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Archivo de julio, 2012

Las Matemáticas son para el verano

Nos vamos de vacaciones, sí, todo el mes de Agosto. Ésta es,  por lo tanto, la última entrada en este blog hasta el mes de Septiembre. No, que no cunda el pánico, quedan muchas matemáticas en la red y siempre podéis repasar vuestras entradas de Mati, una profesora muy particular favoritas…

Pero antes de irnos de vacaciones y suponiendo que estáis leyendo esto porque os atraen las matemáticas (gracias por la parte que me toca 😉 ), hemos decidido en esta entrada recomendar algunos blogs de Matemáticas que, si no conocéis, os servirán para seguir descubriendo y disfrutando de esta disciplina de suprema belleza.

Bueno, antes de hablar de blogs de otros autores, permitidme que os hable de nuestro otro blog, Mati y sus mateaventuras, que fue, al resultar ganador de los premios 20Blogs, el que nos trajo hasta esta ventana de 20minutos. En Mati y sus mateventuras podréis encontrar cuentos para niños (y no tan niños) en los que se exploran temas matemáticos, a distintos niveles. Desde que cumpliera un año, hemos decidido ampliar horizontes y ahora tambień tenemos entradas de Física y Astronomía, gracias a la colaboración de los autores de los blogs Cuentos Cuánticos y Los Pilares de La Ciencia… ¡hasta hemos dedicado una mateaventura a explicar el bosón de Higgs!

Ahora sí, voy a empezar por mi blog favorito de matemáticas (espero que nadie se enfade por esto): Gaussianos. En cierto sentido, es uno de los responsables de que yo esté escribiendo ahora estas líneas. Fue uno de los primero que descubrí y me fascinó, y me fascina, la capacidad de su autor para divulgar matemáticas a distintos niveles. En Gaussianos podéis encontrar de todo, desde citas, anécdotas, chistes, vídeos, historia de las matemáticas, retos (unos más fáciles, otros no tantos) hasta demostraciones elegantes y brillantes de resultados conocidos. En una conferencia que el autor dio en la Universidad de Sevilla le regañé, cariñosamente, por no incluir en su blog temas de Geometría Computacional, área en la que centro mi investigación y ^DiAmOnD^ se arriesgó y me invitó a contar de qué iba eso en esta  colaboración, os la dejo por si os mata la curiosidad…

Otro bloguero incansable en la tarea de hacer llegar las matemáticas a cada vez más personas y mostrarles su belleza es nuestro amigo Tito Eliatron. En su casa podéis encontrar todo lo que Tito encuentra por el mundo, tanto el 1.0 como el 2.0, que están llenas de matemáticas y nos las explica claritas y con un toque de humor, ¿por qué no? Una de mis entradas favoritas de este año ha sido ésta

 Soy matemático porque no veo árboles ni nubes, veo fractales.

Tito eliatron

Y no sólo en su blog, también Tito Eliatron es el motor del Carnaval de Matemáticas. Desde la página del Carnaval  podréis acceder a casi todos los blogs en habla hispana que dedican sus entradas a la divulgación de esta disciplina. Y si os animáis, podéis participar escribiendo sobre mates en vuestros blogs 🙂

Pero si tu interés por las matemáticas está incrementado por el hecho de que eres profesor de la materia no debes perderte el blog de Matemáticas interactivas y manipulativas. Sí, yo también querría que ellos fueran los profesores de mis hijos, lástima que el señor Wert y otros como él no vean estos trabajos de los profesores de la enseñanza pública…

Más profesores de nuestra enseñanza pública que nos ayudan a la difusión de la disciplina: Los matemáticos nos son gente seria,  Matemático en el instituto, TocamatesAlgo más que números… son muchos los profesionales del área que dedican parte de su tiempo libre a divulgar y ayudar a otros compañeros y/o las familias. Podéis encontrar muchos más, como he mencionado, a partir de la página del Carnaval o de su perfil en Facebook. También en este apartado os recomiendo el blog de Sangakoo

Y si lo que os apetece es ver cómo la matemática se convierte en arte, no podéis perderos Juegos topológicos, el canal de vídeo de George Hart o el blog de su hija,  Vi Hart.

Seguro que olvido algún blog interesante, pero es lo que tiene el calor, que nos atonta, aún más… Así que os voy a pedir un favor, si detectáis una ausencia imperdonable en la lista, por favor, dejadnos el enlace en los comentarios ¡Gracias!

 

Y nada más, por ahora. Volvemos en Septiembre. Esperamos que nos echéis tanto de menos que esteis por aquí, ansiosos,  esperando más mates 😉

 

 

Lo primero es lo primero…

(Fue esta publicación en Google+ la que nos animó a escribir esta entrada, tengo que decir que estupefactas ante las respuestas a la pregunta planteada. No se trata de saber matemáticas, se trata de anumerismo, y el anumerismo también es incultura.)

–Sale 4, Ven.

–Depende Sal, depende de lo cómo lo hagas –respondió el pequeño.

–Pero es que sólo una forma de hacerlo, Ven –repuso el gafotas –Antes que nada, las multiplicaciones y las divisiones…

–Pero, ¿qué divisiones Sal? –se quejó el pequeño –¡No hay ninguna división! Estás obsesionado con las divisiones…

–A ver, chicos, ¿qué os pasa? –intervino Mati.

–Mati, ¿a qué lo primero es multiplicar y dividir?

–Bueno, Sal –dijo la pelirroja –Si no hay ni potencias ni paréntesis…

–¡No hay nada de eso! –Ven estaba enfadándose e hinchando sus carrillos –Ni divisiones…

–En ese caso –intervino Mati sonriendo al pequeño Ven –lo primero que tenemos que hacer es la multiplicación ¿queréis que os preste mi cuaderno para poder llevarnos las operaciones que hacéis?

–Vale –dijo Ven deshinchando sus mofletes y dispuesto a copiar la operación en el cuaderno de Mati –3 por 0 es 0, eso lo sabe cualquiera… Ya sólo queda 7 menos 4… 3. Más 1… 4. Sale 4 Mati.

–Ésta era muy fácil, ¡otra! –gritó Ven muy alegre –¡Ahora con todas las cosas Mati!

–¡Allá vamos! –dijo Mati graciosamente mientras proponía una operación en el cuaderno.

–¡Hala, Mati, te has pasado! –dijo el pequeño.

–¿Qué hacemos primero, Mati? –preguntó Sal ansioso.

