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Archivo de octubre, 2012

Un número misterioso para una noche misteriosa

–Sal, dame la máscara de zombi, ¡es mía!

–No, Ven, todo es de los dos y yo la he cogido antes.

–¿No dijiste que te ibas a disfrazar de momia, pesado?

–Pero he cambiado de opinión, voy a ir de zombi.

–¡Y yo también! ¡¡Y esa máscara es mía!! –Ven estaba cada vez más enfadado.

–Pero si tú no necesitas máscara para parecer un zombi… –respondió Sal con cara de pillín.

–¿Cómo puedes decirme eso? –dijo Ven hipando –Soy tu hermano pequeño…

–Pero, bueno… –Mati acababa de entrar –¿Qué pasa aquí? ¿Estáis listos para salir a pedir caramelos?

–Pasa lo de siempre, Mati –dijo el pequeño y añadió con pena–Que Sal es un carota y se quiere poner mi máscara de zombi.

–¿No me la puedes prestar un día? –respondió el gafotas.

–Sí, pero otro día –dijo Ven –¡No el día de Halloween!

–Ya, ya veo… –interrumpió Mati –Oye, ¿sabéis qué? ¿Sabéis que también hay números que dan miedo?

Los niños miraron a Mati por el rabillo del ojo sin creerse mucho lo que decía la pelirroja, Sal aguantando la máscara con fuerza.

–Mati…–dijo finalmente el pequeño –Que no somos niños pequeños…

–Bueno, en ese caso –respondió ésta y añadió con voz terrorífica –no os contaré la historia del misterioso número 6174…

 

–¿Por qué es misterioso ese número? –preguntó Ven receloso –¿Se come a los gafotas carotas?

Sal miró a su hermano torciendo la boca y preguntó a Mati:

–¿Qué pasa con el 6174, Mati? ¿Es de Fibonacci? ¿Es una potencia de 2? ¿Es primo?

–¿Cómo va a ser primo, Sal, si es par? –protestó el pequeño.

–¡Toma! Es verdad…–aceptó Sal –Qué fallo tan tonto.

–No, no es un número de Fibonacci –comenzó a decir la pelirroja –ni es una potencia de 2, ni, como ha dicho Ven, es un número primo, pero ya veréis. Os propongo un juego.

–¡Sí! –dijeron los dos niños a la vez.

–Elegid un número de 4 cifras, que no tenga las 4 cifras iguales –les dijo.

–1108 –dijo Ven rápidamente –Es mi cumpleaños, 11 de agosto.

Sal pensó en protestar pero no quería molestar a su hermano en pro de conseguir que éste le dejara finalmente la máscara.

–Muy bien, me parece estupendo –dijo Mati –Ahora ordenamos sus cifras primero de mayor a menor, 8110, y luego de menor a mayor, 0118, y restamos el segundo al primero, a ver qué sale.

 8110-0118=7992

–7992 –dijo Ven –¿Éste ya es de Fibonacci?

–No, Ven –respondió Mati –No buscamos números de Fibonacci, paciencia, que es la madre de la Ciencia… Ahora hacemos lo mismo con 7992, ordenamos de mayor a menor, 9972, de menor a mayor, 2799 y restamos.

 9972-2799=7173

–Pues no veo qué tiene que ver con el misterioso 6174 –se quejó Ven con retintín.

–Espeeeeera –insistió Mati –Vamos a hacerlo con 7173…

7731-1377=6354

 

–¿Y ahora con 6354? –preguntó el gafotas.

–Sí, lo haremos hasta que nos aparezca el 6174 –dijo ella.

6543-3456=3087

8730-0378=8352

8532-2358=6174 

 

–¿Cómo sabías que iba a salir el 6174, Mati? –preguntó  Ven.

–Porque siempre sale –contestó ella –Y veréis qué pasa si ahora lo hacemos para 6174…

7641-1467=6174 

–Hala –se asombró Sal –Vuelve a salir él.

–Sí –corroboró Mati –Ya siempre sale 6174.

–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! –exclamó Ven.

–Pues bien empecéis con el número de 4 cifras (no todas iguales) que empecéis –les dijo –siempre llegáis al 6174.

–¡Es chulísimo, Mati! –dijo Sal.

–Sí, esta propiedad fue descubierta en 1949 por un matemático indio, Dattatreya Ramachandra Kaprekar, y por eso se le llama al 6174 la constante de Kaprekar.

–¿Y si lo hacemos con 5 cifras, Mati? –preguntó el gafotas.

–Para 5 cifras no se llega a un número fijo –respondió ella –pero para 3, sí, vamos a verlo. Decidme un número de 3 cifras, no todas iguales.

–365 –dijo rápidamente Ven –los días de un año. No bisiesto, claro…

–Vamos a hacerlo –dijo Mati.

653-356=297

972-279=693

963-369=594

954-459=495

954-459=495

–¡Toma, toma, toma! ¡Es el 495! –se emocionó el pequeño.

–Efectivamente –corroboró Mati –Con 3 cifras siempre llegamos a 495.

–¿Y con 6? –preguntó Sal nervioso.

–Con 6 cifras ya no se llega a un único número fijo –respondió ella –De hecho, sólo se llega a un único número fijo con 3 y 4 cifras, ¿no os parece misterioso?

–Sí, lo es –dijo Sal dando vueltas en su cabecita todo lo que les habia contado Mati.

–Hombre, pero mucho miedo… –dijo Ven –no da, Mati, no te enfades, ¿eh?

–Hablando de miedo –dijo ésta –¿Quieres que te maquille como el zombi más espeluznante de todos los zombis?

–¡¡Sí!! –respondió Ven.

–¡¡Y yo también, Mati!! –dijo Sal.

–¿Y la máscara? ¿Qué hacemos con ella? –preguntó Mati.

–Se la ponemos a Gauss –respondió el gafotas con cara de pillo.

 

 

Mi Buenos Aires querido…

Ponemos música  para leer la entrada de hoy, es lunes y este país es un tango…

Nunca he estado en Buenos Aires, es una de mis asignaturas pendientes. Me encantaría pasear por sus calles, frecuentar sus bares, escuchar una milonga y las voces de los porteños y coger, perdón, viajar en su metro (o Subte como ellos dicen). Esto último, ¿por qué? Porque  dos referencias bien distintas lo hacen muy atractivo desde el punto de vista matemático.

