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Archivo de junio, 2012

¿Son o no son primos?

–¡Mira, Gauss! –exclamó Ven –¡Son Sheldon y Penny!

–¡Qué bien, Gauss! –añadió Sal –Hoy puedes jugar con tus amiguitos.

–Querrás decir con sus primos, ¿no, Sal?

–No, Ven. Sheldon y Penny no son primos de Gauss.

–¿Cómo que no son primos? Son las mascotas de nuestros tíos –protestó el pequeño –Entonces es como si fueran los primos de Gauss, ¿no lo entiendes?

–Que no, Ven –insistió el gafotas –Que los padres de Sheldon y Penny no son hermanos de los padres de Gauss…

–¿Y eso qué importa, Sal? ¡Son primos y punto! El tío es hermano de mamá así que…

–Lo que tú quieras, Ven. Pero eso no significa que sean primos entre ellos –siguió argumentando el mayor de los hermanos –Si no son de la misma raza siquiera…

–Vaya tontería lo de la raza –bufó Ven –¡Si vamos a tener una prima negra!

–Pero ella si es nuestra prima, porque es la hija de nuestra tía…

Gauss, Sheldon y Penny observaban a los niños con caras serias, no parecían entender aquella discusión sobre conceptos de familia…

–Pero bueno… –Mati acababa de despertarse de su siesta –¡Qué serios están estos chicos! ¿Algún desacuerdo sobre algún asunto matemático? –les dijo guiñando un ojo.

–No, Mati, un desacuerdo sobre primos o no primos –dijo el pequeño Ven mirando de reojo a Sal –No tiene nada que ver con Matemáticas.

–¿Cómo que no? –bromeó la pelirroja –Los números primos son uno de los objetos que más han fascinado a los matemáticos.

–Ya, Mati –intervino el gafotas –Pero no hablamos de números primos, sino de perros primos ¿Qué son números primos, Mati?

–Un número primo es aquel que sólo es divisible por sí mismo y por 1 –dijo la pelirroja –Por ejemplo el 2, el 3, el 5…

–¡Toma! –interrumpió Ven entusiasmado –¡Los números de la sucesión de Fibonacci!

–No, no son los números de la sucesión de Fibonacci –dijo Mati sonriendo –Porque ¿cuál viene detrás del 5 en esa sucesión, Ven?

–¿Después del 5? –Ven se quedó pensando –5 más el anterior que es el 3… ¡el 8!

–Efectivamente, Ven –continuó la pelirroja –Y 8 no es un número primo.

–Es verdad –dijo Sal –8 se puede dividir por 2 y por 4.

–Eso es, Sal. El 8 tiene a 2 y a 4 como divisores distintos de 1 y de él mismo, 8 –dijo ella –¿Qué os pasa con los perros primos?

–Que Sal dice que Gauss no es primo de Sheldon y Penny y yo digo que sí.

–Ah, entiendo –dijo Mati –Lo que queréis saber es si ellos son primos entre sí.

–Eso –corroboró el mayor.

–Con los números es mucho más fácil –continuó Mati –¿Queréis que os enseñe cómo saber si dos números son primos entre sí?

–¿Primos entre sí? –preguntó Sal ajustándose las gafotas –¿Qué significa que dos números son primos entre sí, Mati?

–Que no tienen ningún divisor en común, salvo el 1, claro –dijo ésta –Por ejemplo, 10 y 9 son primos entre sí.

–No, no lo son, Mati –dijo rápidamente Ven –9 se puede dividir por 3 y 10 se puede dividir por 2 y por 5.

–Sí, Ven –siguió la gafotas –Eso significa que 9 no es un número primo, porque tiene de divisor al 3; y que 10 no es un número primo porque tiene como divisores al 2 y al 5 –Mati continuó –Pero 9 y 10 son primos entre sí porque no tienen ningún divisor en común, sólo el 1 otra vez, claro.

–Ahora lo entiendo… –dijo Ven rascándose la barbilla.

–Para saber si 2 números son primos entre sí –dijo Sal –Sólo tendremos entonces que comparar entre sí sus divisores, ¿no, Mati?

–Efectivamente –respondió ésta –Pero el problema puede complicarse cuando los números que quieres comparar son muy grandes, Sal.

–¿Cómo se hace con números grandes? –quiso saber el gafotas.

–Pues veréis –empezó a decir Mati –Lo que se hace es calcular el máximo común divisor de esos dos números. Si sale 1, es que son primos. En otro caso, no lo son.

–¿Y cómo se calcula el máximo ése, Mati? –preguntó el pequeño.

–Hay distintas maneras –respondió Mati –Os voy a enseñar el algoritmo de Euclides que es la más sencilla.

–¡Vale! –dijo entusiasmado Ven.

–Para ello vamos a usar sólo numero naturales, ¿vale? –dijo ella.

–¡Vale! –repitió Ven.

–Decidme dos números naturales grandotes y os lo explico con un ejemplo.

Los niños se quedaron pensando muy serios hasta que finalmente Sal propuso:

–¡9876!

–¡Y 3321! –añadió Ven.

–Muy bien, ahora para calcular el máximo común divisor de estos dos números, al que llamaremos MCD (9876, 3321), lo que hacemos es dividir el mayor, 9876, entre el menor, 3321, y nos fijamos en su resto. Si el resto es 0, MCD(9876,3321) es 3321. 

 

–No, no es 0 el resto, Mati –dijo Sal –¿Qué hacemos?

–Si el resto es distinto de 0, ahora dividimos el divisor, 3321, entre el resto, 3234 –dijo la pelirroja

–Tampoco sale 0 en el resto, Mati…–protestó Ven.

–En esa caso, seguimos –respondió ella –Volvemos a dividir el divisor, 3234, entre el resto, 87.

–No digas nada, Mati –dijo Sal alegre –Ahora dividimos 87 entre 15, ¿no?

–Efectivamente, el divisor entre el resto –respondió la gafotas con un guiño.

–¡Ya lo veo! –dijo el pequeño –Ahora toca 15 entre 12, ¿a que sí?

–¡Sí! –dijo Mati con una gran sonrisa.

–Ahora dividimos 12 entre 3, ¿no? –preguntó Ven.

–Muy bien, Ven –contestó Mati.

–Y ahora sí que saldrá resto 0, Mati –dijo Sal.

–Efectivamente, eso significa que MCD(9876,3321) es 3, el último resto distinto de 0 que hemos obtenido.

–¡No son primos entre sí! –exclamó Sal.

–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! –gritó Ven eufórico –¡Y qué fácil!

–Sí, es cierto, cielo –dijo Mati –Más fácil que como lo hacíamos en mi cole cuando yo era pequeña.

–¿No se había descubierto el algoritmo de Euclides? –preguntó Sal extrañado.

–Huy, sí –respondió la pelirroja –Este algoritmo tiene más de 2000 años de antigüedad…

–¿Dónde están los perros? –preguntó de pronto Ven.

–Creo que el máximo común divisor le dio calor –dio el gafotas riendo –porque se están dando un baño en la piscina ¿Para qué sirve saber si dos números son primos entre sí, Mati?

–Huy, buena pregunta –respondió la pelirroja –Vamos a nadar un poco con los perritos y os lo cuento después.

 

¿Cuál es el camino más corto a las Islas Salomón?

Imagínense que por alguna razón quieren viajar a las Islas Salomón.  No sé, igual conocemos a más gente de allí de la que pensamos, yo qué sé… ¿Cuál creen ustedes que sería la ruta más corta para volar hasta el Aeropuerto Internacional de Guadalcanal, por ejemplo? Puede que alguien tuviese la tentación de tomar el mapamundi y una regla y dibujar la línea recta que une Sevilla, que es de donde yo saldría,  con Guadalcanal, por aquello que heredamos de Euclides de que la distancia más corta es una línea recta.  Cosa que es cierta si nos movemos en un plano  y medimos con la distancia euclídea. Medir con la distancia euclídea no es más que lo que hacemos cuando usamos una regla o una cinta métrica, medir la longitud del segmento que une a los dos puntos en el plano.