–Me alegro de que me hagas esa pregunta Sal –respondió la gafotas haciéndose la interesante –Porque esto me permitirá explicaros la jerarquía de las operaciones.

–¿La qué? –preguntó Ven sorprendido.

–La jerarquía, el orden en el que hay que realizar las operaciones –respondió ella –Vamos a escribirla para que no se nos olvide.

–¿Corchetes? ¿Hay corchetes en las operaciones? –preguntó Ven divertido –Yo creía que sólo había corchetes en la ropa de los bebés…

–No, no son ésos, Ven –dijo Mati –Aparte de los corchetes de la ropa, un corchete puede ser un utensilio de madera con unos dientes de hierro en el que los carpinteros sujetan la pieza que trabajan, o incluso, antiguamente, una especie de policía que detenían a los delincuentes.

–¿Un policía Mati? –Sal parecía sorprendido.

–Sí –confirmo ésta –Siempre me acuerdo de una jácara, un poema gracioso, de nuestro escritor  Quevedo que decía

A la sombra de un corchete

vivo en aqueste lugar,

que es para los delincuentes

árbol que puede asombrar

–¿Cómo puede asombrarte un árbol Mati? –Ven parecía desconfiado.

–En esta jácara, el verbo asombrar –dijo Mati con un guiño –se refiere a hacer sombra.

–¡Mola! –dio el pequeño –Asombrar es una palabra polisémica y corchete también.

–Y llave, ¿no, Mati? –añadió el gafotas –Porque esas llaves que aparecen en tu jerarquía junto a los corchetes, no son para abrir puertas, ¿verdad?

–No –contestó ella sonriendo –Las llaves que aparecen en la jerarquía, igual que los corchetes, son signos que se usan para agrupar, como los paréntesis. Pero las llaves y los corchetes cada vez se usan menos para agrupar operaciones…

–¿Cómo son las llaves Mati? –quiso saber Ven –¿y los corchetes?

Mati los dibujó para ellos

 

–Vamos chicos –propuso la pelirroja –¿Os atrevéis?

–¡Sí! –respondieron al unísono y se pusieron manos a la obra.

–Primero, los paréntesis, Sal –propuso Ven.

 

–Ahora las potencias Ven –dijo el gafotas –No hay raíces…

 

–Es el turno de los productos –dijo el pequeño –porque no hay divisiones… ¡Y ya podemos sumar y restar!

 

–¿Está bien, Mati? –preguntó Sal.

–Perfecto –dijo ésta.

–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! –Ven estaba entusiasmado –¡Otra!

Mati les propuso la siguiente:

 

–¡Qué lío Mati! –se quejó Ven –¿Por dónde empezamos?

–Por los paréntesis más interiores –dijo la gafotas –y dentro de cada paréntesis, aplicamos la jerarquía.

–Así que en el paréntesis de la izquierda primero la potencia, luego la división y después la suma… –decía Sal en voz baja.

 

–Y en el otro… -decía Ven –Primero el producto y luego la suma.

–Eso es –dijo Mati –Y ya tenéis resuelto esos paréntesis.

 

–Eso ya es muy fácil, Mati –dijo Sal muy emocionado –El paréntesis de la izquierda da 10 menos 5, 5; y el paréntesis de la derecha 10 menos 11, que es -1, si lo hacemos con los saltitos como tú nos enseñaste… Nos queda 5 por -1, que es -5, poruqe si los signos son distintos sale negativo…

 

–¡Toma, Sal! –dijo Ven entusiasmado –¡Somos unos cracks!

–Sí, lo sois –dijo Mati con una sonrisa –A ver ésta…

 

–¡Halaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa!¡Mati! –dijo Ven con los ojos como platos.

–Se me ocurre una cosa –propuso la pelirroja –Ésta operación se la dejaremos a nuestros amigos lectores para que nos digan cuánto sale y nosotros nos vamos de vacaciones hasta el 5 de Septiembre, ¿qué os parece?

–¡Bien, bien! –dijo Sal –¡Vacaciones!

–Bueno, yo me quedaré hasta el lunes 30 –dijo Mati –para despedirme de todos los que no hayan podido venir hoy 😉

 

Hemos usado la media por encima de nuestras posibilidades

Últimamente estamos siendo bombardeados, con datos por ahora. Cifras de paro, de dinero que desaparece bajo la atenta mirada incluso de miembros de nuestra realeza o de nuestros mejores ex-ministros de Economía, impuestos que suben, sueldos que bajan, recortes en sanidad, educación, ciencia… No me río  más en estos días  porque no soy diputada del PP…

Pues bien, ante casi cualquier ocasión que se manejen datos, alguien acaba realizando la media aritmética de dichos datos para dar una información relevante acerca de ellos. Sin embargo, en muchas ocasiones, la media aritmética no es adecuada en absoluto. Voy a dar algunos ejemplos reales como la vida misma.

He asistido a varias reuniones en las que el director de una escuela técnica argumentaba que la carrera que en ella se impartía no era de tres años sino de ocho porque esa es la media de lo que tardaban los alumnos en terminarla. Al margen de que no acabo de entender por qué se tenía que vanagloriar de las dificultades que se encontraban los alumnos en su centro, nunca le he visto yo la gracia a este tipo de cosas, resulta que estaba utilizando la media para algo que no es relevante en absoluto. Se puede ver con un ejemplo muy simple (y algo simplista). Si 5 alumnos terminan sus estudios de esa carrera en 3, 4, 4, 4 y 20 años (este último igual los abandonó durante un tiempo o se dedicó a ellos con poco interés por las razones que sean), resulta que la media entre los 5 es de 7 años. Pero este dato es poco representativo ya que todos salvo uno terminaron sus estudios en 4 años o menos. En este caso, sería mucho más descriptivo (estamos hablando de una disciplina llamada Estadística Descriptiva)  utilizar la mediana (o percentil 50) que es el valor central de todos los valores que tenemos, con lo cual no influye nada que el que más tarde sea 10, 20 o 50 años. En nuestros ejemplo, la mediana, el valor que está en el centro si los ordenamos de menor a mayor,  es  4. Así, si la mediana en acabar una carrera es de cuatro años, esto significa que si entran cien alumnos a esa titulación, en cuatro años al menos cincuenta de ellos tendrán terminados sus estudios; por lo menos, todos los anteriores al valor central en esa lista en esa lista. Por ejemplo, si tenemos trece alumnos que tardaron, respectivamente, los años que aparecen en la lista siguiente ordenados de menor a mayor

3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 7, 20, 30

Si calculamos la media aritmética de los datos anteriores tendríamos que la media para finalizar estudios es de 7 años, mientras que la mediana, que sería el valor en la posición 7 (el central) es de 4 años. Creo que queda claro que la segunda medida es más descriptiva puesto que 10 de los estudiantes finalizaron sus estudios en 4 años o menos, ¿no?