La primera es el número de emergencia del Subte  desde 2006. Efectivamente,  con la puesta en marcha del plan Alerta en julio de 2006, se estableció la posibilidad de denunciar hechos delictivos por parte de los ciudadanos llamando en cualquier momento desde su móvil al número *31416. A algunos (espero que a pocos) lectores puede que esto no le diga nada, pero a cualquier matemático y a muchos que no lo son inmediatamente le trae a la memoria el número π. Sí, ya sé que es una aproximación un poco basta del mismo pero los matemáticos, como dice mi amigo Gaussianos, en ocasiones vemos π

De hecho, no hace mucho tiempo, mi santo (como diría Elvira Lindo) y yo llegábamos a un hotel en Madrid en el que el recepcionista nos avisaba que nuestra la habitación era la 314. “¡Qué fácil!” dijimos los dos a la vez. Ante la mirada atónita del recepcionista y de su compañero que dejó de mirar el monitor de su ordenador para observarnos los dos añadimos con alegría y casi sin pudor “¡Es π!” Cada uno es cada uno y tiene sus cadaunadas

Volviendo al número de emergencias del Subte de Buenos Aires, de hecho, en alguna nota promocional  anuncian dicho número como el número *pi. Pero lo curioso y un poco decepcionante, quizás, es  que cuando justifican el porqué de un número tan largo,  la respuesta no es, como cabría esperar, porque es fácil de recordar por ser una buena aproximación de π sino: “Según indicó el Ministerio del Interior, porque fue el único número que habilitaron empresas de telefonía”. Pues vaya…

Pero no solo por eso es evocador, desde el punto de vista de las matemáticas, el metro de Buenos Aires. Hay otro motivo,  una película con una curiosa historia detrás.

Todo se origina en un relato corto del astrónomo y escritor de ciencia ficción norteamericano A. J. Deutsch (podéis leerlo aquí) que plantea que una línea de metro se convierte en una cinta de Moebius y así un tren completo desaparece.

¿No recordáis que era una cinta de Moebius? En ese caso os  recomiendo  esta entrada de Mati que explica qué es este curiosísimo objeto matemático y algunos de sus propiedades más notables.

En este caso, lo que nos interesa es que la cinta de Moebius tiene un única cara, así que el tren puede parecer que está perdido y lo que le ocurre es que está “en la otra parte” de la cinta.

El relato de Deutsch ya dió origen a una película alemana, pero Gustavo Daniel Mosquera, que era profesor en la Universidad del Cine de Buenos Aires, readaptó completamente la historia convirtiéndola en una metáfora sobre los desaparecidos por la dictadura militar.  Después de numerosas vicisitudes y gracias al apoyo de otros profesores y alumnos de la Universidad de cine y utilizando algún material reconstruido, como cámaras que databan de 1926 y con un bajísimo presupuesto, consiguió rodar y estrenar su película, Moebius, en 1996. El resultado fue un gran éxito, sobre todo en numerosos festivales internacionales como la Viennale, Sundance y Berlín.

Me encanta la escena en el que los responsables buscan una explicación a los hechos que están ocurriendo y el diálogo:

–Soy  topólogo, matemático.

–¿Para qué sirve eso?

Pero no acaba allí la historia de esa curiosa cinta (me refiero ahora a la película). Es notable que casi todos los participantes en la elaboración de la película han conseguido cimentar unas carreras bastante sólidas dentro del cine argentino y que la propia película en si sea considerada hoy en día como una de las películas fundamentales del cine argentino. Ésta es, por lo tanto, otra historia bonita de superación y empeño, de las que viene bien recordar en tiempos como los que nos están tocando vivir…

Ya veis, como ya habíamos hablado antes en este mismo blog, hay muchas matemáticas cada vez que pillamos el metro.

Multiplicando, multiplicando…

–¿Te queda mucho, Sal?

–Sólo una multiplicación, Ven.

–¿Te puedo ayudar?

–No, gracias. Éstas no sabes hacerlas aún.

–Enséñame tú.

–Eres muy pequeño, Ven –respondió el gafotas –Ya te las enseñarán en el cole.

–Andaaaaaaa –insistía el pequeño –Enséñameee, Saaaaal…

–¿Qué es lo que quiere aprender este caballero? –preguntó Mati que acababa de llegar.

–¡Hola, Mati! –saludó Ven con alegría pensando que ella sí que le enseñaría.

–Hola, Mati –saludó Sal sin levantar la cabeza de su cuaderno –Ven quiere hacer multiplicaciones de varias cifras y aún no se lo han enseñado en el cole.

 

–Bueno, bueno… –comenzó a decir la pelirroja –Igual yo le puedo enseñar un pequeño truco para hacerlo…

–¿Con la calculadora? –preguntó Ven mirando de reojo.

–No, no, sin calculadora –dijo ésta –Con la mente, lápiz y papel. A ver,  ¿qué multiplicación es la que queremos hacer?

–235 por 1591 –dijo Sal.

–Veréis –les dijo –Vamos a escribirlo en una tabla como en el juego de los barquitos. Ponemos arriba, en horizontal,  por ejemplo, el 1591, lo escribimos de izquierda a derecha. Y en vertical, de abajo a arriba, el otro, el 235.

–Ahora vamos a dividir los cuadraditos de la tabla –les dijo –pintando estas líneas diagonales con el lápiz…

–Pues como en los barquitos –continuó Mati –Vamos rellenando los cuadraditos con el resultado de multiplicar los 2 cuadraditos correspondientes: 5 por 1 es 5, ponemos 05, para rellenar las dos mitades del cuadradito… 5 por 5 es 25, ponemos el 2 en la parte de abajo y el 5 arriba… 5 por 9 es 45, el 4 en la parte de abajo y el 5 arriba… y otra vez, 5 por 1 es 5…

–¿Puedo hacer yo el 3, Mati? Me sé la tabla del 3 –pidió el pequeño.

–Por favor… –dijo Mati y le dio el bolígrafo en una graciosa reverencia.

–A ver… 3 por 1 es 3, pongo 03, el 0 abajo… –decía Ven –3 por 5 es 15, el 1 abajo y el 5 arriba… 3 por 9 es 27, 2 abajo y 7 arriba…y 3 por 1 es 03…

 

–¡Me toca! –dijo Sal y su hermano le dio el boli –2 por 1 es 02… 2 por 5 es 10, el 1 abajo y el 0 arriba… 2 por 9 es 18, un 1 abajo y un 8 arriba… y otra vez 02…

–¡Muy bien! –les dijo la gafotas –Ahora vamos a numerar las diagonales que hicimos a lápiz, empezando desde arriba, desde la más a la derecha:

–¿Y ahora qué? –preguntó el pequeño ansioso.

