000 por 235 es 235000, anda que…

–Ya, cielo –añadió ella –pero lo que quiero que veáis es que esta tabla no sólo nos dará el resultado final de 1591 por 235, sino que tendremos también muchos resultados parciales que podemos aprovechar de ella.

–Ah, claro –respondió el gafotas –¡Mola!

–Ahora –continuó Mati –Hacemos lo mismo con la fila del 500… y sumamos los 3 productos, 100000 + 15000 +2500 es 117500

–Espera, espera, Mati –pidió Ven –Ahora tenemos que 117500 es 500 por 235, ¿no?

–Efectivamente, cielo –corroboró ella.

–¡Toma, toma, toma! –gritó Ven –¡Cómo mola!

–Pero aún tenemos otro resultado parcial más –continuó Mati –Vamos a sumar estas dos casillas en amarillo, ¿qué tenemos en la casilla rosa?

–Déjame pensar –dijo Sal –Tenemos que

 235000= 235 x 1000  y 117500= 235 x 500

entonces

235000 + 117500 = 235 x (1000 + 500) = 235 x 1500 

por lo tanto, en la casilla rosa, 352500,  tenemos el resultado de 235 por 1500, ¿no, Mati?

–Pero, bueno –Mati estaba muy satisfecha –¡Qué chicos tan listos!

–Yo hago la tercera fila –dijo inmediatamente Ven.

–Entonces –añadió el pequeño —21150 es 90 por 235, ¿a que sí?

–Sí, y ahora, de nuevo –siguió ella –sumamos estas dos casillas amarillas, a ver qué tenemos en la rosa…

 

–Pues –comenzó a decir el gafotas –a ver…

352500 = 235 x 1500  y  21150 =235 x 90

por lo tanto

352500 + 21150 = (235 x 1500) + (235 x 90)= 235 x 1590

y entonces

373650= 235 x 1590

–¡Eso es! –Mati no pudo disimular su alegría, Gauss protestó un poco.

–Mati –preguntó Ven –¿y si sumamos estas dos casillas que yo he coloreado de amarillo? Sale 138650

 

–En ese caso tenemos que

117500 + 21150 = (235 x500) + (235 x 90) = 235 x 590 = 138650

–¡Toma, toma! –Ven estaba alucinando.

–Sólo queda la fila del 1 –dijo el gafotas –La más fácil…

–No me digas nada, Mati –suplicó Ven –Ahora sumamos 373650 más 235, ¿no?

–Efectivamente –dijo ella –y coloreamos de rosa el resultado como antes:

 

–¡Toma, toma, toma!Ha salido lo mismo que con el otro método –gritó Ven –¡1591 por 235 es 373885!

–Claro, Ven –dijo ella –El resultado no puede depender del método elegido. Pero este método además, tiene la ventaja como hemos visto, de proporcionar resultados parciales. A ver si adivináis que obtenemos al sumar las casillas de la primera columna, la del 200

 

–¿1591 por 200? –preguntó Sal.

–Efectivamente, guapo –respondió ella –¿Y si sumamos en las dos siguientes?

–¡Yo, yo! –pidió Ven –La rosa, 47730, es 1591 por 30 y la azul, 7955, es 1591 por 5.

–Muy bien, Ven –dijo Mati orgullosa –¿y si sumamos las casillas en amarillo en la siguiente figura?

Los niños se quedaron unos segundos pensando hasta que finalmente Sal gritó:

–¡1090 por 205!

–¡Bravo! –dijo Mati –Muy bien, chicos.

–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! –gritaba Ven.

Gauss miraba la escena con pelusilla. Mati propuso:

–¿Nos vamos de paseo con Gauss?

–¡¡Sí!! –dijeron los niños al unísono.

–Si vemos a nuestros amigos en el parque –añadió Ven –les contaré este juego de multiplicar.

 

PS: El algoritmo presentado en esta entrada se puede encontrar aquí.

¡Unamos los pueblos!

Hoy os quisiera plantear un problema de los llamado de optimización, uno de esos problemas que puede parecer, a primera vista, más simple de lo que en realidad es.