El error anterior es porque se suele confundir media con valor central en muchas ocasiones, sin considerar cuántos elementos están por encima de la media (o cuántos por debajo). Por ejemplo, la media de piernas en la humanidad, el número de piernas por humano, es estrictamente inferior a 2. Por lo tanto, ¿podemos considerar una anomalía que todos los miembros de mi familia estén por encima de la media en número de piernas? Evidentemente no, es más, en este ejemplo se suele considerar como nada deseable estar por debajo de la media y absolutamente normal estar por encima de la media.

Pero existen otros malos usos de la media aritmética que son más preocupantes porque producen resultados totalmente erróneos. Un ejemplo muy simple sobre subida de precios: supongamos que en 3 años los precios de cierto producto han subido un 10%, un 20% y un 30% ¿Cuánto han subido en promedio? Todos entendemos que en promedio se refiere a qué mismo porcentaje tendría que haber subido cada año (cada año el mismo porcentaje) para obtener al cabo de los tres años el mismo precio. Obsérvese que para obtener el precio del primer año (tras una subida del 10%), tenemos que multiplicar por 1,1 el precio inicial. Al precio así obtenido tenemos que multiplicarlo por 1,2 (subida del 20%) para obtener el precio tras el segundo año. Y a dicho precio hemos de multiplicarlo por 1,3 (subida del 30%) para obtener el precio final. Así si el precio inicial es 100, el resultado final será:

100 x (1,1) x (1,2) x (1,3) = 171,6

Sin embargo, si consideramos la media aritmética de 10%, 20% y 30% (o de 1.1, 1.2 y 1.3) obtenemos un porcentaje del 20% (o multiplicar por 1.2), pero si aplicamos esa subida del 20% cada año, el resultado que obtenemos será:

100 x (1,2) x (1,2) x (1,2) = 172,8

Así que no tiene sentido proporcionar la media aritmética para calcular la subida anual promediada de los precios de un artículo. En este caso tendríamos que haber calculado la media geométrica de los tres números 1.1, 1.2 y 1,3 (la media geométrica de dos número es la raíz cuadrada del producto de dichos números, de tres números la raíz cúbica del producto, de cuatro números la raíz cuarta del producto y así sucesivamente). La raíz cúbica del producto de esos tres números es 1,19721577

Efectivamente si aplicamos cada año una subida del 19,721577 % obtenemos:

100 x (1,19721577) x (1,19721577) x (1,19721577) =171,6

que es el resultado correcto.

 

Espero haberos convencido de que la media no es siempre una medida representativa de los datos que estamos analizando. Hemos visto dos medidas que son mejores en según qué situaciones, la mediana o la media geométrica.

Siempre, claro está, que queramos ser fieles a la verdad y dar información lo más cercana posible a la realidad, porque lo creáis o no, hay gente que sigue tratando de manipularnos por encima de sus posibilidades…

¡Con sólo 5 tablas!

(Basado en un hecho real)

–¿Cuánto es 6 por 7, Ven? –preguntó Sal.

–Espera, voy a buscar las conchitas –respondió el pequeño.

Ven dibujó 7 círculos en la arena y puso 6 conchas en cada uno de ellos bajo la atenta mirada de Gauss o, al menos, eso parecía, porque con las gafas tan modernas que llevaba la mascota uno no podía estar muy seguro de hacia dónde estaba mirando. Mati seguía ensimismada en la lectura de un libro sobre una sociedad literaria y un pastel de piel de patata.

–38, 39, 40… –Ven contaba despacio para no equivocarse.

–Pero bueno, Sal –la pelirroja volvió de su viaje por Guernsey –¿aún no te sabes las tablas de multiplicar? ¿Se te han olvidado con el calor?

–Pero, Mati –respondió el gafotas –yo tengo un método con el que no hace falta saber la tabla del 6 para nada…

–Ya, ya lo he oído –respondió ésta –Basta con pedirle a Ven que lo calcule con conchitas, ¿no?

Sal se rio a carcajadas haciendo temblar sus gafotas sobre la nariz, Ven se enfadó porque había perdido la cuenta…

–No, no es ése Mati –acabó diciendo Sal muerto de la risa –Es otro, de verdad.

–¿Sí? –preguntó Mati mirando con fingida desconfianza a su amiguito.

–Sí, de verdad –respondió éste –Con mi método sólo hace falta saber las tablas del 1 al 5.

–¿Sólo 5 tablas? –preguntó Ven que había olvidado las conchitas por un momento.

–Sí –corroboró su hermano –Si te sabes las tablas del 1 al 5, sabes las tablas del 1 al 10.

–¿¿Cómo?? –preguntó el pequeño mirando a su hermano con absoluta devoción.

–A ver, Ven. dime una multiplicación de números más grandes que 5.

–¡8 por 4! –dijo inmediatamente Ven.

–Ven, eso es 4 por 8, y está en la tabla del 4 –dijo Sal.

–Efectivamente –confirmó Mati –8 por 4 es lo mismo que 4 por 8, gracias a la propiedad conmutativa del producto.

–Y porque el orden de los factores no altera el producto, ¿no, Mati? –preguntó el gafotas.

–Esa es otra forma de expresar la propiedad conmutativa, sí –dijo ella.

–¡8 por 7! –dijo el pequeño de nuevo.

–Muy bien –dijo Sal –Ahora elegimos al mayor de los 2, el 8, y lo escribimos como (10 -2).

 

 

–Ahora tienes que multiplicar 7 por 10 –continuó el gafotas –pero eso es muy fácil, sólo tienes que ponerle un 0 detrás al 7; después 7 por 2, que también te lo sabes, porque te sabes la tabla del 2 y restarlos.

 

–¿Puedo hacer yo la resta con llevadas como nos enseñó Mati? –preguntó Ven excitado.

–Claro, Ven –respondió el gafotas.

El pequeño se puso manos a la obra…

 

–¡56! –dijo Ven con una sonrisa de oreja a oreja –¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! ¡Sal eres el más mejor!

–¡Muy bien! –dijo Mati sorprendida –Es una buena aplicación de la propiedad distributiva del producto respecto a la suma.

–¿Cómo, Mati? –preguntó Sal sorprendido.