–Ahora vamos a sumar todos los números de color rosa que están por encima de cada diagonal, siguiendo el orden que indican los números –les dijo –Encima de la diagonal 1, tenemos solo 5, lo ponemos…

–Ahora sobre la línea 2… –empezó a decir Mati.

–¡8! –gritó Ven –5 más 0 y más 3 es ¡8!

–Eso es –confirmó Mati.

–¡Yo hago la 3! –pidió Sal — 5 más 4, es 9; más 7 es 16; más 0, nada, más 2..18 ¿lo pongo, Mati?

–No, ahora –le respondió –cuando nos sale un número de 2 cifras, ponemos sólo las de las unidades, 8 en este caso, y le regalamos las decenas a la siguiente diagonal, ¿vale?

–¡Me pido la línea 4! –exclamó Ven –¿Sumo también el 1 que le ha regalado la línea 3?

–Claro –dijo Mati –por eso lo hemos escrito en rosa.

–¡Vale! –Ven frunció el ceñó estuvo un rato mascullando y finalmente — ¡23! ¿Le regalo el 2 a la siguiente?

–Eso es –Mati sonrió satisfecha.

–Venga, ¿hacemos la 5? –les preguntó.

–La hago yo –dijo Sal –¡7!

–¡Yo termino! –pidió Ven — ¡Las dos que faltan!

–¡Qué morro! –se quejó el gafotas.

–Pero si la última es 0…

 

–¡Ea! –les dijo la pelirroja –Ya lo tenéis, leemos los números azules de izquierda a derecha y tenemos que 235 por 1591 es 373885.

–¡Toma, toma, toma! –gritó el pequeño — ¡Y decía Sal que era muy complicado para mí! ¡Cómo mola!

–Bueno, es cierto –aceptó el gafotas y añadió con burla –que con este método lo puede hacer un pequeñajo como tú…

Ven arrugó su carita y Sal añadió con una sonrisa

–Un pequeñajo tan listo como tú,  quería decir…

Ven abrazó a su hermano sonriendo y Gauss…bueno, ya sabéis que a Gauss no le gusta demasiado quedarse al margen de estos eventos de amor desenfrenado…

 

Más vale descartar lo bueno conocido…

Comprueben que sus cinturones están abrochados, su asiento en posición vertical y su mesita plegada porque ¡van a alucinar!

Al menos, yo alucino con este problema y espero que también os provoque turbulencias y alguna sonrisa de sorpresa 😉

Vamos a continuar con los concursos que tanta polémica crearon en nuestra entrada sobre Monty Hall y vamos a presentar un concurso parecido (de hecho es parte del mismo proceso que se llevaba a cabo en Un, dos, tres).

Estamos en un concurso. Se nos presentan un cierto número de cajas, N, y podemos abrirlas en el orden que nos plazca. Cada caja contiene una cantidad de dinero distinta de las otras (no sabemos qué cantidades hay en cada una, ni cuáles son esas cantidades). Cada vez que abrimos una caja decidimos (después de contar el dinero en ella, se entiende) si nos quedamos con ella (esa es la caja que escogemos) o si la descartamos para siempre (una vez que una caja ha sido descartada, ya no podemos volver a ella). Tratamos de diseñar una estrategia que nos garantice escoger la mejor caja (la que tiene más dinero) el mayor número de veces posible

¿A qué parece que no se va a ser posible? ¡Ja!

Para simplificar supongamos que tenemos 3 cajas: A, B y C. Abrimos la primera (la A), como no tenemos ni idea de qué cantidades hay en cada caja, en A puede estar el mayor botín o no, no tenemos ninguna información adicional, por lo tanto, si escogemos A, nuestro posibilidades de acertar con el premio máximo es de .

¿Podemos mejorar dicha estrategia?¿Podemos diseñar otra estrategia que garantice siempre más de ⅓ de posibilidades de obtener la máxima cantidad?

Os propongo una: abrimos la primera caja (la A) y contamos el dinero que hay, pero la descartamos independientemente de cuánto dinero encierre. Ahora abrimos la segunda caja (la B), si contiene más dinero que la primera, nos quedamos con la segunda, en caso contrario nos quedamos con la tercera ¿En cuántos casos hemos acertado con esta estrategia?

Realicemos un examen viendo todas las posibilidades distintas.

En cada caso, escribiremos las tres cajas ordenadas por la cantidad de dinero que tienen de mayor a menor.

El primer caso lo escribimos como (A, B,C) (esto es, la caja A tiene más dinero, después la B, después la C). Vamos a suponer que las 3 cantidades son, respectivamente, 100, 50 y 25, pero, claro, eso no lo sabe el concursante a priori, no sabe cuál es el premio máximo, ¿me explico? Pero lo pensamos así para hacer una simulación de los 6 casos posibles con 3 cajas.

Siguiendo la estrategia descrita, abrimos la A, la descartamos, abrimos la B y como tiene menos que la A, escogemos la C, que es la que menos dinero tiene: mal empezamos. Nos hemos quedado con el peor premio…

(He hecho unas figuras para cada simulación, en otro color pongo la caja que escogeríamos con esta estrategia. Si el color es verde, es que hemos ganado. Es que soy del Betis…)

Veamos, entonces, apoyándonos en las figuras, qué caja escogeríamos, en cada caso,  siguiendo nuestra estrategia.

Para (A,B,C) escogemos C y hemos perdido, es la que acabamos de analizar unas líneas más arriba.

Para (A,C,B) escogemos C, y perdemos.

 

 

Para (B,A,C), abrimos la A, la descartamos, abrimos la B que tiene más dinero y nos quedamos con ella y hemos ganado (¡por fín!).

Para (B,C,A) escogemos la B y ganamos (¡ole con ole!)

 

 

Con (C,A,B) escogemos C y ganamos, (¡toma, toma, toma!)

 

 

Y para (C,B,A) escogemos B y perdemos.

 

Como vemos, con la estrategia anterior podemos garantizar un éxito del 50% (ganamos 3 de 6), lo cual es mejor que el 33% (=1/3) que teníamos si escogemos una caja al azar. Anda, ¡mira!

Lo curioso es que esta estrategia se puede aplicar a cualquier número de cajas, por sorprendente que parezca y aunque no se conseguirá siempre un éxito del 50%, sí que podemos obtener un porcentaje sorprendentemente alto (mayor de ⅓ independientemente del número de cajas). Sí, sí, éxito con una probabilidad casi del 37%, sea cual sea el número de cajas.