Ahora bien, si nos vamos a mover de un punto a otro del planeta, nos estamos moviendo, no sobre un plano, sino sobre una esfera. Ya, ya sé que la tierra no es una esfera, pero se le falta muy poquito, ¿no? Pero venga, vamos a pensar en una esfera, que no tiene por qué ser la Tierra, y vamos a ver cómo se calcula el recorrido más corto entre dos puntos sobre ella.

La línea más corta entre dos puntos de la esfera es la geodésica. “Muy bien, Mati,  ¿y qué es una geodésica?” Pues la geodésica que une a dos puntos sobre la esfera, es la curva que se dibuja sobre la esfera si la cortamos con un plano que pase por los dos puntos escogidos y el centro de la esfera. Es decir, que las geodésicas son arcos sobre las esfera, correspondientes a círculos que estarían centrados en el centro de ésta. Vamos, que si pensamos en la esfera terrestre, por ejemplo, los meridianos (que nos permiten medir la longitud) son geodésicas, puesto que  son círculos que estarían centrados en el centro de la esfera; mientras que los paralelos (que nos permiten medir la latitud) no lo serán, porque (salvo el ecuador) el círculo que los definen no está centrado en el centro de la esfera.

Antiguamente, era relativamente fácil saber a qué distancia sobre el ecuador (latitud) nos encontrábamos (midiendo la altura del sol o algunas estrellas sobre el horizonte), pero para determinar la posición exacta sobre la Tierra era necesario conocer otra coordenada, normalmente la longitud.  El problema de determinar la longitud no se resolvió (gracias al desarrollo de relojes más precisos que los existentes hasta su momento, por parte de John Harrison a mediados del siglo XVIII). Por lo tanto cuando un descubridor se internaba en un océano desconocido como Colón en 1492 se solía seguir no el camino más corto, la geodésica, (para determinarlo sobre la esfera es necesario conocer el punto de partida y el punto de llegada) sino que se navegaba siguiendo algún paralelo. Esto, las corrientes marinas y que no le hicieran caso en Portugal (su primera intención) fue muy importante para el éxito del primer viaje de Colón. Por aquel entonces, la hegemonía de las exploraciones correspondía a la corona portuguesa. Y Portugal había lanzado varias expediciones (Fernão Teles en 1475 y Ferdinand van Olm en 1486).

¿Qué problema encontraron dichas expediciones? Pues que si querían viajar hacia el oeste siguiendo el paralelo y como partían del lugar más lógico para ellos: el punto más occidental dominado por la corona portuguesa: las islas Azores, se encontraban de frente la fortísima corriente del Golfo (y los vientos que la acompañan) lo cual dificultaba tremendamente la navegación y hacía casi imposible avanzar. Colón tuvo la suerte de no ser aceptado por lo portugueses y tuvo que ir a pedir la ayuda a la corona de Castilla, que, al concedérsela, le exigió que debería partir de puerto castellano, por lo tanto, la última tierra conocida que visitaron fueron la islas Canarias (La Gomera y Gran Canaria). Desde las Canarias las corrientes y los vientos apuntan hacia el oeste y permitieron su viaje. De hecho, en el viaje de vuelta la ruta escogida por Colón fue mucho más al norte y así estuvo ayudado por la corriente del golfo que lo empujaba hacia Europa.

Dejando a un lado antiguas rivalidades con nuestros vecinos lusos, que no quiero que nadie piense que estoy haciendo patria ante el inminente encuentro en semifinales de la Eurocopa, y volviendo a nuestros planes de volar a las Islas Salomón, alguien podría caer en la tentación de pensar que la ruta que seguiríamos en el vuelo corresponde con la línea recta que une el origen con el destino con una línea recta sobre el mapa. Pero esto no es así, porque los vuelos de los aviones suelen seguir, salvo algunas restricciones,  la ruta marcada por el arco de geodésica que une el aeropuerto de origen con el aeropuerto de destino. Y como veis en la siguiente imagen, en el caso de un vuelo desde Sevilla al aeropuerto internacional de Honiara, la ruta está bastante alejada de esa línea recta.

Imagen creada en http://www.gcmap.com

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

La diferencia entre la ruta marcada por la geodésica y la que nos proporcionaría la línea recta es más acusada cuanto más largo sea el vuelo y cuanto más diferencia de latitud haya entre los dos puntos. Vean si no, por ejemplo, la geodésica entre Sevilla y París.

Como ya he dicho antes, no es que los aviones sigan exactamente la ruta de la geodésica, porque ésta puede incluir zonas sobre las que no es posible volar por cuestiones geográficas y/o metereológicas, o incluso normativas internacionales de restricciones de tráfico aéreo. Pero no me digan que no les sorprende ver sobre el mapa cuál es la distancia más corta hasta las Islas Salomón… y quién sabe, a lo mejor, tenemos que darnos un paseo por allí.

¿Ha caído dentro o fuera?

–Dibuja bien el círculo, Ven, si no el campeonato no será justo.

–Ya, Sal, estoy intentando hacerlo lo mejor que puedo…

–Usa la cuerda de la peonza, como si fuera un compás, ¿no?

–A ver… –el pequeño Ven se mordía la lengua muy concentrado mientras trataba de trazar el círculo. Gauss andaba a la vez que Ven dibujaba –Ya. Ha quedado casi perfecto –concluyó.

–¿Perfecto, Ven? –dijo Sal mirando aquello por encima de sus gafotas –No has aguantado bien la cuerda… ¡Eso no es un círculo!

–No, no lo es –dijo Mati –Pero es una bonita curva de Jordan.

 

–¿Una curva de quién? –preguntó el pequeño pensando orgulloso en que había creado algo importante.

–De Jordan –respondió Mati –Porque es cerrada y simple, no se corta a sí misma.

–Pero no es un círculo, Mati –protestó Sal –No sirve para jugar con las peonzas…

–Depende de a lo que quieras jugar –contestó la pelirroja con un guiño.

— ¿Y la curva de Jordan tiene alguna cosa chula como la cicloide? –preguntó Ven curioso y excitado.

–Pues claro, todas las curvas son interesantes –dijo la gafotas –Si alguna curva no fuera interesante, lo sería por eso, por no serlo. Como los números –terminó diciendo con un guiño.

–¿Qué tienen de interesante la curva de Jordan, Mati? –preguntó Sal.

–Las, las curvas de Jordan –respondió ésta –Hay infinitas. Cualquier deformación continua de un círculo es una curva de Jordan.

–¿Has llamado deformación a mi curva, Mati? –preguntó Ven con un  medio puchero.

–Cielo –dijo Mati sonriendo –Una deformación no es nada malo. Es sólo una cambio de forma, puede mejorar la forma inicial.

–¿Cómo es una deformación continua, Mati? –preguntó el gafotas.

–Pues imagina que tienes un círculo elástico o de plastilina. Lo deformas sobre un folio de papel, no se puede ni cortar, ni pegar, sólo estirar y apretar, sin partirlo. sin superponer unos puntos sobre otros –dijo ella –Eso es, más o menos, lo que los matemáticos llamamos un deformación continua.

–¿Las inventó Jordan? –quiso saber Ven.

–No, se les llama así porque fue Camille Jordan el primer matemático que demostró que cualquier curva cerrada y simple dividía al plano en dos regiones, una la de dentro y otra la de fuera.

–Pero eso lo sabe cualquiera, Mati, ¿no? –comentó el gafotas.

–Sí, es bastante intuitivo –añadió Mati –Pero bastante complicado de demostrar con rigor, no creas. de hecho, el propio Jordan no lo terminó de demostrar, tenía algunos errores que no supo resolver. La primera prueba completa la dio Oswald Veblen, pero no era de eso de lo que yo quería hablar, chicos –continuó la pelirroja y guiñando un  ojo  copncluyó –No tenéis edad para hablar de Topología Algebraica.

–¿Nos enseñas a jugar con una curva de Jordan, Mati? –pidió el pequeño.