Mati escribió en su libreta y les explicó:

–Si tienes que multiplicar una suma por un número, puedes sumar primero y multiplicar después, o multiplicar el número por cada uno de los sumandos y después sumar los resultado.

–Ah, ahora lo entiendo, Mati –dijo el gafotas –Eso si lo sabía, lo que no sabía era el nombre.

–¿Y ahora qué hacemos con las conchitas? –preguntó Ven –¿Jugamos a las triangulaciones?

Julio es un buen mes para una revolución…

La libertad guiando al pueblo en Julio de 1830

Había una vez un gobierno absolutista que gobernaba sólo para los más ricos y para el clero;  un rey Borbón que insultaba constantemente a los demócratas de su país; leyes que indemnizaban a los ricos por sus pérdidas pero que iban condenando al pueblo a perder lo que habían conseguido: libertad, igualdad…ya saben…

Cuentan que un consejo de ministros, presidido por el Borbón, aprobó en julio una serie de decretos que afianzaban la crueldad del gobierno… Cuentan que el pueblo se cansó, encolerizó viendo como unos pocos, muy pocos comparados con ellos, intentaban abolir y suprimir todo su bienestar social… Cuentan que aquel mes de julio hubo una gran revolución…

Efectivamente, hablo de la Revolución de Julio. Fue en Francia y fue en 1830. Eran otros tiempos…

La libertad, ese ruiseñor con voz de gigante, despierta a los que duermen más profundamente… ¿Cómo es posible pensar hoy en algo, excepto en luchar por ella? Quienes no pueden amar a la humanidad todavía pueden, sin embargo, ser grandes como tiranos. Pero ¿cómo puede uno ser indiferente?

Ludwig Boerne, 14 de febrero de 1831

¿Que por qué me acuerdo hoy de esto? Pues está claro, porque entre los revolucionarios de aquel mes de Julio tan lejano estaba Évariste Galois, matemático francés que a pesar de su corta vida, murió a los 20 años, dejó tras de sí una contribución fundamental en varias ramas de las Matemáticas: la Teoría de Galois ¿Qué otra cosa si no me iba a recordar una revolución en pleno mes de julio?

Aunque no se conocen con exactitud los detalles que rodean la muerte de Galois, parece que no murió por su carácter rebelde, antieclesiástico y antimonárquico. No. Eso le sirvió para ser expulsado de la École Normale Supérieure y para pasar unos mesesitos a la sombra. Galois murió en un duelo, todo muy romántico como corresponde a un buen matemático, al que asistió una mañana de mayo de 1832, sabiendo que iba a morir, puesto que, según parece, enfrente estaría un oficial, republicano como él, con fama de ser un gran tirador. Pobre Évariste… ¿Fue un duelo por amor? Tampoco se puede afirmar con rotundidad porque aquella noche, consciente de que era su última noche, Galois escribió tres cartas. En una de ellas, a dos amigos suyos:

París, 29 de mayo de 1832

Mis buenos amigos,

He sido provocado por dos patriotas. … Me ha sido imposible rehusarme. Les pido perdón por no haberles advertido a ninguno de ustedes. Pero mis adversarios me hicieron prometer por mi honor el no prevenir a ningún patriota. Su tarea es muy simple: demostrar que me he batido a pesar de mí es decir, después de haber agotado todos los medios que cabían, y decir si soy capaz de mentir, mentir, incluso por las cosas más triviales.

Guarden mi recuerdo, ya que la suerte no me ha dado suficiente vida para que la patria sepa mi nombre.

Muero, su amigo,

E. GALOIS

Esto podría inducir a pensar que fueron motivos simplemente políticos los que llevaron al joven matemático francés aquella mañana al estanque cercano a la Rue de la Glacière a encontrar la muerte. Pero en otra de las cartas que escribió, ésta a sus compañeros republicanos, el joven Galois decía:

París, 29 de mayo de 1832

Ruego a los patriotas, amigos míos no me reprochen por morir de otra manera que por el país. Muero víctima de una infame coqueta y dos incautos. Es dentro de una calumnia insignificante que se extingue mi vida.

¡Oh! ¡Por qué morir por tan poca cosa, morir por algo tan despreciable!

Pongo al cielo por testigo de que fue constreñido y forzado que cedí a una provocación que traté de evitar por todos los medios.

Me arrepiento de haber dicho una verdad odiosa a hombres tan poco capaces de escucharla con serenidad.

Pero al final dije la verdad. Llevo a la tumba una conciencia libre de mentira, libre de sangre patriota.

Me hubiera gustado dar mi vida por el bien público.

Perdón para aquellos que me mataron, son de buena fe.

E. Galois

Esa infame coqueta, según se ha podido descubrir a partir de unas cartas encontradas a Galois, pudo ser Stéphanie-Félicie Poterin du Motel, hija del médico que regentaba la pensión en la que se alojaba nuestro protagonista. Hay quien  señala que ella tenía novio y que fue su novio el oficial que acabó con la vida de Évariste…¿quién sabe? No es pequeña la controversia alrededor de la muerte de este matemático rebelde y romántico.

Pero había una tercera carta que es la responsable de que hoy estemos hablando de Évariste Galois, la carta que escribió a Will-Auguste Chevalier, pidiéndole que mostrase sus trabajos a Gauss y Jacobi, los únicos matemáticos que según Galois podrían entenderlos, una carta testamento que daría lugar a la Teoría de Galois.

Vamos a intentar explicar algo de este trabajo.

Resolver ecuaciones ha sido y es fundamental para todas las ciencias o tecnologías. Todos los estudiantes se enfrentan a las ecuaciones de primer grado y, posteriormente, a las de segundo grado. Y todos han de saber que las soluciones de la ecuación (de segundo grado) se expresan en la fórmula:

¿Y si en vez de una ecuación de segundo grado tratamos de resolver una ecuación de tercer, de cuarto grado? Pues desde el siglo XVI se conocen soluciones a este tipo de ecuaciones (naturalmente necesitan, en su expresión raíces cúbicas o cuartas).

Aquí una pequeña digresión: en un libro muy recomendable A history of pi de Petr Beckmann (ignoro si existe traducción al castellano) se cuenta que cincuenta años antes de que el italiano Cardano publicara la solución a la ecuación de cuarto grado en 1545, un español Pablo (o Paolo) Valmes había encontrado dicha solución y por ello fue condenado a morir en la hoguera por el Inquisidor General Tomás de Torquemada ya que:

Es el deseo de Dios que esa solución sea inaccesible al entendimiento humano.