Allá vamos, ¡digo!

Se puede probar que el método que nos garantiza mejor resultado es el siguiente: Si tenemos que escoger entre N cajas, abrimos unas cuantas (digamos r) y las descartamos, pero anotamos de esas r cajas cuánto dinero tenía la que más tenía. A continuación seguimos abriendo las cajas restantes y nos quedamos con la primera que tenga más dinero que el que habíamos anotado como el máximo de las r primeras.

Si ninguna tiene más dinero obviamente nos quedamos con la última. Solo queda por determinar cuánto vale r, es decir, ¿cuántas cajas tenemos que abrir y descartar inicialmente?

Hemos visto que en el caso de 3 cajas (N=3, 3 cajas) r es 1. Se puede comprobar que en el caso de N=4 (cuatro cajas) r también vale 1 (miramos la primera, la descartamos, y después vamos abriendo las restantes y nos plantamos si una tiene más dinero que la inicial, con esta técnica en el caso de 4 cajas podemos garantizar que escogeremos la mejor en un 46% de los casos).

En la siguiente tabla se muestra cuántas cajas tenemos que desestimar dependiendo del número de cajas que tengamos en total para asegurar la mayor probabilidad de éxito (se puede comprobar haciendo algunas cuentas, bastantes):

 

¿Y si son más de 9 cajas? Se puede aplicar la misma técnica, pero ¿cómo calculamos el número de cajas r que tenemos que  desestimar? Desconecten sus teléfonos móviles y agárrense…

Hay una regla más o menos sencilla: el número r de cajas a desestimar es el número entero más próximo a N/e donde e es el número de Euler que es aproximadamente igual a 2,71828182845905 (no es un número racional y por tanto tiene infinitas cifras decimales que no se repiten de forma periódica).

Sí, yo también me quedé con esa cara cuando lo leí… es normal… ¿¿El número e??

Pues sí, desechando ese número de cajas, podemos asegurar que siempre obtendremos un éxito de al menos 1/e de los casos: un 36,8%, por muy grande que sea el número de cajas. La tabla anterior añadiendo una fila con los valores obtenidos al dividir el número de cajas entre e, quedaría:

Por ejemplo, para 10000 cajas, N=10000, tendríamos 10000/e= 3678,794411714, descartamos las 3679 (éste es el número entero más próximo a 3678,794411714) primeras cajas, y nos quedamos con la primera de las restantes que supere en dinero a todas las 3879 descartadas inicialmente y … ¡Tachán! La probabilidad de éxito es del 37%…

Por Euler, ¿¿no es maravilloso y sorprendente??

Ay… una se pregunta, ¿a cuántos incompetentes tendríamos que desechar para quedarnos con alguien que sepa arreglar este país con una probabilidad de éxito tan alta? En fin…

Este problema se conoce como el Problema de la secretaria, el Problema de la dote del Sultán, del Pretendiente exigente y no sé si algún otro nombre más. Podéis conocer más si queréis aquí y aquí.

 

Un poco de gimnasia mental

–¿Jugamos al fútbol, Sal?

–Espera, Ven, estoy intentando un resolver un problema de Fermi

–¿Cuál?

–El que nos propuso Mati de cuántas patas de mesas y sillas hay en nuestro cole.

–Vale, ¿te puedo ayudar y así nos vamos antes a jugar al fútbol?

–Claro –respondió el gafotas –¿Me traes la calculadora que hay en el estudio?

–Pero, bueno –Mati acababa de entrar –¿para qué necesitas una calculadora, Sal?

–¡Hola, Mati! –saludó Ven.

–Hola, Mati –añadió Sal –Para hacer unas cuentas.

–¿Qué cuentas? Si se puede saber… –indagó la pelirroja.

–Pues, la primera es 18 por 25 –dijo Sal –Porque en mi cole hay dos clases de cada curso, cada clase tiene aproximadamente 25 niños…

–Esa cuenta es muy sencilla, Sal –interrumpió Mati –Puedes hacerla en tu cuaderno o, mejor aún, mentalmente.

–Entonces, ¿para qué se han inventado las calculadoras, Mati? –protestó el pequeño que adoraba usar esa maquinita.

–Para hacer cálculos, evidentemente –respondió Mati –Pero no por ello debemos dejar de usar la calculadora que tenemos sobre los hombros.

–Pero si se hacen más rápido y más fácil con la calculadora –insistió Ven –¿por qué tengo que hacerlo con la mente?

–Porque el cálculo mental nos sirve para hacer deporte con la mente, Ven –dijo ella.

–¿Deporte con la mente? –se extrañó Sal.

–Claro –siguió Mati –Si dejásemos de caminar porque podemos ir a todos sitios en coche, nuestras piernas se atrofiarían…

–¡Sí, sí! -interrumpió Ven –¡Eso sale en Wall-E! ¡Y estaban todo gordos y no se podían mover!

–Sí, si no nos movemos nos quedamos así –dijo Mati –Y si no ejercitamos la mente, también pierde muchas de sus funciones y habilidades.

–Ya, Mati –aceptó Sal –Pero algunas cuentas no son fáciles de hacer mentalmente.

–Puede –dijo Mati –Pero se pueden aprender estrategias y trucos…

–¿Nos cuentas uno, Mati? –pidió Ven alegre.

–Os contaré varios –anunció la gafotas –Poneos el chándal en el cerebro, ¡allá vamos!

–¡Mola! –gritó el pequeño.

–Vamos a empezar con uno sencillo –les propuso –Multiplicar mentalmente por 5.

–Pues vaya –protestó el pequeño –La tabla del 5 se la sabe hasta Edu que nunca atiende en clase…

–¿Sí? –preguntó Mati –¿Cuánto es 82 por 5?

–Bueno, Mati, te has pasado… –reconoció Ven –Eso no sale en la tabla.

Mati sonrió y le guiñó un ojo a Ven.

–Te enseñaré a calcularlo muy rápido –le dijo al pequeño –Multiplicar por 5 es igual que dividir por 2 y luego multiplicar por 10. Dividir por 2, no es más que calcular la mitad, ¿cuál es la mitad de 82?

–41 –dijo Sal rápidamente.

–Ahora multiplicamos por 10 –les dijo –que como 41 no tiene decimales, se trata sólo de añadir un cero final.

–¡410! –exclamó Ven airoso.