–Con mucho gusto –respondió Mati –Se trata de dibujar una curva de Jordan, lanzamos una moneda o la peonza, y tenemos que adivinar si ha caído dentro o fuera de la curva.

–¿¿Eso?? –dijo Sal muy sorprendido –Eso es de niños de la guarde, Mati…

–Sal tiene razón, Mati –dijo Ven –Es un juego un poco tonto, no te enfades.

–¿Ah, sí? –Mati sacó su cuaderno y comenzó a hacer un dibujo –¿Este punto rojo está dentro o fuera de la curva?

 

–¡Hala, Mati! –Ven se moría de la risa –¡Te has pasado!

–No, no, es una curva de Jordan, de niños de la guarde… –bromeó la pelirroja.

–Bueno, ésa es muy complicada… –protestó Sal.

–¿Y ésta? –Mati les mostró otro dibujo.

 

–¡Jajajajaja! –Ven se tronchaba –Y ésa es muy fácil, Mati. El punto rojo está fuera.

–Efectivamente –confirmó ella –Pero vamos a fijarnos un poco en este dibujo para aprender a resolver casos más complicados, ¿os parece?

–¡Sí! –dijo el gafotas.

–Vamos a pintar líneas desde ese punto hacia varias direcciones –Mati dibujó 5 líneas –¿Qué tienen en común estas 5 líneas?

–¿Que todas salen del mismo punto? –dijo Sal.

–¿Qué todas son rojas? –bromeó Ven con cara de pillo.

–No –Mati empezaba a ponerse misteriosa –Tiene que ver más con la curva de Jordan. Voy a poner otro punto, ahora verde. Y pintaré también unas líneas saliendo de él…

–¿Lo veis ya? –preguntó Mati retadora.

–¿El qué? –Ven se empezaba a poner nervioso –Cuéntanoslo ya, por favor, Mati.

–Vamos a contar cuántas veces cortan las líneas rojas a la curva de Jordan –propuso ella.

–0, 2, 2, 2 y 2 –dijo Sal.

–Ahora, contamos las verdes –dijo Mati.

–3, 3, 1, 1, y 1 –respondió Ven.

–¿Lo veis ahora? –volvió a preguntar la gafotas.

Los niños se quedaron pensando muy serios…

–¡Ya! –gritó de repente Sal –¡Los rojos son pares, y los verdes son impares!

–Efectivamente –confirmó ella.

–¿Y qué pasa con eso, Mati? –preguntó el pequeño.

–Que esa propiedad se cumplirá siempre en cualquier curva de Jordan –les explicó –Las líneas trazadas desde cualquier punto de la región interior de la curva, cortará a la curva un número impar de veces. Mientras que desde un punto en la región exterior de la curva, todas las líneas cortan a dicha curva un número par de veces.

–¡Toma, toma, toma! ¡Es verdad! ¡Cómo mola, Mati! –el pequeño Ven estaba alucinando.

–¿Os atrevéis con el primer dibujo que os puse?

–¡Sí! -respondieron al unísono los dos hermanos. Gauss ladró, no se sabe por qué. Él es así.

–La línea de la izquierda corta 12 veces… –dijo Sal –La de la derecha 16… Par ¡Está fuera!

–¡Cómo mola! –dijo Ven entusiasmado.

–Efectivamente –corroboró ella –Pero basta con dibujar una línea, todas las demás tendrán la misma paridad en el número de cortes con la curva.

–Es muy chulo este juego, Mati –confesó el gafotas –Siento haber dicho que era de niños pequeños…

–No te preocupes, Sal –respondió Mati –No pasa nada, cielo ¿Os atrevéis a colorear la región de dentro?

–¡Vamos!

–Vamos a jugar a eso, Sal –propuso el pequeño.

–Mejor, porque tus círculos… –bromeó el gafotas.

 

 

¿Cuántos nos están vigilando?

La semana pasada la terminamos con una noticia tan gratificante como ésta. Y una se plantea ¿quién está decidiendo nuestros destinos? ¿Quién está dibujando el futuro de nuestras familias? ¿Cuántos nos están vigilando? Y porque sospecho, digo sospecho, que también nos vigilan desde ese polígono de 5 vértices, el Pentágono, se me ha venido a la cabeza uno de mis problemas favoritos de Geometría Computacional que mezcla esos dos conceptos, vigilancia y polígonos: El problema de la Galería de Arte.  Aparte de la belleza intrínseca de este problema, de la que intentaré convenceros a lo largo de esta entrada, mi debilidad por él tiene un origen romántico: fue el primer problema de esta disciplina que leí y que me atrapó en las redes de esta forma de hacer Matemáticas.

¿Cuál es el Problema de la Galeria de Arte?

El problema fue planteado por Victor Klee  en 1973, pero antes de plantearlo, dejadme que demos algunas nociones muy sencillitas. Vamos a hablar de galerías de artes, museos, que tenemos que vigilar para que nadie toque ni se lleve nada. Pues bien, para nosotros, en esta versión del problema que vamos a contar (hay muchísimas variantes), la galería que queremos vigilar estará representado por un polígono simple, y cuando decimos simple lo que queremos decir es que los lados de nuestro polígono no se cortan entre ellos, voy a hacer un dibujo por si se ve más claro.

Seguimos.  Cuando decimos que queremos vigilar la galería de arte, lo que queremos es decidir dónde colocaremos a los vigilantes en el polígono que representa a la galería con el fin de que toda ella quede cubierta por la mirada de éstos. En esta primera versión del problema, los vigilantes tienen que estar situados en los vértices (esquinas) del polígono, fijos, no se pueden mover. Tienen visión de 360ª y no son miopes, es decir, pueden ver a cualquier distancia, siempre que no haya una pared que se lo impida. A ver, voy a hacer otro dibujo por aquello de que  una imagen….

En la imagen superior, hemos situado un vigilante en un vértice del polígono y hemos sombreado la zona que sería cubierta por éste, sin moverse, suponiendo que puede ver a cualquier distancia y 360º a la redonda.  Con estas restricciones, ya podemos plantear la pregunta que planteó Klee:

Dado un polígono con N vértices ¿cuántos vigilantes son siempre suficientes para vigilar todo el polígono?

Ahora bien, el problema que plantea Klee no es que nos dan un polígono, dibujado, con N vértices y que nosotros coloquemos el menor número de vigilantes para ese polígono en concreto. Lo que plantea Klee es que demos una fórmula o relación, de forma que podamos saber para un número de vértices N cualquiera, cuántos guardianes serán suficientes para vigilar esa galería, sin saber siquiera qué forma tiene la galería,  sólo a partir del numero de vértices que tiene el polígono que representa la planta del  museo. Pero, ¿eso como va a ser? La forma del polígono tiene mucho que ver, de hecho puede haber polígonos con muchos vértices que se vigilen con un sólo vigilante y otros que con muchos menos necesiten más de uno… Otro dibujo nos vendrá bien.

En el dibujo anterior, tenemos una galería con 13 vértices que puede ser vigilada por un sólo guardián y otra con 6 vértices, que va a necesitar 2. Entonces, ¿cómo vamos poder dar un número en función del número de vértices? Si pensamos en un hexágono regular, podemos entender que será vigilado con 1 sólo vigilante, y el polígono de 6 lados de nuestra anterior figura necesita 2, ¿cómo vamos a encontrar esa fórmula?

Pues sí, se encontró. Bueno,  la relación que encontró Chvátal en 1975, es que cualquier galería de N vértices, sea como sea, con la forma que sea, por muy enrevesado que sea el Calatrava de turno,  se puede vigilar siempre con N/3 guardianes. En realidad, más concretamente, con la parte entera por defecto de ese número, que escribimos así ⌊N/3⌋, esto es, que si N/3 no nos sale un número natural, sino que sale con decimales, nos quedamos con ése mismo número pero sin decimales, nada de poner trozos de vigilantes, eso lo dejamos para Dexter y otros como él. Por ejemplo, cualquier galería de 13 vértices, sea como sea, necesitará como máximo, 4 vigilantes (13/3 = 4’33333333…) Que sí, que la del último dibujo necesita sólo 1, vale, pero no es posible encontrar ninguna que necesite más de 4, eso es lo que nos asegura el Teorema de la Galería de Arte de Chvátal. Eso y que siempre es posible encontrar un polígono de N vértices que necesite exactamente ⌊N/3⌋ guardianes.