Bien es verdad que dicha historia no ha podido ser corroborada por otros investigadores, por lo que la dejaremos sólo en una curiosa (y representativa) leyenda. Volvamos a las ecuaciones, que me despisto y me enfado…

Como ya se ha dicho, se sabía cómo resolver las ecuaciones hasta grado cuarto desde el siglo XVI, pero las de grado cinco o superior se resistían. Hasta  1824, en este año,  Abel demostró que existen ecuaciones de grado mayor o igual a cinco que no se podían resolver mediante una fórmula que envolviera a los coeficientes de la ecuación ligados por operaciones algebraicas como suma, producto, división o raíces (de cualquier grado), lo que técnicamente se conoce resolver una ecuación por radicales. Sin embargo, otras ecuaciones sí que podían ser resueltas por ese método. Aquí es donde aparece la teoría de Galois que consigue, entre otras cosas, determinar exactamente qué ecuaciones pueden ser resueltas por radicales.

Dentro de la teoría de ecuaciones, he investigado bajo qué condiciones las ecuaciones son resolubles por radicales: esto me ha da dado la ocasión de profundizar esta teoría y de describir todas las transformaciones sobre una ecuación, aún si no es soluble por radicales. 

Carta de E. Galois a su amigo Chevalier

Se refiere a otros radicales, no a los jóvenes que como él se revelaban contra la autoridad ante la injusticia…

Pero  la teoría de Galois también puede ser utilizada para determinar qué construcciones pueden ser llevadas a cabo con regla y compás: un problema de geometría que se remonta a la Grecia clásica. Por ejemplo, con la teoría de Galois se puede probar que el problema de la trisección del ángulo (dividir un ángulo cualquiera en tres ángulos iguales) no puede resolverse usando sólo regla y compás.

De mis tiempos de estudiante en la facultad de Matemáticas recuerdo el comentario jocoso, y con mucha mala leche, de “menos mal que lo mataron, si no, no aprobaríamos nunca la teoría de grupos” Evidentemente, entonces y ahora, lamento la muerte de este  ilustre matemático que con 20 años ya fue capaz de elaborar toda una teoría con tanta trascendencia en las Matemáticas, la Física, la Informática… Pero también en estos días, no puedo evitar añorar el espíritu revolucionario y la valentía  de aquel estudiante que participó activamente en la revolución de su pueblo contra un gobierno de unos pocos que les oprimía y que cuando estaba a punto de morir, tras el citado duelo, dijo a su hermano Alfred:

No llores, necesito de todo mi coraje para morir a los veinte años.

En fin… como también escribió Évariste la noche antes de morir:

Después de esto habrá, espero, gentes que encontrarán provechoso descifrar todo este lío.

Él hablaba de ecuaciones…

¿Cuánto os estáis llevando… restando?

–Y te llevas 1, Ven.

–No, no me llevo ninguna, le presto 10 al 1 ¿ves, Sal? –dio el pequeño –El 9 se queda en 8 y ya se puede hacer.

–Que no, Ven –insistió Sal –Que la decena que le prestas al 1, te la llevas y se la regalas al 7…

–Pero, a ver… ¿cuántos os estáis llevando? –era Mati quien acababa de entrar –¿Otra vez jugando a los banqueros?

 

–¡Hola Mati! –saludaron los dos hermanos.

–Hola chicos, ¿en qué estáis?

–Estamos haciendo una resta con llevada –dijo el gafotas –y no nos ponemos de acuerdo… Ven las hace de una forma muy rara…

–Rara, no –protestó el pequeño –Me la ha enseñado mi seño y he sacado muy buena nota en Mates.

–Bueno –intervino la pelirroja –Puede haber varias formas diferentes de hacer una resta con llevadas, distintos algoritmos…

–¿Distintos qué? –preguntó Ven con la cara arrugada como una pasa.

–Distintos algoritmos –repitió ella.

–¿Qué es un algoritmo, Mati? –preguntó Sal mientras se ajustaba las gafotas.

–Un algoritmo es como una receta de cocina –empezó diciendo Mati —Una lista de instrucciones que si se siguen ordenadamente, nos permiten realizar algo, por ejemplo, una resta con llevada.

–Me encanta cocinar –dijo Ven — y restar –concluyó con una enorme sonrisa.

–¿Me explicas tu algoritmo para la resta con llevada, Ven? –le pidió Mati –¿Qué resta estabais haciendo?

–91 menos 78 –dio Ven –Como encima del 8 hay un número más pequeño, el 1, éste le pide prestada una decena al número que está a la izquierda de él, que es el 9, que se convierte en 8, y ya se puede hacer la resta.

–Ese algoritmo es perfecto, Ven –dijo Mati –¿Cuál es el problema, Sal?

–Pues que yo no lo hago así –dijo éste –Yo le daría la decena al 1 y una unidad al 7, que es el que está a la izquierda del 8…

–También es correcto tu algoritmo, Sal –dijo la pelirroja.

–¿Cuál es mejor, Mati? –preguntó el pequeño.

–El que  a cada uno le resulte más fácil –respondió ella sonriendo –¿Os cuento otro?

–¿¿Otro?? –preguntó Ven con los ojos como platos –¡Vale!

–Vamos a hacer un pequeño truco –propuso la gafotas con voz misteriosa –¿Cuál es el número mayor de la resta, el minuendo?

–91 –dijo Sal casi en un susurro.

–Bien, como tiene dos cifras –continuó ella –Para nuestro siguiente truco usaremos un número auxiliar, el 100, un 1 y 2 ceros (por las 2 cifras de 91), o como decimos los matemáticos, 10 elevado a 2, que es 100.

–¿Para que quieres el 100 Mati? –preguntó misterioso y en voz baja Ven.

–Para hacer esto, ya verás…

 

 

–Pues, vaya, rollo Mati –protestó Ven –ahora tenemos una cuenta más difícil…

–Espera, cielo –dijo ésta –Vamos a hacerlas por trocitos y despacio. Primero Vamos a calcular 100 menos el sustraendo. 78. Pero eso es muy fácil: empezamos por el número de la derecha, el 8, y miramos cuánto le falta hasta 10, y al resto de los números a la izquierda, en este caso sólo está el 7, cuánto le falta hasta 9.

 

–Ahora –dijo Mati –sólo nos queda sumar 91 más 22 y restarle 100, pero restarle 100 es sólo borrar el uno que aparecerá en la posición de las centenas… y ¡tachán!

–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! –Ven saltaba de emoción.