Supongamos que tenemos cuatro pueblos cercanos que, por alguna razón, aún no están comunicados entre sí: igual ha pasado un huracán y ha destruido las carreteras que existían o, peor aún, un banco las ha expropiado y se las ha quedado sin saber qué hacer con ellas. Da igual, el caso es que queremos construir carreteras que las unan y estamos en una suposición, por lo tanto, podemos suponer que no nos sobra el dinero y queremos construir la red de carreteras con menos kilómetros, la más económica. El último dato que nos falta es que las ciudades se encuentran formando un cuadrado de lado 10 km. Así tenemos el siguiente diagrama:

En principio, el problema no parece tan difícil, ya que todas los posibles formas de unir los vértices de un cuadrado usando el menor número de carreteras (segmentos de rectas empezando y terminando en ciudades) son los que presentamos a continuación:

Y se puede comprobar que los de la primera fila suman una distancia total de 30 km, los de la segunda (usando el teorema de Pitágoras) de 20+√200 km que son algo más de 34 km. Así que parece claro que gana cualquiera de los diseños de la primera fila. Pero ¿son esas todas las posibles soluciones?

 

En principio no, porque hay otros diseños con la misma longitud que los de la primera fila y que presentan algunas ventajas sobre las anteriores, como las dos que presentamos ahora:

Si nos fijamos estos dos diseños tienen también una longitud de 30 km y la ventaja a la que nos referíamos es que la distancia más larga entre los pueblos es más corta que la distancia más larga en aquellos diseños como el que tenía forma de U: para los de forma de U la distancia más larga posible entre dos pueblos es de 30 km, mientras que en el diseño en H la distancia más larga entre dos pueblos es de 20 km.

Pero todavía lo podemos hacer mejor.  Si consideramos unir cada par de ciudades diagonalmente opuestas por sendas carreteras con un cruce (o una rotonda si tenemos un alcalde al que le gusten mucho: por aquí por el sur, el de Dos Hermanas, por ejemplo), tendremos un diseño en X:

 

La longitud total de esa red de carreteras es poco más de 28 km (de nuevo usando Pitágoras). Y parece que ya no se va a poder mejorar, pero estaremos equivocados

Entonces, ¿tenemos diseño ganador? Pues no, porque podemos modificar ligeramente los diseños en H hasta obtener algo así:

Está demostrado que la longitud mínima se alcanza cuando escogemos los puntos de cruce de las carreteras  de forma que éstas formen un ángulo de 120º en los puntos en los que se bifurcan.

 

Es fácil calcular cómo se ha de escoger el punto en el que las carreteras se bifurcan para que sea óptimo el diseño.

Si nos fijamos  el triángulo ABC es un triángulo rectángulo (el ángulo en C es de 90º) y el ángulo en B debe ser la mitad de 120º , 60º, por lo tanto, puesto que los ángulos internos de un triángulo suman 180º, tenemos que el ángulo en A (en el triángulo ABC) es de 30º. Si hacemos una  copia del triángulo ABC (pegando por el lado AC), y nos fijamos en el triángulo ABB’, éste es un triángulo equilátero (puesto que los ángulos en A, B y B’ son de 60º los 3) y por tanto BC es la mitad de AB, como AC vale 5 km, usando el teorema de Pitágoras tenemos que el lado BC mide 5/ √3 y por lo tanto,  obtenemos que la longitud total de esta red de carreteras es de 10+10√km que es algo más de 27 km y es el ganador absoluto.

Ahora es el momento en el que planteo: ¿y si en vez de cuatro ciudades son tres todas a la misma distancia? ¿Y cinco?

Si queréis ver la solución a estos problemas, se puede este vídeo maravilloso (está en inglés, pero creo que es suficientemente ilustrativo y muy recomendable), donde se da la solución para los distintos casos, pero lo más interesante es que llega a dicha solución con la única ayuda de unas pompas de jabón. Por cierto, esto me da una idea de la que hablaros otro día: de las matemáticas de las pompas de jabón. Pero eso será en otra ocasión.