Pues bien, aunque el mérito de encontrar la fórmula que relacionara el número de vértices del polígono con el número máximo de guardianes que se necesitarían para vigilarlo es de Chvátal, ha sido la demostración de este hecho dada por Fisk en 1978 la que más ha trascendido por su elegancia y sencillez. Tanto que ha sido una de las elegidas para aperecer en el Libro de las Demostraciones del que tanto hablaba Erdős y del también hablamos aquí.

Vamos a contar la demostración de Fisk porque es concisa, sencilla, brillante y hermosa.

Lo primero que observa Fisk es que un triángulo, sea como sea, sólo necesita siempre un vigilante en uno de sus vértices, ¿verdad? Pues lo que propone hacer es dividir la galería en triángulos, asegurar la vigilancia en cada unos de esos triángulos y con ello tendrá asegurada la vigilancia del polígono completo. Vamos allá…

En primer lugar, lo que hay que hacer es triangular el polígono ¿Cómo? Añadiendo diagonales interiores uniendo vértices no consecutivos del polígono, siempre que no corten a otra diagonal ya dibujada o a la frontera del polígono.

Ahora vamos a asignar colores a los vértices del polígono respetando únicamente una regla: dos vértices con el mismo color no pueden estar unidos en el dibujo de la triangulación que hemos hecho del polígono. Pues bien, respetando esta regla, Fisk demuestra que se puede colorear la triangulación del polígono con 3 y sólo 3 colores.

Venga. Ahora contamos cuántos vértices hay de cada uno de los 3 colores en la triangulación del polígono. En el ejemplo que estamos haciendo en nuestro cuaderno, tenemos 6 vértices azules, 4 vértices rojos, y 3 vértices verdes. Elegimos el color menos popular de los 3, en esto caso el verde, y colocamos un vigilante en cada uno de los 3 vértices verdes y ¡tachán! Ya está todo el polígono vigilado ¿Por qué? Pues porque todos los triángulos del polígono tienen que tener un vértice verde (en realidad, todos los triángulos tienen un vértice de cada uno de los colores) y como en todos los vértices verdes hay un vigilante, todos los triángulos estarán vigilados.

Sí, es maravillosa la demostración. Yo también me quedé boquiabierta la primera vez que la leí.

Bueno, nos queda apuntar un detalle ¿Cómo sabemos que el color menos popular de la triangulación siempre aparece como máximo ⌊N/3⌋ veces? Pues por el Prinicipio del palomar. Supongamos que los vértices son palomas y los colores, 3 palomares. Asignar colores a los N vértices se puede interpretar como asignar las N palomas a uno de los 3 palomares. Pues ya está, uno de los 3 palomares como mucho, tiene N/3 palomas. Porque si los tres tuvieran más de N/3 palomas, la suma de las 3 cantidades sería superior a N.

Lo que sabemos entonces a partir de este teorema es que sea como sea el polígono de N vértices que nos propongan, como máximo, vamos a necesitar ⌊N/3⌋ vigilantes para vigilarlo. Eso sí, hay veces que necesitaremos muchos menos, y otra en que necesitaremos exactamente ⌊N/3⌋.

Este problema de la Galería de Arte ha dado lugar a una inmensa cantidad de problemas geométricos relacionados, simplemente con modificar algunas de las  condiciones: permitiendo que los vigilantes se muevan, obligando a que cada vigilante esté controlado por otro de sus compañeros en todo momento, restringiéndose a un ángulo de visibilidad (pensando en focos e iluminación), permitiendo que se atraviesen paredes (si pensamos en routers)… Todos problemas muy sencillos de plantear pero la mayoría muy difíciles de resolver.

Lo dejamos por aquí y espero que haya servido para olvidar durante un rato cuántos y quiénes son los que nos están vigilando a todos nosotros…

Más o menos probable…

–¡Cara! ¡Saco yo!

–¡No vale! ¡Ha rebotado en Gauss! –Ven estaba un poco mosqueado.

–¿Otra vez? ¿Y eso qué más da, Ven?

–Se repite. Ah, se siente…

–¡Cara! ¡Saco yo! –gritó Sal de nuevo.

–No, no vale –respondió Ven, mientras Gauss resoplaba con cansancio.

–Y ahora, ¿qué pasa? –protestó el gafotas.

–No me fío de esa moneda, la has cogido de tu hucha…

–Vamos, Ven –bufó Sal –No tengo ninguna moneda falsa en mi hucha…

–¿Cómo lo sabes? –inquirió el pequeño –¿Los has comprobado como nos enseñó Mati?

–No, no lo he comprobado, Ven –respondió Sal aburrido –Pero son todas verdaderas, como las tuyas…

–¿Qué les pasa a estos chicos? –Mati acababa de llegar.

–Hola, Mati –la saludó Sal.

–Hola, Sal me quiere hacer trampa con la moneda –dijo el pequeño.

–Pesado… –bufó Sal.

–¿Por qué crees que Sal te quiere hacer trampas, Ven?

–Porque ha traído una moneda que siempre sale cara… –contestó éste.

–Eso no es verdad, Ven –se defendió Sal –Ha sido casualidad.

–Vamos a ver –intentó mediar Mati –¿Queréis que os cuente algo sobre lanzamientos de monedas y probabilidad?

–¡Sí! –contestaron los dos a la vez. Gauss resopló aliviado. Mati sacó su libreta.

–Vamos a aprender primero cómo se calcula la probabilidad de que salga cara en la moneda usando la regla de Laplace –comenzó a contarles la pelirroja.

 

–En el caso del lanzamiento de una moneda y calcular la probabilidad de obtener cara –siguió –el número de casos favorables es 1, que salga cara, y el número de casos posibles  es 2, cara y cruz.

 

–Y sale 1/2 –dijo Ven –La mitad, eso ya lo sabíamos, Mati, el 50% de posibilidades…

–Sí, lo sé –afirmó ella –Con las monedas es muy fácil, pero sirve para todo. Por ejemplo, si lanzamos un dado, ¿cuál es la probabilidad de obtener una potencia de 2?

–Yo lo hago en la libreta, Mati –se apresuró a decir Sal

–Sí, pero ¿por qué no calculas la probabilidad de que Sal saque cuatro caras seguidas? –pidió Ven a la pelirroja.

–Vale, vamos a hacer un diagrama con todas los posibles resultados del lanzamiento de una moneda 4 veces –les dijo.

–Si empezamos en el punto azul y caminamos sobre las aristas azules, tenemos todos los resultados, ¿no?

–A ver… –dijo Ven señalando con su dedo sobre el diagrama —Cara, cruz, cruz, cruz… Y por aquí, cruz, cara, cara, cara...

–Si, Ven –interrumpió su hermano –Están  todas.

–Ahora bien, en cada tirada, la probabilidad de obtener cara o cruz es siempre 1/2, ¿no? –continuó ella –Lo escribimos sobre las ramas.

 

–Bueno, chicos, ¿cuántos casos posibles hay? –preguntó Mati –Sólo tenéis que contar la columna de la derecha, cada una corresponde a un resultado posible.

–¡16! –dijo Ven con entusiasmo.

–¿Y caso favorables para obtener 4 caras? –siguió preguntando la pelirroja.

Los niños estuvieron mirando el cuaderno…

–Sólo uno, Mati –señaló Sal — Sólo cuando sale cara, cara, cara, cara.

–Entonces la probabilidad de obtener 4 caras es… –Mati dejaba la pregunta en el aire.

–¡1/16! –dijeron los 2 hermanos a la vez.

–Efectivamente, chicos –corroboró Mati –Y si os fijáis, 1/16 es el resultado de multiplicar las probabilidades que nos vamos encontrando por el camino hasta llegar al cuarto lanzamiento…

–Es verdad –dijo Sal con alegría.