–¡Me encanta tu algoritmo para la resta con llevada Mati! –gritó Sal –¿Puedo hacer yo una resta con él?

–Claro, cielo –respondió ésta.

–4321 menos 1456 –propuso el pequeño.

–¡Ahí estamos! –dijo Sal.

Paso 1: Buscar el número auxiliar que vamos a usar –dijo Mati.

–10000 –respondió el gafotas –porque el minuendo, 4321, tiene 4 cifras, necesitamos un 1 y 4 ceros.

–Eso es… –añadió Mati.

Paso 2: Completar el sustraendo hasta el número auxiliar, o sea, 10000 –continuó el gafotas –Esto lo hacemos completando la cifra de las unidades, 6, hasta 10 y las otras hasta 9…

 

Paso 3: sumar el resultado al minuendo que era… 4321 –Sal seguía bajo la mirada atenta y de admiración de su hermano.

 

–¡Paso 4: Borrar el primer 1! –gritó Ven –¡Qué chulada!

 

–¡Muy bien, chicos! –Mati sonreía orgullosa.

–¡Me encantan los algoritmos! ¡Me encantan los algoritmos! –Ven saltaba abrazado a Gauss.

–Ya veis –concluyó ésta –Hay varias formas de hacer una misma cosa, lo importante es hacerla y hacerla ordenadamente y bien.

–Hablando de ordenar, Ven –dijo Sal –tenemos que ordenar los juguetes de nuestro cuarto.

–Vamos, chicos, –dijo la pelirroja —os echo una mano y os invito a un helado después.

 

¿Dónde estabas y qué hacías cuando anunciaron que habían encontrado el Higgs?

Pues sí. Entre tanta mala noticia y el desánimo general, estos días hemos tenido la suerte de ser testigos de uno de los acontecimientos científicos más importantes de los últimos tiempos: los portavoces de los experimentos ATLAS y CMS anunciaban el descubrimiento de una nueva partícula compatible con el buscado bosón de Higgs, con una probabilidad del 99,999994%

I think we have it

Rolf Heuer

Peter Higgs

Que sí, que no es 100% pero  la comunidad científica lo considera como certeza, y no como otras comunidades que aceptan la existencia de otras cosas casi sin… bueno, que me desvío…

El caso es que unidos a la muerte de JFK, el alunizaje del Apolo 11, nuestro 23 F, el ataque a las Torres Gemelas o incluso nuestra flamante copa del mundo de fútbol, puede que alguien nos pregunte también:

“¿Dónde estabas y qué hacías cuando anunciaron que habían encontrado el Higgs?”

Sobre Higgs y su partícula se han escrito estos días miles y miles de líneas, como era de esperar ante tamaño acontecimiento. Por esa razón y porque no soy experta en el tema, esta entrada no va sobre el experimento del Laboratorio Europeo de Físca de Partículas (CERN). Pero entre todas las informaciones, reacciones y comentarios que hemos podido escuchar estos días, no faltan los que apuntan a Peter Higgs como futuro premio Nobel de Física, entre ellos Stephen Hawking. Ya nos enteraremos…

Lo que es seguro es que a mí nunca me darán el Nobel de Matemáticas por varias razones. Una de ellas es porque no existe el premio Nobel de Matemáticas.

Recuerdo cuando era jovencita, un poco más joven que ahora, y mi profesor de Análisis de Variable Compleja en 4º curso de Matemáticas nos presentaba el teorema de Mittag-Leffler sobre  funciones meromorfas,  polos y tal. No os voy a contar el teorema, tranquilos, pero tras enunciar el citado resultado en la pizarra, nuestro profesor se dirigió a nosotros y nos dijo “Por culpa de este señor, no me dieron el premio Nobel de Matemáticas”. Yo me quedé muy apenada, tengo que reconocer que sentía cierta debilidad por mi profesor de variable compleja y que era (y sigo siendo) bastante ingenua y despistada. Fue entonces cuando nos contó lo que luego descubrí que era una leyenda urbana muy conocida: que Gösta Mittag-Leffler había molestado a Alfred Nobel teniendo algo que ver con la mujer del segundo.

Alfred Nobel

Eso es falso también por varias razones, la primera porque Nobel nunca se casó. Su amor más duradero (18 años) fue Sophie Hess, pero no hay evidencias de que ella y Mittag-Leffler se llegaran a conocer. Y hablando de amores de Don Alfred, también hay quien apunta que fue otro de los amores de su vida, Bertha von Suttner el que lo inspiró a dotar un premio Nobel para la Paz. De hecho, fue la primera muer que consiguió tal galardón.

Pero volvamos a las Matemáticas, si no fue por asuntos amorosos, ¿por qué Nobel no incluyó un premio para esta disciplina? Muchas son las teorías y algunas de ellas siguen señalando a Mittag Leffler como responsable. Aunque es poco probable que estos dos caballeros interactuaran mucho, puesto que Nobel emigró de Suecia en 1865 y en esa época Mittag Leffler era un estudiante, hay quien señala que hubo alguno enfrentamientos entre ellos, por ejemplo, cuando el matemático propuso a la matemática Sofia Kovalévskaya como profesora de la Universidad de Estocolmo y Nobel se negó. A pesar de eso, Kovalévskaya lo consiguió convirtiéndose, así, en la primera mujer europea que conseguía una plaza de profesora universitaria en Europa aportando importantes contribuciones en Análisis, Ecuaciones Diferenciales y Mecánica. Yo no quiero malmeter… todo esto son conjeturas… pero de nuevo hay una mujer por medio…hay que reconocer que Mittag Leffler era muy guapetón.

Tonterías aparte, sea por lo que fuera, son muchos los que apuntan sobre la supuesta animadversión de Nobel hacia este matemático sueco hasta el punto de conjeturar que no quiso crear el premio Nobel de Matemáticas para no tener que entregárselo a Mittag Leffler que era un seguro candidato, pero los que sugieren esto olvidan que por aquella época Poincaré o Hilbert tampoco eran malos para el premio, los muchachos…

Magnus Goesta Mittag-Leffler

No falta la hipótesis de que, simplemente, a Alfred Nobel no le interesaban las Matemáticas, que estaba más interesado en premiar a descubrimientos importantes que promovieran el desarrollo y que, en este sentido, esta disciplina le pareciese demasiado teórica. Por si alguien en este punto tiene la tentación de  cabecear dándole la razón a Don Alfred, le recomiendo que lea esta entrada sobre para qué sirven las matemáticas.