–¿Ves, Ven? –le preguntó Mati –¿A que es muy rápido? Y sin calculadora…

–¡Toma! ¡Verás cuando se lo cuente a Lucas! –Ven estaba entusiasmado.

–¿Y si el número que tenemos que multiplicar por 5 no es par, Mati? –preguntó el gafotas –No será divisible por 2… Por ejemplo, .

–¿Cuánto es la mitad de 99, Sal? –le preguntó.

–La mitad de 100 es 50… –mascullaba Sal –98 es 2 menos, la mitad de 98 es 49… 49’5, Mati.

–Eso es –confirmó Mati –Ahora multiplicamos 49’5 por 10. Cuando hay decimales, multiplicar por 10 es correr la coma una cifra a la derecha.

–¡495! ¡Toma, toma! –gritó Ven abrazando a Gauss.

–Es verdad –dijo Sal y añadió con cara de pícaro–Pero se podía hacer más rápido.

–¿Sí? ¿Cómo? –le retó su hermano desafiante.

–Porque 99 por 5 es sumar cinco 99 veces –dijo el gafotas –Si lo sumas 100 veces te saldría 500, 5 x 100 y ahora sólo tienes que restarle un vez 5, y te sale 495.

–Ah, claro –aceptó Ven.

–Efectivamente, Sal –dijo Mati –Eso que acabas de hacer es lo que yo quería decir con la gimnasia mental.

Sal sonrió sonrojado, Ven le echó el brazo por los hombros orgulloso. Gauss resopló con pelusilla.

–Ahora –les dijo –Vamos a calcular 18 por 25. Multiplicar por 25 es lo mismo que dividir por 4 y multiplicar por 100, ¿no?

Los niños asintieron con la cabeza, Mati continuó:

Dividir por 4, es calcular 2 veces la mitad del mismo; multiplicar por 100 es simplemente añadir 2 ceros al final de nuestro número, o si tiene decimales, correr la coma hacía la derecha dos cifras, ¿verdad?

–Si calculo la mitad de 18 es 9 –dijo Sal –Y la mitad de 9 es 4’5… Entonces, 18 dividido entre 4 es 4’5, sólo falta multiplicar por 100… 4’500…corro la coma dos cifras…

–450, 450, ¡¡450!! –Ven daba vueltas tapándose la cara con la camiseta.

–¿Veis? –les dijo –Hacer deporte siempre es divertido y sano, con la mente también.

–¿Nos enseñas más trucos, Mati?

–Claro –contestó ella –De hecho, Sal nos acaba de enseñar uno.

–¿Cuál? –preguntó el pequeño.

–Pues que multiplicar por 99 es multiplicar por 100 y restar el número –dijo Mati –Y se podría extender a que multiplicar por 9 es multiplicar por 10 y restarle el número

–Y multiplicar por 999 –interrumpió Ven —es multiplicar por 1000 y restar el número…

–Eso es –confirmó Mati con una amplia sonrisa –¿Cuánto es 999 por 15?

–Eso es … –empezó a decir Ven –15 por 1000, 15000… 15000 menos 15… 100 menos 15 es 85… 1000 menos 15 serán 985… ¡14985! ¿no, Mati?

–Efectivamente, Ven –dijo Mati contenta, Sal abrazó a su hermano pequeño lleno de orgullo y satisfacción.

–¡Otro, Mati! –pidió Ven.

–A ver si se os ocurre a vosotros –les retó –una estrategia para multiplicar por 11.

Los niños se quedaron muy pensativos… Al cabo de pocos segundos, Sal dijo:

–Muy fácil: es multiplicar por 10 y luego sumarle el número.

–¡Ahá! Entonces, ¿cuánto es 76 por 11? –les preguntó.

–76 por 10 es 760 –dijo Ven –760 más 76… 760 más 40 es 800…me faltan 36.. ¡836! ¿no?

Mati asintió con la cabeza y Ven no puedo contener su emoción.

–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola!

–Mati –dijo Sal –Si multiplicar por 25 es multiplicar por 100 y dividir por 4, entonces dividir por 25 es al revés, ¿no? Dividir por 25 es multiplicar por 4 y dividir por 100.

–Exacto –dijo Mati –Multiplicar por 4 es calcular dos veces el doble y dividir por 100 es quitar dos ceros del final si hay, o uno (si sólo hay uno) y poner una coma a la izquierda de la última cifra, o una coma a la izquierda de las dos últimas cifras (si no hay nigún cero) ¿Cuánto es 42 dividido entre 25?

–Multiplicamos 42 por 4… –decía Sal –42 por 2 es 84.. 84 por 2 es 168…dividimos por 100 poniendo la coma a la izquierda de las dos últimas cifras… ¡1’68!

Mati asintió de nuevo sonriendo.

–¡Eres un máquina! –dijo Ven y le zampó un beso a su hermano mayor. Gauss no parecía disfrutar mucho de aquella exaltación del sentimiento fraternal.

–¿Veis cómo es más divertido andar con la mente que moverse en coche? –les preguntó.

–Mucho más –dijo Sal muy satisfecho.

–¿Nos enseñas más? –preguntó Ven.

–Seguiremos otro día –dijo Mati –Ahora es hora de que juguéis un poco al futbol, ya sabéis eso de Mens sana in corpore sano.

 

¡Toma, toma, toma! ¡El Nobel para Lloyd Shapley!

Pues sí, el premio Nobel de Economia 2012 ha ido a parar a Al Roth y Loyd Shapley, por su teoría del diseño de mercados, y ¿sabéis qué? Gracias al algoritmo del matrimonio  estable. 

Si queréis conocer cómo funciona el algoritmo de  David Gale y Lloyd Shapley. que aplicó Roth para sus teorías, no tenéis más que dar un paseo por nuestra mateaventura

Diez habitaciones para 20 aventureros 

Si es que… a Mo Yan no lo habíamos leído, pero lo del algoritmo de Shapley… ¡estaba cantao!

 

 

 

Dime cuántos, cuántos, cuántos…

¿Cuánto nos cuesta a cada contribuyente una hostia consagrada de las que se reparten en las iglesias? ¿Cuánto las que reparten algunos antidisturbios en las manifestaciones?