–Pero Mati –intervino Ven –Cuando sean 20 tiradas, nos va a salir un diagrama, ¡enorme!

–Tienes razón, pero no hace falta hacer el diagrama –aceptó Mati –Se trata de calcular la probabilidad de una intersección de sucesos independientes, porque el resultado de cada lanzamiento es independiente del anterior. Un suceso es que la primera salga cara, otro que la segunda salga cara, el tercero que salga cara en la tercera y el cuarto, que la cuarta tirada dé cara. Cada uno de estos sucesos, tiene probabilidad 1/2, como hemos dicho, ¿verdad? Eso significa que en cada tirada de las 4, la probabilidad de que salga cara es 1/2 o sea, de un 50%.

–Ahora bien, la probabilidad de que las cuatro veces nos salga cara es la probabilidad de la intersección, y eso se calcula sabiendo que, como son independientes,  la probabilidad de la intersección es igual al producto de las probabilidades.

–¿Ves, Mati? –dijo Ven con vehemencia –Es casi imposible que pase, y ha pasado

–Tú lo has dicho, Ven –dijo ella –casi imposible, pero no imposible.

–¡Que mi moneda es buena, de verdad! –se quejó Sal.

–A ver, Ven –dijo la pelirroja –Si hacemos otra vez el sorteo, ¿tú que pedirías, cara o cruz?

El pequeño se quedó un rato pensando, al cabo del cual contestó:

Cruz.

–¿¿Cruz?? –preguntó Sal sorprendido –¿No decías que en mi moneda sólo sale cara?

–Ya… -dijo Ven mirando al suelo –Pero en realidad, creo que  tu moneda es auténtica y como ya han salido 4 caras… toca cruz.

–Huy, creo que Ven ha caído en la falacia del jugador… –dijo Mati con voz misteriosa.

–¿La qué? –preguntó Sal con los ojos de par en par.

–Una falacia es una mentira o engaño –empezó a explicarles –La falacia del jugador, o falacia de Montecarlo, es la falsa creencia de que lo sucedido anteriormente en un experimento aleatorio, al azar, afectará al resultado de los experimentos siguientes.

–No entiendo nada de nada… –confesó Ven.

–Es lo que tú acabas de hacer, Ven –continuó ella –Crees que el hecho de que hayan salido ya 4 veces caras, afectará al 5º lanzamiento y no es verdad. La probabilidad de obtener cruz en el 5º lanzamiento es, de nuevo, 1/2, como siempre.

–Claro… Qué tontería…

–Bueno, Ven, esa tontería como tú la llamas, engaña a mucha gente que piensa que si sale varias 4 veces seguida cara, lo lógico es apostar a cruz por que ya toca. Y no, están confundiendo la probabilidad de obtener 5 caras seguidas con la probabilidad de obtener cara en el 5º lanzamiento.

–¡Toma, toma, toma! ¡Es verdad! –el pequeño estaba alucinando.

–Cuando lo lógico sería lo contrario –siguió la pelirroja.

–¿Lo contrario? ¿Por qué, Mati? Si cara y cruz tienen la misma probabilidad –el gafotas estaba muy intrigado.

–Ya, pero si sale muchas veces seguida cara –siguió ésta –lo que parece indicar es que la monedad no está bien compensada y que, por lo tanto, tiene más probabilidad de salir cara.

–Cierto… -se quedó pensando Sal –Si la moneda es buena, no importa lo que ha pasado antes.

–Eso es, Sal, en ese caso decimos que son experimentos independientes –confirmó la gafotas –El resultado de un experimento no depende del anterior.

–¿Y hay experimento dependientes? –preguntó Sal de nuevo.

–Sí, naturalmente –dijo Mati –Por ejemplo, si tenemos 5 bolas rojas y 3 bolas verdes en una bolsa, ¿cuál es la probabilidad de meter la mano y sin mirar sacar una bola roja?

Los niños se quedaron pensando.

–5/8 –dijo Sal

–Muy bien –sonrió Mati — La dejamos fuera ¿Y la probabilidad de que la segunda sea roja?

Sal y Ven montaron de nuevo su gabinete de resolución de problemas.

–Un momento, Mati –preguntó el pequeño –La primera que sacamos fue roja, ¿no?

–Me alegro de que me hagas esa pregunta –respondió Mati haciéndose la interesante –Eso significa que el resultado del segundo experimento depende del primero, ¿no? Son experimentos dependientes.

–¡Claro! –la carita de Sal brillaba con alegría –¿Cómo se calcula entonces, Mati?

–Vamos a verlo en el cuaderno –propuso Mati –Lo que queremos conocer es la probabilidad de que en la segunda extracción (ya hay una bola fuera) saquemos una bola roja. A esa probabilidad que queremos calcular la llamaremos P(2ªR). Para calcular P(2ªR) vamos a necesitar calcular otras probabilidades antes. Por ejemplo, la probabilidad de que la 2ª bola sea roja condicionada al hecho de que la primera que salió fuese roja, lo llamamos P(2ªR | 1ªR)

 

–De la misma manera, necesitaremos conocer la probabilidad de que la segunda bola sea roja condicionada al hecho contrario, es decir, al hecho de que la primera no fuese roja.

 

–Por último, necesitaremos usar la probabilidad de que la 1ª bola extraída fuese roja y la del suceso contrario, la de que la 1ª bola no fuese roja.

 

–Con todo esto, ya podemos calcular la probabilidad de que la segunda vez, extraigamos una bola roja, o sea, P(2ªR), usando esta fórmula

 

 

–Ya sólo –dijo Mati –necesitamos calcular esos 4 términos para conseguir lo que queremos ¿Me ayudáis?

–¡Sí! –dijeron los niños al unísono.

–Empezamos por la probabilidad de que la 2ª bola sea roja sabiendo que ya sacamos una y que fue roja –les dijo.

–A ver… –comenzó hablando Sal –casos posibles son 7 porque ya hay una bola menos…y casos favorables, serán 4 porque había 5 bolas rojas pero ya sacamos 1.

 

 

–¡Muy bien! ..les animó Mati –Ahora la otra condicionada, la probabilidad de que la segunda sea roja sabiendo que la primera que sacamos no lo era.

–Me toca –dijo Ven animado –Caso posibles son 7, claro, y casos favorables… 5, las 5 bolas rojas.

–Pero bueno…-Mati sonreía orgullosa –Lo que queda ya lo tenéis muy fácil

Los niños terminaron de calcular los términos que le faltaban

 

–¡Perfecto! –dijo la pelirroja –Ya lo tenemos todo

–¡Toma, toma, toma! –el pequeño Ven estaba alucinando.

–Me encanta, Mati –añadió el gafotas.

–Me alegro –dijo ella –El cálculo de probabilidades es muy entretenido y sencillo. Con esto y con un poco de observación, una familia española, los Pelayo,  ganaron mucho dinero. Pero a vosotros todavía no os interesa el dinero, ¿verdad?

–No, ¡nos interesa el fútbol! –dijo Ven.

–Bueno, y las matemáticas –añadió Sal con una sonrisa.

—Volviendo al asunto del fútbol –empezó a decir Mati –si queréis, por ejemplo, elegir campo en el fútbol y no estáis seguros de que la moneda esté equilibrada, os enseñaré a hacer un sorteo justo.

—¿Cómo? —preguntó casi gritando Sal sonriendo esperando la respuesta de Mati.

—Muy fácil, haciendo el sorteo a dos tiradas –propuso ella –La moneda será lanzada dos veces, y los jugadores elegirán sólo entre dos posibilidades: (cara, cruz) y (cruz,cara). Si las dos veces la moneda saca lo mismo, es decir (cara, cara) o (cruz, cruz), repetimos los dos lanzamientos. Pero los dos sucesos (cara, cruz) y (cruz, cara) tienen la misma probabilidad de salir. Nadie puede enfadarse.

 

–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! –gritó Ven –Vamos, Gauss, vamos a repetir el sorteo… ¿Dónde está Gauss?