Tampoco hay que perder de vista que en aquella época, Mittag Leffler había conseguido que el rey Óscar II de Suecia y Noruega, del que se conocía su debilidad por las matemáticas tras su paso por la Universidad de Uppsala,  otorgase un premio de una medalla de oro y 2500 coronas al ganador de un concurso matemático propuesto por Mittag Leffler, con ayuda de colegas como Hermite y Weierstrass. Aunque la dotación del premio no era muy grande, el hecho de que fuese otorgado por un rey podría haber cohibido a Nobel al no querer competir en la misma categoría con aquellos premios, ¿quién sabe?

Como se suele decir, el uno por el otro y la casa sin barrer… El caso es que no existe el premio Nobel de Matemáticas. Eso sí, las mentes maś brillantes y destacadas en este área pueden optar a otros premios como la Medalla Fields o el Premio Abel otorgado también por el rey de Noruega. Pero si me permitís el chiste malo y fácil y parafraseando a su compatriota Stieg Larsson, al señor Nobel, con todos mis respectos y desde el cariño, yo le llamo “El hombre que no amaba a las Matemáticas”

Nota 1: Para mentes frikis, el teorema de Mittag-Leffler  tiene una aplicación práctica a la hora de cazar leones en el Sahara. A saber:

El número de leones en el desierto del Sahara es finito, así que tal conjunto no tiene puntos de acumulación. Utilice el teorema de Mittag-Leffler para construir una función meromorfa con un polo en cada león. Al ser un animal tropical, se congelará si se coloca en el polo, y entonces podrá ser fácilmente capturado.

Patricia Dudley, G.T.Evans, K.D.Hansen, I.D. Richardson; American Mathematical Monthly, 75, 1968, pp. 896-897

Otro día os cuento otros teoremas relevantes para cazar leones en el Sáhara.

Nota 2: Como he dicho al principio, hay mucha información sobre el descubrimiento de la partícula de Higgs, enlazo algunas entradas asequibles para todos:

Nota 3: Respondiendo a la pregunta que da título a esta entrada, me siento afortunada de haber tenido aquel día invitado en nuestro Departamento al Dr. Enrique Fernández Borja del Instituto de Gravedad Cuántica de la Universidad de Erlangen-Nuremberg, autor además del blog de divulgación Cuentos Cuánticos, al que agradezco su paciencia y la claridad de sus explicaciones respondiendo mis preguntas.

¡El tuyo es más grande!

–Es la hora de la merienda chicos…

–¡Empanada! –dijo el pequeño Ven entusiasmado –¡Gracias, Mati!

–¡Me encanta la empanada! –Sal se relamía de gusto.

Mati ofreció un trozo a cada uno de los niños ante la atenta mirada de Gauss. Los niños miraban con recelo la porción de su hermano.

–Creo que el trozo de Ven es más grande, ¿no? –dijo finalmente Sal sin levantar mucho la voz.

–Eso no se dice, Sal –respondió el pequeño –Mamá dice que no es educado mirar los trozos de los demás… –y añadió  –Pero que sepas que el tuyo es más grande que el mío.

–Bueno, Ven, si quieres podemos medir el ángulo de cada trozo con mi regla de ángulos…

–No vale, porque no son iguales de gordos los dos trozos, Sal…

 

–Parece que tenemos que resolver un problema de comparación de fracciones, ¿no, chicos? –intervino Mati.
–¿De fracciones? –preguntó Ven -No, de porciones de empanada.
–Eso es –confirmó Mati –Pero a lfin y al cabo, las porciones de empanadas son fracciones de empanada ¿Sabéis cómo podemos saber si dos fracciones son iguales?

–Claro, Mati –dio Sal rápidamente –Si tienen el mismo número arriba y abajo.

–No, no siempre cielo –contestó ella –Hay fracciones que pueden tener distintos los números de arriba, numeradores y los de abajo, denominadores y ser la misma fracción. Por ejemplo, mirad este ejemplo.

–¡Toma! Es verdad… –se sorprendió Ven.

–Ah, claro –dijo el gafotas –Para saber si dos fracciones son iguales sólo tenemos que hacer la división y comprobar los resultados, ¿no, Mati?

–Ése sería un método –dijo ella –Pero no siempre obtenemos el resto igual a cero tan rápido. Es decir, que hay fracciones que representan a números con muchos decimales, incluso con infinitos números decimales,  y para poder compararlas y afirmar si son o no iguales, tendríamos que conocerlos todos…

–No entiendo nada… -reconoció el pequeño.

–Vamos a verlo con un ejemplo –propuso la pelirroja, vamos a comparar 65/29 y 222/99, por ejemplo. Vamos a dividir a ver qué pasa…

 

–¿Qué os parece¿ ¿Son iguales o no?

–Por ahora sí…

–Exacto, Ven –confirmó la gafotas –Tenemos que seguir dividiendo…

 

–¡Vaya! –dijo Sal –Pues no, no lo son…

–Pero Mati, si tienen infinitos números decimales, ¡no las podemos comparar nunca! –dramatizó Ven.

–Sí, sí las podemos comparar –respondió ésta –Porque no hace falta hacer la división. Para comparar dos fracciones y saber si representan al mismo número, basta con multiplicar en cruz. Os pondré otro ejemplo 7/5 y 21/15.

 

–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! –gritó el pequeño.

–Vaya –se sorprendió Sal –No sabía que dos fracciones podían ser tan diferentes y valer lo mismo.

–Pues sí –siguió Mati –De hecho, pueden haber infinitas fracciones que representen al mismo número, que valgan lo mismo

–Pues, vaya rollo –bromeó Ven –No te puedes fiar de las apariencias…

–Eso nunca, Ven –dijo ella con voz misteriosa –Somos científicos, ¿recuerdas? Tenemos que asegurarnos bien antes de afirmar nada –Mati le guiñó un ojo.

–Ya –continuó Sal –Sería más fácil si sólo hubiera una fracción para cada valor…

–Pues sí –corroboró Mati –Sería más fácil si sólo tuviésemos que comparar fracciones irreducibles.

–¿Irreduccibles? –preguntaron los dos hermanos a la vez.

–Sí –dijo la gafotas — Fracciones en las que el numerador y el denominador son primos, y eso ya sabéis comprobar cuándo ocurre. Pues bien, dos fracciones irreducibles son iguales sólo si el numerador y el denominador son iguales, como decía Sal al principio.

–¡Toma! –dijo el pequeño –Las irreducibles molan más.