Fernando del Álamo tratando de averiguar cuántos botones hay en total en todos los aviones que vuelan actualmente…

Seguro que alguno de nosotros se hace esa pregunta, sobre todo, al final de mes, ¿no? Este tipo de preguntas sobre cálculos que parecen muy complicados de hacer por la falta de datos concretos me recuerda a la comunicación en la que Fernando del Álamo, @omalaled, nos habló de los problemas de Fermi. Tengo que reconocer que estos problemas siempre me han encantado y Fernando lo bordó, como se suele decir, en aquella comunicación, que podéis ver aquí.

Enrico Fermi

Un problema Fermi (nombrados así por Enrico Fermi, físico italo-americano, premio Nobel de física en 1938) trata de obtener una estimación mediante una serie de estimaciones razonables de algo que puede parecer incalculable.

El típico ejemplo de un problema de Fermi es ¿Cuántos afinadores de piano hay en Chicago?

Y la respuesta de Fermi más o menos venía a decir (esta estimación se hizo hace más de 50 años, hoy en día seguro que ya no es cierto):

Hay 5 millones de personas viviendo en Chicago. En promedio, viven dos personas en cada casa de Chicago. Una de cada veinte casas tiene un piano que es afinado regularmente, una vez por año. A un afinador de pianos le lleva dos horas afinar un piano, incluyendo el tiempo de viaje. Cada afinador trabaja 8 horas por día, 5 días a la semana y 50 semanas en un año. Con todas esas suposiciones se obtiene que en Chicago hay (había) unos 125 afinadores de piano.

Desde el punto de vista docente, considero que plantear problemas de Fermi puede ser muy interesante para enseñar a los niños a desarrollar diversas habilidades muy útiles, como pensamiento lógico, explorar el mundo y comprenderlo. Para algunos problemas de Fermi hacen falta conocimientos profundos de Física o Química (para muchos de ellos basta con conocer el número de Avogadro, cosa que desconocen todos los adeptos a la homeopatía, por ejemplo), pero para otros necesitamos poco más que sentido común. Voy a tratar de poner aquí algunos ejemplos.

Empezamos así con uno muy sencillo: Contando sillas y mesas ¿cuántas patas de muebles hay en un determinado colegio?

Evidentemente para resolver este sencillo problema basta con estimar el número de alumnos en el colegio (número de grupos por el número de alumnos en cada grupo) y después multiplicar por ocho.

Demasiado fácil, ¿no? Vamos a intentar resolver otro un poco más complicado: ¿En cuánto aumenta la masa de la humanidad cada año?

Para resolver este problema hemos de estimar cuál es el peso medio de un humano y tratar de averiguar cuántos humanos más hay cada año. Tenemos que tener en cuenta que hay que calcular la media de todos: hombres, mujeres, niños, así que yo creo que una buena aproximación es de 55 kilos por humano, ¿vale? La población humana crece cada año en unos 40 millones, así que el peso total de la humanidad viene a aumentar cada año en unos 2.200 millones de kilos (algo más de 2 millones de toneladas: o 2.2×10⁹ kilos, nada comparado con 5.972×10²⁴ que es la masa de la Tierra).

¿Intentamos un más difícil? Venga, va, que no decaiga:  ¿Cuántos ladrillos hay en Sevilla? (me refiero a las piezas usadas en construcción, no estoy mirando a nadie)

Para este problema es fundamental estimar cuántos ladrillos son necesarios para construir un piso medio, digamos de 90 m². Podemos estimar que un piso lo forma un rectángulo exterior de 10×9 y que el área de las paredes interiores iguala a las paredes exteriores (del piso). Si el techo está a 2.5 metros, el área de las paredes exteriores será (10+9)x2x2.5 = 95 m², por lo tanto, el área total de las paredes de un piso será de unos 190 m², podemos suponer que para un metro cuadrado se necesitan 16 ladrillos, luego un piso medio necesita unos 3.000 ladrillos. Así queda sólo por estimar cuántos pisos hay en Sevilla, que tiene una población de unos 700.000 habitantes, pero como la media por piso es aproximadamente de tres habitantes, eso nos da la cifra de 233.333 pisos que por los 3.000 ladrillos anteriores nos da un total de 700 millones de ladrillos.

En algún sentido, otro problema de Fermi sería  calcular cuántos participantes hay en una manifestación, aunque con una simple foto aérea se puede hacer un cálculo absolutamente exacto, será por eso que siempre coinciden los datos de los convocantes y los de las administraciones públicas correspondientes…

Me voy, pero os dejo propuestos unos cuantos problemas que podéis discutir en los comentarios y/o a la hora del café, como siempre os digo.

¿Cuántas palomitas de maíz caben en una habitación?

¿Cuántas maletas están volando ahora mismo en aviones en todo el mundo?

¿Cuántos coches hay en movimiento en España un día de diario cualquiera a las cuatro de la madrugada?

¿Cuántas vueltas dan las ruedas de todos los ciclistas en un Tour de Francia?

Pues eso, dime cuántos, cuántos, cuántos… 😉

Y dale con Tales…

Anteriormente en Mati, una profesora muy particular…

–Sí –corroboró la pelirroja –Y si los pegáis por los ángulos C1, C2, C3 y C4 , también.

–¡Cómo mola, Mati! –Sal estaba entusiasmado.

–Voy a buscar cartulina de colores –dijo Ven.

–Estupendo –añadió Mati –Otro día seguiremos hablando de Tales…

–Oye, Sal, ¿esto de Tales no te recuerda a lo que nos contó Mati en la playa?

–¿A qué te refieres, Ven?

–A cuando nos enseñó a calcular la altura de la silla del socorrista.

–Ummmm… -el gafotas se quedó pensando –puede ser, sí…

–Efectivamente, Ven –confirmó Mati que acababa de llegar –Es la misma idea.

–¡Hola, Mati! –dijeron los dos hermanos a la vez.

–¡Guau! –dijo Gauss, no estaba para muchas conversaciones.

–Hola, chicos –respondió ella –La idea que usamos aquel día en la playa es la misma que, según cuenta Herodoto, usó Tales para medir la pirámide de Keops.

–¿La pirámide de qué? –preguntó Ven con los ojos apretados.

–La gran pirámide de Guiza, una de las siete maravillas del mundo, que está en Egipto –les contó Mati.

 

–¡Toma! –se asombró el pequeño –¿Y cómo lo hizo , Mati?

–Pues usando su teorema –dijo la pelirroja y le guiñó un ojo –Tales pensó que cuando su sombra midiera lo mismo que él, los rayos de Sol estarían formando un ángulo de 45 grados con su cabeza y con la cima de la pirámide, y por lo tanto, la altura de la pirámide sería igual a la sombra de la misma en ese instante.