–Creo que se quedó frito escuchando la explicación…

 

No todo es lo que parece

Nada es verdad, ni mentira dicen algunos, y terminan la frase atribuyendo la causa de la posible diferencia en el punto de vista al color del cristal con que se mira. Puede ser… En este sentido siempre he sido más de Descartes y su Discurso del Método:

no admitir como verdadera cosa alguna, como no supiese con evidencia que lo es; es decir, evitar cuidadosamente la precipitación y la prevención, y no comprender en mis juicios nada más que lo que se presentase tan clara y distintamente a mí espíritu, que no hubiese ninguna ocasión de ponerlo en duda.

No, no estoy hablando de rescates, no tengo ganas de entrar en debates nominalistas, yo tampoco.

Imaginen que quieren construir unos depósitos de combustible cilíndricos de gran capacidad, por ejemplo para un transbordador espacial. Imaginen que para ello lo construyen en varias trozos cilíndricos que luego encajarán unos con otros, formando el depósito cilíndrico final.

Parece evidente que es importante que las distintas partes encajen bien entre sí, es decir, que la base de dichos cilindros midan todas lo mismo, y sobre todo, que sean círculos perfectos. Digo yo que una fuga de combustible puede resultar, cuanto menos, inapropiada ¿Cómo comprobar esto último? Es decir, ¿cómo comprobamos que la base del cilindro es un círculo perfecto?

Uno podría pensar que si mide un número alto de diámetros distintos de la base y todos miden lo mismo, eso tiene que ser un círculo, ¿no?

¿Cuántos diámetros medimos? Yo que sé… 100.000 millones por ejemplo. Si, total,  hay infinitos diámetros en un círculo… ¿Podemos estar seguros de que si los 100.000 millones de diámetros miden lo mismo lo que estamos midiendo es un círculo?

 

Si en lugar de depósitos gigantescos de combustible medimos tubos, ¿nos servirá un calibrador de fontanero para saber si efectivamente el tubo es perfectamente circular? Si lo abrimos con una apertura concreta y lo hacemos girar alrededor de nuestro tubo, eso tiene que ser redondo, ¿no? ¿Sí?

 

Si respondemos afirmativamente a las dos preguntas finales de los dos parrafos anteriores es porque estamos asumiendo que una figura geométrica con la propiedad de ser igual de ancha en todas las direcciones es un círculo ¿Sí? 

En geometría, se llama anchura de un conjunto en el plano a la menor distancia entre 2 rectas paralelas que lo encierran, es decir, la anchura de un objeto es la del pasillo más estrecho en el que cabe. Con esta definición, lo que estaríamos afirmando respondiendo sí a las preguntas anteriormente mencionadas es que un conjunto que tenga anchura constante, la misma en todas las direcciones, es un círculo ¿Sí?

Vamos ver qué pasa con otras figuras planas conocidas. Un triángulo por ejemplo, tiene ¿anchura constante?

 

 

Pues como se ve en la figura anterior, si calibramos por el lado del triángulo la medida es mayor que si calibramos desde uno de los lados al vértice opuesto. No nos sirve…

¿Y un cuadrado? ¿Tiene anchura constante?

Vaya, pues parece que tampoco. Porque en el cuadrado de la figura, un cuadrado de lado 1, si lo calibramos de lado a lado medirá exatcamente eso, 1, y si lo calibramos según una diagonal 8en rojo en la figura) medirá

2.

¿Y un hexágono? ¿Será una figura de anchura constante? No sé, parece más redondito…

Tampoco, como se aprecia en la figura de la derecha. si calibramos en la dirección perpendicular a la línea verde, la medida es mayor que cuando calibramos en perpendicular a la línea de color naranja.

 

 

 

Esto puede inducir a pensar que efectivamente, como habíamos sospechado, la única figura geométrica plana que tiene anchura constante es un círculo, ¿verdad?

Pues no. Existen otras figuras, infinitas de hecho, que tienen anchura constante y que no son círculos. Lo cual puede ser un poco chungo en el caso de las piezas del depósito de combustible de un transbordador espacial. Estas posibles pequeñas imperfecciones en el encaje se resuelven usando juntas tóricas (con forma de flotador) de goma que lo amortigüen. Ahora, eso sí, hay que asegurarse de que estas juntas estén fabricadas con un material adecuado y que, por ejemplo, no sean demasiado sensibles a los cambios de temperaturas y esas cosas, no sea que nos pase como pasó con el Challenger*… y eso no está bonito.

Efectivamente, una de las figuras de anchura constante más conocidas son los polígonos de Reuleaux, que reciben este nombre en honor del ingeniero alemán que los desarrolló, Franz Reuleaux. Vamos a fijarnos por ejemplo en el más simple de estos polígonos de anchura constante, el triángulo de Reuleaux.

Efectivamente, este tipo de triángulos tiene anchura constante. Si lo medimos con el calibrador, en cualquier dirección obtenemos el mismo resultado. Y, evidentemente no son círculos

¿Cómo se dibuja un triángulo de Reuleaux?

 Basta comenzar con un triángulo equilátero. Ahora, con un compás, nos apoyamos en cada uno de los 3 vértices de dicho triángulo, y trazamos el arco de circunferencia que une los otros dos vértices.

 

¿Qué interés, aparte de ser de anchura constante, puede tener un polígono de Reuleaux en general, o un triángulo de éstos en particular?

 

 

Por ejemplo, para el diseño de tapas de alcantarilla. Ya, ya sé que con hacerlas circulares se resuelve el problema,  pero nunca hay que renunciar a mejorar un poco los pequeños detalles de la vida con el fin de hacerlo más bonito o, al menos diferente.  Si diseñamos una tapa de alcantarilla con esta forma,  como cualquier posición tiene el mismo ancho, la tapa así diseñada nunca se caería hacia dentro, no habría forma de meterla. Mientras que si, por ejemplo la tapa fuese cuadrada, bastaría con levantarla, y colarla derechita, usando la diagonal del hueco que es siempre mayor que el lado del cuadrado.

Además de tapas de alcantarillas, los triángulos de Reuleaux se han usado para el diseño de una taladradora que hace agujeros casi cuadrados. Como se ve en la animación de la izquierda, en las esquinas que da un poco de área sin recubrir por lo que el resultado es un cuadrado con las esquienas redondeadas.   El diseño de este taladro inspirado en los triángulos de Reuleaux  lleva la firma de Harry James Watts que lo inventó en 1914.

 

También en el diseño de motores de coches se han usado los triángulos de Reuleaux. Bueno, casi se han usado… Porque en realidad, los triángulos que se usan en el diseño de los rotores del motor Wankel, tienen los lados un poco más aplanados que los triángulos de Reuleaux y, por tanto, no tienen anchura constante. La ventaja de usar este tipo de rotores en lugar de los pistones habituales, permiten que el motor Wankel sea más silencioso, suave y fiable.

Pero no queda ahí la cosa, no, porque como dijo aquel torero, hay gente pa tó… Aunque ya había podido comprobar que una bicicleta, ésta de era de juguete, podía rodar suavemente si sus ruedas eran triángulos de Reuleaux, de hecho nos regalaron una a cada uno de los participantes en el Kyoto CGGT 2007 (celebrado en honor de Jin Akiyama and Vašek Chvátal),

poco después. Guan Baihua en 2009, diseñó una bicicleta donde la rueda de delante era un pentágono de Reuleaux y la de detrás un triángulo del mismo.

Como cuestión estética, los polígonos de Reuleaux  aparecen en el diseño de monedas, en la arquitectura…

       

Lo dejamos por aquí y os invito a que busquéis más apariciones de los polígonos de Reuleaux. Sólo un par de cosas más. La primera es que como dije casi al principio de esta entrada, hay infinitas figuras que tienen anchura constante y es cierto. En este enlace se explica detalladamente una forma de generarlas.