–Pero Mati –preguntó Sal con la mirada perdida en sus pensamientos –¿De verdad que una fracción puede tener infinitos decimales?

–Huy, sí –dijo ésta –Pero de una forma especial… Os lo contaré el próximo día, ¿cómo está la empanada?

 

Paseando por la Gran Manzana (sin Euclides de la mano)

En capítulos anteriores vimos cómo la distancia más corta entre dos puntos de la superficie terrestre no siempre es lo que parece. Así, la distancia más corta entre Sevilla y la capital de las Islas Salomón viene dada por esta curva:

 

Pero, ¿es ese un fenómeno que se da sólo porque la esfera no es plana? ¿si nos restringimos a porciones más pequeñas de la Tierra, como ciudades, que son casi un plano, podemos considerar que la línea recta es la distancia más corta entre dos puntos? Bueno, la verdad es que no del todo puesto que otras consideraciones aparecen en este caso. Así que tratemos de fijar conceptos:

Supongamos que estamos en una gran ciudad y queremos llegar de un punto a otro, ¿consideraremos la recta como el camino óptimo? Si se puede ir en línea recta sí, pero, en general la línea recta entre dos puntos en una ciudad implica atravesar edificios lo cual puede traer inconvenientes que no ha lugar considerarlos aquí. Entonces me parece que no es mala idea buscar la distancia más cortas en una ciudad “andando por las calles” (el problema de circular es ligeramente más complicado puesto que implica direcciones únicas). como paradigma de ciudad para este ejemplo se suele tomar es el de la parte central de Manhattan por estar muy bien estructurado.Así supongamos que queremos ir de un punto a otro de Manhattan (con o sin la compañía de Euclides) y que no vamos a atravesar rascacielos porque eso no está bonito, no. ¿Cuál será esa ruta?

Figura 1

En la Geometría Euclideana, que es la geometría que todos aprendemos desde nuestros primeros años de estudios, la distancia entre dos puntos se mide como la longitud del segmento que los une, o dicho de otra forma, como el módulo del vector que esos dos puntos definen. Esa forma de medir la distancia es conocida como distancia euclídea y es la que usamos cuando medimos usando un metro entre los dos extremos de lo que queremos medir. En realidad, se trata de una consecuencia del Teorema de Pitágoras. Si tenemos dos puntos en el plano de coordenadas (a,b) y (c,d) respectivamente y queremos calcular la distancia euclídea entre ellos, basta con fijarse que la longitud de los catetos del triángulo rectángulo que definen son (c-a) la de uno y (d-b) la del otro.  Entonces, por el Teorema de Pitágoras, sabemos que la distancia euclídea se mide como

Ahí todo está bien y correcto, pero esa no es la única forma de medir la distancia entre dos puntos en el plano. Existe otra distancia, conocida como Distancia de Manhattan o Distancia L1, que mediría la distancia entre los puntos de la Figura 1 como

Es decir, la suma de las longitudes de los dos catetos del triángulo rectángulo. O bien, la de cualquier ruta que una al punto (a,b)  con el punto (c,d) a través de segmentos horizontales y verticales, en otras palabras, la longitud de cualquier escalera que suba desde (a,b)  con el punto (c,d)


En verde, la distancia euclídea, y en rojo, azul y amarillo, la distancia Manhattan: todas ellas son rutas óptimas. (Imagen  sacada de aquí)

 

Pues bien, cuando se trata de diseñar rutas de recorrido mínimos en ciudades, tiene más sentido usar esta distancia que la Euclídea, por lo de no atravesar rascacielos que habíamos dicho. Es más, puesto que todas las ‘escaleras’ tienen la misma longitud, nos permite elegir entre distintas opciones, en función de semáforos, zonas de dudosas seguridad, etc…

Evidentemente, no todas las ciudades, ni siquiera Nueva York, están distribuidas como una cuadrícula, pero se considera para según qué problemas de dieños de rutas este tipo de distancia. Y también, cómo no, en el diseño de circuitos ortogonales en los que predominan la conexiones en vertical y horizontal, o en el de un plano de metro.

Otra cosa que no diríamos si pensáramos con la distancia de Manhattan es “No había nadie en 10 Km a la redonda” Porque cuando utilizamos esta expresión, estamos intrínsecamente midiendo con la distancia euclídea. Con esta distancia, la que usamos habitualmente en el día a día, los puntos que están a menos distancia de 10 Km de nosotros, son aquellos que están contenidos en un círculo alrededor nuestra de radio 10 Km.

Pero si pensáramos con la distancia de Manhattan, no sería un círculo, sino ¡un rombo!

Todos los puntos de la frontera del círculo de la izquierda están a la misma distancia euclídea del origen de coordenadas, y todos los puntos de la frontera del rombo de la izquierda están a la misma distancia L1 del origen de coordenas, como se explica en la siguiente figura:

El punto verde y el punto rojo están a la misma distancia del punto azul (nótese que el ángulo formado por el rombo y el eje en el punto verde es de 45º y, por lo tanto, la longitud de los dos catetos del triángulo rectángulo formado es la misma, está representada con a en la Figura) Y en general, cualquier punto de la frontera del rombo está a la misma distancia del origen (punto azul).


Ahora vamos a ver, que  dependiendo de la distancia elegida, el punto más cercano a uno dado puede ser distinto, lo que sería de utilidad conocer a la hora de diseñar rutas de longitud mínima, por ejemplo, para empresas de distribución, mensajería…

Si usamos la euclídea (la usual) el punto rojo está más cerca del origen (en azul) mientras que si usamos la de Manhattan el origen esá más cerca del punto verde. 

 

 Eso sí, puede que la distancia Manhattan sea más práctica y refleje mejor la realidad en el diseño y optimización de rutas de distribución, pero mi experiencia como madre me permite asegurar que cuando somos niños es la distancia eulcídea la que ‘traemos’ instalada: “De aquí para acá, mío, de aquí para allá, tuyo”.

Pues bien, ahora que ya conocemos la distancia Manhattan, os formulo una pregunta. Si tenemos dos puntos sobre el plano, P y Q, los puntos que están a la mitad de camino entre P y Q, a la misma distancia de ambos, definen una recta que conocemos, como mediatriz. ¿Y si usamos la distancia L1,? ¿Qué aspecto tiene la mediatriz entre P y Q?

PS: Cuando explico esta distancia a mis estudiantes no puedo resistir la tentación de llamarla Distancia del Ensanche, y es que Barcelona es mi debilidad (aunque Nueva York no está nada, pero nada mal).