–En ese caso –continuó Mati — si llamamos h a la altura de Tales y s a la sombra del mismo, cuando s sea igual a h, los rayos de Sol forman un ángulo de 45 grados en la cabeza de Tales. Y como los rayos de Sol son paralelos unos con otros, el rayo de Sol en la cima de la pirámide también forma 45 grados y por lo tanto H es igual a S. Sólo hay que medir S para conocer H, porque estamos mirando triángulos semejantes.

–¿Cómo sabes que son semejantes, Mati? –preguntó Sal.

–Pues porque la suma de todos los ángulos internos de un triángulo es 180 grados –empezó a decir la gafotas –Como H y S forman 90 grados, igual que h y s, y el Sol forma 45 grados en la cabeza y en la cima, el ángulo que forma el Sol con el suelo en los 2 casos, tiene que ser de 45 grados; con lo cual, los tres ángulos son iguales.

–¡Toma. toma. toma! ¡Cómo mola! –Ven estaba entusiasmado.

–¿Y cómo podía Tales medir su sombra? –preguntó Sal receloso –Si se agachaba a medirla, ya no podía medirla… ¿Tenía un ayudante?

–Hay varias versiones –dijo Mati –Algunas hablan de que en realidad usó un bastón, pero hay otras que dicen que Tales pintó un círculo de radio su altura y se puso en el centro; cuando su sombra tocara el círculo, ya sabía que era tan larga como su altura.

–¡Es verdad! –Sal respiró tranquilo.

–¡Me encanta Tales! –gritó el pequeño saltando provocando que nuestro Anubis particular ladrara del susto.

–Pues no se vayan todavía, aún hay más –anunció cómicamente Mati.

–¿Qué más, Mati? –preguntó Sal intrigado.

–Pues, por ejemplo –anunció Mati –gracias a este teorema de Tales podemos dividir un segmento en el número de partes iguales que queramos. usando sólo regla y compás.

–¿¿Sí?? –preguntó el pequeño –¿¿Cómo??

–Ya veréis –dijo la pelirroja –pintamos un segmento en nuestro cuaderno, ¿en cuántas partes iguales queréis dividirlo?

–¡En 5! –gritó Ven.

 

–Bien –siguió ella –ahora pintamos otro segmento formando un ángulo, el que queramos, con el segmento AB. 

 

–¿Y ahora? –preguntó el gafotas.

–Ahora abrimos el compás, con la medida que queráis, y marcamos 5 veces sobre el segmento AC

 

 

–Ahora sólo tenemos que unir la última marca –les dijo Mati –con el extremo B

 

 

–…y trazar paralelas a ese segmento por las otras 4 marcas –terminó de decir Mati.

 

–¡Toma, toma, toma! –el pequeño Ven estaba emocionado.

–Sí que mola, Tales, sí –corroboró el gafotas.

–Otro día os enseñaré a conseguir oro con él… –anunció Mati misteriosa.

–¿¿Cómo?? –preguntaron los niños a la vez.

–Otro día…

 

 

¿Quién es Monty Hall? Un, dos , tres… responda otra vez

Puede que algunos de vosotros se pregunten quién es el tal Monty Hall que le da título a esta entrada; ese secreto lo voy a desvelar muy pronto.  Monty Hall es, entre otras cosas, un presentador de la televisión norteamericana que se hizo muy famoso con el programa Let’s make a deal, un programa con una dinámica muy similar a la de la fase de la subasta en nuestro popular Un, dos, tres… responda otra vez que contribuyó a la colonización de Torrevieja (Alicante).  A los de cierta edad no hace falta que les explique en qué consistía la fase de la subasta de Un, dos, tres y a los más jóvenes se lo explicaré en su debido tiempo: un poco más adelante. Ahora bien: ¿qué tiene que ver Monty Hall con un blog de matemáticas? Pues mucho más de lo que algunos pueden llegar a creer porque el nombre de  Hall aparece en casi todos los blogs de matemáticas tarde o temprano y eso que ese personaje nunca ha hecho matemáticas, ni nos consta ninguna aportación suya a dicha rama del saber. Sin embargo,  su nombre va asociado a una de las paradojas más llamativas de la probabilidad.

La probabilidad es una rama de las matemáticas con profundas relaciones con la estadística y la combinatoria y que siempre, desde sus comienzos con Pascal y Fermat a mediados del siglo XVII, ha estado muy ligada con la teoría de juegos. Los casos más simples de probabilidad son, realmente eso, simples. Por ejemplo, todo el mundo sabe que la probabilidad de obtener cara al tirar una moneda bien compensada es de ½ y que la probabilidad de que salgan dos veces caras si tiras la moneda dos veces es de ¼… Bueno, esto último no es del todo cierto. Me explico: esa probabilidad sí es ¼, pero no todo el mundo lo sabe: el 60% de los diputados británicos fallaron en dicha pregunta cuando le fue formulada.  No obstante existen casos que son relamente sorprendentes, uno de ellos es el conocido como problema de Monty Hall.

La idea del concurso consiste en lo siguiente: tenemos tres puertas cerradas, detrás una de las puertas hay un buen regalo (digamos un coche o el apartamento en Torrevieja) y en las otras dos hay muy malos regalos (una cabra en el programa norteamericano, una calabaza en el español), al concursante se le pide que escoja una de las tres puertas. Una vez escogida, el presentador (Monty Hall), que sabe dónde está el coche, abre una de las otras dos puertas, siempre una en la que no está el coche, con lo cual quedan dos puertas cerradas: la escogida inicialmente y una de las dos no escogidas. en ese momento se le da al concursante la opción de cambiarse ¿debería hacerlo?

Me gustaría que antes de seguir leyendo, el lector trate de llegar a una conclusión por si mismo.

¿Ya?

Seguimos. Intuitivamente se piensa que como son tres puertas, la probabilidad de que esté en cada una de ellas es ⅓, así que el cambiarse o no es indiferente, pero este razonamiento no es del todo correcto por cómo se ha llevado a cabo todo. Tratamos de explicarnos:

1) El concursante escoge una puerta (digamos la 1), la probabilidad de que el coche esté tras esa puerta es efectivamente ⅓, por lo tanto cuando el concursante escoge esa puerta, su probabilidad de ganar es de ⅓. La probabilidad de que el coche no esté tras esa puerta es de ⅔.