*Y la segunda, tiene que ver con la referencia al accidente del transbordador espacial Challenger en enero de 1986. Algunos de nosotros ya habíamos nacido… Tras el dramático accidente se creó, como se hace en estos casos, una comisión que investigara las causa del mismo. En esta ocasión, fue la comisión conocida como la comisión Rogers. Casualmente, ¿eh?, he dicho casualmente, en la citada comisión todos los integrantes, menos uno, eran personas bastante vinculadas a la NASA, al ejército o al gobierno de los Estados Unidos. Todos menos uno.  Pero ese uno era nada más y nada menos que Richard Feynman, entre otras cosas, Premio Nobel de Física en 1965. Supongo que el nombre de Feynmann le daba mucho más prestigio a los resultados de la investigación, y aunque  éste no era conocido especialmente por su carácter dócil y reservado, tenía ya 68 años y había tenido que soportar una importante cirugía para escapar de un cáncer. Podría parecer que no se iba a implicar demasiado en este asunto. Podría parecer… Pero si alguien lo llegó a pensar, se equivocó. Feynmann no sólo se implicó sino que se atrevió a dar una versión diferente a la oficial de la Comisión sobre las causas del accidente.  Y lo hizo en  televisión, durante una rueda de prensa. Para probar que el problema había estado en el material utilizado para las juntas tóricas, introdujo un trozo de este material en un vaso de agua con hielo. La elasticidad de las mismas y su estanqueidad no soportaban las bajas temperaturas y aquella mañana de 1986 hacía demasiado frío en Florida.  En el libro ¿Qué te importa lo que piensen los demás?, aparte de las anécdotas divertidísimas  de este genio que también tocaba los bongos, se puede leer más sobre su trabajo en la Comisión.

No te muevas tanto…

–Mira a Gauss, Sal ¡Se parece a un conejo de Fibonacci!

–¡Hala, es verdad! Y mira mis piernas, parecen de goma…

–Y mi brazo… –siguió el pequeño entusiasmado –Mira, ¡ese niño está loco! Yo levanto el brazo izquierdo y él ¡levanta el derecho!

–Claro, Ven –respondió su hermano –Es un espejo.

–¿Y? ¿Por qué me veo al revés? ¿Por qué no me veo la cabeza abajo y los pies arriba?

–Pues porque el plano de simetría es el espejo, que es perpendicular al suelo – intervino Mati.

–¿¿Qué?? –los niños se quedaron mirando a Mati perplejos. Gauss cambió de espejo, su identidad de conejo no le convencía ni mucho ni poco.

–Tranquilos, chicos. Voy a tratar de explicarlo –dijo la pelirroja con una sonrisa –Os contaré que es una simetría. Pero empezaremos por el plano, ¿vale?

–¿Qué plano, Mati? –preguntó Sal intrigado.

–En el de la hoja de nuestro cuaderno, ¿os apetece?

–Sí, claro –respondió Sal.

–Como si viajáramos hasta Planilandia –añadió Mati.

–¿Dónde está Planilandia? –preguntó inmediantamente Ven –¿Es un parque de atracciones?

–No, Planilandia es un país dónde todo ocurre como en una inmensa hoja de papel –siguió la gafotas –Otro día hablaremos de ese libro de Edwin Abbott. Hoy os voy a tratar de explicar cómo funcionarían los espejos de este país en una hoja de papel, lo que los matemáticos llamamos simetrías en el plano.

–¡Vale! –dijo Ven con entusiasmo mientras Sal se ajustaba las gafitas sobre la nariz.

–Imaginaos que tenemos un Gauss en nuestro país plano frente a un espejo, que en nuestro plano es sólo una recta. Vamos a dibujar al Gauss que se refleja, al simétrico de Gauss respecto de esa recta.

–¡Mola! –gritó Ven mientras su mascota miraba de reojo al cuaderno de Mati.

–Antes de reflejar a Gauss, vamos a hacerlo con un triángulo que es más sencillo, ¿os parece? –propuso Mati.

–Venga –respondió el gafotas.

–Calculamos primero el punto simétrico de A –empezó a decir Mati –Después calcularemos el de B y el de C y podremos dibujar el triángulo simétrico.

–¿Cómo hacemos el simétrico de A, Mati? ¿Lo podemos pintar nosotros? –preguntó Sal.

–Claro. Trazamos desde A una recta perpendicular a la nuestra, la que representa el espejo, que llamamos eje de simetría

–¿Perpendicular es que forme ángulo recto como la esquina de una portería? –preguntó el pequeño.

–Eso es, Ven –continuó Mati –Llamaremos M al punto de corte de esta nueva recta con el eje de simetría.

–Ese punto, M, estará a la misma distancia de A que de su punto simétrico, que llamaremos A*, justo en la mitad, ¿sí?

–Sí… –dijo Sal muy concentrado.

–Pues el simétrico de A, A*, es un punto que está sobre la recta que acabamos de dibujar, a la misma distancia de M que el punto A. Medimos la distancia de A hasta M

–¡6 cuadritos!

–Muy bien, Ven. Ahora contamos 6 cuadritos hacia la derecha sobre la recta, empezando en M… y aquí tenemos al simétrico de A, le ponemos su nombre… A*

–¿Me dejas hacer a mí el simétrico de B, Mati? Pero solo –preguntó Sal.

–No, y yo también, oye… –protestó el pequeño.

–Claro, entre los dos, Ven –contestó su hermano, mientras Gauss retorcía un poco el hocico y se hacía el indiferente ante la posibilidad de calcular el simétrico de un punto respecto a una recta, “como si me importara mucho…” pensó con un poco de pelusilla.

–Pintamos la recta perpendicular… -mascullaba Ven –Aquí está el punto del medio… ¿le llamamos también M, Mati?

–Puedes llamarlo N, si te apetece –contestó la pelirroja con un guiño.

– 9 cuadritos desde B hasta N… –contaba el gafotas –Ahora 9 cuadritos a partir de N, y ahí está B*.

–¡Te pillamos, so simétrico de B! –dijo Ven mientras apuntaba a la libreta con el índice y el pulgar a modo de pistola.

–Ahora el de C, ¿cómo llamamos al punto de en medio, Ven?

–Llámalo P, forastero… –contestó Ven con tono de vaquero, que este niño es muy novelero y se mete rápido en el papel…

Los dos hermanos dibujaron el simétrico de C en el papel, mientras Gauss se miraba la pata derecha como si nada de aquello fuera con él.

–Ya, ya tenéis los simétricos de los 3 puntos –intervino Mati –ya podéis pintar el triángulo simétrico.

–¡Ahora con Gauss! –dijo Sal y su mascota salió de su ensimismamiento con alegría para descubrir que los niños seguían absortos en el cuaderno.

–Muy bien, chicos – intervino Mati -Aunque hemos hecho un poco de trampa…

–¿Trampa? ¿Por qué? –Ven frunció el ceño.

–Porque en Planilandia no se puede hacer ese movimiento…

–¿Por qué? –preguntó Sal intrigado.

–Porque cuando hacemos una simetría, es como si levantásemos a Gauss y le diéramos la vuelta en el aire…

–¿¿Y?? –Ven estaba cada vez más intrigado.

–Que en Planilandia nadie puede salir de la hoja de papel –concluyó Mati –No hay forma de conseguir el simétrico de Gauss con un movimiento dentro del propio plano, del propio papel.

–Claaaaaaro… –Sal sonreía –Es cierto…

–Por esa razón –continuó la gafotas –los matemáticos llamamos a la simetría, movimiento inverso. Hay que salirse del plano y darle la vuelta la figura de Gauss para que coincida con la otra.

–¡Toma, toma, toma! ¡Es verdad! Gauss no se podrá mover en Planilandia –la cara de Ven se entristeció –Pobre…

–Claro que se podrá mover –corrigió Mati –Pero usando movimientos directos, por ejemplo, una traslación o un giro.

–¿Qué es una traslación? –preguntó el gafotas.

–Una traslación consiste en mover el objeto usando un vector, el vector de la traslación.

–¿Y cómo se hace? –preguntó Sal.

–Decidme las coordenadas de un vector…

(7,9) –dijo Ven –Nuestras edades.

–Vamos a hacer una traslación de vector (7,9) a Gauss –propuso Mati –Tenemos que mover cada punto según esa dirección, 7 cuadritos a la derecha y 9 hacia arriba…

–Cuando hayamos movido un punto, llevamos sobre él el resto de la silueta de Gauss y ya está –concluyó ella.

–¡Y sin salirse de Planilandia! –dijo Ven abrazando a su mascota –Sólo hay que arrastrarlo.

–Efectivamente, la traslación es un movimiento directo porque no nos salimos del plano –les contó Mati.

–¿Y el giro? ¿Cómo es el giro? –Sal estaba entregado a los movimientos del plano. Gauss se estaba mosqueando un poco…

–Para identificar un giro, necesitamos elegir un punto, centro del giro, y un ángulo, el ángulo de giro –les contó su amiga –¿qué punto queréis que sea el centro del giro?

–¿Tiene que ser un punto sobre el dibujo de Gauss? –preguntó Sal.

–Como queráis –contestó la pelirroja –Pero no es necesario.

–Venga, éste –dijo el pequeño pintando un punto azul sobre el papel.

Gauss gruñó, pero de mentirijilla, en el fondo tanto protagonismo le estaba gustando…

–Estupendo –afirmó Mati –Y lo giramos 45 grados, la mitad de un ángulo recto, ¿vale?

–¡Vale! –dijeron los chicos al unísono.

–Para ello, trazamos una línea desde el centro de giro hasta la punta de la cola de Gauss y giramos era línea 45 grados, apoyados en el centro y vemos hasta donde llega Gauss, como si la punta de su cola estuviese pegada a la línea.

–¡Toma, toma, toma! ¡Qué gracioso! –Ven volvió a abrazar a su mascota.

–¿Veis? Estos 2 movimientos, el giro y la traslación, son movimientos directos –dijo Mati –Se pueden hacer sin salirse del plano.

–Me gusta mucho esto, Mati…

–A mí también, Sal –contestó ella –Y se pueden usar para enlosar el plano con baldosas de diferentes formas, según como movamos las losetas… Pero eso ya lo vemos otro día, ahora volvamos a casa, que es hora de merendar.

–¡Sí, sí! –insistió el pequeño –Tanto movimiento me ha dado mucha hambre…

 

¿A quién rescatamos el último?

En estos días compruebo, sin alegría, que la palabra rescate ha perdido el cariz romántico. Ése que de pequeña olía a príncipe soso cabalgando sobre un caballo (no sé por qué blanco)  con una capa al viento y que unos años más tarde se transformaba en un arqueólogo tocado con un sombrero Fedora y un látigo en la mano. Y sé que no soy la única, lamentablemente. Estoy segura de  que cada uno de nosotros tiene en sus recuerdos de sueños infantiles o púberes  rescatadores y/o  rescatadoras muy diferentes… Eso sí, casi seguro que ninguno de nosotros soñó con que lo rescataba aquella chica que nacía en Hamburgo un día de julio de 1954…

Pero hoy es lunes y los niños han salido a jugar, las noticias ya nos saturan de problemas que no sabemos resolver, o que, al menos no se están resolviendo, así que dejemos a los profesionales que nos informen sobre ellos y vamos a plantear un problema que nos sirva para pensar un rato y que poder compartir a la hora del café o del aperitivo con nuestros amigos, por si estamos cansados de hablar de cómo está la cosa.

El pasado viernes tuve la suerte de poder asistir a la conferencia Magia y Matemáticas que el Dr. Carlos Vinuesa impartió en la Facultad de Matemáticas de la Universidad de Sevilla.  Aparte de la indiscutible capacidad de Carlos para atraer y sorprender con sus juegos de magia, los asistentes a la misma pudimos entrar entre bambalinas y descubrir qué Matemáticas se escondían detrás de aquella magia. No, no voy a contar los secretos de Vinuesa, os invito a que lo vayáis a a ver si tenéis ocasión.

Pero si os voy a contar un problema que él nos recordó en su conferencia y que es conocido como el Problema de Flavio Josefo.   En su obra La guerra de los judíos, obra que algunos ponen un poco en tela de juicio en cuanto a su rigor y neutralidad, puesto que fue escrita después de que Josefo fuera capturado por los romanos y se le nota un pelín filorromana, este historiador judío cuenta como él y 40 soldados judíos quedaron atrapados en una cueva, rodeados de romanos, y que prefiririeron suicidarse antes que entregarse a los romanos. Si, hay gente pa tó. Pero como estaban así, en plan festivo, decidieron ir ejecutando a las víctimas de una forma original, no hay que perder el buen humor en ninguna situación: ¡que no se diga! Hay varias versiones sobre el método elegido para el macabro sorteo, pero la más extendida es la siguiente:

Se colocan todos los soldados en un círculo, el primero se salva, matamos al segundo, saltamos  uno, matamos al cuarto, saltamos uno, matamos al siguiente, saltamos uno… y así sucesivamente hasta que queda el último que se matará sólo.

Si tenemos 12 soldados alrededor del círculo, en la primera vuelta, mataríamos a los que aparecen en amarillo en la siguiente figura

Al llegar al 12, que en paz descanse, nos saltaríamos al 1 de nuevo (ya se ha escapado 2 veces) e iríamos a por el 3. Vamos que al final de la segunda vuelta, habrían caído los que aparecen en verde en la siguiente figura

Pues bien, de nuevo tras despedirnos del 11, volvemos a saltar el 1, le damos boleto al 5, nos saltamos al 9 y nos queda…

Por lo tanto, el último que queda tras esta estrategia graciosa es el 9.

Nota mental: si somos 12 en la rueda, colocarme en la posición número 9.

Según la historia de Flavio Josefo aquel día en la cueva, al final sólo quedaron él y un amigo, que decidieron entregarse a los romanos antes que suicidarse. Dicen que él atribuyó su salvación a la Providencia. No me voy a meter en esto, pero a lo mejor es que  Flavio y su colega habían hecho bien las cuentas…

¿Qué cuentas son las que hay que hacer para ser el último y decidir si suicidarte o echarte unas risas con los romanos?

Bueno, ya hemos visto que si son 12 en la rueda, la posición que más mola es la 9. Vamos a estudiar otros casos, a ver si inferimos algún método…

Si sólo somos 4 jugadores el último en morir sería el que estuviese en la posición 1…

Si hay 5 jugadores en círculo, el que se salva es el de la posición 3…

ç

Cuando hay 6 en el círculo, se salva el 5…

La 7 es la posición buena cuando son 7…

Otra vez la posición 1, si son 8… Vamos a recoger todos estos datos en una tabla a ver si nos sugieren alguna regla…

Si nos fijamos en la tabla  anterior, que para eso también lo hemos coloreado en amarillo canario, la posición 1 es la última en ser elegida en todas las ruedas cuyo número de jugadores es una potencia de 2 (1, 2, 4, 8, 16…) Luego, entre cada dos potencias de 2, lo que aparece es la sucesión de los impares, comenzando con el 3 justo después de dicha potencia de 2.

¿Se cumple siempre? Pues sí, se cumplirá siempre, otro día os contaré la demostración. Hoy nos quedamos sólo con el truco, aunque preferiría que lo usarais para otra cosa que no sea una ronda de suicidios a la salud de algún imperio. Es más gracioso, por ejemplo, para elegir quién paga una ronda en un bar, que lo pague el último en salvarse.

Para comprobar si lo he explicado con claridad, vamos a poner otro ejemplo. Supongamos que tenemos 27 países que forman una posible comunidad y que empiezan a sobrar algunos. Supongamos que aplicamos el método del problema del Josefo para ir eliminando uno a uno a estos países, ¿en qué posición hay que colocarse para ser el último en salir de esta comunidad? Vamos a hacer las cuentas. Buscamos la potencia de 2 más próxima a 27 pero inferior a él. Como 27 está entre 16 y 32, la potencia buscada es 16, 2 elevado a 4. Ahora,  si queréis en una tablita, rellenáis con impares hasta llegar al 27…

Pues sí, para ser el último en salir hay que colocarse en la posición 23 en la rueda, que viene a caer un poco al sur del mar Báltico,  un poco a la izquierda de Polonia y sin llegar a Francia…