2) Al abrir el presentador una de las dos puertas restantes (una que siempre está no premiada), la probabilidad anterior no cambia ya que siempre al menos una de las dos puertas no escogidas no contiene al coche y el presentador tiene siempre la opción de escoger una puerta no premiada.

3) Si el coche no estaba en la puerta escogida inicialmente (recordemos que la probabilidad de que ello fuera así, tal y como dijimos en el punto 1, es de ⅔) , forzosamente ha de estar en la puerta no escogida que se ha quedado cerrada, por lo tanto, la probabilidad de que el coche esté en esta puerta es de ⅔.

Resumiendo: la probabilidad de ganar el coche si no se cambia de puerta es de ⅓, mientras que la probabilidad de ganar si se cambia de puerta es de ⅔: justo el doble.

Por si algún lector aun no está convencido, piénsese que en vez de tres puertas hay un millón, el concursante escoge una de las puertas y, por tanto, la probabilidad de acertar es de 1/1.000.000 y la probabilidad de que el coche esté en alguna de las otras puertas es de 999.999/1.000.000, pero si el presentador abre de esas 999.999 todas menos una, sabemos que el coche no está en ninguna de las abiertas, luego como la probabilidad de estar en la primera es 1/1.000.000, la probabilidad de estar en la única de las restantes que permanece cerrada es ese 999.999/1.000.000, luego evidentemente se ha de cambiar ¿no?

Ea, pues ya tenéis tema de conversación para el café de esta mañana, porque a algunos cuesta convencerlos 😉

P.S.: Qué angustia me daban siempre las cacho gafas que llevaban las azafatas del Un, dos, tres… Me pasaba todo el programa arrugando la nariz para que no se me cayesen las mías…

 

 

 

¡Más triángulos!

Anteriormente en Mati, una profesora muy particular

–¡Wow! –Sal estaba emocionado.

–Alucinante… –dijo Ven con los ojos brillantes.

–Lo es –admitió ella –Y todo gracias a un  Teorema de Tales.

–¿Qué es el teorema de Tales, Mati? –quiso saber Sal.

–Os lo cuento el próximo día –dijo ella –Y os enseñaré también más cositas con regla y compás.

–Vaya, parece que Mati hoy viene más tarde, Sal.

–¿Tienes tu regla y tu compás, Ven?

–Sí, claro –respondió el pequeño y añadió ilusionado –A ver  qué nos enseña hoy…

–El teorema de Tales, creo  –dijo el gafotas –Pero no estoy muy seguro de si se dice así…

–Pues sí, Sal –Mati acababa de llegar –Lo has dicho perfectamente, un teorema de Tales.

–¡Hola, Mati! –dijeron al unísono Sal y Ven, mientras Gauss se acercaba a las piernas de la recién llegada.

–¿Nos lo cuentas? –pidió Sal apresurado.

–Claro –respondió ella –Os contaré uno de los 2 teoremas de Tales.

–¿Sólo uno? –protestó Ven.

–Hoy uno –dijo la pelirroja –y otro día otro, ¿vale?

–Vale –terminó aceptando Ven.

–El teorema de Tales sobre triángulos semejantes–comenzó diciendo Mati –nos asegura que si dos rectas cualesquieras se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra.

–¿Qué son triángulos semejantes, Mati? ¿Que se parecen mucho?

–Más o menos, Ven –respondió Mati —Dos triángulos son semejantes si tienen los tres ángulos iguales.

–¡Ajá! –exclamó Ven–Entonces son exactamente iguales.

–No, Ven –le corrgió Mati –Pueden tener los mismos ángulos y ser de diferentes tamaños, mira:

–Estos 2 triángulos –continuó Mati –Tienen los 3 ángulos iguales y uno es mayor que el otro, ¿no?

–Imposible que tengan los mismos ángulos… –dijo Ven desconfiado.

–Ya verás –respondió ella –Podemos poner el ángulo A’ sobre A, el B’ sobre B y C’ sobre C, y coinciden.

–¡Toma! Es verdad –terminó aceptando el pequeño.

–Pues bien, como os decía, el teorema de Tales nos asegura que si dos rectas cualesquieras se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra. Vamos a verlo con un dibujo: dibujamos estas 3 rectas rojas paralelas y dos rectas negras que la cortan.

–Por el teorema de Tales, lo que sabemos es que si dividimos la longitud del segmento AB entre la longitud del segmento A’B’, obtendremos el mismo valor que al dividir la de BC entre B’C’ y que al dividir la del segmento AC entre la del A’C’.

–Y eso, ¿qué tiene que ver con triángulos semejantes? –preguntó Sal arrugando su naricilla.

–Si aplicamos este teorema a triángulos semejantes como los 2 que hemos visto antes –dijo Mati — Lo que tenemos es que los lados son proporcionales.

–Ya veo… –murmuró el gafotas.

–Y yo… –dijo Ven, aunque no parecía muy convencido.

–Por eso –continuó ella –cuando el otro día teníamos esta construcción

–…teníamos dos triángulos semejantes, unidos en el punto A –les dijo –Y el  resultado de dividir el lado verde, de longitud 8, entre la de el lado azul, de longitud 4, en el mayor de los dos triángulos, es igual al resultado de dividir el segmento AB entre el lado de longitud 1  en el menor de los dos triángulos.

–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! –dijo Ven.

–Ah, claro… –se asombró Sal.

–Además –les propuso la pelirroja –os propongo un pequeño truco  para que podáis explicar el Teorema de Tales a vuestros amiguitos…

–¡Venga! –interrumpió Ven.

–Necesitamos 4 hojas de colores –les dijo –Y las colocamos así

–Ahora –continuó –las cortamos según dos líneas, con la dirección que queramos…

–Si separamos las hojas –les dijo Mati –tendremos 4 triángulos diferentes, le ponemos nombre a sus ángulos.

–Sabemos que los ángulos marcado con las letra B1, B2, B3 y B4 son iguales porque estaban unidos por ahí, ¿no? –les preguntó.

Los niños asintieron con la cabeza.

–Pues bien, pedidle a vuestros amigos que pongan los triángulos uno encima de otro pegados por los ángulos A1, A2, A3 y A4 , ya veréis…

–¡Claro! ¡Son semejantes! –dijo Sal.

–Sí –corroboró la pelirroja –Y si los pegáis por los ángulos C1, C2, C3 y C, también.

–¡Cómo mola, Mati! –Sal estaba entusiasmado.

–Voy a buscar cartulina de colores –dijo Ven.

–Estupendo –añadió Mati –Otro día seguiremos hablando de Tales…